Los Mod 9 y Mod 12 solucionan los periodos t y t+1 de manera independiente. El Mod 10 considera la DMUJ en el periodo t+1 evaluándola bajo las condiciones tecnológicas de la envolvente en t. Por otra parte, el Mod 11 considera la DMUJ en el periodo t evaluándola bajo las condiciones tecnológicas de la envolvente en t+1.
Una vez aplicada la definición del índice de Malmquist, podemos obtener:
nos indica que tenemos un retroceso en la productividad. En nuestro caso, al ser de orientación de salida, la interpretación se invierte.
experimentamos un aumento de la productividad (viceversa para output)
35 Para analizar con más detalle la información que nos proporciona esta herramienta, el índice se puede descomponer en dos términos:
Esto se repite para cada DMU en cada periodo.
La formulación de Malmquist para retornos de escala constantes coincide tanto para orientación de salida como de entrada.
Si analizamos esto bajo retornos de escala variables, puede no tener una solución posible. Esto se debe, a parte de las dificultades intrínsecas de las medidas entre la productividad y los retornos de escala variables, y a las dificultades de cálculo a la hora de medir distancias en VRS (en los casos en los que necesitemos una aproximación rectangular Fig. 10 y Fig. 12). De ahí la recomendación de utilizar bajo CRS.
Para analizar con detenimiento las causas de dicha variación de productividad, tenemos que diferenciar entre:
Variación en la DMU(cambios en la eficiencia):
o Cociente mayor que 1: la unidad se aleja de la frontera. o Cociente menor que 1: unidad mayor eficiente.
36 o Corchete mayor que 1: retroceso de la envolvente en torno a la
DMU.
o Corchete menor que 1: aumenta la distancia entre DMU y envolvente.
A continuación vamos a medir los cambios en la eficiencia de la DMU y de la tecnología con un breve ejemplo ilustrativo:
Fig. 15: Índice de productividad Malmquist bajo CRS.
La medida del cambio de eficiencia viene dado por la expresión:
mientras que el cambio en la tecnología es medido:
[ ]
37
4 Concepto de Metafrontera.
El análisis por metafrontera es una aproximación que nos permite la comparación entre diferentes tecnologías. El modelo DEA tradicional analiza unidades de grupos homogéneos, esto es, supone el uso de una misma tecnología para el grupo de estudio.
Sin embargo, si nos encontramos ante problemas heterogéneos, como por ejemplo en el argot futbolístico, comparar la eficiencia entre un defensa y el delantero, esto nos lleva a plantearnos métodos de resolución mediante metafrontera. [O’Donell, Rao y Battese (2008)].
La metafrontera se puede considerar como un paraguas con todas las posibles fronteras y objetivos que nos genera la frontera homogénea para todo un conjunto de empresas heterogéneas [O’Donell, Rao y Battese (2004)].
El modelo nos devuelve el máximo en la salida para un conjunto de entradas usando la mejor tecnología.
La medida de la eficiencia está profundamente ligada a la teoría de la producción y al concepto de función de distancia.
Las fronteras de producción se pueden estimar mediante dos aproximaciones: Modelos estocásticos: un sistema estocástico es aquel que funciona por
azar. Es un algoritmo matemático que trata procesos cuya evolución es aleatoria y sus resultados se basan en probabilidades que varían en función del tiempo. Tenemos parámetros junto a las variables en nuestra función objetivo. Estos parámetros también tienen que ser estimados. Modelos no-paramétricos: son aquellos en los que no tenemos parámetros
a determinar en la frontera de producción. Hacemos uso de datos experimentales (benchmarking).
38 En los modelos no-paramétricos no existen errores de especificación, ya que se trabajan con datos experimentales. Esto hace muy atractivo el uso del DEA.
4.1 La Metafrontera:
Para comprender el desarrollo del modelo de metafrontera, veamos un ejemplo de dos DEA’s por separado en un mismo análisis. En la Fig. 16 se obtiene la representación gráfica.
Fig. 16 Metafrontera convexa
Todo lo que abarca la metafrontera se obtiene como combinación de los datos generadores de ambas tecnologías y repitiendo un DEA estándar.
Sin embargo esta nueva frontera eficiente abarca una combinación entradas/salidas inadmisible para ambas tecnologías. Estos puntos están localizados en el triángulo nombrado por Salas-Garrido et al. (2011) como “combinación de entradas/salidas inadmisible”.
Sea la unidad U que opera bajo la tecnología B. Su proyección en la metafrontera viene determinada por U*. Sin embargo, no existe combinación de datos tales para que esa unidad productiva alcance dicho nivel de producción, ya sea bajo la tecnología A o B.
39 Para resolver este problema, se propone un método alternativo basado en el concepto de “metafrontera no-convexa”.
Esta nueva metafrontera sólo envuelve las combinaciones de datos que forman parte de las envolventes de todas y cada una de las tecnologías por separado.
Como resultado, el área identificada como “inadmisible” no aparece en la Fig. 17:
Fig. 17 Metafrontera no-convexa
La estimación de la metafrontera no-convexa envuelve dos etapas:
La primera referente a la tecnología B, eficiencia relativa a la combinación de entradas y salidas de su propia tecnología.
La segunda etapa se refiere a la eficiencia de la DMU en relación con la frontera alternativa A.
Este indicador de eficiencia es determinado por el ratio de distancia ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Si la eficiencia de la tecnología alternativa es inferior que la obtenida por la tecnología a la que pertenece, nos indica que para un nivel de entradas (recursos) constante, la unidad evaluada puede ser más productiva bajo la tecnología alternativa.
Esta comparativa nos permite identificar la tecnología que representa la metafrontera como entrada alrededor de .
40 4.2 Eficiencia técnica y ratios:
Cuando definimos el concepto de eficiencia, llegamos a la conclusión de que una observación es técnicamente eficiente respecto a la frontera si y sólo si ( ⃗ ⃗) Generalmente, una medida con orientación de salida tiene eficiencia técnica:
( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗)
donde D es la distancia con respecto a la metafrontera y ET son las iniciales de eficiencia técnica.
Por ejemplo, si ( ⃗ ⃗)=0.6, esto indica que el vector de salida ⃗ es el 60% del máximo posible para un vector de entrada ⃗.
Esto mismo podemos hacerlo con un grupo de tecnologías. El superíndice k indica que estamos midiendo con respecto la metafrontera de un grupo de tecnologías.
( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗) siendo ( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗) .
También podemos medir la eficiencia técnica con respecto a un grupo de tecnologías. La eficiencia del subgrupo tecnológico no puede ser superior que al generado por la metafrontera. En otros términos, la metafrontera envuelve al grupo de tecnologías.
Se define el ratio metatecnológico de un grupo k como:
( ) ( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗)
( ) ( )
Este ratio se usa para medir la diferencia que existe entre la proyección en la metafrontera convexa y la no-convexa.
41 Haciendo uso de un ejemplo numérico donde la eficiencia técnica respecto a la metafrontera es ( ⃗ ⃗) y la referente al grupo de fronteras ( ⃗ ⃗) , el ratio metatecnológico resulta ser de 0.75 (0.6/0.8). Esto significa que para un vector de entradas dado, la máxima salida que puede producir ese grupo de fronteras es del 75% de la que sería posible alcanzar si nos proyectásemos en la metafrontera.
Reordenando la expresión, conseguimos descomponer la eficiencia como una combinación de E/S.
( ) ( ) ( )
Esto muestra que la eficiencia medida respecto de la metafrontera, se puede descomponer en el producto entre la eficiencia técnica del subgrupo fronteras y el ratio metatecnológico.
Esta descomposición es muy útil ya que permite a los gestores estimar el potencial de tus diferentes programas a la hora de fijar y conseguir objetivos.
Finalmente, la decisión de asumir la metafrontera convexa o no-convexa tiene implicaciones para las medidas de la eficiencia y del ratio metatecnológico.
42 Ayudémonos de la Fig. 18 para aclarar los conceptos definidos anteriormente.
Sea A una unidad productiva perteneciente al grupo que genera la frontera 2. Vamos a calcular la medida de eficiencia y el ratio metatecnológico, tanto para la metafrontera convexa como para la no-convexa.
Para el caso de la metafrontera no-convexa, obtenemos los siguientes resultados:
( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Pero si nos proyectamos en la metafrontera convexa:
( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Como era de esperar, los resultados obtenidos para la metafrontera no-convexa son más ajustados que si nos proyectamos en la convexa. Esto es así, ya que en la metafrontera convexa es la envolvente de la no-convexa.
43 4.3 Estimación:
Como ya hemos definido anteriormente, podemos reducir los modelos DEA en dos tipos, los de orientación de entrada y los de salida. En ambos de busca una variación proporcional de reducción en el vector de entradas o de incremento en el vector producto.
En ambos tipos tenemos una eficiencia que, en el caso de CRS coinciden pero difieren si estamos bajo consideraciones VRS.
La metafrontera convexa se define aplicando un DEA con todas las DMU’s del conjunto de subfronteras ∑ . La estructura de la metafrontera particularizando que el vector de entradas X tiene dimensión e .
Para construir una metafrontera convexa aplicando DEA tenemos que considerar todas las entradas y salidas de cada grupo. Si el grupo de k-fronteras contiene datos de Lk DMU’s en T periodos, un modelo en VRS con orientación de salida se formularía de la siguiente manera: ( ) s.a: ∑ (i=1,2,…,m), ∑ (k=1,2,…,s), ∑