INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA
UNIDAD PROFE“IONAL ADOLFO LÓPEZ MATEO“
“CONTROL DE UN PÉNDULO INVERTIDO MEDIANTE
OBSERVADORES EMPLEANDO FILTRO DE KALMAN”
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
INGENIERO EN CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN
PRESENTAN:
ARTURO AGUILAR FAUSTINO JOSÉ ALBERTO CALDERÓN GUTIÉRREZ
ALFONSO SÁNCHEZ REYES
ASESORES:
DR. JUAN EDUARDO VELÁZQUEZ VELÁZQUEZ DRA. BLANCA MARGARITA OCHOA GALVÁN
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA
UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LÓPEZ MATEOS"
TEMA DE TESIS
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE INGENIERO EN CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN POR LA OPCIÓN DE TITU LACIÓN PROYECTO DE INVESTIGACIÓN SIP20101173 DEBERA(N) DESARROLLAR
C. ARTURO AGUILAR FAUSTINO
C. JOSÉ ALBERTO CALDERÓN GUTIÉRREZ C. ALFONSO SÁNCHEZ REYES
"CONTROL DE UN PÉNDULO INVERTIDO MEDIANTE OBSERVADORES EMPLEANDO FILTRO D'E KALMAN"
CONTROL DE UN PÉNDULO INVERTIDO CON VALORES DE ESTADO NO MENSURABLES EN INTERVALOS DE TIEMPO POR MEDIO DE OBSERVADORES DE ESTADO IMPLEMENTANDO ALGORITMOS DE FILTRO DE KALMAN.
MÉXICO D. F., A 19 DE MAYO DE 2011. •:. INTRODUCCIÓN.
•:. ANTECEDENTES•
•:. CONSTRUCCIÓN DEL PÉNDULO INVERTIDO. •:. FILTRO DE KALMAN.
•:. DISEÑO DE CONTROLADORES Y SIMULACIÓN .:. CONCLUSIONEES y TRABAJOS FUTUROS
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DR. JUAN EDUARDO VELÁZQUEZ VELÁZQUE DRA. BLANCA MARGARITA OCHOA GALVAN
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Índice general
1. Introducción 1
1.1. Introducción . . . 1
1.2. Problemática . . . 2
1.3. Justi…cación . . . 2
1.4. Objetivo general . . . 3
1.5. Organización del trabajo . . . 4
2. Antecedentes 5 2.1. Obtención del modelo del péndulo invertido . . . 5
2.2. Modelo dinámico del péndulo invertido . . . 9
2.3. Observadores de estado . . . 14
2.3.1. Observador de orden completo . . . 15
2.3.2. Diseño de observadores de orden completo . . . 17
2.3.3. Observador de orden reducido . . . 19
2.3.4. Diseño de observadores de orden reducido . . . 21
2.3.5. Observador para sistemas MIMO . . . 23
3. Construcción del péndulo invertido 24 3.1. Construcción mecánica . . . 24
3.1.1. Base de mecanismo . . . 25
3.1.2. Plataforma de carro guía . . . 26
3.1.3. Carro guía y péndulo . . . 27
3.2. Construcción electrónica . . . 28
3.2.1. Adquisición de la posición del péndulo . . . 29
3.2.2. Adquisición y posicionamiento del carro guía . . . 30
3.2.4. Logica de funcionamiento de la plataforma experimental . . . 34
3.2.5. Alimentación eléctrica del dispositivo . . . 37
4. Filtro de Kalman 39 4.1. Filtro de Kalman . . . 39
4.2. Algoritmo general del …ltro de Kalman . . . 41
4.3. Filtro de Kalman Bucy . . . 45
5. Diseño de controladores y simulación 49 5.1. Control PID . . . 49
5.1.1. Control proporcional . . . 50
5.1.2. Control integral . . . 51
5.1.3. Control derivativo . . . 52
5.1.4. Sintonización de un controlador PID por el método de Ziegler y Nichols 54 5.1.5. Diseño y simulación de un controlador PID para el péndulo invertido 55 5.2. Observadores . . . 60
5.2.1. Estructura general de control con retroalimentación de estados . . . 60
5.2.2. Diseño y simulación de un controlador basado en observadores de es-tado para el péndulo invertido . . . 62
5.2.3. Análisis de estabilidad por plano de fase . . . 66
5.3. Filtro de Kalman . . . 69
5.3.1. Diseño y simulación de un controlador por observadores de estado basa-do en el …ltro de Kalman para el péndulo invertibasa-do . . . 69
Dedicatoria
A nuestros padres
A quienes debemos todo porque siempre han estado con nosotros apoyándonos en todo momento sin importar las circunstancias.
Así mismo la dedicamos a nuestros hermanos
Ya que los mayores han sido un gran ejemplo a seguir e invitamos a nuestros hermanos menores que tomen esto como ejemplo de superación y de que si se pueden lograr las cosas
sólo basta que quieras hacerlo.
No menos importante dedicamos esta tesis a nuestras personas
Ya que esta es fruto de nuestro esfuerzo y dedicación la cual hemos mostrado durante todos estos años de estudio y ahora se ve recompensada con esto.
Agradecimientos
En primera instancia queremos agradecer a esta gran institución educativa que es el Instituto Politécnico Nacional, en especial a la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Unidad Zacatenco, por permitirnos formarnos como profesionistas en sus aulas y permitirnos realizar este sueño, así mismo gracias por proporcionarnos la preparación adecuada para desarrollarnos como ingenieros y así poder ayudar al crecimiento de nuestro amado país.
A nuestros profesores, ya que día a día tiene como misión transmitirnos sus conocimientos y experiencias con el …n de que nosotros aprendamos de ellos y los aprovechemos al máximo para llegar a ser excelentes profesionistas y seres humanos.
A nuestros padres, una vez más porque es gracias a ellos y a nuestro esfuerzo es que-podemos estar en esta instancia de nuestra vida, gracias por su apoyo, por su cariño y por todo lo que nos han dado a lo largo de nuestra vida.
Al programa de investigaciones PIFI por ser de gran ayuda y apoyo para poder llevar a cabo el proyecto de investigación SIP 20101173 que desembocó en esta tesis.
Al Dr. Juan Eduardo Velázquez Velázquez, por permitirnos formar parte de su proyecto de investigación y aceptar ser nuestro asesor en esta tesis, poniendo siempre todo de su parte para proporcionarnos conocimientos y experiencias por medio de observaciones para mejorar nuestro trabajo, gracias a su esfuerzo, dedicación y profesionalismo.
A la Dra. Blanca Margarita Ochoa Galván, por aceptar asesorarnos en la realización de esta tesis y proporcionarnos sus observaciones precisas acerca de nuestro trabajo para así poder mejorarlo y llevarlo a cabo de la mejor forma posible.
A Dios y a la vida, por permitirnos llegar hasta aquí.
Capítulo 1
Introducción
1.1. Introducción
en el espacio, haciendo así la función del péndulo invertido.
1.2. Problemática
Existen diversas técnicas de control para el péndulo invertido, sin embargo en algunas circunstancias no es posible medir directamente todos los elementos debido a la construcción del propio sistema o la complejidad de éste para la implantación del más adecuado método de control siendo el que mejor se adapte a las necesidades de proceso reduciendo costos de operación, diseño y construcción que es uno de los aspectos más importantes que busca la ingeniería. El análisis y observación de partes de dichos sistemas es realizado empleando herramientas matemáticas y tecnológicas de las cuales necesitamos conocer su estado, pero por alguna circunstancia nos es difícil o imposible medir el valor de la variable que deseamos conocer en cierto intervalo del proceso, por ello existen los observadores de estado con los cuales es posible estimar los valores, siendo de gran ayuda para el análisis del proceso para su mejor control.
En concreto la problemática presentada en el trabajo es el control de un péndulo invertido con valores de estado no mensurables en intervalos de tiempo.
La propuesta que aquí se pretende es utilizar un algoritmo de …ltro de Kalman conjun-tamente con los observadores de estado que al tratarse de un método recursivo, permite obtener una estimación de mínima varianza del estado partiendo de observadores utilizando para integrar las medidas del sistema.
1.3. Justi…cación
Esta medición se lleva a cabo de forma indirecta utilizando la medición de algunas vari-ables del proceso y el modelo del mismo para estimar las varivari-ables complicadas de medir o el estado completo de ellas. El …ltro de Kalman se utiliza generalmente para sistemas estocás-ticos y que utiliza observaciones hasta el tiempo en que el estado del sistema dinámico es estimado este método permite calcular el estado de un sistema dinámico lineal, perturbado por señales ruidosas, utilizando mediciones que se relacionan linealmente con el estado, pero que están contaminadas con este tipo de señales. Este estimador es óptimo desde el punto de vista estadístico ya que se obtiene de la solución de un problema cuadrático lineal.
El …ltro de Kalman linealizado, tiene problemas porque a medida que el tiempo transcurre se produce una desviación entre la trayectoria real y la trayectoria nominal. Esta desviación hace que la aproximación lineal, despreciando los términos de alto orden, ya no sea válida y se produzcan errores en el cálculo.
Por tal razón la propuesta del presente trabajo es emplear el …ltro de Kalman, el cual para mejorar la estimación que se realiza sobre la linealización alrededor de la trayectoria, empleando el uso de observadores de estado.
El modelo del péndulo invertido tiene distintas aplicaciones con nuestro entorno, siendo de vital importancia para la comunidad relacionada con el control y anexos para que cuenten con una herramienta para visualizar con un mejor enfoque los aspectos referentes a un péndulo invertido y así realizar pruebas físicas con esta plataforma para de esta manera realizar el análisis de ciertos temas de control ya que muchos se pueden integrar con este sistema para el desarrollo e implantación de diversas técnicas de control.
1.4. Objetivo general
Se desea el desarrollo de control de un péndulo invertido con valores de estado no men-surables en intervalos de tiempo por medio de observadores de estado implementando algo-ritmos de …ltro de Kalman.
Las metas particulares son:
Construcción de un sistema físico de péndulo invertido simple
Crear una interfaz para la adquisición de señales de retroalimentación en el controlador así como la aplicación de señales de manipulación al sistema físico.
Realizar el circuito electrónico para la obtención de señales de retroalimentación del sistema.
1.5. Organización del trabajo
El presente trabajo está conformado de la siguiente manera:
Primeramente en el capítulo uno es presentado el desarrollo matemático del modelo del péndulo invertido, también se brindan las de…niciones, conceptos básicos y diseño de observadores de estado.
En el capítulo dos, se detalla la construcción del dispositivo físico del péndulo invertido, así como de la plataforma que simula el comportamiento del sistema.
Posteriormente en el capítulo tres se presentan los conceptos básicos concernientes al …ltro de Kalman y el …ltro de Kalman Bucy, las ventajas de uno con respecto a otro son mencionadas en el mismo.
Diversos tipos de estrategias de control son presentadas en el capítulo cuatro, con la …nalidad de comparar y validar los resultados obtenidos mediante el control de Filtro de Kalman, así mismo se mencionan los resultados del análisis de estabilidad por el método de plano de fase
Capítulo 2
Antecedentes
En éste capítulo se desarrolla el modelo matemático del péndulo invertido, así como se brindan de…niciones y conceptos básicos para el entendimiento del mismo. Primeramente em-pleando el método de Euler Lagrange, se obtiene un modelo, el cual es linealizado. Posterior-mente se analiza la estabilidad del sistema y …nalPosterior-mente se de…nen conceptos de observadores de estado, así como diseño de los mismos.
2.1. Obtención del modelo del péndulo invertido
Considere el sistema mostrado en la siguiente imagen:
Imagen 2.1. Diagrama de un péndulo invertido
En el sistema mostrado por la imagen 2.1 la energía potencial de cada articulación, está dada por
ui =mig i+uref (2.1)
donde:
mi es la masa del eslabóni-ésimo,
g es la fuerza de gravedad,
i es donde se localiza la posición del centro de masa de la articulación i-ésima, con
respecto al nivel de referencia de energía potencial cero
uref es una referencia de energía potencial cero.
Seleccionando la constante de referencia de manera que la energía potencial siempre sea positiva, la expresión (2.1) se puede rescribir como
la energía potencial total del sistema es la suma de la energía de cada articulación, es decir
U =
n
X
i=1
mig i: (2.2)
En el caso del péndulo presenta dos articulaciones 1 y d2, y la referencia en la cual la energía potencial es cero, por lo tanto las ecuaciones que representan la energía potencial están dadas por:
u1 = m1gl1sin( 1) +m1l1g;
u2 = m2gd2sin( 1) +m2gd2 max; la energía potencial U total está dada por:
U = u1+u2;
= gsin( 1)(m1l1+m2d2) +g(m1l1+m2d2 max):
A continuación se muestran las ecuaciones para la energía cinética, la cual está dada por:
ki =
1 2miv
2
i; (2.3)
donde:
vi representa la velocidad del movimiento del eslabón i-ésimo
ki indica la energía cinética debido a la velocidad lineal de la masa de la articulación
i-ésima
la energia cinética total del sistema es la suma de la energía individual de cada articu-lación, es decir:
K =
n
X
i=1
ki (2.4)
Considerando que la energía cinética de la ecuación (2.3) está de…nida por la velocidad del movimiento del eslabón i-ésimo se rescribe como
K( ;_ ) = 1
2_
T
M( ) _;
con:
M( ) es la matriz de la masa del sistema, tal que M( ) =M( )T >0, 2Rn
La expresión (2.3) de la energía cinética de cada eslabón está dada por:
k1 =
1 2m1l
2 1_
2
i;
k2 =
1 2m2(d
2 2_
2
1+ _d22); la energía cinética total es:
K = k1+k2
= 1
2_
2
1(m1l12+m2d22) +
1 2m2d_
2 2:
Vale la pena resaltar que los términos de inercia que afecten al sistema fueron omitidos, ya que el péndulo invertido se trata de un sistema subactuado.
Las ecuaciones (2.2) y (2.4) se usan para calcular el Lagrangiano ver más [8], el cual se de…ne como la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial del sistema, es decir
L( ;_ ) =k( ;_ ) u( );
con
_ = d
dt ;
de esta manera nos proporciona un medio para obtener las derivadas de las ecuaciones del sistema, con respecto a las variables del mismo obteniendo las ecuaciones en función de su posición velocidad y aceleración, dada por
d dt
@L @_
@L
@ = ; (2.5)
esta expresión representa las ecuaciones diferenciales de movimiento del sistema, con lo que es posible expresar las ecuaciones diferenciales en arreglos vectoriales como
M( )• +C( ;_ )_ +G( ) =
con:
es el vector de torque aplicado al sistema, de esta manera al tomar la ecuación
n-articulaciones o grados de libertad
C( ;_ )2Rnxn es la matriz de fuerzas centrifugas y de coriolis del sistema.
2.2. Modelo dinámico del péndulo invertido
En el siguiente sección se realiza la obtención del modelo no dinámico del péndulo inver-tido, usando el procedimiento de Euler Lagrange. En la imagen 2.2 se muestra el diagrama esquemático del sistema.
Imagen 2.2.Diagrama esquematico del péndulo invertido
donde:
M es la masa del carrito en kilogramos (kg),
m representa la masa del péndulo en kilogramos (kg),
l es el longitud del péndulo en metros (m),
g nos indica la aceleración gravitacional en metros por segundo2 (m=s2),
q1 es la medición de la posición del carro en metros (posición articular 1),
q2 es la medición de la posición angular del péndulo en radianes (posición articular 2) y
Para el análisis de las energías se considera un modelado de masa puntual como se ve en la imagen 2.3.
Imagen 2.3 Modelo de masa puntual del péndulo invertido
En la imagen anterior se muestra la propuesta para el modelo de masa puntual, donde x
es la referencia de energía potencial cero.
Con la referencia de energía potencial en cero que se marca en la imagen 2.3 la energía potencial del carro es UM = 0; y la energía potencial del péndulo se representa por Um =
mglcosq2; por lo que la energía potencial del sistema es
U = UM +Um
= mglcosq2:
La energía cinética del carro se calcula como:
KM =
1 2Mq_
2
1; (2.6)
donde:
_
de la siguiente ecuación:
Km =
1 2m[V
2
x +Vy2]
= 1
2m[ _C
2
x + _Cy2];
con:
Cx =q1+ _q2lcosq2 (2.7)
y
Cy =lcosq2: (2.8)
Los términos de las ecuaciones (2.7) y (2.8) se obtienen directamente de la …gura 1.3, sustituyendo (2.7) y (2.8) en (2.6) se obtiene la energía cinética del péndulo
Km =
1 2m ( _q
2
1+ _q2lcosq2)2+ ( _q2lsinq2)2 ;
= 1
2m[ _q
2
1 + 2 _q1q_2lcosq2+l2q_22];
la energía cinética total del sistema es la suma de las energías individuales del carro y el péndulo, es decir:
K = KM +Km
= 1
2Mq_
2 1+
1 2m[l
2q_2
2 + 2 _q1q_2lcosq2+ _q21]:
Con la energía cinética y potencial del sistema se obtiene el Lagrangiano por medio de la siguiente ecuación
L=K U;
de esta manera se tiene que el Lagrangiano es:
L= 1 2Mq_
2 1 +
1 2m[l
2q_2
2 + 2 _q1q_2lcosq2+ _q12] mglcosq2;
contemplando esto obtenemos la ecuación del movimiento al realizar la derivada del la-grangiano:
d dt
@L @q_
@L
@q = (2.9)
La ecuación del movimiento se obtiene al realizar la derivada del langrangiano donde:
@L @q_ =
" @L
@q_1
@L @q_2
#
=
"
Mq_1+mlq_2cosq2+mq_1
ml2q_
2+mlq_1cosq2
#
d dt
@L @q_ =
"
Mq•1 mlq_22sinq2+mlq•2cosq2+mq•1
ml2q•
2+mlq_1q_2sinq2+mlq•1cosq2
# , (2.11) @L @q = " @L @q1 @L @q2 # = " 0
mlq_1q_2sinq2+mqlsinq2
#
: (2.12)
Finalmente sustituyendo (2.11) y (2.12) en (2.9), se obtienen las ecuaciones que describen la dinámica del sistema:
"
Mq_1 mlq_22sinq2+mlq•2cosq2 +mq•1
ml2q•
2 mlq_1q_2sinq2+mlq•1cosq2+mlq_1q_2sinq2 mglsinq2
# = " u 0 #
agrupando, se tiene
M(q)•q+C(q;q_) _q+G(q) = ; (2.13)
reescribiendo la ecuación anterior como
"
M +m mlcosq2
mlcosq2 ml2
# " • q1 • q2 # + "
0 mlq_2sinq2
0 0 # " _ q1 _ q2 # + " 0
mglsinq2
# = " u 0 # ; (2.14) la ecuación (2.14) representa el modelo del péndulo invertido no linealizado descrita por la ecuación (2.13).
A continuación se linealiza el sistema del péndulo invertido mediante series de Taylor. Las ecuaciones no lineales del péndulo invertido son las siguientes:
(M+m) •q1+ml q•2cosq2 q_22sinq2 = u (2.15)
lq•2+ •q1cosq2 = gsinq2: (2.16) Obteniendo de la ecuación (2.16) una expresión paraq•2; se tiene
•
q2 =
gsinq2 q•1cosq2
l ; (2.17)
sustituyendo (2.17) en la ecuación (2.15), obteniendo
(M +m) •q1+mgsinq2cosq2 mq•1cos2q2 mlq_22sinq2 =u con lo queq•1, está dada por
•
q1 =
u mgsinq2cosq2 +mlq_22sinq2
(M +m) mcos2q
2
sustituyendo (2.18) en (2.16), se tiene
lq•2+
ucosq2 mgsinq2cos2q2+mlq_22sinq2cosq2
(M +m) mcos2q
2
=gsinq2 obteniendo una nueva expresión paraq•2
•
q2 =
(M +m)gsinq2 ucosq2 mlq_22sinq2cosq2
l[(M +m) mcos2q 2]
; (2.19)
igualando las expresiones (2.18) y (2.19),
•
q1 mcos2q2 (M+m) =mgsinq2cosq2 u mlq_22sinq2 se obtiene una expresión para q•1
•
q1 =
mgsinq2cosq2 u mlq_22sinq2
mcos2q
2 (M +m)
: (2.20)
La linealización del modelo del péndulo invertido de las ecuaciones (2.15) y (2.16) son obtenidas mediante linealización por series de Taylor, considerando variaciones pequeñas de
q2 alrededor del punto de equilibrio, cuando el péndulo está en la posición superior, así como los términos de orden superior son despreciados.
La linealización del modelo puede ser expresada en su correspondiente representación de espacio de estados como sigue, para conocer más ver [10] y [4].
x = Ax+Bu y = Cx;
donde:
x = h q1 q2 q1 q2
iT
y = h q1 q2
i
y las matrices A; B y C están dadas por:
A = 2 6 6 6 6 4
0 0 1 0
0 0 0 1
0 (M+(mml)+)2mM lg 2 0 0
0 (M(M+m+m)+)mM lmgl 2 0 0
3 7 7 7 7 5
; B =
2 6 6 6 6 4 0 0
(ml)2 (M+m)+mM l2
ml
(M+m)+mM l2
3 7 7 7 7 5
y C =
"
1 0 0 0 0 1 0 0
#
Observe que el polinomio característico del sistema linealizado está dado por
1
M+m+M l2m M s
4+ms4 M glms2+M l2ms4 glm2s2 ;
dado que las masas, la longitud y la gravedad no pueden ser negativas y aplicando el Criterio de Routh Hurwitz, es evidente que el sistema es inestable.
El sistema no puede ser compensado por técnicas de control clásico puro cabe mencionar que existen otras técnicas para compensar el sistema tal es el caso de hacer uso de retroali-mentación de estados para estabilizar el sistema y posteriormente realizar acciones de control tales como la proporcional, la integral o la derivativa, según sea el caso.
2.3. Observadores de estado
Los observadores de estado, son herramientas virtuales, que permiten estimar las variables o estados de un sistema con base en mediciones de las señales de salida y señales de control. Estos observadores permiten enviar información estimada acerca del valor que toman dichos estados, permitiendo conocer un aproximado del valor real, además cuentan con muy poco margen de diferencia o error.
Se le considera una herramienta virtual, puesto que se desarrolla como software o pro-grama dentro de una computadora.
Existen dos tipos de observadores de estado, si el observador de estado estima todas las variables de estado del sistema, independientemente de si algunas variables de estado se encuentran disponibles para medición directa, se denomina observador de estado de orden completo. Hay ocasiones en que esto no es necesario ya que sólo se requiere observar las variables de estado no medibles. Por ejemplo, como las variables de salida son observables y están relacionadas con las variables de estado, no se necesitan observar todas las variables de estado, sino sólo observarn m variables de estado, donde n es la dimensión del vector de estado ym es la dimensión del vector de salida. El observador, que sólo estima las variables de estado de orden mínimo se denomina observador de estado de orden reducido.
2.3.1. Observador de orden completo
Dado el sistema:
_
x = Ax+Bu y = Cx+Dx
donde:
x Vector de estado (n 1)
u Señal de control (escalar)
y Señal de salida (escalar)
A Matriz (n n)
B Matriz (n 1)
C Matriz (1 n)
D Matriz (escalar)
De los cuales se puede estimar sus estados mediante la siguiente expresión:
x=Ax+BuL(y y)
donde:
L Vector de ganancias que permiten la observación de estados (1 n)
x Vector de estados estimados
y Salida estimada
las variables y su con…guración.
Imagen 2.3.1. Diagrama a bloques de un sistema retroalimentado por un observador de estados de orden completo
Debe notarse que las matrices A, B, C y D son las mismas tanto para un sistema real como para el sistema estimado. Para los cálculos siguientes se asume que el valor de D es cero.
La diferencia existente entrexyxse denomina error de observación, y el términoL(y y)
se denomina factor de corrección.
Para determinar el error de observación restamos x_, así tenemos: _
x x = (Ax+Bu) (Ax+Bu+L(y y))
= Ax Ax L(y y)
sustituyendo y=Cx;
_
x x=A(x x) LC(x x)
o bien,
_
El error está de…nido como la diferencia entre el estado real y el estado estimado, entonces se tiene:
e = x x
_
e = x_ x
_
e = (A LC) e
A partir de esta expresión se puede conocer el comportamiento dinámico y la estabilidad del sistema. Si la matriz[A LC]es estable y dada cualquier condición inicial en el sistema el error tiende a cero, entonces el observador cumple su objetivo.
La elección de valores correctos para el vector de observabilidad L, permite que el com-portamiento dinámico del vector de error sea asintóticamente estable y lo su…cientemente rápido para tender a un valor de cero.
La estabilidad asintótica y la velocidad de respuesta de la dinámica del error se determina mediante los auto valores de la matriz [A LC] , dados por el polinomio característico jsI A+LCj.
A lo que debe considerarse que existe una condición necesaria, la cual consiste en que el sistema obtenido sea estable, completamente controlable y observable.
2.3.2. Diseño de observadores de orden completo
Existen diversos métodos para el diseño de observadores de orden completo, en la siguiente sección se detallan de forma concisa los métodos más comúnmente utilizados para este …n.
Método de diseño abreviado
Los valores que toman L1 y L2 están sujetos por las raíces del polinomio, las cuales a su vez están condicionadas por las características a cumplir por el sistema, por tanto es posible elegir raíces tales que controlen la respuesta del sistema en lazo cerrado.
Método de diseño por la fórmula de Ackerman
La fórmula de Ackerman aplicada al diseño de observadores de estado, está dada por:
L= (A)
2 6 6 6 6 4 C CA ...
CAn 1
3 7 7 7 7 5 12 6 6 6 6 4 0 0 ... 1 3 7 7 7 7 5 ;
donde (A) es equivalente a (s), que es el polinomio característico deseado, pero en lugar
de la s se coloca la matriz A.
Método de diseño completo
Determinar la controlabilidad del sistema y la observabilidad
Controlabilidad:
W c= [B AB : : : An 1B] Observabilidad:
W o=
2 6 6 6 6 4 C CA ...
CAn 1
3 7 7 7 7 5 1
Calcular el polinomio característico original jsI Aj, el cual será: jsI Aj=sn+a1sn 1+a2sn 2+: : :+an 1s+an= 0
Es conveniente trabajar con las ecuaciones de estado en su forma canónica observable, si no se encuentra en esta forma, se debe determinar una matriz de transformación para llevarla a esta forma, la cual se de…ne como:
Q= (W Wo) 1
DondeWo es la matriz de observabilidad, yW se de…ne como:
W = 2 6 6 6 6 6 6 4
an 1 an 2 a1 1
an 2 an 3 1 0 ... ... ... ... ...
a1 1 1 0
1 0 0 0
cona1; a2; : : : an 2; an 3, como coe…cientes del polinomio característico originaljsI Aj. Se determina el polinomio característico deseado a partir de(s 1)(s 2)(s 3)(s
n), dondei es un polo deseado, obteniéndose:
sn+b1sn 1 +b2sn 2+: : :+bn 1s+bn
Finalmente el vector L se encuentra a partir de la siguiente expresión:
L=Q
2 6 6 6 6 6 6 4
bn an
bn 1 an 1
bn 2 an 2 ...
b1 a1
3 7 7 7 7 7 7 5
:
2.3.3. Observador de orden reducido
En la práctica no todas las variables necesitan ser observadas, habrá algunas que se podrán medir directamente y con buena precisión, por tanto no será necesario un observador que estime todos los estados, sino más bien sólo algunos de ellos.
Si se cuenta con un vector de estadosX de dimensión(n 1)del cualm estados pueden ser medibles, se tendrá que el orden del observador será (n m 1):
Imagen 2.3.3.Diagrama a bloques de un sistema retroalimentado por un observador de estados de orden
reducido
El vector X puede ser dividido en dos vectores:
Xa que corresponde a los estados medidos, de orden (m 1)
Xb que corresponde a los estados observados, de orden (n m 1)
X = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x1 x2 ... xm
xm+1
xm+2 ... xn 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 n 1
X1: : : Xm !Estados conocidos o medibles
Xm+1: : : Xn !Estados no conocidos que requieren ser observados
Obteniéndose: " _ Xa _ Xb # = " Aaa Aab Aba Abb # " Xa Xb # + " Ba bb # u Y = h Ca Cb
i" Xa
Xb
Las dimensiones de las sub-matrices son:
Aaa ! m m
Aab ! m n m
Aba ! n m m
Abb ! n m n m
Ba ! m 1
Bb ! n m 1
Ca ! 1 m
Cb ! 1 n m
El sistema queda reducido a la siguiente expresión:
_
Xa = Aaa Xa+Aab Xb+Ba u
_
Xb = Aba Xa+Abb Xb+Bb u
2.3.4. Diseño de observadores de orden reducido
En el diseño de observadores de orden completo, el sistema era descrito por
_
x = Ax+Bu y = Cx+Dx
En cambio para el diseño de observadores de orden reducido el sistema es descrito por la Ecuación de Estado:
_
XbAba Xa+Abb Xb+Bb u;
y por la Ecuación de Salida:
_
Xa Aaa Xa Ba u=Aab Xb:
De estos dos sistemas se pueden establecer una serie de equivalencias:
Observador de orden completo Observador de orden reducido
X Xb
A Aab
B u Aba Xa+Bb u
Y Xa_ Aaa Xa Ba u
Y Aab Xb
Cabe mencionar que se busca encontrar un vector de observadoresL, de orden(n m 1)
En el diseño de observadores de orden completo se determinó la siguiente ecuación:
x=Ax+BuL(y y)
La cual puede llevarse a su correspondiente equivalencia para el caso de observadores de orden reducido, obteniéndose la siguiente representación:
Xb = (Abb L Aab) Xb+Aba Xa+Bb u+L ( _Xa Aaa Xa Ba u)
y la Ecuación del Error es:
_
e= (Abb L Aab) e:
La Ecuación Característica para el observador es la siguiente:
jsI Abb+LAabj=si+a1si 1+a2si 2+: : :+ai 1s+ai = 0
donde i equivale al orden deL, es decir (n m):
La deducción de esta expresión puede encontrarse en la referencia [6]
Metodología de diseño
Se pueden aplicar los mismos métodos usados para hallar los observadores de orden completo, pero tenemos que hacer una variación la cual consiste en reemplazar los índices en lugar de considerar el índicen, se debe considerar el índicei. Por ejemplo si un sistema es de
cuarto orden y tiene un estado medible, entonces m = 1, y por tanto el sistema observado
será de tercer orden (n m = 4 1 = 3 =i):
El otro cambio que hay que hacer es realizar una equivalencia entre las matrices, dada de la siguiente manera:
Aaa ! D Aab ! C Aba ! B Abb ! A
Lo que resta por hacer, es aplicar la misma metodología que para los observadores de orden completo, considerando el nuevo orden del sistema y las nuevas matrices del sistema
2.3.5. Observador para sistemas MIMO
En el presente trabajo se ha tratado el diseño de observadores para sistemas SISO (single input, single output), es decir, sistemas que tienen una entrada y una salida. A continuación se analiza el diseño de observadores para el caso de sistemas con varias entradas y varias salidas, llamados sistemas MIMO (multiple input, multiple output).
Un sistema MIMO puede ser descrito de la siguiente manera:
_
x = Ax+B[u]1 r
y = [C]q n+D[u]q r
donde:
x Vector de estado (n 1)
u Señal de control (1 r)
y Señal de salida (escalar) A Matriz (n n)
B Matriz (n r)
C Matriz (q n)
D Matriz (q r)
n Es el orden del sistema (número de estados) r Es el número de entradas
q Es el número de salidas
En el diseño de observadores, se sabe que el número de entradas que tenga el sistema, no afectará el diseño del observador, puesto que estos datos no intervienen en los cálculos.
Capítulo 3
Construcción del péndulo invertido
En el presente capítulo se explica la construcción de una plataforma funcional, la cual sim-ula el comportamiento físico del péndulo invertido aplicando técnicas de control abordadas en capítulos anteriores y aplicando conocimientos tanto de electrónica como de mecánica.
3.1. Construcción mecánica
El cual luce como se puede ver en la siguiente imagen 3.1
Imagen 3.1. Proyecto físico.
3.1.1. Base de mecanismo
Para construir el mecanismo de carrera del péndulo se ha reutilizado el mecanismo de guía de cartuchos de una impresora estándar, desmontándose, la cual fue cubierta de madera formando una plataforma. El tamaño de dicha plataforma determina en gran parte el dimen-sionamiento de los elementos restantes que conforman el péndulo, la plataforma se puede ver en la imagen 3.1.1
3.1.2. Plataforma de carro guía
Para el funcionamiento del carro guía se aprovecha el sistema guía de los cartuchos de una impresora utilizando el motor y la banda para la carrera del mismo, el cual sirve para mantener …jo el carro a través del espacio de trabajo de la plataforma principal, el carro guía a su vez soporta el mecanismo del péndulo así como el dispositivo eléctrico para monitoreo de la posición del péndulo, como se ve en su segmento correspondiente, por lo cual se realizan las consideraciones pertinentes para modi…car sobre las dimensiones de la plataforma como se ve en la imagen 3.1.2.
Imagen 3.1.2. Plataforma del carro guía.
De lo anterior se conocen las características eléctricas del motor de C.D. las cuales son:
M O D E L O V O LTA JE (V ) S IN C A R G A A P L E N A C A R G A
R S -385S H
R an go d e op eración N om in al
6.24 12
Velo cid ad C orriente
R P M A
10000 0.20
Velo cid ad C orriente Torq u e Poten cia
R P M A m N *m W
8170 0.89 7.89 6.74
Características físicas del motor
Es importante resaltar que en la readaptación del dispositivo de carrera de la plataforma experimental se desconoce la relación de transferencia de velocidad que existe entre el motor de D.C. y la banda dentada de lo cual resulta en esta la parte la justi…cación del uso de observadores de estado, de esta manera por medio de los mismos se estima la velocidad del dispositivo a través del espacio de trabajo.
3.1.3. Carro guía y péndulo
Como se explica en el segmento anterior, se realizan las modi…caciones pertinentes para ajustar la plataforma a los dispositivos necesarios a instalar, para el funcionamiento libre del péndulo, se crea el mecanismo el cual se sujeta por el carro guía ajustándose a las dimensiones que provee el mismo, así como las consideraciones de dimensiones para que el sistema de péndulo no contenga alguna limitación física en su movimiento, ya sea en obstrucciones por la plataforma principal o por rozamientos ocasionados por el mecanismo, como se puede apreciar en la imagen 3.1.3
Así mismo para el monitoreo de la variable de posición que produce el péndulo se coloca un potenciómetro multivuelta acoplado al eje del péndulo, como se ve en la construcción eléctrica, se ha optado por un dispositivo multivuelta para así limitar en menor medida como sea posible el movimiento del péndulo.
materiales deben tener resistencia a las fuerzas y movimientos que produzca el dispositivo, por lo cual se usan materiales metálicos resistentes a las fuerzas generadas, en el caso de la guía del péndulo se usa una varilla metálica debido a sus cualidades resistencia del material así como la capacidad de ajuste de dimensiones de la guía teniendo la posibilidad de ajustar la distancia del péndulo al eje de la guía, como se ve en la imagen 3.1.3A.
Imagen 3.1.3. Mecanismo del péndulo.
Imagen 3.1.3A Soporte del péndulo.
3.2. Construcción electrónica
de estas partes, de ésta manera si funcionan por si solas, estas funcionarán en conjunto, para así obtener el proyecto electrónico que se espera; la imagen siguiente muestra el circuito electrónico.
Imagen 3.2 Circuito electrónico del péndulo.
A continuación se detalla la construcción eléctrica para la puesta en marcha del prototipo del péndulo invertido, segmentado en varias partes, para su fácil compresión.
3.2.1. Adquisición de la posición del péndulo
El conocer la ubicación inicial del péndulo resulta de vital importancia ya que determina la acción que debe realizar el controlador. Para determinar la posición angular del péndulo se ha acoplado el movimiento del eje del péndulo un potenciómetro circular SEN-09074, el cual produce una señal eléctrica de tipo analógica, señal que determina una posición diferente a cada valor analógico producido por el variador, este valor es convertido de su señal analógica a un valor digital de ocho bits, para el cual se de…ne en su rango de 360 la relación matemática
(360x)=255 la que proporciona el valor real de la posición angular del péndulo. Esta señal una vez procesada es enviada al dispositivo principal de comunicación el pic 18F2550 vía USB para análisis del controlador.
Imagen 3.2.1.Diagrama para adquisición de posición angular
3.2.2. Adquisición y posicionamiento del carro guía
Para el sistema físico propuesto es necesario considerar que existen límites físicos, los cuales nos determinan la información de distancia máxima a recorrer por el carro guía del péndulo, esta información es retroalimentada por un sensor tipo infrarrojo, sensor de distan-cia analógico SHARP GP2Y0A21YK. el cual mide la posición del carro mediante una señal analógica la que retorna al pic 18f2550 y es enviada a través del USB a la interfaz diseñada en MatlabTM en donde se calcula la posición del carro, ya que el sensor no provee de una
medición lineal se ha medido la señal digital retornada por la tarjeta de adquisición de datos, así como la distancia del carro, los puntos obtenidos se han extrapolado, obteniéndose:
0;0007x2+ 0;2847x+ 3;0564
donde x es la variable digital obtenida a través de la comunicación USB-PC.
componentes una vez más se tratan por una etapa de potencia, con la …nalidad de energizar el actuador, a continuación se muestra el diagrama en la imagen 3.2.2.
Imagen 3.2.2. Diagrama de etapa de potencia.
Para protección de circuito de control se han integrado opto acopladores a las salidas del pic 18F2550, pic de posicionamiento, los cuales activan al puente h para proteger el circuito contra retornos de corrientes, el cual se encarga de mover el carro acoplado al motor para obtener la respuesta que se desea obtener del sistema.
Una vez comprobado el funcionamiento del circuito se ha creado el circuito físico para la etapa de potencia aislada de la etapa de control que genera las señales de control, el cual se muestra a continuación:
3.2.3. Comunicación de datos con PC
Para lograr el enlace de la plataforma de MatlabTM en la cual se ha diseñado la
in-terfaz se utilizan las funciones de USB, incorporadas en lenguaje del programa PCW para programación de pic’s, dichas funciones operan de forma que el ordenador reconozca el dis-positivo como un disdis-positivo personalizado. A continuación se describen los pasos a seguir para establecer la comunicación:
1. Creación del programa para la interfaz en el compilador PCW para pic’s.
2. Compilación y grabado del programa en el pic 18f2550.
3. Ensamblado de los componentes electrónicos, conexión al puerto USB, para el re-conocimiento del dispositivo, como se puede ver en la imagen la parte resaltada del diagrama es la parte requerida para este paso.
Imagen 3.2.3 Interfaz para comunicación con Matlab.
4. Obtención de controladores provistos por MicrochipTM .
5. Conexión del dispositivo físico con puerto USB del ordenador.
7. Comprobación de la correcta instalación en el administrador de dispositivos, de seguirse los pasos adecuadamente es posible visualizar el controlador como se ve en la siguiente imagen.
Imagen 3.2.3.1 Ventana de reconocimiento de controladores.
8. Con…guración del hardware y conexión con la interfaz desarrollada en MatlabTM para
el intercambio de datos.
Imagen 3.2.3.2 Ventana de interfaz grá…ca del péndulo
10. Implementación del controlador diseñado sobre la interfaz.
3.2.4. Logica de funcionamiento de la plataforma experimental
Finalmente de forma general el dispositivo presenta el siguiente comportamiento, el cual se compone de tres partes de procesamiento de información, las cuales se interpretan como se ve a continuación.
Lógica de interfaz hombre maquina (alojado en la PC)
Esta parte es un ciclo constante el cual se encarga de recalcular y aplicar la acción de control constantemente, en principio inicializa la interfaz de comunicación vía USB para comunicación con el dispositivo físico, a continuación inicia las variables de almacenamiento de estados y de cálculos, una vez hecho esto se realiza una toma de decisión la cual consiste de que si el dispositivo físico está conectado se pasa a la siguiente etapa, de no ser así se espera hasta que el dispositivo esté conectado, la siguiente etapa consta de la obtención de las variables de posición del dispositivo, a partir de estos se toma la decisión de calcular la acción de control si el controlador esta activado, si se calcula la acción de control se interpreta el resultado y se analiza de acuerdo al límite de la velocidad máxima del dispositivo, una vez convertida al porcentaje de velocidad operable del dispositivo se envía la información vía USB al dispositivo físico para su aplicación, es importante destacar que a través de la ejecución y calculo de todo el algoritmo, este interactúa constantemente con el algoritmo de la interfaz física para actualizar la información y la acción hecha por el dispositivo físico, ver más [16].
Lógica de Interfaz física de péndulo
comunicación vía USB, una vez con…gurado el dispositivo de manera mencionada se procede a realizar la conversión de la señal analógica en digital, la cual indica la posición del carro guía a través de la carrera del dispositivo, después de esto se muestrea la señal paralela que indica la posición angular del péndulo, una vez obtenidas las variables de posición se envía la información a la PC si la comunicación está disponible, si no se espera a que esté disponible, una vez envida la información se espera por la recepción de señales de control que retorna vía USB desde la PC, obtenida esta información se ejecuta sobre el puente actualizando sentido del motor y porciento de PWM ejecutado sobre el motor, terminado esto se vuelve a ejecutar el algoritmo sin la necesidad de volver a con…gurar el dispositivo (pic).
Lógica del convertidor de posición angular
Este dispositivo es el encargado de traducir el voltaje producido en un valor digital el cual puede a través de la conexión paralela realizada con el pic que funge de interfaz con la PC, en principio se con…gura las entradas del dispositivo (pic) como una entrada analógica y ocho salidas digitales para transmitir el dato obtenido, una vez hecho esto se muestrea y convierte la señal analógica que representa la posición angular a un valor digital este se envía por la conexión paralela al pic 18F2550 y se repite nuevamente el ciclo del algoritmo sin la necesidad de con…gurar nuevamente el dispositivo, para actualizar constantemente el valor de la posición angular.
Inicio Inicialización de Protocolo Interfaz por USB Inicialización de Variables Recepción de Variables de Retroalimentación Control PID Activado? Si Calculo de Termino Proporcional Calculo de Termino Derivativo Calculo de Termino Integrativo
Limites si Variable es muy Grande o muy Pequeño
Envió de Señales de Control (Sentido y %
PWM) Dispositivo Personalizado Conectado? Si No No Inicio
Reset del Pic 16f873A
Configuración de Entradas y salidas
Muestreo de Voltaje de Entrada (Posición Angular)
Conversión de Señal Analógica a
Digital
Envió de Variable Digital Obtenida a Salidas por
PORTB
Inicio
Reset del Pic 18F2550
Configuración de Entradas y Salidas
Configuración de Terminales para Comunicación
USB
Muestreo de Voltaje de Entrada
(Posición de Carro) Muestreo de Entrada en PORTB (Posición Angular) Igualación de Variables de Entrada con Buffer
para Envió USB
Comunicación Disponible
Envió de Datos Vía USB
Si
No
Recepción de Datos Vía USB
Igualación de Buffer con Variables de
Salida
Colocar % PWM y Sentido del Motor
3.2.5. Alimentación eléctrica del dispositivo
Para el desarrollo de pruebas es necesario contar con un elemento, el cual suministre voltaje al circuito, este elemento se conoce como fuente de voltaje.
Debido a la cantidad de componentes y también la con…guración de los mismos se requiere de tres voltajes diferentes, los cuales son control, potencia y referencias.
(Vcc) Voltaje 5 volts para alimentación de componentes de control como pic’s y dis-positivos de medición como sensores.
(VDD) Voltaje de 18 volts el cual alimenta la potencia del sistema que se re…ere a la
alimentación para el movimiento del actuador (motor).
(Vss) Voltaje -5 volts que se usa para colocar voltajes de referencias negativas, como son ampli…cadores operacionales.
Debido a que se requiere alimentar con diferentes voltajes se ha utilizado y creado una fuente de voltaje, la cual requiere de una conexión de 120 VCA, lo cual hace más fácil tanto el transporte como el uso del equipo, el circuito correspondiente es el que se puede ver en la siguiente imagen.
Imagen 3.2.5 Fuente de alimentación.
Capítulo 4
Filtro de Kalman
En este capítulo se presentan los principales resultados sobre algoritmos de …ltro de Kalman así como el desarrollo de ecuaciones para la implantación del …ltro.
4.1. Filtro de Kalman
El …ltro de Kalman es un método numérico el cual provee una solución recursiva e…ciente con base al método de mínimos cuadrados, permitiendo calcular un estimador lineal insesgado y óptimo del estado del sistema o proceso de estudio en todo momento de tiempo con relación de la información en ese instante y realizar una actualización con la información adicional obtenida hasta el momento para realizar dichas estimaciones. De esta manera el …ltro de Kalman tiene como principal …nalidad la estimación de sistemas dinámicos en la forma de espacio-estado, por lo cual resulta apropiado para el sistema del péndulo invertido.
para obtener un …ltro de esta, en términos frecuenciales comprendido por la transformada de Fourier para obtener la saliday(t)en sentido de …ltros pasa medias, pasa bandas o pasa altas que sea lo más parecida a una señal d(n) la cual es denominada set point o punto de referencia, no obstante un planteamiento lineal del problema obliga a tomar como medida de parecido el error cuadrático medio entre la salida y la referencia, como se puede ver en la imagen 4.1.
Imagen 4.1 Diagrama a bloques de Filtro de Wiener
4.2. Algoritmo general del …ltro de Kalman
El proceso de estimación que se emplea en el …ltro de Kalman tiene la forma de un control de retroalimentación, estimando los estados del proceso en tiempo real, y retroalimentándolos en forma de mediciones.
El objetivo general del …ltro de Kalman se desempeña suponiendo que el sistema puede ser descrito a través de la obtención de un modelo lineal como en el caso del sistema en el cual se trabaja en el presente trabajo del péndulo invertido, dicho sistema tiene una naturaleza no lineal como es el caso de todos los sistemas presentes en nuestro entorno, es por eso que se procede a su linealización, séase series de Taylor en el presente trabajo, ver más [6] y [5] para el péndulo invertido.
Para poder emplear el Filtro de Kalman es necesario combinar la información observada y el conocimiento previo de cómo es que se comporta el sistema por ello es importante desar-rollar el modelado de éste, para de esta manera ver su comportamiento lo más aproximado a la realidad, para producir una estimación del error de tal manera que el error sea minimizado estadísticamente. El término recursivo implica que el …ltro recalcula la información cada vez que una nueva observación o medida es incorporada al sistema del …ltro.
Debido a que el …ltro de Kalman trabaja con sistemas dinámicos en la forma de espacio estados es importante tener nuestro sistema descrito en esta forma para la implantación del Filtro de Kalman, el estado contiene toda la información relativa al sistema a un cierto punto en el tiempo.
El …ltro de Kalman es tan interesante precisamente a su habilidad para determinar el estado de un sistema en el pasado, presente y futuro, aún cuando la naturaleza precisa del sistema modelado es desconocida en ciertos puntos del sistema. En la práctica las variables de estado individuales de un sistema dinámico no pueden ser exactamente determinadas por una medición directa. Dicho lo anterior, su medición se realiza por medio de observadores de estado los cuales se explican en el capítulo uno sección 1.3 de esta tesis para las variables donde no se puede medir de una manera directa al sistema, compensando estas con sensores físicos como se ve en el capitulo tres, los cuales nos indican los estados del sistema en un tiempotpara trabajar en conjunto con el …ltro y obtener la información, para permitir la
in-ferencia del comportamiento pasado del sistema, con el objeto de predecir su comportamiento futuro.
Para la implantación del …ltro de Kalman podemos derivar las ecuaciones en dos tipos:
Las que actualizan los datos observados o ecuaciones de actualización.
Las primeras son responsables de la proyección del estado al instante t considerando como referencia el estado en el momento t 1 y de la actualización intermediaria de la matriz de covarianza del estado. El segundo grupo de ecuaciones son responsables de la retroalimentación, incorporan nueva información dentro de la estimación anterior, con ello se llega a una estimación mejorada del estado.
Por ello, el algoritmo de estimación …nal puede de…nirse como un algoritmo de pronóstico-corrección para resolver numerosos problemas a toda clase de sistemas de cualquier tipo como económicos, tal es el caso del Departamento de investigaciones económicas del Banco central de Costa Rica, [12].El …ltro de Kalman funciona por medio de un mecanismo de proyección corrección, al pronosticar el nuevo estado y su incertidumbre y corregir la proyección con una nueva medida como se observa en la imagen 4.2.
Imagen 4.2 El ciclo del Fíltro de Kalman.
Para el problema de la estimación en el Filtro de Kalman se debe de considerar las siguientes ecuaciones que describen el sistema y sus modelos de medición se considera la siguiente ecuación del sistema lineal en tiempo discreto como:
x[k+ 1] =Ax[k] +Bu[k] +F v[k]; y[k] =Cx[k] +w[k]; (4.1)
donde v[k] y w[k] son ruido blanco Gaussiano:
Efv[k]vT[j]g= 0 k 6=j
Rv k =j; Efw[k]w
T
[j] = 0 k 6=j
Rw k =j;
(4.2)
Efv[k]wT[j]g= 0:
Efv[k]g representa el valor esperado dev[k]
Efv[k]vT[j]g es la correlación de la matriz
Rv y Rw son las matrices de covarianza para el proceso de perturbaciónv y la medición
del ruido w.
Asumiendo que la condición inicial es modelada como una variable Gaussianna aleatoria con
Efx[0]g=x0; Efx[0]xT[0]g=P0: (4.3)
Para encontrar un estimadox^[k]que minimice el error cuadrado medioEf(x[k] ^x[k])(x[k] ^
x[k])Tg dada por las medidas fy() : 0 tg. Considerando un observador en la misma
forma básica como derivado previamente.
^
x[k+ 1] =Ax^[k] +Bu[k] +L[k](y[k] Cx^[k]): (4.4)
Lo anterior se resume como sigue a continuación.
Ver mas [13].Considera un proceso aleatoriox[k]con dinámica dada por la ecuación (4.1) y procesos de ruido y las condiciones iniciales descritas por la ecuación (4.2) y (4.3). La ganancia del observador que minimiza el error cuadrado medio esta dado por,
L[k] =AP[k]CT(R
w+CP[k]CT) 1; (4.5)
donde
P[k+ 1] = (A LC)P[k](A LC)T +F RuFT +LRwLT (4.6)
Antes de probar este resultado, se re‡eja en su forma y función. Primero note que el …ltro de Kalman tiene la forma de un …ltro recursivo: dando como error cuadrado medio
P[k] =Ef(x[k] x^[k])(x(k) x^[k])Tgen tiempo k que se puede calcular como el estimado y
cambio de error. Por lo que no es necesario hacer un seguimiento de los valores de la salida Además el …ltro de Kalman da la estimación dex[k]y la covarianza del errorP[k], para que se vea que tan con…able es la estimación también puede mostrarse que el …ltro de Kalman extrae el máximo de información posible sobre los datos de salida Si se forma el residual entre la salida y la producción estimada podemos ver,
e[k] =y[k] Cx^[k]:
Puede verse que para el …ltro de Kalman la matriz de correlación es
e[k] =y[k] Cx^[k]:
Re(j; k) =Efe[j]eT[k]g=W[k] jk; jk =
1 j =k
0 j 6=k (4.8)
En otras palabras el error es un ruido blanco de proceso, así que no hay información dinámica restante contenida en el error.
El …ltro de Kalman es extremadamente versátil y puede ser usada incluso si el proceso, ruido o perturbaciones no son estacionarios. Cuando el sistema es estacionario y si P[k], converge entonces la ganancia del observador es constante:
L=AP CT(R
w+CP CT);
donde P satisface
P =AP AT +F RvFT AP CT(Rw+CP CT) 1CP AT:
Puede verse que la ganancia optima depende tanto del ruido y medida del proceso, pero de una manera no trivial. Como el uso de LQR para elegir las ganancias del estado de
retroalimentación, el …ltro de Kalman permite una derivación sistemática de las ganancias del observador dando una descripción de los procesos del ruido. La solución para el caso de ganancia constante se resuelve por el comando dlqe con la ayuda de MATLAB.
Queremos minimizar el cuadrado medio del errorEf(x[k] x^[k])(x[k] x^[k])Tg. Se de…ne
(4.6).
P[k+ 1] = Ef(x[k+ 1] x^[k+ 1])(x[k+ 1] x^[k+ 1])Tg
= (A LC)P[k](A LC)T +F R
uFT +LRwLT
= AP[k]AT AP[k]CTLT LCP[k]AT +L(Rw+CP[k]CT)LT:
Dejando R = (Rw+CP[k]CT), se tiene
P[k+ 1] = AP[k]AT AP[k]CTLT LCP[k]AT +LR LT (4.9)
= AP[k]AT + (L AP[k]CTR 1)R (L AP[k]CTR 1)T AP[k]CTR 1CPT[k]AT:
Para minimizar esta expresión escogemosL=AP[k]CTR 1 , y el teorema es comprobado. Mediante las ecuaciones obtenidas, se obtiene la forma para el desarrollo del sistema del Péndulo Invertido para el …ltro de Kalman y así se desarrolla la prueba del controlador en el simulador MATLAB como se ve en el capítulo cinco sección 5.3.1.
*Para referencia de cómo se obtienen estas ecuaciones ver [20].
4.3. Filtro de Kalman Bucy
Para el caso del …ltro de Kalman-Bucy el proceso aleatorio de tiempo continuo dado por
x(t) y el observador z(t) están dadas por:
_
x(t) =F(t)x(t) +G(t)w(t);
z(t) = H(t)x(t) +v(t); (4.10)
Ew(t) =Ev(t) = 0;
Ew(t1)wT(t2) =Q(t) (t2 t1); (4.11)
Ev(t1)vT(t2) =R(t) (t2 t1); (4.12)
donde F(t); G(t); H(t); Q(t); y R(t) son matrices de n n; n n; l n; n n y l l;
respectivamente. El término (t2 t1) representa el delta de dirac y la covarianza de las matricesQ y R se de…nen positivas.
El objetivo es encontrar la estimación para el vector de estados x(t) que representamos porx^(t), que es una función lineal de las mediciones el cual viene comprendido por un tiempo …nito z(t); 0 t T; que minimiza la ecuación escalar como
E[x(t) x^(t)]T M[x(t) x^(t)]; (4.14) donde M es una matriz simétrica de…nida positiva.
La estimación inicial y la matriz de covarianza son x^0 y P0.
Se proporciona una derivación formal del estimador de Kalman en tiempo continuo, una derivación rigurosa pueden ser archivados utilizando el principio de ortogonalidad como en el caso de tiempo discreto. En vista del objetivo principal que es obtener estimadores e…cientes y prácticos, se hace hincapié en los estimadores de tiempo continuo.
Para t se de…ne en un intervalo de tiempo[tk tk 1], de esta manera obtenemos
(tk tk 1) = k=I+F(tk 1) t+O( t2);
donde O( t2) consiste en un acuerdo con potencias de t mayor o igual a dos. Para la medición de ruido se tiene
Rk=
R(tk)
t
y para el ruido del sistema
Qk=G(tk)Q(tk)GT(tk) t
obteniéndose
Pk( ) = [I+F(t) t] I Kk 1Hk 1 Pk 1( ) (4.15)
[I+F(t) t]T +G(t)Q(t)GT(t) t:
Pk( ) Pk 1( )
t = F(t)Pk 1( ) +Pk 1( )F
T
(t) (4.16)
+G(t)Q(t)GT(t) Kk 1Hk 1Pk 1( )
t F(t)Kk 1Hk 1Pk 1( )FT(t) t
+términos de orden mayor.
La ganancia de Kalman de la ecuación (4.15) se convierte en el límite
l m
t!0
Kk 1
t = l mt!0
n
Pk 1( )HkT 1 Hk 1Pk 1( )HkT 1 t+R(t) 1o
(4.17)
= P HTR 1 =K(t):
Sustituyendo la ecuación (4.17) en (4.16) y obteniendo el límite cuando t !0 se obtiene el resultado deseado
_
P(t) = F(t)P(t) +P(t)FT(t) +G(t)Q(t)GT(t) (4.18)
P(t)HT(t)R 1(t)H(t)P(t)
Siendo P(t0) la condición inicial. Esto se llama la matriz de la ecuación diferencial de Ricatti, la cual se puede reescribir mediante el uso de la identidad
P(t)HT(t)R 1(t)R(t)H(t)P(t) = K(t)R(t)KT(t)
De esta manera podemos escribir la ecuación (4.18) de la forma
_
P(t) =F(t)P(t) +P(t)FT(t) +G(t)Q(t)GT(t) K(t)R(t)KT(t): (4.19)
De la misma manera, el vector de estado de la ecuación de actualización puede ser derivado de la ecuación (4.11) y (4.15) mediante la adopción de los límites t ! 0: Finalmente la ecuación diferencial para la estimación es la siguiente.
^
Capítulo 5
Diseño de controladores y simulación
En el presente capítulo se desarrollan diferentes técnicas de control para el péndulo inver-tido descrito en los capítulos anteriores. Primeramente se desarrolla mediante el enfoque de control clásico por la técnica de PID con modi…caciones, enfatizando sus ventajas y limita-ciones, posteriormente se emplea la técnica de control por medio de observadores de estado, en esta técnica se estiman las variables de estado no medidas. Por último se aplica la técnica que da el nombre a el presente trabajo, un control para el péndulo invertido empleando obser-vadores de estado basados en el …ltro de Kalman donde con dicha aplicación se demuestran los objetivos y resultados que resumen a esta tesis.
Para el diseño y simulación de los controladores se utiliza MatlabTM y su herramienta
SimulinkTM donde se simula el comportamiento del sistema, modelado anteriormente, para
cada una de las técnicas de control nombradas, para conocer más ver [11].
Finalmente se realiza un análisis comparativo de las diferentes técnicas desarrolladas.
5.1. Control PID
La técnica del PID denominada por las siglas de las acciones de control Proporcional, Integral y Derivativo. Es un controlador realimentado cuyo propósito es hacer que el error en estado estacionario, entre la señal de referencia y la señal de salida de la planta, sea cero de manera asintótica en el tiempo, lo que se logra mediante el uso de la acción integral. Además el controlador tiene la capacidad de anticipar el futuro a través de la acción derivativa que tiene un efecto predictivo sobre la salida del proceso.
aplicaciones en la industria, particularmente cuando la dinámica del proceso lo permite, en general procesos que pueden ser descritos por dinámicas de primer y segundo orden, y los requerimientos de desempeño son modestos, es decir limitados a especi…caciones del comportamiento del error en estado estacionario y una rápida respuesta a cambios en la señal de referencia, ver [1].
5.1.1. Control proporcional
Las oscilaciones en un sistema son resultado de pequeños cambios en el error los cuales hacen que la variable manipulada cambie sobre su rango total. Dicho problema se evita con la acción de control proporcional, donde la característica del controlador es proporcional al error de control cuando estos son pequeños. De esta forma la acción proporcional se caracteriza por la siguiente ecuación dependiente del error de control.
u(t) = Kpe(t)
donde:
u(t)es la salida de la señal de control
Kp es la ganancia del controlador y
e(t)es el error respecto al tiempo
Imagen 5.1 Banda proporcional
Imagen 5.1.1 Respuesta a un cambio en la ganancia proporcional.
5.1.2. Control integral
El modo de control Integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error en estado estacionario, provocado por el modo proporcional. El control integral actúa cuando hay una desviación entre la variable y el punto de consigna, integrando esta desviación en el tiempo y sumándola a la acción proporcional. El error es integrado, lo cual tiene la función de promediarlo o sumarlo por un período determinado; luego es multiplicado por una constante I. Posteriormente, la respuesta integral es adicionada al modo Proporcional para formar el control P + I con el propósito de obtener una respuesta estable del sistema sin error estacionario.
El control integral se utiliza para obviar el inconveniente del o¤set (desviación permanente de la variable con respeto al punto de consigna) de la banda proporcional.
Y esta caracterizado por la siguiente ecuación:
u( ) =Ki
t
Z
0
e( )d
donde:
Los cambios que presenta la respuesta de un sistema a los cambios realizados sobre el tiempo integral en el caso cuando Ti =in…nito es como si se tuviera un control proporcional
puro, y vemos que cuando se va aumentando el valor de Ti el error en estado estacionario
tiende a corregirse, para valores pequeños de Ti la respuesta es más rápida pero presenta
mayor número de oscilaciones, caso contrario cuando Ti son valores pequeños, la respuesta
del sistema es más lenta deslizándose hasta llegar a la referencia y sin provocar tantas oscilaciones, como se muestra en la imagen 5.1.2.
Imagen 5.1.2 Respuesta de un sistema a cambios en el tiempo integral utilizando un control P I conK = 1.
5.1.3. Control derivativo
La acción derivativa se mani…esta cuando hay un cambio en el valor absoluto del error; si el error es constante, solamente actúan los modos proporcional e integral.
La función de la acción derivativa es mantener el error al mínimo corrigiéndolo propor-cionalmente con la misma velocidad que se produce; de esta manera evita que el error se incremente.
La acción derivativa está dada por la siguiente ecuación:
u(t) =Kd
de dt
donde:
Kd es la ganancia derivativa.
Los cambios que presenta la respuesta de un sistema a los cambios realizados sobre el tiempo derivativo en el caso cuando Td = 0 es como si se tuviera un control proporcional
integral, y vemos que cuando se va aumentando el valor deTdel amortiguamiento del sistema
aumenta, pero si se aumenta más el valor de Td el amortiguamiento tiende a disminuir, he allí la importancia de sintonizar correctamente nuestro controlador, como se aprecia en la siguiente imagen 5.1.3.
Imagen 5.1.3 Respuesta de un sistema a cambios en el tiempo derivativo utilizando un controlP ID con K = 3 y T i= 2
De esta manera implemento las tres acciones de control mencionadas, es como se obtiene un controlador PID el cual cuenta con las ventajas y desventajas de las acciones por las cuales es formado, y la ecuación que lo caracteriza es:
u(t) =Kpe(t) +Ki t
Z
0
e( )d +Kd
lo que podemos expresar de la siguiente forma:
G(s) =K 1 + 1
Tis
+Tds
En la imagen 5.1.3A se muestra el diagrama en bloques de un control PID.
Imagen 5.1.3A Diagrama a bloques de un controlador PID.
5.1.4. Sintonización de un controlador PID por el método de Ziegler
y Nichols
Ziegler y Nichols propusieron unas reglas para determinar los valores de la ganancia pro-porcionalKp, del tiempo integralTiy del tiempo derivativoTd, con base en las características
de respuesta transitoria de una planta especí…ca. Tal determinación de los parámetros de los controladores PID o de la sintonización de los controles PID la realizan los ingenieros en el sitio mediante experimentos sobre la planta, ver [6].
En este caso se utiliza la regla de ganancia crítica, la cual consiste en poner los tiempos integral y derivativo en cero variando solamente la ganancia proporcional hasta un valor critico Kcr en donde la salida exhiba oscilaciones sostenidas y junto con el periodo Pcr se
Tipo de controlador Kp Ti Td
P 0;5Kcr 1 0
P I 0;45Kcr 12Pcr 0
P ID 0;6Kcr 0;5Pcr 0;125Pcr
(5.1)
Si se desea más información sobre esta y otras reglas de sintonización de Ziegler-Nichols consultar la referencia [6].
5.1.5. Diseño y simulación de un controlador PID para el péndulo
invertido
Considerando el sistema de péndulo invertido descrito en el capítulo 1, se procede a diseñar un controlador PID, con los siguientes valores medidos de la plataforma física exper-imental.
M = 0;11kg m= 0;05 kg g = 9;8ms 2
l= 0;249 m
Así mismo se debe de tomar en cuenta que se desea que el sobre impulso en la respuesta del sistema no sea mayor al 25 %.
Se procede a realizar el diseño por medio de MatlabTM creando un archivo .m con el
Imagen 5.1.5 Diagrama a bloques del sistema con un controlador PID
Considerando el set pointSP = 90 ,Kp = 1,Ti = 1 yTdse llega a la siguiente respuesta
del sistema
Imagen 5.1.5.1 Respuesta del sistema sin controlar.
Se observa que esta respuesta no es satisfactoria ya que el sistema nunca se estabiliza y describe una trayectoria exponencial al in…nito.
Por lo tanto es necesario llevar a cabo una correcta sintonización del controlador PID, para lo cual se utiliza el método de Ziegler-Nichols basado en la ganancia critica, descrito anteriormente.
Como primer paso se procede a colocar los valores de Td y Ti en cero para así tener sólo
Imagen 5.1.5.2 Respuesta del sistema a una ganancia proporcional crítica
Se procede a obtener los valores Kcry Pcr necesarios para la sintonización, esto se realiza
de forma grá…ca como se muestra a en la imagen siguiente:
Imagen 5.1.5.3 Obtención de Pcr
(5.1) se obtienen los valores necesarios para el controlador PID los cuales son:
Kp = 210
Td= 0;005
Ti = 0;02:
La respuesta del sistema se muestra a continuación para estos valores del controlador PID.
Imagen 5.1.5.4 Respuesta del sistema para,
Kp = 210; Td= 0;005 y Ti = 0;002:
Se observa como el sistema llega a la referencia pero, se presentan demasiadas oscilaciones durante todo tiempo, por lo tanto se procede a incrementar los valores de Ti para eliminar
el error en estado estacionario y Td para amortiguar el sistema, después de realizar pruebas
se obtiene los siguientes valores para los cuales el sistema responde adecuadamente.
La ganancia proporcional se mantiene siendoKr = 210, el tiempo derivativoTdaumenta
hasta un valor de 10 para amortiguar al sistema y evitar oscilaciones excesivas manteniendo el sobre impulso inferior al 25 % y al corregir esto el error en estado estacionario aumenta por lo cual es necesario …jar el tiempo integral Ti en un valor de 250 para que el sistema
