2.2. Aprendizaje No Supervisado
2.2.1. Modelos de aprendizaje no supervisado m´as utilizados
Dentro de las t´ecnicas de aprendizaje autom´atico no supervisado se destacan los m´eto- dos declustering(agrupamiento) y de an´alisis de componentes principales (PCA por sus siglas en ingl´es).
K-means:
El algoritmo k-means es una de las t´ecnicas de agrupamiento m´as simples. Dado un conjunto de m datos de entradax~i pertenecientes al espacio de features F con
i= 1, .., mel algoritmo consiste en:
1. Elijo aleatoriamentekcentrosc∈ F.
2. Dada una medida de distancia2 enF, asigno cada observaci´on al grupo m´as cercano.
3. Actualizo el valor de los centros como el promedio de las observaciones que pertenecen a cada grupo.
4. Itero entre el paso 2 y 3 hasta que las asignaciones no cambien o se cumpla un criterio de convergencia.
Si no se conoce a priori el n´umero de grupos que mejor se adaptan al problema, es necesario iterar en la cantidad de centros a ajustar.
Mixtura de Gaussianas:
La mixtura de Gaussianas es un algoritmo similar alk-meanspero que busca asignar cada observaci´on a una gaussiana multi-dimensional. Dado un conjunto demdatos de entradax~i ∈ <nconi= 1, .., mel algoritmo consiste en:
1. Elijo aleatoriamente los par´ametros dekGaussianas n-dimensionales (es de- cir, los centros, y las matrices de covarianza).
2. Estimo la probabilidad de que cada observaci´on pertenezca a cada gaussiana y asigno dicha observaci´on a la gaussiana m´as probable.
2Si
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3. Actualizo los par´ametros de cada gaussiana teniendo en cuenta las observa- ciones asignadas a la misma.
4. Itero entre el paso 2 y 3 hasta que las asignaciones no var´ıen o se alcance un criterio de convergencia.
Al igual que en el caso del algoritmok-means, si uno no conoce a priori el n´umero de gaussianas, se debe explorar distintos valores de este par´ametro para encontrar el mejor ajuste a nuestros datos de entrada.
An´alisis de Componentes Principales (PCA por sus siglas en ingl´es): El m´etodo de an´alisis de componentes principales es una t´ecnica estad´ıstica que permite reducir la dimensionalidad de una conjunto de datos a trav´es del an´alisis de las correlaciones entre las diferentes variables. Esta t´ecnica nos permite encontrar la mejor forma de representarnobservacionesx∈ <pcomo combinaci´on lineal deq ≤pvectores en
<p.
Para estudiar las correlaciones entre las diferentes variables, construimos la matriz de covarianza definida por:
Ci,j = n X k=1 (xi,k −x¯i)(xj,k −x¯j) n (2.18) donde x¯i = Pnk=1 xi,k
n . De la definici´on sigue que la matriz de covarianza es una matriz sim´etrica, que en la diagonal tiene las varianzas de cada variable y afuera de la diagonal tiene las covarianzas entre las diferentes variables.
Estudiando los autovalores de dicha matriz, podemos encontrar las direcciones de mayor correlaci´on. Para encontrar dichos autovalores es necesario determinar las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de grado≤pdefinido pordet(Ci,j−λ.I). Supo- niendo que tenemospra´ıces reales, podremos encontrarpautovectores que definen una nueva base en la cu´al la matriz de covarianza resulta diagonal y cuyos elemen- tos son los autovalores correspondientes a cada autovector. Matem´aticamente esto puede expresarse de la siguiente manera:
dondeP = (α1α2. . . αn)yαies el autovector correspondiente al autovalorλipues- to en columna y D es la matriz de covarianza en la base de autovectores que resulta diagonal.
En la figura2.10se puede ver un ejemplo de un an´alisis de componentes principales bidimensional, en donde se puede observar que la direcci´on de la primera compo- nente es la de mayor correlaci´on en los datos. Es importante notar que el cambio de base definido por la matrizP corresponde a una rotaci´on.
Figura 2.10: Esquema de un an´alisis de componentes principales bidimensional. Intuitivamente se puede ver en el ejemplo graficado en la figura2.10que el conjunto de datos puede ser representado solo por la coordenada correspondiente a la com- ponente principal1sin perder mucha informaci´on debido a que la mayor parte de la correlaci´on de los datos es justamente la correlaci´on en dicha direcci´on. Es por esto que una de las aplicaciones m´as importantes de esta t´ecnica consiste en reducir la dimensionalidad de problemas multi-dimensionales.
En la figura2.11podemos ver un ejemplo en el cual se muestra la reconstrucci´on de la imagen de una cara como funci´on de las componentes utilizadas para su represen- taci´on. Puede verse que, mientras menos componentes utilicemos perdemos mayor
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informaci´on, sin embargo la informaci´on que se gana al incorporar componentes de menor correlaci´on (ver las reconstrucciones de las ´ultimas 2 filas de la figura
2.11) no es mucha, por lo que ignorar dichas componentes en la representaci´on de la imagen no conducir´a a grandes errores.
Figura 2.11: Ejemplo de un algoritmo de reconstrucci´on facial al variar el n´ume- ro de componentes principales utilizado para la reconstrucci´on. Figura extra´ıda de http://www.declanoller.com/tag/pca/
Bibliograf´ıa
[1] Leo Breiman. Random forests.Machine Learning, 45(1):5–32, Oct 2001. ISSN 1573- 0565. doi: 10.1023/A:1010933404324. URLhttps://doi.org/10.1023/A: 1010933404324.
[2] Trevor Hastie, Robert Tibshirani, and Jerome Friedman. The Elements of Statistical
Learning. Springer Series in Statistics. Springer New York Inc., New York, NY, USA,
2001.
[3] Thomas M. Mitchell. Machine Learning. McGraw-Hill, Inc., New York, NY, USA, 1 edition, 1997. ISBN 0070428077, 9780070428072.
[4] Kevin P. Murphy. Machine Learning: A Probabilistic Perspective. The MIT Press, 2012. ISBN 0262018020, 9780262018029.
Cap´ıtulo 3
Construcci´on de un cat´alogo de c ´umulos
en interacci´on a partir de t´ecnicas de
aprendizaje autom´atico.
A manera de introducci´on, en la primera parte de este cap´ıtulo se presentar´a un breve resumen de los principales trabajos sobre el estudio de c´umulos de galaxias en proceso de interacci´on y su importancia en la cosmolog´ıa actual. En la segunda parte de este capitulo, se presentar´a el trabajo realizado en el marco de este doctorado, con el objetivo de cons- truir un cat´alogo de c´umulos de galaxias en proceso de interacci´on a partir de cat´alogos fotom´etricos y espectrosc´opicos de galaxias. Los resultados presentados en este cap´ıtulo fueron publicados en el bolet´ın n´umero57de la asociaci´on Argentina de Astronom´ıa en el a˜no2015 [22] y en la revista Monthly Notices of the Royal Astronomical Societyen el a˜no2016[23].
Este trabajo fue realizado en colaboraci´on con el Dr. Mariano Dominguez, el Dr. Dante Paz y el Dr. Manuel Merch´an.