Divisores elementales y factores invariantes

8.5. Divisores elementales y factores invariantes

Sea M  un R-m´odulo p-primario finitamente generado. El invariante de M   definido por los corolarios 8.4.3 y  8.4.4 se denota por

(n1, . . . , nt) p, 1 ≤ n1 ≤ ·· · ≤ nt.

Recordemos que si M  es un R-m´odulo finitamente generado y de torsi´on, el conjunto P M , definido por

P M := { p ∈ P | M ( p) = 0},

es finito y ´unico para M , donde P  es la colecci´on de irreducibles de  R y M ( p) _{es la}

componente p-primaria de M  (v´ease la demostraci´on del corolario 8.1.7).

Definici´on 8.5.1. Sea M  un R-m´ odulo finitamente generado y de torsi´ on. La co- lecci´ on 

{(n1, . . . , nt) p | 1 ≤ n1 ≤ ·· · ≤ nt} p∈P M 

definida por las componentes primarias de M   se denomina sistema de   divisores

elementales de M .

Los resultados de las secciones precedentes se pueden resumir en el siguiente teo- rema de estructura de los m´odulos finitamente generados sobre dominios de ideales principales.

Teorema 8.5.2. Sea M  un R-m´ odulo finitamente generado. Entonces, M   se des- compone en suma directa de su subm´ odulo de torsi´ on T (M )  y un subm´ odulo libre  N :

M  = T (M ) ⊕ N.

La parte libre N   est´ a un´ıvocamente determinada salvo isomorfismo. M´ as exacta- mente, existe un ´ unico entero r ≥ 0  tal que N  ∼= Rr (si M   es de torsi´ on r = 0 y  N  = 0). La parte de torsi´ on T (M ) es ´ unica y est´ a conformada por los elementos de  torsi´ on de  M . T (M ) es suma directa finita de sus componentes primarias, es decir, existe un conjunto finito p1, . . . , ps de elementos irreducibles de R, ´ unicos para M ,

tales que 

T (M ) = T (M )( p1) _{⊕ · · · ⊕ T (M )}( ps)_.

Cada componente primaria  T (M )( p) _{es una suma directa finita de subm´ odulos c´ıcli-}

cos 

T (M )( p) ∼= R pn1 ⊕ · · · ⊕ R _pnt,

con 1 ≤ n1 ≤ ·· · ≤ nt. T (M )( p) est´ a un´ıvocamente determinado por (n1, . . . , nt) p, y 

a su vez, T (M ) est´ a un´ıvocamente determinado por sus divisores elementales: (n11, · · · , n1t1) p1, 1 ≤ n11 ≤ ·· · ≤ n1t1

..

. ...

72 CAP´ITULO 8. M ´ODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE  DIPS 

Demostraci´ on. La demostraci´on se sustenta con todos los resultados precedentes. Sea M  un R-m´odulo finitamente generado y de torsi´on; reordenando las compo- nentes primarias de M  se obtiene una versi´on alterna del teorema de estructura a trav´es de los llamados factores invariantes de M . Sean

(n11, · · · , n1t1) p1, 1 ≤ n11 ≤ ·· · ≤ n1t1

... ...

(ns1, · · · , nsts) ps, 1 ≤ ns1 ≤ ·· · ≤ nsts

los divisores elementales de M ; completando con ceros desde la izquierda en cada fila y reindizando podemos suponer que t1 = · · · = ts = m y construir la matriz





n...11 · · · n...1 j · · · n1...m ns1 · · · nsj · · · nsm





,

con 0 ≤ ni1 ≤ ·· · ≤ nim, 1 ≤ i ≤ s. N´otese que cada columna tiene por lo menos un

elemento no nulo.

Definici´on 8.5.3.  Se denomina  j-´esimo   factor invariante de  M   al elemento a j ∈ R definido por  a j := s



i=1  pnij i , 1 ≤ j ≤ m.

N´otese que a j = 0, a j ∈ R/ ∗ para cada 1 ≤ j  ≤ m y adem´as

para j ≤ k , a j | ak.   (8.5.1)

De otra parte, para cada 1 ≤ j ≤ m se tiene el R-isomorfismo Raj ∼= R _pn1j 1 ⊕ · · · ⊕ R p nsj s . En efecto, la funci´on R −f → R/ pj n1j 1    ⊕ · · · ⊕ R/ pnssj r → (r , . . . , r) es un R-homomorfismo con n´ucleo ker(f  j) =

s



i=1  pnij i  =  p n1j 1 · · · p nsj s  = a j. Por el

teorema chino de residuos f  j  es sobreyectivo (v´ease [18]). Ya que los sumandos de

una suma directa son permutables, los isomorfismos anteriores inducen a su vez M  ∼= Ra1 ⊕ · · · ⊕ Ram.   (8.5.2)

8.5. DIVISORES ELEMENTALES Y FACTORES INVARIANTES 73

Por la proposici´on 5.3.7, los factores invariantes a1, . . . , am de M   son ´unicos salvo

invertibles de R, es decir, si  b1, . . . , bn son elementos no nulos y no invertibles de  R

que satisfacen (8.5.1) y (8.5.2), entonces n = m y adem´as a j = b ju j con ui ∈ R∗,

1 ≤ j ≤ m. Hemos demostrado la siguiente proposici´on.

Proposici´on 8.5.4. Sea M  un R-m´ odulo finitamente generado y de torsi´ on. En- tonces existen elementos a1, . . . , am ∈ R, no nulos y no invertibles, tales que 

ai | a j,   para 1 ≤ i ≤ j ≤ m

y 

M  ∼= Ra1 ⊕ · · · ⊕ Ram.

Salvo factores invertibles, la sucesi´ on (a1, . . . , am) es ´ unica para M  (los   factores

invariantes de M ).

Queremos extender el resultado anterior a cualquier m´odulo finitamente gene- rado. Para esto necesitamos algunos conceptos y resultados de ´algebra lineal sobre anillos (v´ease [19]). Recordemos que M n(R) denota el anillo de matrices cuadradas

sobre R de tama˜no n × n, la equivalencia  de dos matrices F, G ∈ M n(R) se define

por G =  DF C , con D, C  ∈ GLn(R) = M n(R)∗ = grupo de matrices invertibles de

M n(R). Existe un isomorfismo de R-m´odulos entre HomR(Rn, Rn) y M n(R) que a

cada homomorfismo f  le asigna una matriz F  calculada en la base can´onica de Rn_.

Notemos que I m(f ) coincide con el R-subm´odulo de Rn _{generado por las columnas}

de F . Adem´as, dos matrices F  y G de M n(R) son equivalentes si, y s´olo si, repre-

sentan el mismo homomorfismo f  pero en diferentes bases. Finalmente, en  GLn(R)

se tienen tres tipos de  matrices elementales, correspondientes a la realizaci´on de operaciones elementales sobre las filas y columnas de matrices de M n(R): las

permutaciones, es decir, matrices de la forma P ij := E  − E ii − E  jj + E ij + E  ji,

las diagonales Di(r) := diag(1, . . . , 1, r, 1, . . . , 1) = E  + E ii · (r − 1), con r ∈ R∗

en la i-´esima componente, y las  propiamente elementales, tambi´en llamadas transvecciones, T ij(a) := E  + E ij · a, con a ∈ R, i = j.

Teorema 8.5.5 (Forma normal de Smith). Sea F  ∈ M n(R). Entonces existen 

elementos d1, . . . , dn ∈ R tales que F  es equivalente a una matriz diagonal 





d1 . .. 0

0 dn





, en la cual si i ≤ j y di = 0, entonces di | d j.

74 CAP´ITULO 8. M ´ODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE  DIPS 

Demostraci´ on.  La prueba se efectuar´a por inducci´on sobre n. Para n = 1 no hay algo que mostrar. Sea n ≥ 2. Sup´ongase la afirmaci´on cierta para todas las matrices de orden n − 1 y sea F  = [aij] ∈ M n(R). Si F   = 0 no hay m´as que establecer.

Sea F  = 0. Multiplicando por matrices de permutaci´on, si es necesario, podemos suponer que a11 = 0. Consideremos entonces tres casos posibles.

Caso 1. a11 ∈ R∗. Multiplicando por una matriz diagonal y por matrices propia-

mente elementales, F  resulta equivalente a una matriz de la forma



1 0 0 B



,

B ∈ M n−1(R). Aplicando inducci´on y el homomorfismo natural de grupos

GLn−1(R) → GLn(R) (8.5.3)

se obtiene el resultado pedido.

Caso 2. a11 ∈ R/ ∗, pero a11 | a1 j, a11 | ai1, para todo 1 ≤ i, j ≤ n. Multiplicando por

matrices propiamente elementales, F  es equivalente a una matriz de la forma



a11 0

0 B



,

B ∈ M n−1(R). Aplicando inducci´on y el homomorfismo (8.5.3) F  resulta equivalente

a una matriz de la forma







a11 d2 . .. dn







,   (8.5.4)

donde di | d j, para 2 ≤ i ≤ j, di = 0. Si a11 | d2 la prueba ha terminado. En caso

contrario la matriz de (8.5.4) resulta equivalente a la matriz







a11 d2 · · · 0 0 d2 . .. 0 dn







  (8.5.5)

y podemos proceder como en el siguiente caso 3.

Caso 3 . a11 ∈ R/ ∗ y existe al menos un elemento no diagonal en la primera

fila o en la primera columna de F   al cual a11 no divide. Consideremos la primera

posibilidad (la segunda es de tratamiento an´alogo). Utilizando permutaciones, si ello es necesario, podemos suponer que a11   a12. Sea a11 =: m.c.d.(a11, a12); notemos que

8.5. DIVISORES ELEMENTALES Y FACTORES INVARIANTES 75

tales que a₁₁ = ra11 + sa12, r, s ∈ R; sean adem´as r, s ∈ R tales que a11 = a11r,

a12 = a₁₁s. Entonces a₁₁ = ra₁₁ r + sa₁₁s, 1 = rr + ss y la matriz

C  :=







r −s 0 s r 1 . .. 0 1







∈ GLn(R),

as´ı pues, multiplicando la matriz F  por C  a la derecha resulta F   equivalente a la matriz







a₁₁ 0   ∗ · · · ∗ ∗ ... ∗ ∗







,

donde * indica elementos de R. Si a₁₁ ∈ R∗ regresamos al caso 1 y la prueba termina. Si a₁₁ ∈ R/ ∗ _{podemos repetir el razonamiento de los casos 2 y 3. Sin embargo, notemos}

que el proceso termina al cabo de un n´umero finito de pasos ya que lo contrario se obtendr´ıa la sucesi´on infinita ascendente de ideales a11  a11  a11  a11 

· · · , lo cual es imposible (v´ease [18]).

Si se observa con detalle la prueba efectuada, esta se puede aplicar tambi´en a matrices rectangulares. Los elementos d1, . . . , dn se denominan los  factores inva-

riantes de F .

Proposici´on 8.5.6. Los factores invariantes de una matriz  F  ∈ M n(R) son ´ unicos,

salvo factores invertibles.

Demostraci´ on.  Sean P,Q, H, G matrices invertibles tales que

P F Q =





d1 . .. 0 0 dn





, H F G =





 p1 . .. 0 0 pn





. Sea f  : Rn _→ Rn _{el R-homomorfismo defindo por F , es decir,}

f [r1, . . . , rn]T  := F [r1, . . . , rn]T ;

notemos que P F Q y HF G son equivalentes, luego definen el mismo homomorfis- mo f  (simplemente en diferentes bases de Rn_{, v´ease [19]). Por lo tanto, Im(f ) =}

[d1, . . . , 0]T , . . . , [0, . . . , dn]T  = [ p1, . . . , 0]T , . . . , [0, . . . , pn]T , y de esta manera

76 CAP´ITULO 8. M ´ODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE  DIPS 

con ui ∈ R. Resulta, di = piui. Sim´etricamente, pi = diz i, con z i ∈ R. De esta forma,

di = diz iui, y entonces para cada 1 ≤ i ≤ n se tiene que di = 0 = pi ´o pi = diz i, con

z i ∈ R∗.

Proposici´on 8.5.7 (Teorema de las bases simult´aneas). Sea  M  un R-m´ odulo libre de dimensi´ on finita n ≥ 1  y sea 0 = N  ≤ M  con m = dim(N ). Entonces, existe una base  X  = {x1, . . . , xn} en  M   y elementos  d1, . . . , dn ∈ R de tal forma que 

{x1· d1, . . . , xm· dm} es una base de N   y para 1 ≤ i ≤ j ≤ n con  di = 0 se tiene que 

di | d j.

Demostraci´ on. Sea X  _{= {x}

1, . . . , xn} una base de M . Seg´un la proposici´on 8.2.2,

N   tiene una base Y  = {w₁, . . . , w_m}, con 1 ≤ m ≤ n, m = dim(N ). Expresamos cada w j a trav´es de  X :

w _j =

n



i=1

x_i · bij, i ≤ j ≤ m.

Con notaci´on matricial las relaciones anteriores se pueden escribir de la siguiente manera: [w₁, . . . , wm, 0, . . . , 0] = [x1, . . . , xn]B, con B =







b11 · · · b1m 0 · · · 0 b21 · · · b2m 0 · · · 0 ... ... ... ... bn1 · · · bnm 0 · · · 0







 ∈ M n(R).

Por el teorema  8.5.5, existen matrices invertibles H  y G  de orden n   y elementos d1, . . . , dn ∈ R tales que

D := HBG = diag(d1, . . . , dn),

adem´as, si i ≤ j y di = 0, entonces di | d j. Resulta

[w₁, . . . , w_m, 0, . . . , 0]G = [x₁, . . . , x_n]BG = [x₁, . . . , x_n]H −1D. Sean [w1, . . . , wn] := [w1, . . . , wm, 0, . . . , 0]G y [x1, . . . , xn] := [x1, . . . , xn]H −1.

8.5. DIVISORES ELEMENTALES Y FACTORES INVARIANTES 77

Observemos que {x1, . . . , xn} es una base de M  y

[w1, . . . , wn] = [x1, . . . , xn]D = [x1 · d1, . . . , xn · dn],

es decir,

w j = x j · d j, 1 ≤ j ≤ n.

N´otese que [w

1, . . . , wm , 0, . . . , 0 ] = [w1, . . . , wn]G−1, luego N  = w₁, . . . , wm  =

w1, . . . , wn ⊆ N , es decir, x1 · d1, . . . , xn · dn =  N . Reordenando, y conservando

la divisibilidad, sea {d1, . . . , d p}  la colecci´on de elementos no nulos en el sistema

{d1, . . . , dn}. Entonces, {x1· d1, . . . , x p· d p} es una base de N  y p = m.

Estamos ya en condiciones de presentar la versi´on general de la proposici´on 8.5.4. Teorema 8.5.8. Sea  M  un R-m´ odulo finitamente generado. Entonces existe un  conjunto finito de elementos d1, . . . , dn ∈ R tales que 

M  ∼= Rd1 ⊕ · · · ⊕ Rdn,

y para 1 ≤ i ≤ j ≤ n, si di = 0 entonces di | d j.

  (8.5.6) Los elementos d1, . . . , dn que cumplen (8.5.6) son ´ unicos para M , salvo invertibles,

y se denominan los  factores invariantes de M .

Demostraci´ on. Si M   = 0, entonces M  = R1. Sea M   no nulo. Existen L  libre de

dimensi´on finita n ≥ 1 y f  un homomorfismo sobreyectivo L −→ M . Sea N  := ker(f );f  si N  = 0, M  es libre y sus factores invariantes son d1 = · · · = dn = 0. Sea N  = 0,

seg´un la proposici´on 8.5.7, existe una base X  = {x1, . . . , xn} en L y d1, . . . , dn ∈ R

tales que {x1 · d1, . . . , xm · dm} es una base de N , con m = dim(N ). De este modo,

M  ∼= L/N  = x1 · R ⊕ · · · ⊕ xm · R ⊕ xm+1 · R ⊕ · · · ⊕ xn· R x1d1 · R ⊕ · · · ⊕ xmdm · R

. Veamos por ´ultimo que este cociente es isomorfo a

Rd1 ⊕ · · · ⊕ Rdm ⊕ R ⊕ · · · ⊕ R

    

n−m

,   (8.5.7)

completando as´ı la prueba de (8.5.6) con factores invariantes (d1, . . . , dm, 0, . . . , 0).

Para esto basta considerar el homomorfismo sobreyectivo x1· R ⊕ · · · ⊕ xm · R ⊕ xm+1 · R ⊕ · · · ⊕ xn· R

g

−

→ Rd1 ⊕ · · · ⊕ Rdm ⊕ R ⊕ · · · ⊕ R

x1· r1 + · · · + xm· rm + xm+1· rm+1 +· · · + xn· rn → (r1, . . . , rm, rm+1, . . . , rn)

cuyo n´ucleo es precisamente N . La unicidad de los factores invariantes es consecuen- cia de la proposici´on 5.3.7.

78 CAP´ITULO 8. M ´ODULOS FINITAMENTE GENERADOS SOBRE  DIPS 

In document modulos.pdf (página 78-85)