DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA.
Con los principios de distribución Binomial y sus propiedades, excepto que los ensayos se repiten hasta obtener un número fijo de éxitos. Para el caso de la Binomial Negativa el interés está en hallar la probabilidad de que ocurra el k-eximo éxito en el x-eximo ensayo. Experimentos de esté tipo se conoce como experimento Binomial negativo o distribución de tiempo de espera Binomial o distribuciones de pascal.
Casos de Este Tipo:
-)La probabilidad de que el sexto paciente expuesto a una enfermedad, sea el segundo en adquirirla. -) La probabilidad de identificar el tercer retraso de llegada al trabajo de los últimos 30 días.
-) La probabilidad de que el séptimo paciente presente alivio, sea el doceavo paciente que recibe el medicamento.
Así que el k-eximo éxito va a ocurrir en el x-eximo ensayo.
DEFINICIÓN: Sea X una variable aleatoria, se considera Binomial Negativa, si y solo si, su distribución de probabilidad esta dada por la siguiente expresión:
( ) (
) Para x = K, K + 1, K + 2,…
En este tipo de distribución, los ensayos son independientes y repetidos, las repeticiones se hacen hasta obtener éxito.
Propiedades:
Media: De otra forma: Varianza: ( ) De otra manera:
Ejemplo No 101:
Al lanzar 3 monedas ¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo caras o sólo sellos por segunda vez en el quinto lanzamiento?
Solución:
Según los datos del problema: x = 5, K = 2, p = 1/4 (En el primer lanzamiento hay 2 posibilidades y en el segundo lanzamiento otras dos posibilidades). Entonces:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
La probabilidad de obtener solo caras o solo sellos por segunda vez en el quinto lanzamiento, es del 10,55%
Ejemplo No 102:
La probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad, la contenga es del 0,4 ¿Cuál es la probabilidad de que el decimo niño expuesto, sea el tercero en contraerla?
Página 150 de 177
Solución:
Según los datos del problema: x = 10, K = 3, p = 0,4. Entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
La probabilidad de que el decimo niño expuesto, sea el tercero en contraerla es del 6,43%
Ejemplo No 103:
En el cobro de penaltis un jugador falla en el 5% de veces. ¿Cual es la probabilidad de que falle por segunda vez al cobrar 15 penaltis?
Solución:
Según los datos del problema: x = 15, K = 2, p = 0,05. Entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
La probabilidad de que el jugador falle por segunda vez al cobrar 15 penaltis es del 1,796%
Ejemplo No 104:
Para los ejemplos del niño expuesto a la enfermedad (ejemplo No 102 y No 103) Hallar la media y la varianza.
Solución:
a-) Media: Varianza: ( ) b-) Media: Varianza: ( )
Lección 34: Distribución Geométrica e Hipergeométrica.
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.
Cuando se analiza la distribución Binomial Negativa, se observa que K toma valores positivos mayores que uno (K > 1), pero existen fenómenos donde la Binomial Negativa tiene K = 1; es decir, son casos donde se tienen una distribución de probabilidad para el cual número de eventos requeridos donde se obtiene Un Solo Éxito, como es el caso de lanzar una moneda hasta obtener cara.
DEFINICIÓN: Sea X una variable aleatoria discreta, se considera variable aleatoria geométrica, si y solo si, su distribución de probabilidad está dada por la siguiente expresión.
( )
Para x = 1, 2, 3, … Donde q = 1 – pEn esta distribución de probabilidad, se caracteriza por las siguientes razones:
-El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos separados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (éxito).
Página 151 de 177
-La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de obtener un resultado no A es q, siendo (p + q = 1).
-Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas, por tanto, las pruebas, son independientes. Este es un proceso típico con reemplazamiento.
Propiedades:
Media: Varianza:
Ejemplo No 110:
En una ciudad capitalina la probabilidad de que un ciudadano adquiera su licencia de conducción en un solo ensayo es del 75% ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante obtenga su licencia de conducción en el cuarto ensayo?
Solución:
Los datos: x = 4, p = 0,75 Entonces:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
La probabilidad de que el solicitante obtenga su licencia de conducción en el cuarto ensayo es del 1,171%
Ejemplo No 111:
En un proceso de fabricación se ha establecido que de cada 200 artículos, 3 son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto artículo de los inspeccionados sea el primero defectuoso?
Solución:
Según el planteamiento: x =6, p = 3/200 = 0,015 Entonces: ( ) ( ) ( )( )
La probabilidad de que el sexto artículo de los inspeccionados sea el primero defectuoso es del 1,39%
Ejemplo No 112:
La probabilidad de que un estudiante apruebe un examen escrito para obtener una certificación de competencias es de 0,70. Cuál es la probabilidad de que un estudiante apruebe el examen:
a-) En el tercer intento b-) Antes del cuarto intento
Solución:
a-) Según el planteamiento: x =3, p = 0,70 Entonces: ( ) ( ) ( )( )
La probabilidad de que un estudiante apruebe el examen en el tercer intento es de 6,3% b-) P(X < 4) Entonces: P(X < 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
Página 152 de 177
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA.
En los principios de probabilidad de analizó el muestreo con reemplazamiento y sin reemplazamiento, que ilustran la regla dela multiplicación para eventos independientes y dependientes respectivamente. Ahora nos ocuparemos en buscar una ecuación análoga a la Distribución Binomial, pero que sea válida para el muestreo sin reemplazamiento, donde los ensayos no son independientes.
Considerando un conjunto de N elementos de los cuales M son considerados como éxitos y N – M como fracasos, el interés es hallar la probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos, de los N elementos del conjunto. La distribución hipergeométrica es útil en fenómenos donde el número de elementos de la población es pequeño respecto al tamaño de la muestra (n/N ≥ 0,05). Entonces la probabilidad de un éxito en un ensayo dado, depende de los resultados de los ensayos anteriores, así la distribución de x éxitos sigue una distribución hipergeométrica.
DEFINICIÓN: Sea N el número total de observaciones de una población finita, de tal manera que K de las observaciones son de un tipo y N – K de las observaciones de otro tipo. Si elegimos una muestra aleatoria de tamaño n, la probabilidad de que la variable aleatoria X sea de un tipo y n – K sea de otro tipo, está dada por la función de probabilidad según la siguiente expresión:
( ) ( )( ) ( ) Para x = 0, 1, 2, …, n. x ≤ K; (n – x) ≤ (N – K) y N, n, K Є Z +
Los parámetros de esta distribución son: N, n, K. La hipergeométrica es my utilizada en Control de Calidad y aceptación de muestreo. El tamaño de la población es pequeña, respecto al tamaño de la muestra. La probabilidad en cada evento cambia.
Propiedades:
Media: ( ) Varianza: ( )( )( ) ( ) ( )( ) Asimetría: ( )( )( )( )√ ( )( ) Curtosis: K ( )( )( )( )( )( )
Ejemplo No 113:
Un producto industrial es envasado en lotes de 20 unidades, el plan de muestreo consiste en tomar 5 unidades de cada lote y rechazar si se observa más de una unidad defectuosa. Si en un lote hay 4 unidades defectuosas ¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado?
Solución:
Para que el lote sea aceptado se debe cumplir: P(X ≤ 1). Donde: N = 20, n = 5, K = 4. Entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Página 153 de 177
( ) ( ) ( ) La probabilidad de que el lote sea aceptado, en las condiciones dadas es del 75,12%
Ejemplo No 114:
Hallar las propiedades del producto industrial envasado en lotes de 20 unidades (Ejemplo No 113)
Solución: Media: ( ) ( ) Varianza: ( )( ) ( ) Asimetría: ( )( )( )( )√ ( )( ) √ Curtosis: K ( )( )( )( )( )( ) Ejemplo No 115:
Una población consta de 12 unidades, sea X el número de éxitos en una muestra de 4 unidades, si de un lote 8 son éxitos ¿Cuál es la probabilidad de no obtener éxito en la muestra?
Solución:
Del problema: N = 12, n = 4, K = 8. Entonces: P(X = 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
La probabilidad de no obtener éxito en la muestra es del 0,202%
Ejemplo No 116:
Del ejercicio sobre la población que consta de 12 unidades, (Ejemplo No 115). a-) Cual es la probabilidad de obtener exactamente 2 éxitos.
b-) Cual es la probabilidad de que por lo menos 2 sean éxito.
Solución:
Del problema: N = 12, n = 4, K = 8. Entonces: a-) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
La probabilidad de obtener exactamente dos éxitos es del 33,94% b-) P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – {P(X =0) + P(X =1)} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Página 154 de 177
La probabilidad de que por lo menos 2 sean éxito, es del 93,334%