Desplazamiento de resonancia con simulaciones N-cuerpos

El gr´afico superior izquierdo de la figura6.8 muestra cuatro simulaciones de N-cuerpos, donde la migraci ´on planetaria fue modelada de acuerdo con la ecua- ci ´on (6.12), incorporando la prescripci ´on de Goldreich-Schlichting a trav´es de las expresiones (6.16) y (6.17). Asumimos β0 = 0,3, h0 = 0,05 y f = 0,25. Los facto- resQa yQe fueron elegidos como se describe en la secci ´on anterior. En todos los

casos simulamos la captura en la RMM 2 : 1 con m1 = 8m⊕ y valores diferentes

para la relaci ´on de masas m2/m1. Como se predijo, el desplazamiento aumenta efectivamente m´as cerca de la estrella, mostrando un muy buen acuerdo con el modelo anal´ıtico y las observaciones.

Los otros tres gr´aficos muestran diferentes aspectos de la simulaci ´on conm2/m1= 1,6, valor para la relaci ´on de masa que conduce al mayor desplazamiento. El gr´afico de la parte superior derecha muestra la evoluci ´on de ambos ´angulos cr´ıti- cos como funci ´on de P2/P1, donde hemos despreciado los puntos de datos antes del bloqueo de resonancia. El ´angulo de resonancia principal θ1 exhibe una li- braci ´on de baja amplitud alrededor de cero, incluso para los desplazamientos

∆_2/1 ' _{0,1, valores que normalmente se asocian al movimiento no resonante. El} ´angulo auxiliar de resonanciaθ2 tambi´en libra en toda la evoluci ´on del sistema, aunque con amplitud creciente. Por lo tanto, incluso en este ejemplo num´erico extremo, el sistema de dos planetas permanece atrapado en una soluci ´on de ti- po ACR independientemente de su proximidad a (o separaci ´on de) la resonancia exacta.

Los dos gr´aficos inferiores de la figura6.8muestran informaci ´on complemen- taria: la excentricidad del planeta interior en funci ´on de P2/P1 (izquierda) y la relaci ´on entre ambas excentricidades planetarias (derecha). Las l´ıneas continuas negras indican la forma funcional esperada dada por las expresiones (6.7) obte- nidas para las soluciones de ACR con el Hamiltoniano resonante de Sessin. El acuerdo con el resultado de N-cuerpos es excelente, indicando que el aumento en el desplazamiento de resonancia sigue de cerca la ubicaci ´on de las soluciones ACR de baja amplitud y la evoluci ´on del sistema sigue siendo dominada por la conmensurabilidad, incluso para grandes valores de∆_2/1.

Hemos realizado una gran serie de simulaciones de N-cuerpos que cubren diferentes valores de las masas planetarias y el ´ındice de forma, observando la misma evoluci ´on din´amica que la descrita en la figura 6.8. Por lo tanto, contra- riamente a lo que se espera, los grandes desplazamientos pueden estar todav´ıa

6.3 Migraci ´on diferencial y desplazamiento de la resonancia 2 4 6 8 10 12 14 16 Σ0(×102g/cm2) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 f a1= 1 2/1 3/2 2 4 6 8 10 12 14 16 Σ0(×102g/cm2) a1= 1 2/1 3/2 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 f a1= 5 2/1 3/2 4/3 5/4 6/5 m1= 2M⊕;m2= 4M⊕ a1= 5 2/1 3/2 4/3 5/4 6/5 m1= 10M⊕;m2= 20M⊕ 2 4 6 8 10 12 14 16 Σ0(×102g/cm2) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 f a1= 1 2/1 3/2 2 4 6 8 10 12 14 16 Σ0(×102g/cm2) a1= 1 2/1 3/2 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 f a1= 5 2/1 3/2 4/3 5/4 6/5 m1= 2M⊕;m2= 4M⊕ a1= 5 2/1 3/2 4/3 5/4 m1= 10M⊕;m2= 20M⊕

Figura 6.9:Configuraci ´on resonante final de un sistema con dos planetas simulado con un c ´odigo N-cuerpo, como funci ´on de la densidad superficial inicial y el ´ındice de forma. En cada gr´afico variamos las masas planetarias, el semieje mayor inicial y el par´ametroQe.

ligados a la captura resonante, incluso si la soluci ´on de ACR resultante corres- ponde a un dominio de libraci ´on cinem´atico (y no din´amico) (por ejemplo,Hen- rard y Lamaitre,1983).

6.3.1.1. Dependencia con la densidad superficial inicial

Como podemos ver de la ecuaci ´on (4.13), nuestro modelo de desplazamiento de resonancia no depende de la densidad superficial inicialΣ₀. Sin embargo, si consideramos la evoluci ´on temporal de los planetas involucrados en nuestro pro- blema, esta cantidad ser´a un factor importante para calcular el tiempo de captura en las resonancias. Por este motivo, en este apartado discutiremos su importan- cia en la captura permanente en las conmensurabilidades de primer orden. Pa- ra esto utilizamos simulaciones de N-cuerpos. Cada condici ´on inicial se integr ´o incorporando la fuerza exterior ad hoc dada por la ecuaci ´on (6.12) con la migra- ci ´on y el tiempo de amortiguamiento determinado por expresiones (5.5), (6.13) y (6.14).Las integraciones se detuvieron s ´olo despu´es de que el semieje mayor del planeta interior llegara a 0,05 UA.

Se realizaron dos series de simulaciones con diferentes masas planetarias: una con m1 = 2m⊕,m₂ = 4m⊕, y una segunda conm₁ = 10m⊕,m₂= 20m⊕. En ambos

casos, la relaci ´on de masa fue de m2/m1 = 2, garantizando as´ı que las solucio- nes ACR ser´ıan sim´etricas y se caracterizar´ıan porθ1= 0. Adem´as, consideramos dos valores diferentes de los semiejes mayores iniciales: en el primero elegimos

a1= 1,a2= 1,64 UA, mientras que en un conjunto adicional de simulaciones he- mos adoptadoa1= 5,a2= 8,2 UA. En ambos casos los planetas se lanzaron fuera pero cerca de la RMM 2 : 1. Las excentricidades iniciales se escogieron iguales

6. Migraci ´on planetaria y exoplanetas observables

aei = 0,05 y todos los ´angulos tomados como cero. El ´ındice de forma del disco

lo variamos en el intervalo f ∈ _{[0; 0,25] y la potencia del perfil de densidad su-} perficial en el intervaloα0∈_{[0,5; 1,5]. Los resultados se muestran en la figura6.9} en forma de mapas de color en t´erminos f y Σ₀. Cada gr´afico consta de cuatro gr´aficos diferentes: el izquierdo y el derecho difieren en las masas planetarias (valores especificados en la parte superior), mientras que los superiores e infe- riores asumen diferentes semiejes mayores iniciales. Los resultados mostrados en el conjunto de gr´aficos izquierdo corresponden a Qe = 0,2 mientras que para el

derecho asumimosQe= 0,4.

Como era de esperar, las densidades superficiales iniciales m´as grandes fa- vorecen la captura en resonancias de mayor grado y separaciones orbitales m´as peque ˜nas entre los planetas. Mientras que los planetas inicialmente situados le- jos de la estrella pueden llegar hasta las RMMs 4 : 3, 5 : 4 y 6 : 5, los sistemas iniciados cona1= 1 UA est´an dominados por las resonancias 2 : 1 y 3 : 2, al me- nos para los valores deΣ₀ considerados aqu´ı. Tambi´en hay una dependencia con el ´ındice de forma del disco; los discos planos vuelven a favorecer la captura en conmensurabilidades de alto grado (especialmente paraa1= 5 UA), mientras que las resonancias 2 : 1 y 3 : 2 son pr´acticamente los ´unicos resultados posibles en discos altamente acampanados.

Un resultado algo inesperado es la sensibilidad de los resultados con respec- to al factor de amortiguaci ´on Qe. Incluso peque ˜nos cambios en este par´ametro

ad-hoc conducen a mapas de resonancia muy diferentes, como se puede ver com- parando los gr´aficos izquierdo y derecho. Por ejemplo, para Qe≥0,4 es casi im-

posible encontrar sistemas en RMM 2 : 1 conm1 = 2m⊕,m₁ = 4m⊕ y a₁ = 5 UA,

mientras que un resultado m´as probable ser´ıa adoptandoQe= 0,3.

Los valores aqu´ı tomados de los diferentes par´ametros libres de nuestro siste- ma son totalmente arbitrarios debido a la incertidumbre ocasionada en la litera- tura. Sin embargo, siempre cumplen con la migraci ´on convergente y configura- ciones finales estables. Estamos en total acuerdo que estos par´ametros deber´ıan ser mejor ajustados pero es tan dif´ıcil como tener una teor´ıa unificada de forma- ci ´on planetaria.

6.3.2. Desplazamiento de resonancia con simulaciones hidrodin ´ami-

cas

En esta secci ´on discutimos la influencia del desplazamiento de resonancia existente en los sistemas exoplanetarios a trav´es de simulaciones hidrodin´ami- cas a largo plazo y de gran rango visto en el cap´ıtulo5.

Realizamos las mismas simulaciones que las presentadas en la tabla 5.1pero con Σ₀ = 4000 gr/cm2, e incluimos una simulaci ´on extra, sim8a, con f = 0,2 y

α0= 0,9 manteniendo los dem´as par´ametros iguales asim8.

6.3 Migraci ´on diferencial y desplazamiento de la resonancia 100 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3

P

1

[d´ıas]

2.00 2.02 2.04 2.06 2.08 2.10

P

2

/P

1 sim2 sim5 sim8 100 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3

P

1

[d´ıas]

1.50 1.52 1.54 1.56 1.58 1.60

P

2

/P

1 sim4 sim7 sim8a

Figura 6.10: Desplazamiento de resonancia con simulaciones hidrodin´amicas. Se muestra la re- laci ´on de per´ıodo orbitalP2/P1 como funci ´on del per´ıodo del planeta internoP1 de algunas de las simulaciones detalladas en la tabla5.1pero conΣ₀= 4000 gr/cm2.Izq.:Para la RMM 2 : 1. Der.:Para la RMM 3 : 2. Los c´ırculos grises marcan la distribuci ´on de los planetas confirmados por Kepler y VR.

de per´ıodo orbital P2/P1 como funci ´on del per´ıodo del planeta interno P1. Los c´ırculos grises marcan la distribuci ´on de los planetas detectados a trav´es de Ke- pler y VR. El gr´afico de la izquierda muestra los resultados para la captura en RMM 2 : 1. Se observa claramente que para discos planos (sim2) no existe pr´acti- camente desplazamiento de resonancia, ∆sim2_2/1 = 0,005, mientras que para discos acampanados (sim5y sim8) ocurre totalmente lo contrario. Esto sugiere que los discos planos no deber´ıan conducir a ninguna separaci ´on notable de la resonan- cia exacta, permaneciendo inalterables con la distancia a la estrella central. Es decir, un sistema que migra en un disco plano, tendr´a durante toda su evoluci ´on el mismo valor de desplazamiento de resonancia, y de hecho muy cerca del valor nominal.

La diferencia entre sim5y sim8son los semiejes iniciales y las masas plane- tarias consideradas. Los primeros no parecen ser la raz ´on de quesim5comience su desplazamiento de resonancia a peque ˜nos P1 (∼30 d´ıas). S´ı en cambio, pare- ce que las masas consideradas juegan un papel fundamental en el comienzo del desplazamiento seg ´unP1.sim8posee masas planetarias 5 veces m´as grandes que sim5, indicando una posible correlaci ´on entre las masas planetarias del sistema y elP1para los desplazamientos de resonancias. A mayores masas se obtiene des- plazamiento a mayoresP1.

Conclusiones similares se presentan en las simulaciones que quedan captura- das en la la RMM 3 : 2 (gr´afico de la derecha). Para discos planos (sim1y sim4) no existe pr´acticamente desplazamiento de resonancia∆sim4_3/2 = 0,002. Para discos acampanados (sim7ysim8a) se rectifica el gran desplazamiento de resonancia y su temprana aparici ´on con masas m´as grandes.

Comparando la sim8 y sim7 para las dos densidades superficiales iniciales considerasΣ₀ = 400,4000 gr/cm2, en las figuras5.18-6.10, respectivamente, po-

6. Migraci ´on planetaria y exoplanetas observables 2.00 2.02 2.04 2.06 2.08 2.10 P2/P1 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 e1 sim8 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 e1 0.000 0.001 0.002 0.003 e2 1.50 1.52 1.54 1.56 1.58 1.60 P2/P1 0.000 0.005 0.010 0.014 e1 sim7 0.000 0.005 0.010 0.014 e1 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 e2

Figura 6.11: Comparaci ´on de dos simulaciones hidrodin´amicas, sim8(arriba) y sim7 (abajo), con Σ₀ = 4000 gr/cm2 con las predicciones anal´ıticas dadas por las ecuaciones (6.7). En l´ıneas negras se muestran las soluciones ACR anal´ıticas y en verde los resultados de las simulaciones hidrodin´amicas.

demos ver que la evoluci ´on del desplazamiento de resonancia son similares. Por lo tanto, el fuerte aumento de ∆_2/1 y ∆_3/2 no s ´olo se confirma, sino que parece ser una funci ´on d´ebil de la densidad superficial del disco de gas, en concordancia con lo hallado en nuestro modelo anal´ıtico. M´as importante a ´un, sin embargo, todas estas simulaciones hidrodin´amicas de largo alcance demuestran que es po- sible conseguir desplazamientos muy grandes dentro de un disco gaseoso laminar no turbulento sin necesidad de apelar a efectos externos adicionales tales como interacciones de mareas o discos planetesimales.

Las ecuaciones (6.7) dieron relaciones entre el desplazamiento y las excentri- cidades planetarias en el caso de una soluci ´on ACR. Estas predicciones anal´ıticas se trazan como l´ıneas negras en los gr´aficos de la figura 6.11, mientras que las curvas verdes muestran los resultados de la simulaci ´on hidrodin´amica sim8 y

sim7(gr´aficos de arriba y de abajo respectivamente). En ambos casos el acuerdo es muy bueno, demostrando que estas caracter´ısticas de las soluciones ACR si- guen siendo v´alidas incluso para desplazamientos muy grandes, y donde incluso la idea de movimiento resonante parece dudosa.

Mientras que ∆_2/1 y ∆_3/2 para sim8 y sim7 sigue sobrepasando los valores observados, la ecuaci ´on (6.11) predice que ∆_p+1/p ∝ _{mi/m0, suponiendo valores} constantes para la raz ´on de masa m2/m1. Y por lo expuesto en p´arrafos anterio- res,sim5muestra claramente un desplazamiento mucho menor que el obtenido para masas mayores. Por lo que, indica que nuestro modelo anal´ıtico resumido (ecuaci ´on (6.18)) parece ser una muy buena representaci ´on de la din´amica de

6.4 Aplicaci ´on a sistemas individuales

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