Migraci ´on planetaria

Puesto que la migraci ´on planetaria es impulsada por la interacci ´on gravitato- ria entre un planeta y su disco protoplanetario primitivo, los fundamentos de la migraci ´on planetaria se pueden extraer a trav´es de la inspecci ´on de la perturba- ci ´on de la densidad de gas causado por un protoplaneta. La figura5.1muestra la perturbaci ´on relativa de la densidad superficial del gas de un disco protoplane- tario donde se forma un planeta de 5 masas terrestres. La figura se toma de una simulaci ´on hidrodin´amica 2D con interacci ´on planeta-disco. Como se puede ver en la figura, el planeta induce dos tipos de perturbaciones de la densidad en el disco: (i) ondas de densidad espiral, llamadasestelas del planeta, que se propagan a trav´es del disco, y (ii) perturbaci ´on de la densidad muy cercana a la ´orbita del planeta, llamada perturbaci´on de la densidad coorbital, que est´a confinada en la regi ´on de herradura relativa al planeta (ver panel derecho).

La idea b´asica fundamental de la interacci ´on planeta-disco es la ley de acci ´on y reacci ´on: el disco reacciona a la gravedad del planeta al ejercer una fuerza gra- vitatoria en el planeta que cambia el semieje mayor del planeta, su excentricidad y su inclinaci ´on. Considerando el caso m´as simple de un planeta en una ´orbita circular y coplanar (con excentricidad e inclinaci ´on nulas), el momento angular del planeta es Lp =mp

p

G_{m0rp, dondemp es la masa del planeta, m0 la masa de} la estrella,G _{es la constante gravitatoria yrp es la distancia entre la estrella y el} planeta. DenotandoΓ al torque ejercido por el disco en el planeta, y asumiendo adem´as que la masa planetaria es constante,

Γ= dLp dt → dr_p dt = Γ×_2rp |_Lp| . (5.1)

Esta relaci ´on significa simplemente que, para conocer la direcci ´on y la velocidad de la migraci ´on planetaria, es necesario determinar el signo y la magnitud del torque del disco. ´Esta es la raz ´on por la cual la mayor´ıa de los estudios num´ericos de la interacci ´on planeta-disco toman planetas sobre ´orbitas fijas y calculan el torque del disco en el planeta. Sin embargo, el torque del disco puede ser en

5. Migraci ´on planetaria a largo plazo y a gran escala

realidad una funci ´on de la tasa de migraci ´on y de la historia de la migraci ´on, con la consecuencia de que, en algunas circunstancias, la migraci ´on pueda invertirse o, incluso detenerse, por ejemplo a trav´es de trampas planetarias. Las trampas planetarias son regiones del espacio en donde la suma de los torques de ambas perturbaciones de la densidad del disco es nula, y por ende el planeta queda atrapado en esta regi ´on.

A partir de la ecuaci ´on anterior, se define la tasa de migraci ´on como:

τmig= rp drp/dt = Lp 2|_Γ| = mp p_G m0rp 2|_Γ| (5.2)

Si conocemosΓ, podemos determinar las escalas de tiempo t´ıpicas de migraci ´on. En este cap´ıtulo, suponemos que las perturbaciones debidas al planeta son pe- que ˜nas, de modo que la estructura del disco no cambia significativamente debido al planeta, y que la migraci ´on es lenta, de modo que cualquier efecto del movi- miento radial del planeta puede ser despreciado. Si estos supuestos son v´alidos, estamos en el r´egimen demigraci ´on de tipo I, y estamos tratando con planetas de baja masa (t´ıpicamente hasta la masa de Neptuno). En este r´egimen, por lo ge- neral, la suma de los torques de las dos perturbaciones de la densidad del disco es negativa y por lo tanto el planeta migra hacia la estrella central.

A continuaci ´on, describiremos brevemente las dos componentes del torque del disco producidas por las perturbaciones de la densidad del disco.

5.2.1.1. Torque de la estela

Primero, existe el torque debido a la estela interna, que es la estela que se pro- paga entre el planeta y la estrella. La mayor parte del torque de la estela interna proviene del exceso de gas justo enfrente del planeta en la direcci ´on azimutal. Este exceso de gas ejerce una fuerza gravitacional en el planeta cuya componente azimutalFφ es positiva, lo que corresponde a un torque ∼rpFφ sobre el planeta

que es por tanto positivo. Del mismo modo, el torque de la estela exterior se debe principalmente al exceso de gas inmediatamente detr´as del planeta en la direc- ci ´on azimutal. Este exceso de gas local tiene ahora Fφ <0, y por tanto ejerce un

torque negativo en el planeta. El torque total tiene entonces dos contribuciones: el torque (positivo) debido a la estela interna que tiende a mover al planeta ha- cia afuera, y el torque (negativo) debido a la estela externa que tiende a mover el planeta hacia adentro. El zoom realizado en el gr´afico de la izquierda de la fi- gura 5.1muestra que la perturbaci ´on de la densidad de gas en la estela exterior es ligeramente mayor y m´as cercana al planeta, lo que indica que el torque de la estela exterior es m´as fuerte. El torque de la estela total es por lo tanto negativo y en ese caso favorece la migraci ´on hacia el interior. Si bien esto es de hecho la expectativa general, somos conscientes de que este resultado depende de los gra- dientes radiales de la temperatura y de la densidad del gas cerca de la ubicaci ´on

5.2 Evoluci ´on orbital de planetas en su disco protoplanetario

Figura 5.1:Perturbaci ´on relativa de la densidad superficial del gas de un disco protoplanetario perturbado por un planeta de 5 masas terrestres. La ubicaci ´on del planeta est´a se ˜nalada con una flecha blanca en el gr´afico izquierdo. El planeta genera una onda de densidad espiral de un solo brazo que se propaga a trav´es del disco, as´ı como las perturbaciones de la densidad coorbital dentro de la regi ´on de herradura del planeta. Las trayectorias de gas con respecto al planeta se representan mediante curvas y flechas blancas en el gr´afico derecho. Figura extra´ıda deBaruteau

et al.(2016).

del planeta, ya que afectan la ubicaci ´on de las estelas en relaci ´on con el plane- ta, as´ı como tambi´en al comportamiento de su densidad. Estas dependencias se pueden encontrar resolviendo num´ericamente las ecuaciones lineales de la per- turbaci ´on, tanto en 2D (Ward, 1997; Paardekooper et al.,2010; Masset, 2011) o en 3D (Tanakaet al.,2002).

El torque de la estela tambi´en es conocido como Torque de Lindblad, ya que las estelas que se generan debido a la interacci ´on entre el planeta y el disco suelen estar en resonancias de Lindblad (Goldreich y Tremaine,1979). Estas resonancias son un caso particular de las resonancias de movimientos medios entre el poten- cial gravitatorio del planeta y el gas.

5.2.1.2. Torque de corrotaci ´on

El gas del disco en la regi ´on de herradura del planeta sigue trayectorias de herradura como se ve desde el planeta. En su acercamiento m´as pr ´oximo al pla- neta, el gas sufre un retroceso gravitatorio del planeta. El gas justo detr´as del planeta en la direcci ´on azimutal y dentro del radio orbital del planeta se mueve

5. Migraci ´on planetaria a largo plazo y a gran escala

radialmente hacia afuera tomando el momento angular del planeta. Este gas re- torna hacia el exterior en relaci ´on con el planeta y ejerce un torque negativo en el planeta. Mientras tanto, el gas justo enfrente sobre el planeta en la direcci ´on azimutal y fuera del radio orbital del planeta se mueve radialmente hacia adentro dando un momento angular al planeta. Ese gas se embarca en un retorno hacia adentro y ejerce un torque positivo sobre el planeta. Al igual que el torque de la estela, el torque ejercido por la regi ´on de herradura, que se llama torque de corrotaci ´on o de herradura, tiene dos contribuciones opuestas. El signo y la mag- nitud del torque de corrotaci ´on dependen entonces de la diferencia del momento angular entre el gas que realiza retornos hacia adentro y hacia afuera.

La complejidad surge cuando el momento angular del gas en la regi ´on de he- rradura del planeta evoluciona en el tiempo debido a la advecci ´on-difusi ´on de dos cantidades hidrodin´amicas: (i) la vortencidad espec´ıfica del gas que en 2D es la componente vertical de la onda de la velocidad dividida por la densidad superficial, y (ii) la entrop´ıa espec´ıfica del gas, que en 2D es b´asicamente la can- tidadPΣ−γ dondeP es la presi ´on t´ermica,Σ la densidad superficial yγel ´ındice adiab´atico. La advecci ´on de la vortencidad y de la entrop´ıa espec´ıfica a lo largo de las l´ıneas de corrientes de la herradura implica que el signo y la magnitud del torque de corrotaci ´on depende de los gradientes de densidad y temperatura a trav´es de la regi ´on de herradura. La difusi ´on de ambas cantidades implica que el torque de corrotaci ´on tambi´en depende de la naturaleza y eficiencia de los me- canismos de difusi ´on turbulenta que tiene lugar cerca o dentro de la regi ´on de herradura. El modelado de la turbulencia por una viscosidad y una difusividad t´ermica muestra que el torque de corrotaci ´on es muy sensible a ambos par´ame- tros de difusi ´on. De ah´ı la importancia de comprender mejor c ´omo el transporte turbulento del momento angular opera en regiones de formaci ´on planetaria (por ejemplo, Bai, 2015; Gressel et al., 2015). Los modelos 2D y 3D de discos visco- sos muestran que el torque de corrotaci ´on es usualmente positivo y por lo tanto favorece la migraci ´on hacia afuera (por ejemplo,Baruteau y Masset,2008a;Paar- dekooper y Papaloizou,2008).