Diseño y simulación de un controlador por observadores de estado basa-

invertido

A continuación se detallan los pasos necesarios para el diseño y aplicación de esta técnica de control, utilizando el modelo del péndulo invertido obtenido en los capítulos anteriores y en los valores medidos de la plataforma física.

M = 0;11kg m= 0;05 kg g = 9;8ms 2

l= 0;249 m

Así mismo se debe tomar en cuenta que la posición angular del péndulo es completamente medible de forma satisfactoria, mientras la posición lineal del carro guía presenta cierto margen de error debido a las características del sensor utilizado.

Se procede a realizar el diseño por medio de MatlabTM _{creando un archivo .m con el}

modelo matemático del péndulo invertido en variables de estado, tomando en cuenta los

valores antes mencionados medidos de la plataforma, se de…nen las matrices A, B, C y D

del sistema, para emplear esta técnica de control se debe conocer si el sistema es controlable y observable para lo cual se hace:

M =ctrb(A; B); m =rank(M) N =obsv(A; C); n =rank(N) Obteniéndose: m = 4 n = 4

Resultando que el sistema es totalmente observable y controlable, por lo que se prosigue con el diseño del controlador.

Se de…ne el vector H, el cual contiene los auto valores deseados para el sistema en lazo cerrado

H =h 0;5 + 0;5i 0;5 0;5i 50 55

i

Mediante el comando place de MatLabTM _{se obtiene la matriz K de realimentación de}

los estados:

K =place(A; B; H);

El sistema es sometido a las perturbacionesw y v que son señales de ruido en el proceso y en las mediciones de los sensores respectivamente, para minimizar los efectos de estas perturbaciones sobre el sistema, se diseña un observador de estados basado en …ltros de Kalman para que así los estados realimentados sean los estimados por el …ltro y evitar su contaminación excesiva con el ruido, además la realimentación de estados se lleva a cabo con un regulador óptimo cuadrático teniendo así el siguiente diagrama a bloques que describe el sistema.

Imagen 5.3.1 Realimentación de estados estimados por el …ltro de Kalman a través

Se modi…ca el código utilizado en MatlabTM _{para obtener los valores de la ganancia Kk}

del …ltro de Kalman y la ganancia Kr del regulador óptimo resultando:

Matriz del estimador de Kalman

Kk = 2 6 6 6 4 0;1371 0;0029 0;0029 1;8051 0;0094 0;0107 0;0051 1;1291 3 7 7 7 5

Matriz del regulador óptimo

Kr =h 1;0000 1;2025 7;4749 1;9953 i

Por último se realimenta el sistema y se obtiene su respuesta, a condiciones iniciales diferentes de cero para la posición angular del péndulo (línea punteada), la cual se muestra en la siguiente …gura observando que la condición inicial para la posición angular es igual a

0;5 por lo que el carro guía tiene que desplazarse en dirección positiva y negativa tomando en cuenta que el cero es el centro de la carrera y una vez que lleva al péndulo a la posición angular deseada el carrito sigue manteniendo ciertas oscilaciones ya que gracias a esto es como se logra contrarrestar las consecuencias generadas por el ruido observándose así como la posición del péndulo no se ve afectada de gran forma por estas, esto gracias al …ltrado realizado.

Imagen 5.3.1.1 Respuesta del sistema realimentado por el …ltro de Kalman a través de un regulador óptimo cuadrático

En la siguiente …gura se muestra con más énfasis los resultados anteriores ya que se observa la respuesta del sistema para condiciones iníciales nulas de la posición angular (línea punteada), donde se puede ver como el sobre impulso del desplazamiento del carro guía es mayor ya que se tiene que generar un mayor par para poder elevar el péndulo a la posición deseada y después de esto cuando el péndulo llega a esta posición angular el carro guía presenta las mismas oscilaciones para evitar los efectos del ruido.

Imagen 5.3.1.2 Respuesta del sistema realimentado por el …ltro de Kalman a través de un regulador óptimo cuadrático

para condiciones iníciales nulas

Resultando así que esta estrategia de control es mejor sobre las estrategias analizadas anteriormente ya que disminuye los efectos de las perturbaciones de forma muy e…ciente.

Capítulo 6

Conclusiones y trabajos futuros

Los principales resultados derivados de ésta tesis se enuncian a continuación:

Primeramente, se realizó la construcción de un sistema físico de péndulo invertido simple. Con el objeto de controlar el Pendulo Invertido se ah desarrollado un controlador por …ltros de Kalman con el uso de observadores de estado, ya que el …ltro tiene la habilidad de determinar el estado de un sistema en el pasado, presente y futuro, aún cuando la naturaleza precisa del sistema sea desconocida en ciertos puntos.

Cabe mencionar que para realizar las acciones de control fue necesario crear una interfaz para la adquisición de los datos así como de las señales de retroalimentación en el controlador y como la aplicación de señales de manipulación al sistema físico.

Se cumplieron los objetivos ya que se mostraron grandes mejoras con la implementación del método de control propuesto por esta tesis "Filtro de Kalman"sobre otros métodos de control como el PID y los observadores de estado los cuales también se desarrollaron en el presente trabajo con el …n de demostrar y comprobar nuestra hipótesis, sin embargo en la parte de la plataforma física experimental la cual cabe mencionar que se utilizo como una herramienta extra para comprobar los resultados no se obtuvieron resultados óptimos ya que había un problema de comunicación el cual atrasaba la respuesta del sistema.

Los trabajos futuros contemplados es mejorar la etapa de adquisición de datos, debido a que no se cuenta con la tarjeta idónea. Así como de implementar el …ltro de Kalman Bucy, con el objeto de mejorar los resultados obtenidos.

Bibliografía

[1] Améstegui, M. Apuntes de control PID, Universidad Mayor De San Andrés La Paz,

Bolivia, 2001.

[2] Chen, T. C. Linear System. Theory and Design, 3ra Edición, 1998.

[3] Choung, C. y Houser, J. Nonlinear control of swingin pendulum, Automatica, 31:851-

862,1995.

[4] Michael O Flynn, Linear Systems. Time Domain and Transform Analysis, 1987.

[5] Nonlinera systems. Prentice Hall, 3ra. ed., 2002.

[6] Ogata, K. Ingeniería de Control Moderna, 3er Edición, 1998.

[7] Mori, S; Nishihara H. y Furuta, K. Control of unestable mechanical system. Control of

pendulum.International Journal of Control, 23:673-692, 1976.

[8] Pardo, Rego V.La elegancia matemática primera edición, 2003.

[9] El problema del péndulo invertido, Ignacio Alfonso Quijano, 1995.

[10] Wiberg, M. Espacio de Estado y Sistemas Lineales. Mc.Graw-Hill. México. 1971.

[11] MathWorks Inc,MatlabTM _{User´s Guide, Toolbox de control, Versión 5.3. USA. 1998.}

[12] Solera, A. El …ltro de Kalman. Departamento de investigaciones económicas, 2003. [13] Kalman R. E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems,Research

Institute for Advanced Study,Baltimore, Md.Transactions of the ASME–Journal of Basic Engineering, 1960.

[14] Kalman, R.E. and Bucy, R, S, New results in linear …ltering and prediction theory, ASME – J. Basic Eng. Ser. D, 83, 95-108, 1961.

[15] Grewal, M. S.and Andrews, Angus P., Kalman Filtering: Theory and Practice – 1993 -Prentice Hall.

[16] Hanselman, D. y Little…elld, B. MatlabTM_{, Edición de Estudiante, Versión 4. Editorial} Prentice-Hall International, 1996.

[17] Grover B. R. y Hwang, P.Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filter- ing. Editorial John Wiley & Sons. Tercera edición, 1997.

[18] Kawaji, S. and T. Maeda. Fuzzy servo control system for an inverted pendulum. Proc. Internet Fuzzy Engineering Symp., 2: 812–823., 1991.

[19] Xi, Y. New desing method for discrete time multi-variable preditive controllers. Inter- national Journal of Control,49(1):45-56; 1987.

[20] Karl Johan Åström and Richard M. Murray, Feedback systems : an introduction for scientists and engineers, 2008 by Princeton University Press.