3.2 C´ alculos del perfil L antivuelco
3.2.5 Dimensionamiento de los perfiles L
Seg´un el fabricante, para el modelo 9740 como UTB superiores, la bola se hunde hasta quedar al ras con la cara superior del cuerpo con una carga de 960 kg. Sabiendo que empieza a hundirse con cargas a partir de 450 kg, se puede calcular la constante del resorte.
k = 960 − 450
10 = 51
kg
mm (3.11)
Conociendo la constante k del resorte se puede calcular f´acilmente el desplazamiento h de la bola:
h = 220
51 = 4,3 mm (3.12)
Figura 3.15: Separaci´on del perfil L en dos perfiles de
secci´on rectangular.
Se toma este valor como el de hundimiento m´ıni- mo de la bola para el caso extremo en el que las superficies est´am m´as separadas. Por lo tan- to para la posici´on normal se le debe agre- gar 2 mm al desplazamiento de la bola, sien- do 1 mm de acercamiento por cada superfi- cie.
La situaci´on en la que se tendr´a el m´aximo acer- camiento de las superficies ser´a la que generar´a la mayor precarga. Eso se dar´a con h = 8,3 mm. Con este hundimiento la fuerza ejercida por cada bola so- bre la superficie interna de los perfiles L ser´a:
F = 8,3 · 51 + 450 = 873,3 kg = 8558 N (3.13) Esta fuerza es solamente la precarga de cada una de las dos UTBs superiores que act´uan a la vez. Una precarga tan elevada asegurar´a que inclusive la peor situaci´on desde el punto de vista de cargas no ser´a suficiente como para vencer dicha precarga y hacer que el carro se despegue de la superficie principal de apoyo.
Para calcular la altura total del perfil L simplemente se ha sumado las alturas y espesores de piezas intermedias. Esas piezas intermedias son:
altura de nivelaci´on al escal´on de la puerta del recinto seco (base de hormig´on m´as placa de acero) - 130 mm
altura de las UTB inferiores - 61, 5 mm espesor de la mesa - 25 mm
altura del cuerpo de las UTB superiores - 114, 3 mm
altura que sobresale la bola en las UTB superiores en condiciones normales no afectadas por la tolarencia de las superficies - 6, 3 mm
En total todas estas partes suman 337, 1 mm. La distancia entre la pared del tramo vertical del perfil y el punto de aplicaci´on de la fuerza est´a determinada por la mitad del di´ametro de las UTB superiores m´as 20 mm de luz entre el borde de la mesa y el tramo vertical. Mayores detalles acerca de las ´ultimas medidas se dar´an en el cap´ıtulo 4. En la figura 3.5 se aprecian claramente estas variables. Para mayor de- talle, referirse al plano D-1 en el ap´endice E.
Ahora, conociendo la precarga m´axima se debe calcular el espesor m´ınimo de los perfiles L de manera tal que no se supere el desv´ıo de 1, 8 mm del extremo del brazo. Tal desv´ıo permitir´a una deformaci´on de los perfiles de:
d = 2 · 542, 5
3088 − 542, 5· 1, 8 = 0,77 mm (3.14)
Figura 3.16: Gr´afica de la variaci´on del momento flector a lo largo de la
viga.
Antes de presentar el resultado de c´alcu- lo del espesor del perfil L, se hace una in- troducci´on te´orica que justifica dicho resul- tado. En este texto no se presentar´an los detalles de c´alculos. Para verlos, referirse a la memoria de c´alculo en el ap´endice A. El an´alisis se hace separando el perfil L en dos partes tal como se muestra en la figura 3.15. Con esto se consigue trabajar con per- files muy sencillos, simplificando los desarrol- los.
Una vez separado el perfil, se trata cada una de las partes como una viga empotrada. Como ahora hay dos partes de una pieza inicial ´unica, se debe tener un especial cuidado al momento de designar las deformaciones deseadas, ya que al ser de distinto largo no se deformar´an por
igual y tampoco tendr´an aplicadas las mismas
cargas. Para resolver eso, se ha armado una planilla de c´alculo en Mathcad 14 y se ha configurado manualmente la distribuci´on de las deformaciones entre las dos mitades con los dos siguientes criterios:
La suma de las deformaciones de ambas partes debe tener como efecto un desv´ıo de 1, 8 mm del punto de aplicaci´on de la fuerza.
Los c´alculos deben dar como resultado el mismo valor de espesor en cada una de las partes.
La clave para el c´alculo del espesor est´a en definir, a partir de la deflexi´on de la punta de la viga, el radio de curvatura de la misma. Conociendo el largo de la viga, la deflexi´on de la punta se relaciona con el radio de curvatura con una simples ecuaciones trigonom´etricas. La ecuaci´on utilizada para calcular dicho radio es la siguiente:
ρ = E · I
M (3.15)
donde ρ es el radio de curvatura, E es el m´odulo de Young del material, I es el momento de inercia de la secci´on de la viga con respecto al eje neutro y M es el momento flector. (Gere, 2008)[15]
Figura 3.17: Ilustraci´on exagerada de la forma de la deflexi´on real (azul) y simplificada
(rojo) de una viga.
En la figura 3.16 se observa que el momento flec- tor va creciendo a medida que uno se va ac- ercando a la base de la viga. Como el resto de las variables en la ecuaci´on 3.15 son con- stantes, es evidente que el radio de curvatu- ra variar´ıa seg´un la posici´on, empezando con uno grande y terminando con uno menor. El efecto descripto se muestra en la figura 3.17. Para simplificar un poco la parte matem´atica y ser conservativo se decide tomar el momen- to flector constante e igual a M0. La conser- vatividad se manifiesta con el hecho de que al tomar radio constante, se calcular´a el espe- sor para un desv´ıo que es mayor que el re- al.
Tal como se ha mencionado antes, se toma para el c´alculo como fuerza total aplica- da el doble la suma de la m´axima precarga posible por bola m´as la carga m´axima posible en la posici´on de trabajo. Se considera el doble porque son dos las bolas superiores que act´uan a la vez sobre el perfil antivuelco. Tambi´en se trabaja con el caso est´atico solamente.
Si bien una aceleraci´on brusca generar´ıa una carga mayor sobre el perfil, y por ende provocar´ıa una mayor deformaci´on, eso no afecta a la precisi´on del posicionamiento
del extremo del brazo, ya que las inspecciones se har´an con el brazo inm´ovil. Una vez aclarada la cuesti´on con el momento flector, se pasa a definir el valor de la deflexi´on del extremo de la misma en funci´on del radio de curvatura de la viga y el largo de la misma.
Figura 3.18: Variables involucradas en la deflexi´on de la
viga.
Observando la figura 3.18 se deduce f´acilmente que:
d = ρ − ρ cos(θ) (3.16) donde θ es el ´angulo del arco formado por la viga. Para encontrar el valor de θ se relaciona l con ρ:
l = ρ sen(θ) =⇒ θ = arc sen l ρ
(3.17)
Introduciendo el resultado de la ecuaci´on 3.17 en la 3.16 se elimina la variable desconocida θ y queda: d = ρ 1 − cos arc sen l ρ (3.18) Figura 3.19: Variables involucradas.
Sustituyendo finalmente ρ de la ecuaci´on 3.18 por lo que vale seg´un la 3.15, queda s´olamente una inc´ognita: el producto E · I conocido como rigidez a la flexi´on. La rigidez a la flexi´on s´olo es funci´on de las propiedades del material y de la secci´on transversal de la viga.
d = EI M 1 − cos arc sen lM EI (3.19)
Si bien la 3.19 es una ecuaci´on exacta, es trascendente y la variable de inter´es no puede ser despejada. Para solucionar este problema se ha intentado resolver la ecuaci´on iteran- do, dado que aparte de la rigidez a la flexi´on todas las dem´as variables son conoci- das. No hubo ´exito, ya que le ecuaci´on no con- verge.
Tras analizar distintas opciones, se ha optado por un par de aproximaciones. La primera aprox- imaci´on que se hace es, midiendo θ en radianes,
sustituir sen(θ) por θ. Esto se puede hacer sin problemas, ya que el ´angulo del arco de la viga es muy peque˜no porque el radio de curvatura de la viga es muy grande
comparado con la longitud de la misma. La segunda simplificaci´on consiste en aprox- imar el coseno por los dos primeros t´erminos de su desarrollo en serie de Taylor. Haciendo estas simplificaciones, la ecuaci´on original resulta:
d = l 2M
2 EI =⇒ EI = l2M
2d (3.20)
El siguiente paso es definir el material. Dado que la mayor parte de los mecanismos y partes dentro del recinto seco son de acero inoxidable, se ha optado tambi´en por utilizar un tipo de acero inoxidable para la fabricaci´on de los perfiles antivuelco. Espec´ıficamente se ha decidido por el AISI 431, dado que es un acero de alto con- tenido de n´ıquel. El AISI 431 es un acero de buena resistencia a la corrosi´on, con excelente resistencia a la tensi´on y buena tenacidad. Posee 657 M P a como l´ımite de fluencia y su m´odulo de Young es de 200 GP a.[6]
Finalmente, el valor del espesor se saca de la ecuaci´on del momento de inercia de la secci´on de la viga. Dado que el perfil ser´a fabricado plegando una chapa, la secci´on de la hipot´etica viga es rectangular y el eje neutro pasa por la mitad de la altura de la misma.
Para esta situaci´on el momento de inercia vale:
I = bh 3
12 (3.21)
donde b es la profundidad del perfil en direcci´on perpendicular a la hoja (figura 3.18) y h es la altura del perfil.
Resumiendo, se calcula el momento de inercia I dividiendo por E el resultado de la ecuaci´on 3.20 y teniendo eso, se calcula b despej´andolo de la ecuaci´on 3.21.
El c´alculo del espesor para el tramo vertical es similar en el sentido de que se hacen las mismas simplificaciones. Sin embargo el planteo es un poco distinto. Eso se debe a que en este caso d no es el desv´ıo del extremo de la viga sino que es el desv´ıo del extremo de una hipot´etica viga indeformable de 77, 5 mm de longitud fijada al extremo libre de la viga en estudio. Lo descripto se muestra en la figura 3.19, junto con las nomenclaturas de las variables involucradas.
En este caso la deflexi´on d se puede expresar como:
d =√n2− m2 (3.22)
l = ρ sen(θ) ≈ ρθ ⇒ θ = l ρ (3.23a) m= ρ − ρ cos(θ) ≈ ρ 1 − cos l ρ (3.23b)
Introduciendo la ecuaci´on 3.23b en la 3.22 y reemplazando ρ por lo que vale seg´un la 3.15, queda: d = s n2− E 2I2 M2 1 − cos lM EI 2 (3.24) Finalmente se toman los dos primeros t´erminos del desarrollo en Taylor del coseno y se obtiene: d = r n2− l 4M2 4E2I2 (3.25)
de donde se despeja la rigidez a la flexi´on:
EI = l
2M
2√n2− d2 (3.26)
Con las expresiones desarrolladas y las dos consideraciones acerca del c´alculo del espesor hechas m´as arriba, se ha obtenido como resultado un espesor de 12 mm para la chapa a utilizar. Para evitar concentraciones de tensiones en el pliegue del perfil, se ha decidido realizar el plegado con un radio de curvatura de 10 mm. Cabe aclarar que la forma y dimensiones del perfil se mantienen a lo largo de todo el recorrido.
Para verificar la correctitud de los c´alculos de los perfiles antivuelco, se han he- cho simulaciones con el m´etodo de elementos finitos. Para tal fin se ha utilizado el m´odulo de an´alisis de Catia. Se ha utilizado mallado tetragonal y se ha refinado el tama˜no de los elementos hasta obtener una soluci´on que variaba menos del 10 % respecto a la soluci´on con el tama˜no de elementos anterior. Con esta soluci´on se ha verificado que la deflexi´on de la pieza justo encima de los puntos de apoyo de las UTB superiores no superaba los 0, 6 mm en direcci´on vertical. Este resultado es m´as que satisfactorio, ya que inicialmente se ha calculado el espesor de la chapa para una deflexi´on de 0, 8 mm.
Tambi´en se ha verificado que no haya concentraciones de tensiones en el pliegue. Seg´un el resultado de la simulaci´on, la tensi´on m´axima a la que se llega en la chapa es de 3, 37 × 107 P a. Esto corresponde a menos del 0,05 % de la tensi´on de fluencia del acero seleccionado para la confecci´on de los perfiles, por lo tanto no hay peligro de deformaciones permanentes.