ESPERANZA MATEMÁTICA
El concepto de Esperanza Matemática o Valor Esperado fue motivado por los juegos de azar, siendo Jacob
Bernoulli en 1.713 utilizo la esperanza para indicar cual sería la situación de un jugador que deseaba ganar
en un juego. Bernoulli, analizó la siguiente situación: Si la ganancia por juego (g) se multiplica por el porcentaje de veces que se gana P(g) y se le resta la pérdida(p) multiplicada por el porcentaje de veces que ocurre pérdida P(p), se obtiene el valor esperado del juego:
E(Juego) = g*P(g) + p*P(p)
Posteriormente
Von Mises
le dio carácter estadístico al concepto de esperanza, aplicada a variables aleatorias que dieron alternativas de ganar o perder, llegando a la expresión:( ) ∑
(
)
Donde: xi
son los valores de las alternativas y p (x
i) la probabilidad de las alternativas.
-) Por la regularidad estadística, el valor límite de la frecuencia relativa de cada posibilidad se da como:
( )
-) La media se define como: ̅
∑
Por lo anterior, la esperanza matemática E(X) se considera como el valor medio de la distribución teórica de probabilidad del fenómeno estudiado. Dicho de otra manera, es el valor hacia donde tiende la media aritmética, cuando el número de observaciones es muy grande; es decir, es el lugar hacia donde se centra la distribución de probabilidad.
Página 134 de 177
Caso Discreto
: (Una Variable
)DEFINICIÓN:
Sea X una variable aleatoria discreta y sea f(x) el valor de la distribución de probabilidad en X, entonces el valor esperado de la variable aleatoria está dada por la siguiente expresión:
( ) ∑ ( )
Ejemplo No 78:
Una variable aleatoria X puede tomar los valores: 1, 2, 3, 4. Las probabilidades de cada caso
son: 0.20, 0.25, 0.30, 0.25 respectivamente. Hallar la esperanza matemática.
Solución:
Por definición
( ) ∑
(
)
Caso Continuo
: (Una Variable
)DEFINICIÓN:
Sea X una variable aleatoria continua y sea f(x) el valor de la densidad de probabilidad en X, entonces el valor esperado de la variable aleatoria está dada por la siguiente expresión:( ) ∫ ( )
Ejemplo No 79:
Sea la variable aleatoria continua X, cuya función de densidad f(x) = 5x4 para 0 ≤ X ≤ 1. Hallar E(X)
Solución:
Por definición ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) E(X) = 5/6
Ejemplo No 80:
Sea la variable aleatoria continua X, cuya función de densidad f(x) = 4x3 para 0 ≤ X ≤ 1. Hallar E(X)
Solución:
Por definición ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) E(X) = 4/5
La esperanza matemática no siempre existe, para el caso discreto, E(X) existe si la serie infinita que tenga, sea convergente. Para el caso continuo, cuando la integral es impropia, la esperanza existe si la integral es convergente.
Propiedades del Valor Esperado:
1.) La esperanza matemática de una constante, es igual a la constante: E(k) = k
2.) La esperanza matemática de la suma de algebraica de variables aleatorias, es igual a la suma algebraica de las esperanzas matemáticas de cada una de las variables aleatorias.
Página 135 de 177
3.) La esperanza matemática del producto algebraico de variables aleatorias, es igual al producto algebraico de las esperanzas matemáticas de cada una de las variables aleatorias, si y solo si, son estadísticamente independientes. E(X1 * X2 *…*Xn) = E(X1) * E(X2) * … * E(Xn)
4.) La esperanza matemática de las desviaciones de los valores de la variable aleatoria, respecto a la media es cero. E(X – μ) = 0 Luego: E(X) = μ
Lo anterior deja ver que la esperanza matemática es un parámetro o característica de la tendencia central de la distribución.
5.) Si la variable aleatoria X se le suma una constante, la esperanza matemática de la variable queda modificada en la constante; es decir; un cambio del origen en la variable aleatoria, afecta su esperanza matemática. E(X + k) = E(X) + K
6.) Si una variable aleatoria X se le multiplica por una constante, su esperanza matemática también queda multiplicada por la constante. Un cambio en la escala de la variable aleatoria, afecta su esperanza matemática. E(k*X) = kE(X) Para k = Constante
7.) La esperanza matemática de una transformación lineal de una variable aleatoria, será la transformación lineal de la esperanza matemática de la variable aleatoria. E(a + bX) = a + bE(X).
Ejemplo No 81:
En un pedido de 12 computadores se incluyen 2 de marca DELL, si se seleccionan 3 aparatos aleatoriamente para hacer un despacho. ¿Cuántos aparatos de marca DELL pueden ser despachados?
Solución:
El planteamiento: x computadores de marca DELL y 3 – x computadores de otras marcas. El total de aparatos a seleccionar es: ( ) Computadores marca DELL ( ) Computadores de otras marcas (
)
La función de probabilidad cuya variable aleatoria X son los computadores de marca DELL despachados será: ( ) ( )( ) ( ) Para x = 0, 1, 2 Entonces: X 0 1 2 f(x) 6/11 9/22 1/22
Con estos datos se calcula E(X). Como la variable aleatoria es discreta, entonces: E(X) = 0*6/11 + 1*9/22 + 2*1/22 = 1/2. El promedio de envíos repetidos es 1/2.
Ejemplo No 82:
Sea la variable aleatoria X con función de densidad f(x) = 1/3 x2 Para -1 < X < 2
Solución:
A partir de la definición y por las propiedades de la esperanza matemática. E(g(X)) = E(4X + 3) = 4E(X) + 3
( ( )) ∫ ∫ ( ) ( ( )) ( ( )) ( )
Página 136 de 177
VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Se sabe que la media o valor esperado describe el lugar donde se centra la distribución de probabilidad, pero no ofrece una descripción adecuada de la forma de la distribución. Es pertinente y necesario caracterizar la variabilidad de dicha distribución. La medida de variabilidad más importante en estadística es la varianza de la variable aleatoria o de la distribución de probabilidad.
Caso Discreto:
DEFINICIÓN: Sea X una variable aleatoria discreta, con distribución de probabilidad f(x) y media μ, entonces la varianza de X está dada por la siguiente expresión:
( ) [( ) ] ∑( ) ( )
Donde (x - μ) se conoce como la desviación de las observaciones respecto a la media. Esta al ser evaluada al cuadrado y luego promediadas, serán menores para valores de x muy cercanas a μ.
Una forma alternativa para la varianza es: ( ) ( )
Ejemplo No 86:
Sea la variable aleatoria X que representa las funciones de distribución A y B.
x 0 1 2 3 4
A f(x) 0.3 0.4 0.3
B f(x) 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1
a-) Hallar la varianza de X en el caso A b-) Hallar la varianza de X en el caso B
c-) Cual de las dos distribuciones tiene menor varianza
Solución:
a-) Primero se calcula E(X) = μ = 1*0.3 + 2*0.4 + 3*0.3 = 2.0 ( ) ∑( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b-) E(X) = μ = 0*0.2 + 1*0.1 + 2*0.3+3*0.3+4*0.1 = 0+0.1+0.6+0.9+0.40 = 2.0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
c-) La varianza del caso B es mayor que la varianza del caso A, así la varianza del caso A es menor, lo que indica que la función de distribución de la variable A es más estable que la B.
Caso Continuo:
DEFINICIÓN: Sea X una variable aleatoria continua, con función de densidad de de probabilidad f(x) y media μ, entonces la varianza de X está definida como sigue a continuación:
( ) [( ) ] ∫ ( ) ( )
Ejemplo No 87:
La demanda mensual de un producto está dada por la variable aleatoria X, cuya función de densidad se define como:
Página 137 de 177
( ) { ( )
Hallar la varianza de X.
Solución:
Por de definición ( ) [( ) ] ∫ ( ) ( ) Así que debemos hallar primero la media. ( ) ∫ [ ( )] ∫( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) Ahora si podemos hallar la varianza. ( ) ∫( ) ( ) ∫( )
( ) ( )
Desarrollando el mismo ejercicio, utilizando la forma alternativa de la varianza. ( ) ( ) Primero: ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) Segundo: ( ) ( ) Propiedades de la Varianza:
1. La varianza es siempre no negativa, Como ( ) entonces: ( ) Cuando la varianza es cero, los fenómenos se conocen como distribuciones degenerativas o causales.
2. La varianza de una constante es cero. ( ) Para K = Constante
3. La varianza de la suma de dos variables aleatorias, es igual a la suma algebraica de las varianzas de dichas variables aleatorias mas dos veces su covarianza. ( ) ( ) ( ) ( )
4. Si a una variable aleatoria se le suma o resta una constante, la varianza no cambia. ( ) ( ) ( ) ( )
5. Si a una variable aleatoria se le multiplica por una constante, la varianza se modifica, tal que la constante queda al cuadrado y multiplicada por la varianza de la variable aleatoria. ( ) ( )
6. El error cuadrado medio (ECM) es la dispersión de la variable aleatoria entorno a un origen K, dicho error se hace mínimo cuando coinciden con la varianza. ( ) ( ) ( )
Página 138 de 177