modulos.pdf

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CUADERNOS DE

CUADERNOS DE ´

ALGEBRA

´

No. 3

M´

odulos

Oswaldo Lezama

Departamento de Matem´

Departamento de Matem´aticas

aticas

Facultad de Ciencias

Universidad Nacional de Colombia

Sede de Bogot´

Sede de Bogot´aa

30 de noviembre de 2016

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ii ii

Cuaderno dedicado a Andreita, mi hija. Cuaderno dedicado a Andreita, mi hija.

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Contenido

Pr´

Pr´ologoologo iviv

1

1. . MM´ódulos, submódulos, submódulos y cocientesodulos y cocientes 11 1.1.

1.1. DefiDefinicniciíón y ejemploson y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.

1.2. 2. SuSubmbmodulosodulos´´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.

1.3. 3. MM´´odulo cocienteodulo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.4.

1.4. EjeEjercirciciocioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100 2

2. . MM´ódulos finitamente generadosodulos finitamente generados 1111 2.1.

2.1. OpeOperacracioniones con sues con subm´bm´odulosodulos . . . . . . . 1111 2.

2.2. 2. SuSubmbmodulos maximalesodulos maximales´´ . . . . . . . 1133 2.3.

2.3. EjeEjemplmplosos . . . . . . . 1155 2.4.

2.4. EjeEjercirciciocioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177 3.

3. HomoHomomorﬁsmorﬁsmosmos 1919

3.1.

3.1. DefiDefinicniciíón y propiedades bón y propiedades básicasasicas . . . . . . . 1199 3.2.

3.2. TTeoreeoremas de homomomas de homomorfismo e isomrfismo e isomorfismoorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2211 3.3.

3.3. EjeEjemplmplosos . . . . . . . 2233 3.4.

3.4. EjeEjercirciciocioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244 4. 4. HoHomm 2626 4. 4.1. 1. El El grgrupoupo H HomomAA((M,M,N N )) . . . . . . . 2266 4.2. 4.2. EjeEjemplmplosos . . . . . . . 2288 4. 4.3. 3. BiBim´m´odulosodulos . . . . . . . 3311 4.4.

4.4. EjeEjercirciciocioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3322 5.

5. ProdProductucto y o y sumsuma direa directacta 3535 5.1.

5.1. ProdProductuctoo . . . . . . . 3355 5.2.

5.2. Suma Suma direcdirecta eta exterxternana . . . . . . . 3366 5.3.

5.3. ProPropiepiedaddadeses . . . . . . . 3377 5.4.

5.4. EjeEjercirciciocioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4444 iii

(5)

iv CONTENIDO

6. Suma directa interna 45

6.1. Deﬁnici´on y caracterizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2. Sumando directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7. Módulos libres 52 7.1. Definición y caracterizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.2. Cardinalidad de las bases . . . 54

7.3. M´odulos libres y homomorﬁsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8. Módulos finitamente generados sobre DIPs 63 8.1. Módulos de torsión . . . 63

8.2. M´odulos sin torsi´on . . . 65

8.3. Rango . . . 67

8.4. Componentes primarias . . . 68

8.5. Divisores elementales y factores invariantes . . . . . . . . . . . 71

8.6. Grupos abelianos ﬁnitamente generados . . . 78

8.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

(6)

Pr´

ologo

La colección Cuadernos de ´ algebra consta de 10 publicaciones sobre los principales temas de esta rama de las matemáticas, y pretende servir de material para preparar los exámenes de admisión y de candidatura de los programas colombianos de doc-torado en matemáticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material básico de los cursos de estructuras algebraicas y álgebra lineal de los programas de maestr´ıa; los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los exámenes de candidatura, a saber: anillos y módulos; categor´ıas; álgebra homológica; álgebra no conmutativa; álgebra conmutativa y geometr´ıa algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los últimos 25 años, y están basados en las fuentes bibliográficas consignadas en cada uno de ellos, como también en el libro Anillos, M´ odulos y Categor´ıas , publi-cado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edición está totalmente agotada (véase [15]). Un material similar, pero mucho más completo que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge Lang, Algebra , cuya tercera edición revisada ha sido publicada por Springer en el 2004 (véase [14]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de ´ algebra sea su pre-sentación ordenada y didáctica, as´ı como la inclusión de muchas pruebas omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teor´ıa. Los cuadernos son:

1. Grupos 6. Anillos y m´odulos 2. Anillos 7. Categor´ıas

3. Módulos 8. Álgebra homológica 4. Álgebra lineal 9. Álgebra no conmutativa 5. Cuerpos 10. Geometr´ıa algebraica

Los cuadernos están divididos en cap´ıtulos, los cuales a su vez se dividen en secciones. Para cada cap´ıtulo se añade al final una lista de ejercicios que deber´ıa ser complementada por los lectores con las amplias listas de problemas que incluyen las principales monograf´ıas relacionadas con el respectivo tema.

Cuaderno de m´ odulos. Los grupos abelianos, las álgebras asociativas y los espacios vectoriales pueden ser considerados como estructuras particulares de la teor´ıa general de módulos. Aunque históricamente las tres estructuras mencionadas precedieron a la teor´ıa de módulos sobre anillos, esta última las generaliza y les sirve

(7)

vi PR ´OLOGO

de soporte teórico. Para señalar solo un caso, podemos decir que en los últimos años se ha venido estudiando con bastante intensidad el álgebra lineal sobre anillos, la cual se fundamenta primordialmente en la teor´ıa de módulos sobre anillos conmutativos (véase por ejemplo [22]). El propósito de este cuaderno es presentar los conceptos y resultados elementales concernientes a módulos sobre anillos arbitrarios. Se destacan especialmente los teoremas de homomorfismo, correspondencia e isomorfismo. El lema 4.1.3 (lema de Schur ) describe los anillos de endomorfismos de módulos simples. En el cap´ıtulo 7 se caracterizan los módulos libres como sumas directas externas de copias del anillo A (teorema 7.2.5), o bien, a través de funciones extendibles de manera única a homomorfismos (teorema 7.3.1). El estudio detallado de los módulos finitamente generados sobre dominios de ideales principales se realiza en el último cap´ıtulo. Esto permite probar en forma rigurosa el teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados, y con el teorema 5.3.6, calcular su grupo de endomorfismos.

Hemos procurado presentar una gran variedad de ejemplos que complementan la teor´ıa. En particular, se destacan R p∞ y Q_Z, el primero de ellos corresponde a

un módulo irreducible no c´ıclico pero en el cual todos sus submódulos propios son c´ıclicos. El segundo es también un módulo irreducible sin submódulos maximales ni minimales.

La teor´ıa de módulos que desarrollaremos en el presente cuaderno, y que usare-mos posteriormente en otros cuadernos de la colección, se hará por el lado derecho, es decir, salvo que se advierta lo contrario, todo módulo será con escalares a derecha. Por supuesto, y como veremos, para módulos sobre anillos conmutativos todo módulo derecho lo es a izquierda, y vicecersa. Los anillos aqu´ı considerados son asociativos, con unidad, pero no necesariamente conmutativos. Si f es un homomorfismo de anillos, entonces f (1) = 1. Salvo que se advierta lo contrario, un anillo arbitrario será denotado con la letra A, un anillo conmutativo por R y un dominio de integri-dad mediante la letra D. Para n ≥ 1, M n(A) es el anillo de matrices cuadradas de

tama˜no n × n, GLn(A) denota el grupo lineal general de orden n sobre A. La matriz

id´entica de tama˜no n × n la escribiremos como E n.

El autor desea expresar su agradecimiento a Sandra Patricia Barragán Moreno, colega y amiga, por la digitalización del material del presente cuaderno, a Claudia Milena Gallego Joya por la revisión juiciosa de todo el contenido. Finalmente, el autor desea expresar su agradecimiento a Fabio Alejandro Calderón Mateus por la lectura cuidadosa y las correcciones finales introducidas al presente cuaderno.

Oswaldo Lezama Departamento de Matem´aticas Universidad Nacional de Colombia Bogot´a, Colombia [email protected]

(8)

Cap´ıtulo 1

M´

odulos, subm´

odulos y cocientes

En este primer cap´ıtulo presentamos la noción de módulo sobre un anillo, as´ı como una cantidad suficiente de ejemplos. Veremos que los grupos abelianos y los espacios vectoriales son casos particulares de esta estructura algebraica. Se introducen además los conceptos de bimódulo y álgebra asociativa sobre un anillo conmutativo.

1.1. Deﬁnici´

on y ejemplos

Definición 1.1.1. Sean (M, +) un grupo abeliano y (A, +, ·, 1) un anillo. Se dice que M tiene una estructura de m´ odulo a la derecha sobre el anillo A, si se ha definido un producto entre elementos de M y de A

M × A −→ M (m, a) −→ m · a para el cual se cumplen las siguientes condiciones:

(i) (m1 + m2)· a = m1· a + m2 · a

(ii) m · (a1 + a2) = m · a1 + m · a2

(iii) m · (a1a2) = (m · a1)· a2

(iv) m · 1 = m

con m, m1, m2 ∈ M , a, a1, a2 ∈ A.

De manera similar se definen los m´ odulos a izquierda sobre el anillo A, de tal manera que se puede desarrollar toda la teor´ıa de módulos trabajando a izquierda. En adelante, si no se advierte lo contrario, la palabra módulo denotará módulo a la derecha. Un módulo a la derecha sobre A será denotado por M A, o simplemente

(9)

2 CAPÍTULO 1. M ÓDULOS, SUBM ÓDULOS Y COCIENTES

por M si es claro el anillo sobre el cual se define la estructura de módulo. También se dirá que M es un A-módulo. Tanto el elemento nulo del grupo (M, +) como el elemento nulo del anillo (A, +, ·, 1) serán denotados por 0. Siguiendo la terminolog´ıa usada en espacios vectoriales, los elementos del grupo M se denominan vectores y los del anillo A escalares.

Ejemplo 1.1.2. Sea (M, +, 0) un grupo abeliano. Los m´ultiplos enteros de elemen-tos de M se deﬁnen inductivamente:

m · 1 := m m · k := m · (k − 1) + m, k ≥ 2 m · 0 := 0 m· (−k) := (−m) · k, k ∈ Z+





m ∈ M , k ∈ Z +_;

es fácil probar que M es unZ-módulo. As´ı pues, cada grupo abeliano es un Z-módulo. Ejemplo 1.1.3. Cada grupo abeliano (M, +) es módulo a la izquierda sobre su anillo E nd(M ) de endomorfismos respecto de la siguiente operación:

f · m := f (m), m ∈ M , f ∈ End(M ).

Ejemplo 1.1.4. Si T es un anillo de división, entonces cada espacio vectorial sobre T es un T -módulo a izquierda (para los espacios vectoriales los escalares son dispuestos habitualmente a izquierda). As´ı pues, el álgebra lineal puede ser considerada como una rama particular de la teor´ıa de módulos.

Ejemplo 1.1.5. Sea A un anillo y sea M n (A) su anillo de matrices cuadradas de

orden n. El producto

a · F := a · [f ij] = [af ij],

da a M n (A) estructura de A-módulo a izquierda. En forma análoga se define la

estructura de A-m´odulo por el lado derecho.

Ejemplo 1.1.6. Sea A un anillo, el anillo de sucesiones formales A [[x]] (v´ease [18]) tiene estructura de A-m´odulo:

(a0, a1, a2, . . .) · a := (a0a, a1a , . . .), a ∈ A.

De igual manera, el anillo de polinomios A [x] es un A-m´odulo:

(a0 + a1x + · · · + anxn)· a := a0a + a1ax + · · · + anaxn, a ∈ A.

Las estructuras de A-módulo por el lado izquierdo se definen en forma similar. Ejemplo 1.1.7. Cada anillo A tiene estructuras naturales de A-módulo izquierdo y A-módulo derecho:

(10)

1.1. DEFINICI´ON Y EJEMPLOS 3

a · x := ax, x · a := xa, a, x ∈ A.

A presenta diferentes propiedades bajo estas dos estructuras, las denotaremos por

AA y AA, respectivamente.

Ejemplo 1.1.8. Si A es un anillo e I es un ideal derecho de A, entonces el grupo abeliano cociente A/I tiene una estructura natural de A-m´odulo:

x · a := xa, x = x + I , x, a ∈ A.

La estructura izquierda resulta al considerar un ideal izquierdo. Este ejemplo será gen-eralizado mediante la definición 1.3.1.

Ejemplo 1.1.9. Si A es un anillo, entonces el grupo aditivo del anillo producto An _{= A × · · · × A, conformado por todos los}_{vectores columna de longitud}_n

con entradas en A, es un A-m´odulo con la operaci´on

(a1, . . . , an)T · a := (a1a , . . . , ana)T , a ∈ A.

El conjunto de vectores ﬁla de longitud n con entradas en A se denota por A1×n_,

y tiene estructura natural de A-m´odulo izquierdo dada por a · (a1, . . . , an) := (aa1, . . . , a an).

En los ejemplos anteriores hemos considerado tanto m´odulos izquierdos como derechos. Es oportuno hacer la siguiente aclaraci´on.

Observación 1.1.10. Sea A un anillo, dado un módulo izquierdo (derecho) M sobre A, no siempre se puede convertir a M en módulo derecho (izquierdo) con sólo cambiar el lado de la acción de los escalares. En efecto, sea V el grupo abeliano definido por

V := {e, a, b, ab} , a2 _= b2 _{= e, ab = ba}

y consideremos las funciones

G −→ Gf e −→ e a −→ a b −→ ab ab −→ b G −→ Gg e −→ e a −→ b b −→ a ab −→ ab

que resultan ser endomorfismos para los cuales se tiene que f ◦ g = g ◦ f ; sea A = End(V ) su anillo de endomorfismos. Según el ejemplo 1.1.3, el producto

(11)

convierte a V en A-m´odulo izquierdo. Deﬁnamos

m × h := h · m = h (m), h ∈ A, m ∈ V .

N´otese que a×(fg) = (a × f )×g, con lo cual este producto no da a V una estructura de A-m´odulo derecho.

Sin embargo, si R es un anillo conmutativo y M es un R-m´odulo derecho, en-tonces el producto

r · m := m · r, m ∈ M , r ∈ R, convierte a M en un R-m´odulo izquierdo:

1· m = m · 1 = m;

(r1 + r2)· m = m · (r1 + r2) = m · r1 + m · r2 = r1· m + r2 · m;

(m1 + m2)· r = r · (m1 + m2) = r · m1 + r · m2 = m1· r + m2· r;

(r1 · r2) · m = m · (r1 · r2) = m · (r2 · r1) = (m · r2)· r1 = (r2· m) · r1 = r1 · (r2· m).

En resumen, la teor´ıa abstracta de módulos se puede desarrollar por la izquierda o por la derecha. Sin embargo, un ejemplo particular de A-módulo derecho no siempre es un A-módulo izquierdo.

De manera inmediata se tienen las siguientes propiedades elementales. Proposici´on 1.1.11. Sea A un anillo y M un A-m´ odulo. Entonces,

(i) Para cada m ∈ M y a ∈ A, 0· a = 0,

(−m) · a = − (m · a) = m · (−a), m · 0 = 0,

(−m) · (−a) = m · a.

(ii) Si f : A −→ A es un homomorﬁsmo de anillos, entonces el producto m · a _{:= m · f (a}₎_, _a _∈ A_, _m ∈ M_,

convierte a M en A-m´ odulo.

Demostraci´ on. La dejamos como ejercicio al lector.

Es posible considerar a ambos lados dos estructuras de m´odulo sobre un mismo grupo abeliano.

Deﬁnici´on 1.1.12. Sean A1, A2 anillos. Se dice que el grupo abeliano M es un

(12)

1.2. SUBM ´ODULOS 5

(a · m) · b = a · (m · b), a ∈ A1, b ∈ A2, m ∈ M .

Ejemplo 1.1.13. Todo grupo abeliano M es un E nd(M )-Z-bim´odulo:

f ·(m · k) = f (m · k) = f (m + · · · + m) = f (m)+· · ·+f (m) = f (m)·k = (f · m)·k para f ∈ End(M ), m ∈ M , k ∈ Z+. Para k = 0, ´o, (−k) ∈ Z+, se establece an´alogamente que f · (m · k) = (f · m) · k.

Ejemplo 1.1.14. Cada anillo A es un A-A-bimódulo. Si R es un anillo conmutativo, cada R-módulo es un R-R-bimódulo.

Ejemplo 1.1.15. Cada A-módulo derecho es unZ-A-bimódulo. Análogamente, cada A-módulo izquierdo es un A-Z-bimódulo.

Ejemplo 1.1.16. M n (A) es un A-M n (A)-bim´odulo. Tambi´en, A [[x]] es un A

[[x]]-A-bim´odulo.

Según los ejemplos 1.1.2 y 1.1.4, los grupos abelianos y los espacios vectoriales son casos particulares de módulos. La teor´ıa de módulos es también generalización de las llamadas álgebras asociativas, como veremos a continuación.

Deﬁnici´on 1.1.17. Sea R un anillo conmutativo. Se dice que el anillo A es una R-´ algebra si A tiene estructura de R-m´ odulo, y adem´ as,

(ab) · r = a (b · r) = (a · r) b, para cada a, b ∈ A y r ∈ R.

Ejemplo 1.1.18. Sea R un anillo conmutativo. Entonces, M n (R), R [[x]], R [x] son

R-´algebras. Todo anillo A es una Z-´algebra. Si K es un cuerpo y V es un K -espacio vectorial, entonces el anillo de transformaciones lineales de V , EndK (V ), es

una K -álgebra. Este último es un caso particular de la proposición 4.1.1 (iv) que veremos más adelante.

1.2. Subm´

odulos

Deﬁnici´on 1.2.1. Sea M un A-m´ odulo y N un subconjunto no vac´ıo de M . Se dice que N es un A-subm´ odulo de M o, simplemente, un subm´ odulo de M , si N es un subgrupo del grupo (M, +), y adem´ as

n · a ∈ N , para cada n ∈ N y cada a ∈ A.

Se escribe N ≤ M . Los subm´ odulos triviales de M son 0 = {0} y M . Un subm´ odulo de M que no coincide con ´el se dice propio. El m´ odulo M = 0 se dice simple si sus ´ unicos subm´ odulos son los triviales. Un subm´ odulo N = M se dice maximal en M , si

(13)

N ⊆ N  ⇔ N  _= N_{, ´}_o, _N _= M_,

para cada subm´ odulo N  de M . Un subm´ odulo N = 0 se dice minimal en M , si N  ⊆ N ⇔ N  _= N_{, ´}_o, _N _{= 0}_,

para cada subm´ odulo N  _de_M_.

Observación 1.2.2. En la colección de submódulos de un módulo M la relación ser subm´ odulo es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Además, si N y N  _{son submódulos}

de M , se tiene que

N ⊆ N  ⇐⇒ N ≤ N .

Ejemplo 1.2.3. Sea M un A-m´odulo y m ∈ M . El conjunto {m := {m · a | a ∈ A} = m · A,

es un submódulo de M llamado subm´ odulo c´ıclico generado por m. Diremos además que M es c´ıclico, si existe m ∈ M tal que {m = M . Para módulos a izquierda usaremos la notación m}.

Considerando A como A-módulo derecho, entonces sus submódulos son pre-cisamente sus ideales derechos; los ideales izquierdos corresponden a la estructura izquierda (véase el ejemplo 1.1.7).

Ejemplo 1.2.4. Los submódulos de un grupo abeliano son sus subgrupos. As´ı pues, los submódulos deZ son de la forma n, n ≥ 0, es decir, coinciden con sus subgrupos y con sus ideales. Además,

 p es maximal ⇔ p es primo.

Z no tiene submódulos minimales: 2n  n, n = 0. Aprovechamos este ejemplo para hacer la siguiente observación: todo anillo A puede ser considerado como grupo abeliano, como A-módulo o como anillo, según convenga.

Ejemplo 1.2.5. Si K es un cuerpo y V un K -espacio vectorial, los submódulos de V son sus subespacios. Si V es de dimensión finita n, entonces sus submódulos maximales son los subespacios de dimensión n − 1, y los minimales los de dimensión 1. Si V es de dimensión infinita con base X , entonces para cada x ∈ X , sea Y x :=

X − {x}. N´otese que Y x es maximal. Los subespacios minimales son como en el

caso ﬁnito.

(14)

1.2. SUBM ´ODULOS 7

Ejemplo 1.2.7. Sean T un anillo de divisi´on y M n (T ), n ≥ 2, el anillo de matrices

de orden n sobre T . Se conoce que M n (T ) es un anillo simple (v´ease [18]), es decir,

M n (T ) posee sólo dos ideales biláteros; sin embargo, M n (T ) como módulo sobre T

no es simple. En efecto, veamos que si

M r := {A = [aij] ∈ M n (T ) | aij = 0, para i = r}, es decir, M r =





0 T · · · T 0





(ﬁla r-´esima), entonces:

(i) M r es un T -subm´odulo no minimal de M n (T ).

(ii) M r es un ideal minimal derecho de M n (T ).

Veamos la demostraci´on. (i) Claramente M r es un T -subm´odulo de M n (T ). Sea

ahora M 1r el conjunto de matrices A = [aij] ∈ M n (T ) tales que aij = 0 para i = r,

´o, j = 1, es decir, M 1r =





T 0 · · · 00 0





.

Es claro que 0  M 1r  M r (ya que n ≥ 2), luego M r no es minimal en M n (T ).

(ii) Dados A = [aij] ∈ M r y B = [bij] ∈ M n (T ), sea C = AB = [cij], donde

cij =



n_k₌₁aikbkj. Para i = r, aik = 0, con lo cual cij = 0, de donde C ∈ M r, y por

lo tanto, M r es un ideal derecho de M n (T ).

Sea ahora I un ideal derecho no nulo de M n (T ) incluido en M r. Si A = [aij] = 0

es un elemento de I , entonces arq = 0 para alg´un q , 1 ≤ q ≤ n, y para cada j se

tiene que

AE qj = (



n_k₌₁E rk · ark) E qj = E rj · arq ∈ I ,

donde E ij es la matriz cuya única entrada no nula es 1 y está en la intersección

de la ﬁla i con la columna j, 1 ≤ i, j ≤ n, v´ease [18]. Si B = [bij] es un elemento

cualquiera de M r, entonces

(E rj · arq)



E jj · a−1rq brj



= E rj · brj ∈ I ,

para cada 1 ≤ j ≤ n, de donde B ∈ I . Por lo tanto M r = I y M r es minimal derecho

(15)

Proposici´on 1.2.8. Sea M un A-m´ odulo. Entonces,

(i) M es simple ⇔ M = 0 y para cada elemento no nulo m ∈ M se cumple M = {m.

(ii) Sea N un subm´ odulo no nulo de M , N es minimal en M ⇔ N es simple. Demostraci´ on. (i) ⇒): Por deﬁnici´on M = 0. Sea m = 0 en M , entonces 0 =

{m ≤ M , con lo cual M = {m.

⇐): Sea 0 = N ≤ M ; existe entonces n = 0 en N , y por la hip´otesis, {n = M , de aqu´ı M = N .

(ii) Evidente.

1.3. M´

odulo cociente

Dados un módulo M y un submódulo N , construimos el grupo cociente M/N al cual le damos estructura de A-módulo como sigue:

m · a := m · a, m = m + N, a ∈ A. (1.3.1) La verificación de los axiomas que definen la estructura de módulo es sencilla. Definición 1.3.1. El m´ odulo definido por el producto (1.3.1) se denomina m´ odulo cociente de M por N , y se denota por M/N .

Ejemplo 1.3.2. Si M = Z y N = n, entonces

M/N =Z/ n = Zn, n ≥ 0.

N´otese que Zn puede ser considerado como anillo cociente, grupo cociente o m´odulo

cociente.

Dados un módulo M sobre un anillo A y un ideal bilátero propio I de A, es intere-sante saber bajo qué condición se puede definir sobre el grupo M una estructura natural de A/I -módulo.

Proposici´on 1.3.3. Sea M un m´ odulo sobre el anillo A e I un ideal bil´ atero propio de A, la multiplicaci´ on

m · a := m · a, a = a + I ∈ A/I, m ∈ M (1.3.2) deﬁne una estructura de A/I -m´ odulo sobre M si, y s´ olo si, el conjunto

(16)

1.3. M ´ODULO COCIENTE 9

M · I := {



n_i₌₁mi · ai| mi ∈ M, ai ∈ I , n ≥ 1}

es nulo.

Demostraci´ on. N´otese en primer lugar que M · I es un subm´odulo de M .

⇒): Si x =



n_i₌₁mi · ai ∈ M · I , entonces, seg´un (1.3.2), x =



n_i₌₁mi · ai =



n

i=1mi · 0 = 0, ya que ai ∈ I , 1 ≤ i ≤ n.

⇐): El producto en (1.3.2) est´a bien deﬁnido: sea a = a0 con a, a0∈A, entonces

a − a0 ∈ I , y as´ı m · (a − a0) ∈ M · I , es decir, m · (a − a0) = 0 para cada m ∈ M .

Resulta, m · a = m · a0, es decir, m · a = m · a0. Las propiedades que deﬁnen sobre

M una estructura de A/I -m´odulo se veriﬁcan inmediatamente.

Como observación final notemos que la condición M · I = 0 es equivalente a m · a = 0 para cada cada m ∈ M y cada a ∈ I .

Ejemplo 1.3.4. Si n ≥ 2, no existe ninguna estructura de Zn-m´odulo para Z: en

efecto, si existiera una tal estructura, entonces necesariamente m · 1 = m = m · 1,

para cada m ∈ Z. De aqu´ı obtendr´ıamos entonces que m · k = m · k, para cada k ∈ Zn. Pero según la proposición anterior este producto define una estructura de

Zn-m´odulo para Z si, y s´olo si, Z · n = 0, lo cual evidentemente no es cierto.

Ejemplo 1.3.5. Sean n, m ≥ 2, Zm es Zn-m´odulo si, y s´olo si, m | n. Al igual que

en el ejemplo anterior, si existe una estructura de Zn-m´odulo sobre Zm, entonces

necesariamente x · k = x · k, para cada k ∈ Zn y cada x ∈ Zm. Seg´un la proposici´on

1.3.3 esto ocurre si, y s´olo si, Zm· n = 0, es decir, si, y s´olo si, 1 · n = n = 0, lo cual

es equivalente a m | n. Esta última condición garantiza junto con (1.3.1) y (1.3.2), que Zm es un Zn-módulo.

Ejemplo 1.3.6. Dados un grupo abeliano M y un anillo A, es posible definir, en algunos casos, dos estructuras diferentes de A-módulo sobre M . Por ejemplo, si R es un anillo conmutativo de caracter´ıstica 2 (véase [18]) y M es un R-módulo con el producto m · r, entonces el producto definido por

m × r := m · r2_{, m ∈ M , r ∈ R}

da a M otra estructura de R-m´odulo. En efecto, m × (r1 + r2) = m · (r1 + r2)2 =

m·(r₁2 + 2r1r2 + r22) = m·r12+m·r22 = m×r1+m×r2; (m1 + m2)×r = (m1 + m2)·r2 =

m1 · r2 + m2 · r2 = m1 × r + m2 × r; m × (r1· r2) = m· (r1 · r2)2 = m · (r21r22) =

(m · r2₁)· r2

2 = (m × r1) × r2; m × 1 = m.

Si M = Z2 [x] = R es el anillo de polinomios sobre Z2 y p(x)q (x) es el producto

corriente de polinomios, entonces

(1 + x) × (1 + x) = (1 + x) (1 + x)2 = (1 + x) (1 + x2) = 1 + x2+ x + x3; (1 + x) (1 + x) = 1 + x2_,

(17)

1.4. Ejercicios

1. Demuestre la proposici´on 1.1.11.

2. Demuestre que (1.3.1) define una estructura de módulo sobre M/N . 3. En la proposición 1.3.3, demuestre que M · I es un submódulo de M .

4. Sean A un anillo cualquiera, n, m ≥ 1 y M m×n (A) el conjunto de matrices

de m ﬁlas y n columnas con entradas en A. Demuestre que M m×n (A) es un

M m (A)-M n (A)-bim´odulo.

5. Deﬁna sobre Z4[x] tres estructuras diferentes de m´odulo.

6. Demuestre que Z no posee ninguna estructura de espacio vectorial sobre Q. 7. Sean A un anillo y F una matriz rectangular de tama˜no m×n con componentes

en A. Demuestre que la colecci´on de vectores X ∈ An _{tales que F X = 0 es un}

subm´odulo de An_.

8. Ilustre con un ejemplo que la unión de dos submódulos de un módulo no es siempre un submódulo.

9. Sea A −→ B un homomorﬁsmo de anillos. Demuestre que B tiene estructuraf natural de A − A-bim´odulo.

10. Considere el conjunto A de matrices cuadradas de la forma



Q R 0 R



. Demuestre que A es una Q-´algebra.

11. Sean A, B anillos y M un A-B-bim´odulo. Demuestre que



A M 0 B



tiene una estructura natural de anillo.

(18)

Cap´ıtulo 2

M´

odulos ﬁnitamente generados

En la teor´ıa general de módulos un lugar muy importante lo ocupan los módulos que se pueden generar con un número finito de elementos. Veremos en el último cap´ıtulo del presente cuaderno que para tales módulos sobre dominios de ideales principales se pueden generalizar algunos resultados de la teor´ıa de grupos abelianos.

2.1. Operaciones con subm´

odulos

Algunas de las operaciones definidas para los ideales de un anillo pueden formularse también para submódulos (véase [18]). As´ı por ejemplo, si es {M i}_i_∈C una colección

no vac´ıa de subm´odulos de un m´odulo M , la intersecci´ on



_i_∈C M i de dicha

colec-ción es claramente un submódulo de M y es, desde luego, el submódulo más grande de M contenido simultáneamente en cada M i, i ∈ C .

Para definir la suma necesitamos considerar primero la generación de submódulos por subconjuntos. Sea S un subconjunto del A-módulo M , denotamos por {S  la intersección de todos los submódulos de M que contienen a S , es decir,

{S  =



_S_⊆_N_≤_M N .

Evidentemente, {S  es el menor submódulo de M que contiene a S . Nótese que, {∅ = 0. Decimos que {S  es el subm´ odulo generado por S ; si además {S  = M se dirá que S es un sistema de generadores para M . Si A = R es un anillo con-mutativo escribiremos S . Decimos que M es un m´ odulo finitamente generado si existe un subconjunto finito S en M tal que

{S  = M .

Proposici´on 2.1.1. Sea M un A-m´ odulo y ∅ = S ⊆ M . Entonces {S  =



n



i=1 si · ai | si ∈ S , ai ∈ A, n ≥ 1



. (2.1.1) 11

(19)

12 CAP´ITULO 2. M ´ODULOS FINITAMENTE GENERADOS

Demostraci´ on. La prueba es an´aloga a la de ideales y dejamos los detalles al lector (v´ease [18]).

Si S = {s1, . . . , sk} es un conjunto ﬁnito, entonces

{S  =



k_i₌₁si · ai | ai ∈ A, 1 ≤ i ≤ k



,

en particular, si S = {s} es unitario, {S  es el subm´odulo c´ıclico generado por s, es decir, {s = s · A.

Ejemplo 2.1.2. Para cada n ≥ 0, Zn es un subm´odulo c´ıclico,

Z0 = Z = 1,

Z1 = 0 = 0,

...

Zn = 1, n ≥ 2.

En general, sea N ≤ M y S un sistema de generadores de M . Entonces, S := {s + N | s ∈ S }

es un sistema de generadores de M/N . Ejemplo 2.1.3. AA y AA son c´ıclicos.

Ejemplo 2.1.4. M n (A) es ﬁnitamente generado:

{E ij | 1 ≤ i, j ≤ n = M n (A), n ≥ 1.

Ejemplo 2.1.5. Sea An [x], n ≥ 0, el conjunto de polinomios de grado menor o

igual que n con coeficientes en A. Este conjunto es claramente un A-submódulo de A [x], y es finitamente generado:

{1, x , x2_{, . . . , x}n_ = A n [x].

A su vez, el conjunto



xk



∞

k=0 es un sistema de generadores para A [x].

Ejemplo 2.1.6. Sea An _{= A × . . . × A el m´odulo del ejemplo 1.1.9, si}

ei := (0, . . . , 1, . . . , 0)T , 1 ≤ i ≤ n,

entonces {e1, . . . , en = An.

Sea {M i}_i_∈C una colección no vac´ıa de submódulos de un módulo, se denomina

suma de la familia dada, y se denota por



_i_∈C M i, al subm´odulo generado por el

(20)

2.2. SUBM ´ODULOS MAXIMALES 13



i∈C M i =



_jn₌₁m j | m j ∈



_i_∈C M i, n ≥ 1



.



i∈C M i es claramente el submódulo más pequeño de M que contiene

simult´anea-mente a cada M i, i ∈ C . Si la familia es vac´ıa, es decir, I = ∅, entonces



_i_∈∅M i = 0.

Para una familia ﬁnita se tiene

M 1 + · · · + M n =



_jn₌₁m j | m j ∈ M j, 1 ≤ j ≤ n



.

La igualdad (2.1.1) ahora puede escribirse en la forma {S  =



_s_∈_S s · A.

Es de gran utilidad la siguiente relación entre las operaciones de suma e intersección. Proposición 2.1.7 (Ley de modularidad). Sea M un m´ odulo y sean N,P, L subm´ odulos de M tales que P ≤ L. Entonces,

(N + P ) ∩ L = (N ∩ L) + P .

Demostraci´ on. Sea x ∈ (N + P ) ∩ L, entonces x = n + p, n ∈ N , p ∈ P . Como P ≤ L y x ∈ L entonces n = x − p ∈ L, es decir, x ∈ (N ∩ L) + P .

Rec´ıprocamente, si x = n + p ∈ (N ∩ L) + P , entonces x ∈ (N + P ) ∩ L, ya que n, p ∈ L.

2.2. Subm´

odulos maximales

Proposici´on 2.2.1. Sea N un subm´ odulo propio del A-m´ odulo M . Entonces, N es maximal ⇔ M = N + m · A, para cada m ∈ M − N .

Demostraci´ on. ⇒): Evidente a partir de la maximalidad de N .

⇐): Sea N  N  _{≤ M y sea m ∈ N} _{− N . Entonces M = N + m· A ≤ N}_{, con}

lo cual N  = M y as´ı N es maximal.

Ejemplo 2.2.2. En el ejemplo 1.2.5 vimos que todo espacio vectorial finito dimen-sional posee subespacios maximales y minimales. El presente ejemplo muestra que esto no es en general cierto para módulos sobre anillos arbitrarios. Consideremos el Z-módulo Q; este módulo no posee submódulos minimales: en efecto, para ca-da racional no nulo r se tiene que r · 2  r. De otra parte, el módulo Q tiene una propiedad bastante particular de la cual se desprende la carencia de submódu-los maximales: de cualquier sistema de generadores de QZ se puede suprimir un

elemento y el nuevo sistema tambi´en genera a Q. En efecto, sea S un sistema de generadores para QZ y sea a ∈ S . Consideremos el conjunto S 0 := S − {a}. Si se

prueba que a ∈ S 0, entonces queda demostrado que S  = S 0 = QZ. Puesto que S  = QZ, entonces

(21)

14 CAP´ITULO 2. M ´ODULOS FINITAMENTE GENERADOS a 2 = a · k0 +



n i=1ai · ki, con ai ∈ S 0, k0, ki ∈ Z, 1 ≤ i ≤ n. Resulta a = a · (2k0) +



n_i₌₁ai · (2ki) a · (1 − 2k0) =



ni=1ai · (2ki) a · m =



n_i₌₁ai · (2ki),

donde m := 1 − 2k0 = 0 es entero. Consideremos ahora el racional _ma:

a m = a · k  0 +



t i=1bi · k  i con bi ∈ S 0, k  i ∈ Z, 1 ≤ i ≤ t, a = a · mk₀ +



t_i₌₁bi · mk  i =



n_i₌₁ai · 2k  0ki +



t_i₌₁bi · mk  i, con ai,bi ∈ S 0, con lo cual a ∈ S 0.

De esta propiedad se desprende que QZ no es finitamente generado. Probemos por último la no existencia de submódulos maximales: si N = Q un submódulo maximal de QZ entonces existe x ∈ Q − N tal que N + x = Q, lo cual indica que N ∪ {x} es un sistema de generadores para QZ. Por la propiedad demostrada se obtiene que N  = Q = N , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, QZ no tiene submódulos maximales.

Es conocido que todo anillo tiene ideales biláteros maximales (véase [18] ). Dicha prueba es válida para ideales izquierdos o derechos, como se muestra en la siguiente generalización.

Teorema 2.2.3. Cada m´ odulo no nulo ﬁnitamente generado tiene un subm´ odulo maximal.

Demostraci´ on. Sea M no nulo y {m1, . . . , mk} un conjunto de generadores para M .

Sea

P := {N ≤ M | N = M }.

P es no vac´ıo (0 ∈ P ) y parcialmente ordenado por la inclusi´on. Sea T un subconjunto totalmente ordenado de P y sea

N 1 :=



_N_∈_T N .

N 1 es un subm´odulo de M y es una cota superior de P . Adem´as N 1 ∈ P ya que si

suponemos N 1 = M = {m1, . . . , mk, entonces para cada mi, 1 ≤ i ≤ k se encuentra

N i ∈ T con mi ∈ N i; como T es totalmente ordenado existe i0, 1 ≤ i0 ≤ k, tal que

N i ≤ N i0 para cada 1 ≤ i ≤ k, pero entonces M = N i0 ∈ T , lo cual es contradictorio. Por el lema de Zorn, P tiene elemento maximal N 0, el cual obviamente es subm´odulo

(22)

2.3. EJEMPLOS 15

Corolario 2.2.4. Todo anillo posee ideales maximales derechos e ideales maximales izquierdos.

Demostraci´ on. Consecuencia directa del teorema anterior.

Proposición 2.2.5. Sea N un subm´ odulo de M tal que N y M/N son finitamente generados. Entonces M es finitamente generado.

Demostraci´ on. Si {m1, . . . , mk}, mi ∈ M , 1 ≤ i ≤ k, es un sistema de

generado-res de M/N , y {n1, . . . , nt} es un conjunto generador de N , entonces el conjunto

{n1, . . . , nt, m1, . . . , mk} genera a M .

Ejemplo 2.2.6. De la proposici´on anterior se obtiene que el cociente Q/Z no es ﬁnitamente generado.

2.3. Ejemplos

Ejemplo 2.3.1. Los submódulos de un módulo finitamente generado no son nece-sariamente finitamente generados: sea A un anillo cualquiera y B := AN _{el anillo de} sucesiones en A. BB es finitamente generado (véase el ejemplo 2.1.3). Sea

I := {f ∈ B | f (k) = 0 para casi todo k ∈ N},

nótese que I es un submódulo de B (en realidad I es un ideal bilátero de B). Supóngase que I es finitamente generado, es decir, existen {f 1, . . . , f n} en I tales

que {f 1, . . . , f n = I . Sea

X i := {k ∈ N | f i (k) = 0}, 1 ≤ i ≤ n;

por definición cada X i es finito. Entonces

X := X 1∪ . . . ∪ X n

es ﬁnito. Sea m ∈ N − X y sea

f (k) :=



1, k = m._{0, k }_= m. f entonces est´a en I y existen g1, . . . , gn ∈ B tales que

f = f 1 · g1 + · · · + f n· gn.

Resulta pues una contradicci´on:

1 = f (m) = f 1 (m) · g1 (m) + · · · + f n (m) · gn (m) = 0.

(23)

Mostramos ahora un módulo que no es finitamente generado, pero con todos sus submódulos propios c´ıclicos.

Ejemplo 2.3.2. Sea R un dominio de ideales principales y sea K := Q(R) su cuerpo de fracciones (v´ease [18]). Sea p un elemento irreducible de R y

K p :=



a

pk | a ∈ R, k ≥ 0



.

Claramente K p es un R-subm´odulo de K que contiene a R. N´otese que K p es la

reunión de la cadena infinita de submódulos c´ıclicos: R  1 p   1 p2  . . . , K p = ∞



k=0  1 pk. (2.3.1)

Adem´as, para cada k ≥ 0,  1

pk es maximal en  1 pk+1: en efecto,  1 pk =  1 pk+1 ya

que en caso contrario encontrar´ıamos un a ∈ R tal que 1 pk+1 = 1 pk · a, obteni´endose la contradicci´on p | 1. Sea a pk+1 ∈ / 1

pk, entonces el maximo com´un divisor de a y p

es 1 y existen r, s ∈ R tales que

1 = ar + ps.

Para completar la prueba de la maximalidad aplicaremos la proposici´on 2.2.1. Sea b

pk+1 ∈ 

1

pk+1. Tenemos que b = arb + psb, de donde

b pk+1 = arb pk+1 + sb pk ∈  a pk+1 +  1 pk, es decir,  1 pk+1 =  a pk+1 +  1 pk.

Denotemos por R p∞ := K _p/R; (2.3.1) induce la siguiente cadena de subm´odulos

c´ıclicos de R p∞, 0  1 p   1 p2  . . . , R p∞ = ∞



k=0  1 pk. (2.3.2)

Como antes, es posible probrar que para cada k ≥ 0,  1

pk es maximal en 

1

pk+1. Se

tiene entonces que R p∞ no es ﬁnitamente generado. Mostraremos por ´ultimo que los

subm´odulos propios de R p∞ son los de la cadena (2.3.2): sea 0 = N  R_p∞, existe

entonces m ≥ 1 tal que 1

pm ∈ N ; sea m el m´ınimo que cumple tal condici´on, es/

(24)

2.4. EJERCICIOS 17 1 pm−1 ∈ N , 1 pm ∈ N ./ Resulta entonces  1 pm−1 ≤ N .

Veamos que en esta relaci´on se da la igualdad: sup´ongase contrariamente que existe a

pr en N que no est´a en 

1

pm−1, entonces r ≥ m y podemos suponer sin p´erdida de

generalidad que el m´aximo com´un divisor de a y pr _{es 1. De aqu´ı existen l, t ∈ R}

tales que 1 = pr_{l + at. Tenemos pues que}

1 pr = l + at pr , es decir, 1 pr = at pr, y se obtiene la contradicci´on 1 pm ∈  1 pr ⊆ N .

Si tomamos en particular R = Z obtenemos 0  1 p   1 p2  . . . , Z p∞ = ∞



k=0  1 pk, (2.3.3)

Z p∞ es pues un grupo no c´ıclico donde todos sus grupos propios son c´ıclicos.

2.4. Ejercicios

1. Demuestre la proposici´on 2.1.1.

2. Complete los detalles de la demostraci´on de la proposici´on 2.2.5.

3. Pruebe que la suma finita de submódulos finitamente generados en un submódu-lo finitamente generado.

4. Sea M un A-m´odulo derecho y ∅ = X ⊆ M . Se denomina anulador de X al subconjunto

Ann (X ) := {a ∈ A | x · a = 0 para cada x ∈ X }. Pruebe que:

(i) Ann (X ) es un ideal derecho de A.

(25)

(iii) Ann (M ) =



_m_∈_M Ann (m).

(iv) Si N, P ≤ M entonces Ann (N + P ) = Ann (N ) ∩ Ann (P ). (v) M tiene estructura de A/Ann (M )-m´odulo.

5. Se dice que un A-m´odulo M es exacto con respecto a A si Ann (M ) = 0. Pruebe que si M es un A-m´odulo, entonces M es exacto con respecto a A/Ann (M ).

6. Demuestre que A/Ann (M ) es isomorfo a un subanillo de EndZ (M )op (si M es un A-m´odulo a izquierda se tiene el isomorﬁsmo con un subanillo de EndZ (M )).

7. Sean N, P ≤ M . Se denomina cociente de N por P al subconjunto (N : P ) := {a ∈ A | P · a ⊆ N }.

Pruebe que (N : P ) es un ideal bil´atero de A. Tambi´en pruebe que (0 : M ) = Ann (M ) y (N : P ) = Ann ((N + P ) /N ).

8. Sea R un anillo conmutativo local , es decir, R tiene un único ideal maximal J . Sea M R un módulo finitamente generado tal que M J = M . Demuestre que

M = 0.

9. Sea R un anillo conmutativo local con ideal maximal J . Sea M R un m´odulo

finitamente generado y sea N un submódulo de M . Demuestre que M J + N = M si, y sólo si, N = M .

10. Sean R, J y M como en el ejercicio anterior. Demuestre que si {x1, . . . , xn} es

un sistema minimal de generadores de M , entonces {x1, . . . , xn} es un sistema

(26)

Cap´ıtulo 3

Homomorﬁsmos

Al igual que en anillos, es posible definir funciones entre módulos que sean com-patibles con las operaciones, dando de esta manera origen a los homomorfismos de módulos. Debido a la gran analog´ıa que guarda este tema con el correspondiente de anillos (véase [18]), omitiremos algunas pruebas, las cuales quedan a cargo del lector.

3.1. Deﬁnici´

on y propiedades b´

asicas

Definición 3.1.1. Sean M y N A-m´ odulos. Una funci´ on f : M −→ N se dice que es un A-homomorfismo, o también un homomorfismo de m´ odulos, si:

(i) f (m + m) = f (m) + f (m) (ii) f (m · a) = f (m) · a

para cualesquiera elementos m, m ∈ M y a ∈ A.

Los conceptos de n´ ucleo, imagen , homomorﬁsmo inyectivo,

homomorfismo sobreyectivo, isomorfismo y endomorfismo de módulos, se definen

como en el caso de anillos (véase [18]). Notemos en particular que ker(f ) := {m ∈ M |f (m) = 0} es un submódulo de M e I m(f ) := {f (m)|m ∈ M } es un submódulo de N . El homomorfismo idéntico es iM : M → M , m → m y el

homomorfis-mo nulo se define por 0 : M → N , m → 0. Si f es un homomorfismo sobreyectivo, entonces se dice que N es una imagen homomorfa de M . Si M  es un submódu-lo de M , entonces el homomorfismo can´ onico j : M −→ M/M  se define por j(m) := m, para cada m ∈ M . Los cocientes

coker (f ) := N/Im (f ) y coim (f ) := M/ ker(f ) se denominan con´ ucleo y coimagen de f , respectivamente.

(27)

20 CAP´ITULO 3. HOMOMORFISMOS

Proposici´on 3.1.2. Sea f : M −→ N un homomorﬁsmo de m´ odulos. (i) Si M  _≤ M_entonces_f (M_) ≤ N_{. Adem´}_as, _f−1_(f (M_{)) = M} _{+ ker (f )}_.

(ii) Si N  ≤ N , entonces ker(f ) ≤ f −1(N ) ≤ M . Adem´ as, f (f −1(N )) = N  ∩ Im (f ).

(iii) Si ker (f ) ≤ M  _≤ M_{, entonces}_f−1_(f (M_{)) = M}_{. Si}_N _{≤ I m(f )}_{, entonces}

f (f −1(N )) = N .

(iv) Si f es sobreyectivo y N  ≤ N es maximal, entonces f −1(N ) es maximal en M .

(v) Sea f es sobreyectivo y ker(f ) ≤ M _{. Si}_M _{es maximal en}_M_{, entonces}_f (M₎

es maximal en N .

Demostraci´ on. Dejamos al lector las pruebas de las partes (i)-(iii) .

(iv) Sea f −1(N ) ≤ M  _{≤ M . Entonces, teniendo en cuenta la sobreyectividad de}

f y (iii), se tiene que

f (f −1(N _{)) = N} _≤ f (M_{) ≤ f (M ) = N .}

Por la maximalidad de N , f (M ) = N , o, f (M ) = N . Seg´un (iii), f −1(f (M )) = M  = f −1(N ) = M , o, M  = f −1(N ). (v) Sea f (M _) ≤ N _{≤ N . Seg´un (iii),}

f −1(f (M )) = M  ≤ f −1_(N_{) ≤ f}−1_{(N ) = M .}

Por la sobreyectividad de f y la maximalidad de M ,

f (f −1_(N_{)) = N} _{= f (M ) = N , o, N} _= f (M_).

Proposición 3.1.3. La composici´ on de homomorfismos inyectivos (sobreyectivos ) es un homomorfismo inyectivo (sobreyectivo). Si f , g son homomorfismos tales que fg existe y es inyectivo (sobreyectivo), entonces g es inyectivo (f es sobreyectivo). Demostraci´ on. Ejercicio para el lector.

Proposici´_{on 3.1.4. M} _{−→ N}f , _N _{−→ P}g y _M _{−→ P}h homomorﬁs-mos tales que h = gf . Entonces,

(28)

3.2. TEOREMAS DE HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO 21

(i) ker(h) = f −1(ker (g)), Im (h) = g (Im (f )).

(ii) Im (f ) + ker (g) = g−1(Im (h)). Si h es sobreyectivo, Im (f ) + ker (g) = N . (iii) Im (f ) ∩ ker(g) = f (ker (h)). Si h es inyectivo, Im (f ) ∩ ker (g) = 0.

Demostraci´ on. Las pruebas son consecuencia directa de las deﬁniciones y por tanto quedan a cargo del lector.

Una última afirmación sobre el comportamiento de sumas e intersecciones a través de homomorfismos. La prueba queda a cargo del lector.

Proposici´on 3.1.5. Sea f : M −→ N un homomorﬁsmo y sean {M i}_i_∈C,

{N j}_j_∈D familias de subm´ odulos en M y N , respectivamente. Entonces

(i) f



_i_∈C M i



=



_i_∈C f (M i).

(ii) f



_i_∈C M i



≤



_i_∈C f (M i). Si ker(f ) ⊆ M i para cada i ∈ C , entonces se

veriﬁca la igualdad.

(iii)



_j_∈D f −1(N j) ≤ f −1



_j_∈D N j



. Si N j ⊆ I m (f ) para cada j ∈ D, entonces

se veriﬁca la igualdad. (iv) f −1



j∈D N j



=



_j_∈D f −1(N j).

3.2. Teoremas de homomorﬁsmo e isomorﬁsmo

Los teoremas de homomorfismo, correspondencia e isomorfismo para módulos se enuncian y demuestran en forma completamente análoga a como se hace en anillos (véase [18]).

Teorema 3.2.1 (Teorema de homomorﬁsmo). Sea M un m´ odulo y M  _una

imagen homomorfa de M . Entonces, existe un subm´ odulo N de M tal que M/N ∼= M . Rec´ıprocamente, cada cociente de M es una imagen homomorfa de M .

Teorema 3.2.2 (Teorema de correspondencia). Sea M un m´ odulo y N un subm´ odulo de M . Sea I la colecci´ on de subm´ odulos de M que contienen a N , e I 0 la

colecci´ on de los subm´ odulos de M/N . Existe entonces una correspondencia biyectiva entre I e I 0 deﬁnida por



j : I −→ I 0

K −→ j (K )

donde j (K ) es la imagen del subm´ odulo K mediante el homomorﬁsmo can´ onico j : M −→ M/N . Es decir,

(29)

j (K ) =



k ∈ M/N | k ∈ K



:= K/N . Adem´ as, para K 1, K 2 ∈ I se tiene

K 1 ≤ K 2 ⇔ j (K 1) ≤ j (K 2).

Teorema 3.2.3 (Teoremas de isomorﬁsmo). Sea M un m´ odulo y L, K subm´ o-dulos de M . Entonces,

(i) Si K ⊆ L entonces, (M/K ) / (L/K ) ∼= M/L. (ii) (L + K ) /K ∼= L/ (L ∩ K ).

Los teoremas precedentes pueden ser utilizados para caracterizar los m´odulos c´ıclicos y simples sobre un anillo A.

Corolario 3.2.4. Sea A un anillo.

(i) Los m´ odulos c´ıclicos sobre A son de la forma A/I , donde I es un ideal derecho de A.

(ii) Sea M un A-m´ odulo y N  M . Entonces, N es maximal en M si, y s´ olo si, M/N es simple.

(iii) Los m´ odulos simples sobre A son de la forma A/I , donde I es un ideal maximal derecho de A.

(iv) Cada subm´ odulo propio de un m´ odulo ﬁnitamente generado est´ a contenido en un subm´ odulo maximal.

Demostraci´ on. (i) Claramente A/I =



1



es c´ıclico. Sea M = m · A el subm´odulo c´ıclico generado por m ∈ M . La funci´on

f : A −→ M a −→ m · a

es un homomorfismo sobreyectivo. Según el teorema 3.2.1, M ∼= A/I , donde I es un submódulo de AA, es decir, I es un ideal derecho de A.

(ii) ⇒): Sea K ≤ M/N . Seg´un el teorema de correspondencia, K es de la forma J = M /N , con N ≤ M  ≤ M . Por la maximalidad de N se tiene que M  = M , o, M  = N , es decir, K = M/N , o, K = 0, en otras palabras, M/N es simple.

⇐): Similar a la prueba anterior.

(iii) Se sigue de (i) y (ii) y del hecho que todo m´odulo simple es c´ıclico. (iv) Basta aplicar los teoremas 2.2.3 y 3.2.2.

(30)

3.3. EJEMPLOS 23

3.3. Ejemplos

Ejemplo 3.3.1. Calculemos las im´agenes homomorfas del Z-m´odulo Zm, m ≥ 0.

Comencemos considerando por separado tres casos.

m = 0: Z0 = Z/ 0 ∼= Z. Seg´un el teorema 3.2.1, las im´agenes son Z/ n = Zn,

n ≥ 0 (n´otese adicionalmente que Z es isomorfo a cada uno de sus subm´odulos no nulos: Z ∼= n · Z).

m = 1: Z1 = Z/ 1 = Z/Z ∼= 0, en este caso la ´unica imagen homomorfa es el

Z-m´odulo nulo 0.

m ≥ 2: Zm = Z/ m. De acuerdo al teorema de correspondencia, los subm´odulos

de Zm son

n / m = n, n | m.

De los teoremas 3.2.1 y 3.2.3 obtenemos que las im´agenes homomorfas de Zm

para m ≥ 2 est´an dadas por

Z/ m / n / m ∼= Z/ n = Zn, con n | m.

Adicionalmente notemos que los m´odulos n / m, con n | m, y Zm

n, son

iso-morfos. En efecto, como n / m = n es c´ıclico, entonces considerando el homo-morﬁsmo sobreyectivo

Z −→ n = n · Zf k −→ n · k

encontramos que ker (f ) =



m

n



. Resta aplicar el teorema fundamental de

homomor-ﬁsmo.

Ejemplo 3.3.2. El ejemplo anterior admite la siguiente generalizaci´on a un dominio de ideales principales R: los subm´odulos de RR son de la forma m, m ∈ R, y las

im´agenes homomorfas son

Rm = R/ m, m ∈ R.

Como en Z, R es isomorfo a cada uno de sus subm´odulos no nulos, R ∼= m · R, m = 0.

Para m, n ∈ R se tiene m ≤ n, si, y s´olo si, n | m. Para m ∈ R los subm´odulos de Rm son de la forma

n / m = n, n | m; y las im´agenes homomorfas son de la forma

(31)

R/ m / n / m ∼= R/ n = Rn, n | m.

Se tiene adem´as el R-isomorﬁsmo n / m = Rd, n = 0, donde d ∈ R es tal que

m = nd (n´otese que d es ´unico en R: si m = nd, entonces d = d).

Ejemplo 3.3.3. Sean R un DIP y p un elemento irreducible de R. Sea  1

pk uno

de los eslabones de la cadena (2.3.2) del ejemplo 2.3.2. Entonces  1

pk ∼= R pk: R −→ g 1 pk = 1 pk · R r −→ 1 pk · r,

g es claramente un R-homomorﬁsmo sobreyectivo, y adem´as, r ∈ ker(g) ⇔ r

pk ∈ R ⇔ r ∈



p k



_.

Las cadenas (2.3.2) y (2.3.3) del ejemplo 2.3.2 pueden ahora escribirse en la forma 0  R p  R p2  . . .; R_p∞ =



∞

k=0R pk,

0  Z p  Z p2  . . .; Z_p∞ =



∞

k=0Z pk.

3.4. Ejercicios

1. Complete la demostración de la proposición 3.1.2. 2. Demuestre la proposición 3.1.3.

3. Demuestre la proposici´on 3.1.4. 4. Demuestre la proposici´on 3.1.5.

5. Demuestre los teoremas 3.2.1, 3.2.2 y 3.2.3.

6. Demuestre que la relación de isomorfismo en la colección de todos los A-módu-los es de equivalencia.

7. Sea f : M −→ N un A-homomorﬁsmo y M  ≤ M . Demuestre que f : M/M  _{−→ N/f (M}₎

(32)

3.4. EJERCICIOS 25

es un A-homomorfismo. Además, f es inyectivo si, y sólo si, ker (f ) ≤ M ; f es sobreyectivo si, y sólo si, f es sobreyectivo.

8. Sean f, M y N como en el ejercicio anterior. Si N  ≤ N , pruebe que se induce el homomorﬁsmo inyectivo

f : M/f −1(N ) −→ N/N 

m −→ f (m).

Si adem´as f es sobreyectivo, entonces f es un isomorﬁsmo.

9. Sean M 1, M 2 subm´odulos de un m´odulo M , con M 1 ≤ M 2. Demuestre que

M/M 1 −→ M/M 2

m −→ m

es un homomorﬁsmo sobreyectivo.

10. Sean G y H dos grupos abelianos y sea f : G → H un isomorfismo de grupos. Demuestre que si G es un A-módulo, entonces H tiene una estructura natural de A-módulo y además G y H son A-módulos isomorfos.

11. Calcule, salvo isomorﬁsmo, todos losZ-m´odulos simples.

12. Sea A un anillo. Sea I la colección de todos los ideales maximales derechos de A y sea S la colección de todos los A-módulos derechos simples. Demuestre que



I ∈I I =



M A∈S Ann(M A).

13. Sean f : M −→ N , g : M −→ L A-homomorfismos. Se dice que f se puede factorizar a través de g, si existe un homomorfismo de módulos h : L −→ N tal que hg = f . Demuestre que si f : M −→ N es un homomorfismo y K ≤ M , entonces f se puede factorizar de manera única a través de j : M −→ M/K (homomorfismo canónico) si, y sólo si, K ≤ ker(f ).

14. Sea f : M → N un homomorfismo de módulos cancelable a derecha , es decir, g ◦ f = h ◦ f si, y sólo si, g = h, donde g, h : N → L son homomorfis-mos de módulos. Demuestre que f es cancelable a derecha si, y sólo si, f es sobreyectivo.

15. Sea f : M → N un homomorfismo de módulos cancelable a izquierda , es decir, f ◦ g = f ◦ h si, y sólo si, g = h, donde g, h : L → M son homomorfismos de módulos. Demuestre que f es cancelable a izquierda si, y sólo si, f es inyectivo.

(33)

Cap´ıtulo 4

Hom

El presente, y los tres cap´ıtulos siguientes, constituyen una introducción a una rama del álgebra conocida como ´ algebra homol´ ogica (véase [21]). La idea es estudiar la estructura de la colección de homomorfismos entre dos A-módulos.

4.1. El grupo

Hom

_A

(M, N )

Es conocido que el conjunto de endomorfismos de un grupo abeliano M es un anillo en el cual la adición de dos endomorfismos f, g : M −→ M se define por (f + g) (m) = f (m)+g (m), m ∈ M (véase [18]). Considerando dos grupos abelianos M y N se prueba, definiendo la adición como antes, que el conjunto Hom (M, N ) de homomorfismos de M en N es un grupo abeliano. Además, si M , N , L son grupos abelianos y f, g : M −→ N , h : N −→ L son homomorfismos de grupos, entonces se cumple que

h (f + g) = hf + hg. (4.1.1)

En efecto, para cada m ∈ M se tiene que (h (f + g)) (m) = h ((f + g) (m)) = h (f (m) + g (m)) = hf (m) + hg (m). Desde luego que para homomorﬁsmos com-patibles la distributiva por el lado derecho tambi´en se cumple.

Como corresponde al tema que nos ocupa, consideraremos que M y N son además A-módulos. Es claro que cada A-homomorfismo de M en N es un homomorfismo de grupos.

Proposici´on 4.1.1. Sean M y N m´ odulos sobre un anillo A y sea HomA (M, N )

el conjunto de A-homomorﬁsmos de M en N . Entonces (i) HomA (M, N ) es un subgrupo de Hom (M, N ).

(ii) Si A = R es un anillo conmutativo, entonces HomR (M, N ) es adem´ as un

R-m´ odulo.

(34)

4.1. EL GRUPO H OM A(M, N ) 27

(iii) Si M = N , entonces EndA (M ) := HomA (M, N ) es un subanillo del anillo

End (M ) de endomorﬁsmos del grupo abeliano M .

(iv) Si A = R es un anillo conmutativo, entonces EndR (M ) es una R-´ algebra.

Demostraci´ on. (i) HomA (M, N ) es no vac´ıo ya que contiene por lo menos el

homor-ﬁsmo nulo. Como vimos arriba, H omA (M, N ) ⊆ H om (M, N ). Adem´as, si f, g son

A-homomorﬁsmos, entonces f −g es un A-homomorﬁsmo: en efecto (f − g) (m · a) = f (m · a) − g (m · a) = f (m) · a − g (m) · a = (f − g) (m) · a, para cada m ∈ M , a ∈ A.

(ii) Para cada f ∈ HomR (M, N ) y r ∈ R deﬁnimos

(f · r) (m) := f (m) · r, m ∈ M (4.1.2) f · r es un R-homomorﬁsmo: (f · r) (m1 + m2) = f (m1 + m2) · r = f (m1) · r +

f (m2)· r = (f · r) (m1) + (f · r) (m2); (f · r) (m · s) = f (m · s) · r = (f (m) · s) · r =

f (m) · (s · r) = f (m) · (r · s) = (f (m) · r) · s = (f · r) (m) · s, con m, m1, m2 ∈ M ;

r, s ∈ R. Encomendamos al lector la verificación de las propiedades restantes de R-módulo.

(iii) Se desprende del hecho que la suma y composición de A-endomorfismos es un A-endomorfismo. Además, el homomorfismo idéntico está en E ndA (M ).

(iv) Por (ii)-(iii) s´olo basta observar que (fg) · r = f (g · r) = (f · r) g donde f, g ∈ EndA (M ), r ∈ R: ((fg) · r) (m) = (fg) (m)· r = f (g (m))·r = f (g (m) · r) =

f (g · r (m)) = (f (g · r)) (m), m ∈ M , es decir, la primera igualdad est´a probada. Adem´as, ((fg) · r) (m) = f (g (m)) · r = (f · r) (g (m)) = ((f · r) g) (m), con lo cual hemos probado que (fg) · r = (f · r) g.

Corolario 4.1.2. Sea M un A-m´ odulo. Entonces, M es un EndA (M )-A-bim´ odulo.

Demostraci´ on. Ya hab´ıamos observado en el ejemplo 1.1.3 que M es un End (M )-m´odulo a la izquierda. El resultado se obtiene entonces de (iii) y de 1.1.11 (ii).

Consideremos un par de situaciones particulares.

Lema 4.1.3 (Lema de Schur). Sea M un A-m´ odulo simple. Entonces, EndA (M )

es un anillo de divisi´ on.

Demostraci´ on. Sea f un endomorfismo no nulo del módulo M . Entonces, Im (f ) es un submódulo no nulo de M , y as´ı, Im (f ) = M . De otra parte, como f = 0, entonces ker (f ) = M , y as´ı, ker (f ) = 0. f es entonces un isomorfismo, de donde f es un invertible del anillo E ndA (M ).

Proposici´on 4.1.4. Sea A un anillo, entonces

(35)

28 CAP´ITULO 4. HOM

Demostraci´ on. Si deﬁnimos

h : A −→ EndA (AA)

a −→ ha

ha : A −→ A

b −→ ab

es f´acil probar que ha es un A-homomorﬁsmo para cada a ∈ A, y que h es un

homomorﬁsmo de anillos. ker (h) = 0: si h (a) = 0, entonces ab = 0 para cada b ∈ A, en particular a · 1 = 0 = a. h es sobreyectivo: en efecto, si f ∈ EndA (AA), entonces

hf (1) = f .

Observaci´on 4.1.5. Para AA se tiene el isomorﬁsmo

EndA (AA) ∼= Aop (isomorﬁsmo de anillos),

donde Aop _{es el}_{anillo opuesto} _{de A y deﬁnido sobre A con la misma adici´on pero}

con producto dado por a · b := ba, con a, b ∈ A.

4.2. Ejemplos

Calcularemos ahora los homomorﬁsmos deZm en Zn considerados comoZ-m´odulos,

es decir, como grupos abelianos (véase [18] para este mismo cálculo pero vistos como anillos). Para ello probamos primero el siguiente hecho más general, véase [7].

Proposici´on 4.2.1. Sea R un anillo conmutativo y sean I , J ideales de R. Entonces se tiene el R-isomomorﬁsmo

HomR (R/I,R/J ) ∼= (J : I ) /J ,

donde

(J : I ) := {x ∈ R | Ix ⊆ J } ⊇ J , es el ideal cociente de J por I .

Demostraci´ on. Se deﬁnen h y hx de la siguiente manera

h : (J : I ) −→ HomR (R/I, R/J )

x −→ hx

hx : R/I −→ R/J

(36)

4.2. EJEMPLOS 29

donde r = r + I , xr = xr + J . El lector puede probar a partir de estas definiciones que para cada x ∈ (J : I ), hx es un R-homomorfismo correctamente definido y que

h es un R-homomorﬁsmo sobreyectivo con n´ucleo J .

Ejemplo 4.2.2. Sean M y N grupos c´ıclicos y consideremos el grupo H om (M, N ). N´otese que en general para grupos abelianos cualesquiera se tiene que

Hom (M, N ) = H omZ (M, N ).

Teniendo en cuenta que salvo isomorﬁsmo los grupos c´ıclicos son de la forma Zm,

m ≥ 0 (v´ease [17]), entonces el problema se reduce a calcular HomZ (Zm,Zn)

me-diante la proposici´on 4.2.1.

(i) m = n = 0: H omZ (Z, Z) ∼= (0 : 0) /0 = Z/0 = Z. As´ı pues, HomZ (Z, Z) ∼= Z.

(ii) m = 1, o, n = 1. Teniendo en cuenta que Z1 = 0, entonces obviamente

HomZ (0,Zn) = 0, para cada n ≥ 0,

HomZ (Zm, 0) = 0, para cada m ≥ 0.

(iii) m = 0, n ≥ 2: HomZ (Z, Zn) ∼= (n : 0) / n = Zn. (iv) m ≥ 2, n = 0: HomZ (Zm,Z) ∼= (0 : m) /0 = 0/0 = 0. (v) m, n ≥ 2: HomZ (Zm,Zn) ∼= (n : m) / n = n / d / n = Zd, donde d = m.c.d. (m, n).

Ejemplo 4.2.3. EndZ (Zm) = EndZm (Zm) ∼= Zm, con m = 0, o, m ≥ 2. Seg´un

la proposici´on 4.1.1 (iii), EndZm (Zm) es un subanillo de End (Zm) = EndZ (Zm).

Rec´ıprocamente, si f unZ-endomorﬁsmo de Zm, entonces f es un Zm-endomorﬁsmo: