Modelos DEA de metafrontera: un análisis temporal usando el índice de Malmquist.

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SEPTIEMBRE 2013

AUTOR: Juan Manuel Saborido Bermejo. Titulación: Ingeniería Industrial.

TUTOR: Gabriel Villa Caro.

Modelos DEA de metafrontera:

un análisis temporal usando el

índice de Malmquist.

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I

Contenido

Índice de Tablas. ... IV Índice de Figuras: ... V Índice de Modelos. ... VI

1 Objetivo del proyecto ... 1

2 Análisis por Envoltura de Datos: DEA ... 2

2.1 Introducción. ... 2

2.2 Conceptos Necesarios. ... 4

2.3 Modelos Básicos DEA. ... 15

2.3.1 Modelos DEA con Retorno de Escala Constante. ... 15

2.3.2 Modelos DEA con Retorno de Escala Variable ... 22

2.3.3 Comparación entre modelos CCR y BCC. ... 27

2.3.4 Modelo Aditivo. ... 28

2.4 Fortalezas y limitaciones ... 30

3 Análisis Temporal DEA: Índice Malmquist. ... 32

4 Concepto de Metafrontera. ... 37

4.1 La Metafrontera:... 38

4.2 Eficiencia técnica y ratios: ... 40

4.3 Estimación: ... 43

5 Aplicaciones de Metafrontera... 46

5.1 Comparación de eficiencias entre diferentes tecnologías de tratamiento de aguas residuales urbanas. ... 46

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II

5.1.1 Caso de estudio: ... 46

5.1.2 Modelo: ... 48

5.1.3 Conclusión: ... 49

5.2 Análisis del rendimiento de los jugadores profesionales de la Bundesliga (primera división alemana) ... 51

5.2.2 Modelo ... 52

5.3 Análisis de eficiencia entre pequeñas empresas franquicia. ... 55

5.3.2 Modelo: ... 56

6 Metafrontera con análisis temporal: Aplicación a la productividad agrícola.57 6.1 Datos. ... 57

6.2 Análisis y discusión de los resultados. ... 63

7 Resumen y Conclusiones. ... 90 8 Referencias ... 92 8.1 Bibliografía: ... 92 8.2 Direcciones webs: ... 92 9 Anexos ... 93 9.1 Año 1986. ... 93 9.2 Año 1990. ... 100

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III

9.3 Peers groups ... 106

9.4 Preparación de la hoja de cálculo para el manejo EMS. ... 112

9.4.1 Preparar hoja de cálculo. ... 112

9.4.2 Discrecionalidad de las salidas. ... 112

9.4.3 Preparación de restricciones con pesos. ... 113

9.4.4 Carga de datos y lanzamiento del programa. ... 114

9.4.5 Consejos en la opción de modelado. ... 115

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IV

Índice de Tablas.

TABLA 1: DATOS DEL PROBLEMA ... 13

TABLA 2: RECOMENDACIONES DEL MODELO. ... 53

TABLA 3: AGRUPACIÓN DE PAÍSES. ... 57

TABLA 4: PAÍSES Y GRUPOS AL QUE PERTENECEN PARA EL ESTUDIO EXPERIMENTAL. ... 60

TABLA 5: EQUIVALENCIA GANADO. ... 61

TABLA 6: DESCRIPCIÓN SIMPLE DE LAS VARIABLES POR GRUPOS. ... 63

TABLA 7: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 19. ... 66

TABLA 8: PROMEDIO DE ET Y MTR PARA GRUPO 1 EN CRS Y VRS AÑOS 86 Y 90. ... 67

TABLA 10: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 21 ... 69

TABLA 11: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG. 22 ... 71

TABLA 18: ORDEN DE PAÍSES DE LA FIG 28. ... 79

TABLA 27: ÍNDICE MALMQUIST ENVOLVENTE 86 Y 90 VRS. ... 88

TABLA 28: ÍNDICE MALMQUIST ENVOLVENTES 86 Y 90 CRS. ... 89

TABLA 29: ESTIMACIÓN DE EFICIENCIAS TÉCNICAS Y RATIO METATECNOLÓGICO CRS_86. ... 96

TABLA 30: ESTIMACIÓN DE EFICIENCIAS TÉCNICAS Y RATIO METATECNOLÓGICO VRS_86. ... 99

TABLA 31: ESTIMACIÓN DE EFICIENCIAS TÉCNICAS Y RATIO METATECNOLÓGICO CRS_90. ... 102

TABLA 32: ESTIMACIÓN DE EFICIENCIAS TÉCNICAS Y RATIO METATECNOLÓGICO VRS_90. ... 105

TABLA 33: PEERS GROUPS METAFRONTERA CÓNCAVA AÑO 1986 PARA CRS Y VRS ... 108

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V

Índice de Figuras:

FIG. 1: FUNCIÓN DISTANCIA ORIENTACIÓN DE ENTRADA Y DE SALIDA ... 8

FIG. 2: TECNOLOGÍA CRS PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA ... 11

FIG. 3: TECNOLOGÍA VRS PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA ... 12

FIG. 4: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PROBLEMA ... 13

FIG. 5: CCR PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA ... 19

FIG. 6: CCR-INPUT PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA ... 20

FIG. 7: CCR-OUTPUT PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA ... 21

FIG. 8: BCC PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA ... 24

FIG. 9: BCC-INPUT PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA ... 25

FIG. 10: BCC-INPUT CON DMU ADICIONAL ... 25

FIG. 11: BCC-OUTPUT PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA ... 26

FIG. 12: BCC-OUTPUT CON DMU ADICIONAL ... 27

FIG. 13: ENVOLVENTE BCC-CCR CON ORIENTACIÓN DE SALIDA ... 27

FIG. 14: MODELO ADITIVO CON VRS PARA UNA ENTRADA Y UNA SALIDA. ... 29

FIG. 15: ÍNDICE DE PRODUCTIVIDAD MALMQUIST BAJO CRS. ... 36

FIG. 16 METAFRONTERA CONVEXA ... 38

FIG. 17 METAFRONTERA NO-CONVEXA... 39

FIG. 18: METAFRONTERA CONVEXA Y NO-CONVEXA. ... 41

FIG. 19: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 1 PARA CRS_86. ... 65

FIG. 20: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 1 PARA VRS_86. ... 67

FIG. 21: EFICIENCIA TÉCNICA DEL GRUPO 1 PARA CRS_90 ... 69

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VI

Índice de Modelos.

MOD 1: MODELO RATIO. ... 15

MOD 2: MODELO CCR-INPUT. ... 17

MOD 3: FORMA ENVOLVENTE CCR-INPUT ... 17

MOD 4: MODELO CCR-OUTPUT. ... 20

MOD 5: FORMA ENVOLVENTE CCR-OUTPUT. ... 21

MOD 6: FORMA ENVOLVENTE BCC-INPUT. ... 23

MOD 7: FORMA ENVOLVENTE BCC-OUTPUT. ... 26

MOD 8: MODELO ADITIVO. ... 28

MOD 9: DMU Y ENVOLVENTE EN EL PERIODO S ... 33

MOD 10: DMU DEL PERIODO T EVALUADA BAJO LA ENVOLVENTE S ... 33

MOD 11: DMU DEL PERIODO S EVALUADA BAJO LA ENVOLVENTE EN T ... 34

MOD 12: DMU Y ENVOLVENTE EN EL PERIODO T ... 34

MOD 13: MODELO METAFRONTERA ORIENTACIÓN DE SALIDA. ... 43

MOD 14: MODELO METAFRONTERA APLICACIÓN PARA LAS DEPURADORAS. ... 48

MOD 15: MODELO METAFRONTERA APLICACIÓN PARA LOS JUGADORES. ... 52

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1

1 Objetivo del proyecto

La finalidad del proyecto es profundizar en el concepto de Metafrontera a través del estudio temporal de las envolventes de producción a lo largo de un periodo de tiempo con una herramienta denominada Índice de Malmquist.

Para ello, vamos utilizar un conjunto de datos facilitado por Organización de las Naciones Unidas para la Alimentación y la Agricultura (FAO, 2013) y así hacer una comparación internacional sobre la eficiencia productiva en la agricultura. La misión del mismos no es generar un análisis exhaustivo sobre la productividad entre las diversas naciones mundiales, sino ilustrar cómo he aplica el modelos e interpretar los datos obtenidos.

Somos conscientes de que el juego de datos no es actual, pero reiteramos que nuestro interés no es otro que el de desmenuzar la metodología propuesta.

En el análisis por envoltura de datos donde no se utilizan los tradicionales métodos estocásticos sino que se hace mediante métodos no paramétricos (benchmark), generan muchos inconvenientes a la hora de recopilar información que aseguren la heterogeneidad de los datos entre sí.

Debida a esta dificultad, nos hemos basado en el artículo publicado por O’Donnell et al. (2008). A diferencia de lo que propone al artículo, vamos a seleccionar dos periodos temporales a los que se les aplicará el método de metafrontera, para a continuación, darle un nuevo enfoque introduciendo el análisis temporal que nos ilustre los diversos motivos de la evolución en la frontera productiva.

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2

2 Análisis por Envoltura de Datos: DEA

2.1 Introducción.

En el año 1959, M.J. Farrell publicó en el “Journal of the Royal Statistical Society” el artículo titulado “The measurement of productive efficiency” (Farrel M.J (1957)) donde se exponía el método de optimización de la programación matemática para obtener una medida de eficiencia técnica entre una entrada simple y una salida.

Al cabo del tiempo, Edward-Rhodes, tras tener conocimiento de este artículo, tuvo en mente la extensión de modelo de optimización con múltiples entradas y salidas para obtener una medida satisfactoria de la eficiencia productiva.

Por aquellos entonces, Rhodes trabajaba en una tesis PhD. en “Carnegie Mellon University School of Urban and Public Affairs”. Esta tesis estaba muy relacionada con un trabajo que realizaba una consultora de Boston que había sido elegida por el Departamento de Salud, Educación y Bienestar de los EEUU para analizar el programa: “Program Follow Through”. Programa dirigido para la integración educativa de los niños con desventajas (fundamentalmente negros).

En 1978 Cooper, Charnes y Rhodes, utilizando la programación lineal, publicaron en el “European Journal of Operational Research” el artículo que oficialmente se conoce como el origen del DEA (“Data Envelopment Analysis”), el “Measuring the efficiency of decision making units” (Charnes, A. Cooper, W.W. and Rhodes, E. (1978)) donde se consiguió la medida de eficiencia técnica en el caso de múltiples entradas y salidas.

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3 El análisis por envoltura de datos (DEA) es una herramienta de gestión que cuya popularidad se encuentra en claro momento de expansión.

DEA se usa comúnmente para evaluar la eficiencia de un número de productores. La aproximación estadística común, está caracterizada por la media, su función de distribución y a una comparación de productos guiándose por sus valores medios. En cambio, DEA compara cada producto con el “mejor” de ellos (benchmark).

En la literatura DEA, nos referimos a productos como unidad de fabricación o DMU(Decision Making Unit). Notar que DEA no es siempre la herramienta más fiable para abordar la resolución de determinados problemas.

En DEA hay un número determinado de productores. La producción llevada a cabo por cada “productor” (a partir de ahora DMU) depende de un grupo de agentes entrantes (entradas o recursos) y de resultados a los que aspiramos (salidas o productos).

El supuesto del que parte el modelo DEA es el siguiente. Sea la DMU A, capaz de producir Y(A) con unos recursos X(A). Simultáneamente, B genera Y(B) partiendo de X(B). Y así sucesivamente.

Las DMU’s se combinan tomando las mismas entradas y obteniendo el mismo conjunto de salidas. No todos los productores han de existir simultáneamente, a éstos se les denomina “DMU’s virtuales”.

La base del análisis es encontrar la “mejor” DMU. Ya sea real o virtual. Si la virtual es capaz de generar los mismos resultados consumiendo menos recursos de entrada, o aumenta las salidas utilizando los mismos recursos de entrada, decimos de la DMU real es ineficiente.

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4 DEA asume que tanto las estradas como salidas están correctamente definidas. No nos sirve cualquier número de entradas y salidas con respecto a las DMU’s a analizar. Por una parte si las E/S son mucho más que las DMU’s a comparar, vamos a obtener un gran número de DMU’s en la frontera eficiente o con eficiencia 1. Por otro lado, si tenemos un vector pequeño con E/S, las DMU’s tienden a ser comparables entre sí, por lo que no tendremos diferenciación. En cualquier caso, lo importante es centrarse en tener unos vectores E/S bien especificados.

En más de 30 años de vida, la literatura DEA cuenta con más de 4600 artículos, libros, etc. Por más de 4200 autores. El DEA se maneja para gran variedad de problemas en más de 42 países.

2.2 Conceptos Necesarios.

Antes de plantear los modelos básicos de DEA, explicaremos los conceptos fundamentales a partir de los cuales se basan estos modelos. Debemos tener presente que el Análisis por Envoltura de Datos se utiliza para evaluar la eficiencia relativa entre unidades productivas que fabrican de forma similar. Por tanto, definamos que es una “unidad productiva”.

 _{Unidad productiva:}

Cualquier organización que produzca consumiendo ciertos recursos, con la capacidad de poder modificar tanto los recursos consumidos (entradas) como la producción creada (salidas)

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5  Eficiencia:

¿Cómo ser más eficiente para un nivel de recursos dado?¿Cuánto puedo reducir el consumo para mantener la producción?¿Qué incremento puedo generar en mis ingresos manteniendo mi consumo? Estas preguntas se responden comparándose con otras unidades productivas. Para ello vamos a introducir el concepto de “eficiencia relativa”.

o Eficiencia relativa:

La expresión que define al concepto es:

donde el subíndice "J" indica la unidad que se estudia, y el subíndice "max" la unidad de máxima productividad. Se pueden distinguir varios tipos de eficiencias relativas en función de la unidad de referencia que se utilice:

 _{Eficiencia global: para el cálculo de esta eficiencia, se escoge como unidad}

de referencia la de mayor productividad de entre las que están en estudio.

 _{Eficiencia técnica: se utiliza cuando se elige como unidad de referencia la}

de mayor productividad de entre las unidades de su tamaño.

o Eficiencia de escala: se define como el cociente entre la eficiencia global y la eficiencia técnica.

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6  Productividad:

La producción se puede definir como el acto de transformar los recursos en productos. Por ello, el objetivo de cualquier proceso productivo es la creación de valor a través de esa transformación. Los dos objetivos complementarios para medir la eficiencia en el uso de recursos para la producción a nivel de unidades productivas son, por una parte producir tanto como sea posible, o bien usar la menor cantidad de recursos posibles para tener un nivel de producción dado.

Esa medición de productividad a nivel de unidades productivas resulta ser una condición necesaria a la hora de evaluar el funcionamiento de las mismas. Por lo general, entendemos por productividad la relación que existe entre los productos y los recursos utilizados. Tal medición nace de la cuantificación de la producción obtenida y de los recursos utilizados en el proceso productivo

Las razones por las que preocuparse de la productividad sea de gran importancia pueden ser las siguientes [Villa Caro, G. (2003)]:

 _{Existe una estrecha relación rentabilidad y}

productividad-funcionamiento de la unidad productiva.

 _{Cuantificando la productividad se puede tener una base sólida en la planificación}

estratégica, debido a que el seguimiento histórico de tales comportamientos pueden revelar áreas problemáticas en las unidades de producción, como por ejemplo cuellos de botella.

 _{Haciendo la medición de la productividad se adquiere un conocimiento de}

la dimensión a la hora de compararla con otras unidades.

Para el caso de una de una entrada y una salida, la productividad se define:

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7 En la medida de la productividad es importante destacar la dificultad de determinar los factores que son realmente relevantes a la hora de definir las entradas y salidas de la unidad productiva. En algunos casos los recursos o los productos no son fácilmente medibles y a veces ni siquiera es sencillo obtener información cuantitativa sobre ellos.

Para el caso de varias entradas y varias salidas la expresión matemática es:

Queremos medir la producción para unos recursos dados y compararlos con otras DMU’s.

Se define “Factor de Productividad Total” (Total Factor Productivity) como la productividad que envuelve a todos los factores de producción.

Asumimos que en la acción de producir transformamos en productos un vector de entradas.

{( ⃗ ⃗) ⃗ ⃗}

La función de producción tiene la relación máxima posible para un conjunto de entradas.

El vector de salida viene generado por un vector de entradas, ⃗⃗⃗_{. Las bases} generadoras de entrada y salida responden a:

( ⃗⃗⃗) { ⃗ ⃗ ⃗} { ⃗ ( ⃗ ⃗) } ( ⃗) { ⃗ ⃗ ⃗} { ⃗ ( ⃗ ⃗) } y satisfaciendo la condición de conjunto cerrado y convexo.

Estos dos conjuntos nos ayudan a definir la función distancia que es la que utilizaremos para las medidas de eficiencias:

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8 ( ⃗ ⃗) { ( ⃗) ( ⃗⃗⃗)}

Si ⃗ al conjunto de ( ⃗⃗⃗)_{, entonces}( ⃗ ⃗) _{. La condición de igualdad se} cumple si y sólo si ⃗ a la frontera.

Fig. 1: Función distancia orientación de entrada y de salida

Para el gráfico de orientación de entrada (dcha) el valor de la función distancia e igual al ratio ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} ( ⃗ ⃗) _{. Para la orientación de salida} (izda) el ratio es: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} _{( ⃗ ⃗⃗)}.

Por lo tanto, si denotamos como xij a la cantidad de entrada o recurso "i" utilizado por la unidad "j", y como ykj a la cantidad de salida o resultado "k" que produce la misma unidad, se obtiene la expresión:

∑

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9 donde los términos y son respectivamente los pesos correspondientes a cada entrada y salida, que adimensionalizan las expresiones de entrada y salida virtuales, "m" el número total de entradas consideradas y "s" el número de salidas de la unidad. Una vez entendido esto, podemos definir la productividad como:

∑_∑

Pero lo interesante, no es medir la productividad sino tener algún índice que nos permita comparar unas unidades productivas con otras similares.

Para una mejor compresión de los modelos DEA, se hace necesaria la explicación de los siguientes conceptos: retornos de escala constante, retornos de escala variable, orientación de entrada y orientación de salida.

 Retornos de escala:

Cuando hablamos de “retorno de escala creciente o decreciente” nos referimos a que la eficiencia está basada en función del tamaño. Por ejemplo, un manufacturero alcanza cierta economía de escala produciendo 1000 circuitos al mismo tiempo que otro produce 1. Producir 1000 unidades puede ser 100 veces más difícil que producir 1. Esto quiere decir que estamos ante un “retorno de escala creciente (IRS: para mayor tamaño se necesita una mayor entrada de recursos)”.

Por otro lado, un fabricante puede encontrar 1billón de veces más difícil el producir 1 billón de circuitos debido a un problema de tiempo de producción para entregar el producto, de límite de capacidad, del suministro de cobre, etc. Este tipo de producción corresponde a un “retorno de escala decreciente (DRS: para disminuir su tamaño, necesita reducir su vector de entradas)”

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10 La combinación de ambos, es lo que conocemos como “retorno de escala variable (VRS)”. Si el productor puede tener entradas y salidas lineales, sin crecimiento ni decrecimiento de eficiencia, es “retorno de escala constante (CRS)”.

El uso (CRS) está limitado y hay que fundamentar su aplicación, ya que estamos suponiendo ante esta consideración que estamos ante unidades productivas semejantes. Además, los problemas (CRS), por definición consideran menos DMU’s eficientes que los (VRS).

o Retorno de escala constante (CRS):

Se denomina CRS al hecho de considerar que cualquier unidad puede alcanzar la productividad de las eficientes, independientemente de su tamaño. Por tanto la eficiencia que se calcula será la global, ya que todas las DMU’s tienen como unidades de referencia a las de mayor productividad.

Esto genera el siguiente conjunto:

{( ⃗ ⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗}

donde ⃗ es un vector con tantas componentes como DMU’s tenga el problema.

Por otra parte X e Y son respectivamente las matrices de las entradas y las salidas observadas en las unidades del problema. Ambas matrices tienen tantas filas como DMU’s. Para X existen tantas columnas como entradas se consideren en el problema. De la misma manera, Y tiene tantas columnas como salidas.

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11 Fig. 2: Tecnología CRS para una entrada y una salida

Donde los puntos son las unidades reales observadas en el problema y el conjunto es la zona a la derecha de la línea. El conjunto se extiende hasta el infinito. Los puntos que pertenecen al conjunto se dice que tienen tecnologías admisibles

o Retorno de escala variable (VRS):

Se denomina VRS al hecho de considerar que algunas unidades de tamaño diferente al de las eficientes pueden no ser capaces de conseguir la productividad de éstas. Así pues, el estudio se realizará mediante la eficiencia técnica (referir cada DMU a la de productividad mayor de entre las de su tamaño)

En conjunto generador de la tecnología se define:

{( ⃗ ⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ }

La diferencia entre tecnologías VRS y CRS, recae en la condición que impone que el vector ⃗ debe sumar 1.

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12 En la Fig. 3 se representa un ejemplo de VRS:

Fig. 3: Tecnología VRS para una entrada y una salida

La Orientación de Entrada (Input Orientation) se refiere al hecho de que una unidad alcance la productividad de la unidad de referencia a costa de reducir la cantidad de recursos que consume.

La Orientación de Salida (Output Orientation) hace referencia al hecho de que la unidad de producción consiga una mayor producción manteniendo el mismo nivel de consumo en los recursos.

A continuación, veamos un breve ejemplo que nos ayude a comprender mejor los aspectos definidos anteriormente. Supongamos 3 bancos: A, B y C. Cada uno de ellos con una entrada que será el número de empleados que hay en las oficinas bancarias; y 2 salidas que serán por un lado el número de préstamos concedidos y por otro el número de cheques cobrados.

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13 Asumimos que el problema es de retorno de escala constante (CRS).

Fig. 4: Representación gráfica del problema

En la Tabla 1 se presentan los datos numéricos del problema de estudio:

Bancos Empleados Cheques Préstamos

A 10 1000 20

B 10 400 50

C 10 200 150

Tabla 1: Datos del problema

Suponemos que la combinación convexa de los bancos es posible, por lo que la línea 1-C-A-2 muestra las posibles soluciones virtuales que pueden formar esos dos bancos.

Como el punto B está dentro de la zona admisible, quiere decir que una combinación entre A y C genera un grupo de productos mayor para la misma cantidad de recursos de B.

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14 Esta línea (por tratarse de un problema en dos dimensiones) se conoce como “frontera eficiente”. Dicha línea define la máxima combinación de productos que se puede conseguir con un grupo de entradas dado.

Como B no se encuentra en dicha línea eficiente, decimos que es ineficiente. Su eficiencia se podría determinar comparando B con una unidad virtual calculada a partir de los bancos A y C.

V, unidad virtual, es aproximadamente el 54% de A y el 46% de C. Estos porcentajes se determinan a partir de la regla de la palanca: y . Para saber la eficiencia de B, calculamos la longitud del segmento ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, con lo que

~ 63%.

En la Fig. 4 podemos ver cómo A y C son eficientes ya que pertenecen a la frontera de eficiencia.

El método habitual para evaluar la eficiencia de B es usando la programación lineal de la formulación DEA.

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15 2.3 Modelos Básicos DEA.

El DEA es un procedimiento de programación lineal por análisis de frontera de entradas/salidas. Para la explicación de los diferentes modelos, partiremos del modelo más básico: el Modelo Ratio.

2.3.1 Modelos DEA con Retorno de Escala Constante.

En los modelos que se exponen en este apartado las unidades toman como DMU’s de referencia las de mayor productividad de entre las observadas a la hora de calcular su eficiencia relativa. A continuación se exponen tres de estos modelos: el modelo RATIO, el modelo CCR-INPUT y el modelo CCR-OUTPUT.

2.3.1.1 Modelo Ratio:

A la hora de calcular la eficiencia de cada unidad, se tiene la libertad de elegir los pesos que convierten la salida y la entrada agregadas en valores adimensionales. Con la metodología DEA cada unidad escogerá los valores de los pesos que optimicen su eficiencia, teniendo en cuenta que, una vez elegidos, serán utilizados por las restantes unidades. Por tanto cada unidad va a comparar su eficiencia, teniendo en cuenta que una vez elegidos, serán utilizados por las restantes unidades.

Analíticamente el modelo se expresa:

Max ∑ ∑ s.a: ∑ ∑ (j=1,2,…,n) (k=1,2,…s) (i=1,2,…m)

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16 donde:

j = 1, 2, … , n subíndice para las DMU’s i = 1, 2, … , m subíndice para las entradas k = 1, 2, … , s subíndice para las salidas

xij cantidad de entrada i consumida por DMUj ykj cantidad de salida k producida por DMUj

_{es una constante estrictamente positiva y cercana a cero.}

El problema consistirá entonces en resolver tantos problemas de maximización como DMU’s haya en el problema, en este caso decimos que contamos con n problemas.

Habrá una elección por parte de la función objetivo de los pesos ( _{y ) que} hacen máxima la eficiencia denominada de la DMUJ estudiada en ese momento.

En la primera de las restricciones se hará obligatoria que ninguna DMU pueda tener eficiencia mayor que uno, algo necesario para que la elección de los pesos sea eficiente, evitando casos inadmisibles.

Una vez resueltos los n problemas se tendrá un conjunto de unidades que serán consideradas eficientes, todas ellas con un valor en la función objetivo igual a 1.

Estas unidades productivas cumplirán la primera de las restricciones de este modelo con signo de igualdad, el resto obtendrán un valor inferior a la unidad.

Como inconveniente a este modelo, se puede decir que su función objetivo es un cociente y por tanto incurre en una no-linealidad.

Con el objetivo de solucionar esta problema, se realizará una transformación de la función objetivo que dé como resultado otros modelos, todos ellos lineales, que se van a ver a continuación.

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17 2.3.1.2 Modelo CCR-INPUT

Sustituiremos en este caso la función objetivo por una equivalente que convierta nuestro problema en uno lineal. Para ello, imponemos la restricción que hace que nuestro denominador sea 1.

∑ ₌₁

Haciendo los cambios pertinentes en el modelo Ratio, la expresión matemática del nuevo modelo que nos queda es:

Max ∑ s.a: ∑ ∑ (j=1,2,…,n) ∑ (k=1,2,…s) (i=1,2,…m)

Mod 2: Modelo CCR-INPUT.

Sin embargo, para el análisis de resultados, es más frecuente el uso en su forma dual, a la que se le denomina “forma envolvente del modelo”:

Min [∑ ∑ ] s.a: ∑ _{(i=1,2,…,m)} ∑ (k=1,2,…,s)

Mod 3: Forma envolvente CCR-INPUT

Donde las n variables son las correspondientes a las n primeras restricciones del problema primal, es la variable correspondiente a la restricción restante, y tk, si, denominadas variables de holgura, son las correspondientes a las m+s cotas existentes.

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18  FASE I Min s.a: ∑ _{(i=1,2,…,m)} ∑ (k=1,2,…,s)

Obteniendo en esta fase la solución , que utilizaremos para el cálculo de holguras.  FASE II Min [∑ ∑ ] s.a: ∑ _{(i=1,2,…,m)} ∑ _{(k=1,2,…,s)}

En los problemas de CRS se cumple que las funciones objetivos en su forma primal y dual, coinciden en el óptimo, teniéndose por tanto:

[∑ ∑ ] _∑

Se puede observar que cualquier unidad podría tener como valores admisibles:

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19 La función objetivo, por tanto, intenta que tenga un valor menor que la unidad. La resolución de este problema en su forma dual tiene una interpretación muy interesante.

Las restricciones forman una combinación lineal entre el punto ( _{) y los} restantes puntos estudiados ( _{), cuyo resultado es la unidad virtual (}

). Esta solución corresponde a considerar que la unidad productiva J, es la combinación lineal de ella misma. Al minimizarse , son reducidas proporcionalmente las componentes de las entradas hasta llegar al punto que, con las mismas salidas, se obtiene la menor entrada admisible.

Esto corresponde a proyectar el punto sobre el hiperplano que pasa por el origen y por las unidades eficientes del problema, reduciendo de forma radial las entradas. Se tendrá entonces, que si _y _{, para algunas entradas y salidas, se} produce una proyección paralela al eje correspondiente a la variable de holgura que no es nula. En cambio, si _y _{, no se produce ninguna proyección, y} por tanto la unidad es eficiente al proyectarse sobre sí misma.

Para una mejor compresión de lo anteriormente expuesto, ayudémonos de la Fig. 5. Para una entrada y una salida, y considerando 8 DMU’s:

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20 En este caso la DMU3 es la unidad productiva de mayor eficiencia relativa. La recta desde el origen que pasa por dicha DMU son todos los posibles puntos que tendrían mayor eficiencia. Tal y como indican sus iniciales de la metodología DEA, esta recta envuelve a todas las unidades estudiadas. En los problemas a resolver para cada unidad J, gráficamente se estarán calculando las proyecciones horizontales de las unidades estudiadas sobre la frontera eficiente de cada problema.

Fig. 6: CCR-INPUT para una entrada y una salida

2.3.1.3 Modelo CCR-OUTPUT:

Para linealizar el modelo Ratio, también podemos mantener contante el numerador y minimizar el denominador. De esta manera el modelo genera la siguiente expresión: Min ∑ s.a: ∑ ∑ _{(j=1,2,…,n)} ∑ (k=1,2,…s) (i=1,2,…m)

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21 La función objetivo representa ahora el inverso de la eficiencia relativa de la unidad J, y por tanto siempre será mayor o igual que uno. Las condiciones de este modelo son análogas a las que se hicieron en el modelo CCR-INPUT.

Su construcción dual es la siguiente:

Max [∑ ∑ ] s.a: ∑ _{(i=1,2,…,m)} ∑ (k=1,2,…,s)

Mod 5: Forma envolvente CCR-OUTPUT.

La variable , no es más que la ampliación radial que debe producirse en las salidas del problema para proyectarse en la frontera eficiente. Atendiendo al mismo ejemplo con una entrada, una salida y 8 DMU’s, gráficamente se obtiene:

Fig. 7: CCR-OUTPUT para una entrada y una salida

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Tal y como ocurriese en el anterior modelo, estos valores corresponden a los que toman estas variables en el caso de ser unidades eficientes. Las restricciones establecen una combinación lineal entre el punto ( _{) y los restantes puntos estudiados} ( _{), dando como resultado la unidad virtual (} ). Esta solución siempre admisible corresponde a considerar que el punto es combinación lineal de sí mismo. Al maximizar , las componentes de las salidas aumentan hasta llegar al punto en el que, con las mismas entradas, tiene la mayor salida admisible. Esto se corresponde con la proyección del punto sobre la frontera eficiente del problema, aumentado radialmente las entradas.

2.3.2 Modelos DEA con Retorno de Escala Variable

Como se ha visto, los modelos anteriores son aplicables cuando una variación en las entradas refleja una variación proporcional en las salidas. Esto no ocurre siempre, por lo que hay que plantear los problemas como problemas de retorno de escala variable. De esta forma se introducen a continuación los modelos INPUT y BCC-OUTPUT, pertenecientes a esta clase de modelos y que se corresponden con las iniciales de sus autores Banker, Chanes y Cooper. [Villa Caro, G.(2003)]

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23 2.3.2.1 Modelo BCC-INPUT:

En este tipo de modelos, para que considere los retornos de escala variables se introducirá, a partir del modelo RATIO linealizado, alguna restricción o alguna variable que le indique al modelo que cada DMUJ tiene que ser comparada con aquellas de su tamaño y no con todas las unidades presentes en el problema.

Analizando el problema en su forma dual, que es la que nos interesa (análisis envolvente), el modelo presenta el siguiente aspecto:

Min [∑ ∑ ] s.a: ∑ _{(i=1,2,…,m)} ∑ (k=1,2,…,s) ∑

Mod 6: Forma envolvente BCC-INPUT.

Se ha introducido una restricción adicional que hace que la suma de las componentes del vector de λ sea igual a la unidad, obligando así a que la proyección de las DMU se efectúe sobre el hiperplano que forman las unidades más productivas de su tamaño. Aparecerán unidades que no eran eficientes en el anterior modelo y que sin embargo en este modelo con retornos de escala variables sí lo son. La frontera eficiente en este caso estará formada por más unidades que en los modelos CCR.

Una solución admisible siempre será:

(31)

24 donde de nuevo la eficiencia relativa de cada unidad viene representada por . Se puede observar que el problema tiene orientación de entrada porque la reducción radial sólo está permitida en las entradas.

La forma que adquiere la frontera eficiente para VRS haciendo uso de los mismos datos del ejemplo en CRS es la siguiente:

Fig. 8: BCC para una entrada y una salida

La frontera eficiente en los modelos BCC será una línea quebrada a trozos que en este caso pasa por DMU1, DMU3, DMU5 y DMU6, siendo por tanto estas las unidades eficientes.

A continuación se representan las posibles proyecciones en el gráfico del resto de DMU’s que no se encuentran en dicha frontera eficiente:

(32)

25 Fig. 9: BCC-INPUT para una entrada y una salida

Puede ocurrir que una DMU no eficiente con la proyección reduciendo su entrada no llegue a proyectarse sobre la frontera eficiente. Se propone una nueva DMU9 tal y como se ve en el siguiente gráfico:

Fig. 10: BCC-INPUT con DMU adicional

La DMU9 con la reducción radial no consigue llegar a la frontera eficiente, necesitando así una reducción rectangular, En este caso el punto DMU1.

Se denomina "peer group" al conjunto de unidades eficientes que pertenecen a la frontera de la que determinada unidad es combinación lineal. En este caso serán todas unas combinaciones lineales de DMU1 y DMU3.

(33)

26 Se puede hablar entonces que la DMU analizada se debe comparar con su proyección para alcanzar una eficiencia igual a uno, siendo ésta, una unidad que no existe en el problema pero cuyo tamaño de escala es el tamaño de las unidades que forman su "peer group".

2.3.2.2 Modelo BCC-OUTPUT:

Si consideramos la orientación de salida, el modelo correspondiente será:

Max [∑ ∑ ] s.a: ∑ _{(i=1,2,…,m)} ∑ (k=1,2,…,s) ∑

Mod 7: Forma envolvente BCC-OUTPUT.

Resolviendo el modelo de forma gráfica para una entrada y una salida obtenemos la Fig. 11:

(34)

27 El óptimo al que aspira la DMU8 es el generado por una combinación lineal del peer group formado por las DMU5 y DMU6.

Para la orientación de salida, nos podemos encontrar con que no nos sirve con una simple proyección en la frontera, sino que tenemos que hacer una aproximación rectangular. Utilizaremos de nuevo la DMU9 para aclarar alguna posible duda:

Fig. 12: BCC-OUTPUT con DMU adicional 2.3.3 Comparación entre modelos CCR y BCC.

Se analizará en este apartado las diferencias dadas por los modelos CCR y BCC. Superponiendo en un mismo gráfico las envolventes de cada modelo obtenemos:

(35)

28 Se observa que generalmente la eficiencia calculada con el modelo BCC siempre será mayor que la calculada con el modelo CCR, ya que las unidades sobre las que se proyectan las unidades DMUJ analizadas son de menor productividad. Exceptuando el punto en el que se encuentra la unidad DMU3, donde las eficiencias son iguales a la unidad.

2.3.4 Modelo Aditivo.

Se trata de un modelo cuya diferencia principal con los modelos BCC y CCR será que utiliza una métrica rectangular en lugar de la radial utilizada por los citados modelos. La resolución del modelo sólo va a realizar la segunda fase de las que constaba los modelos CCR y BCC, mediante la maximización de holguras, siendo entonces no clasificable en orientación de entrada o salida.

La expresión matemática del modelo en su forma envolvente se presenta a continuación: Max ∑ ∑ s.a: ∑ (i=1,2,…,m) ∑ _{(k=1,2,…,s)} ∑

(36)

29 La eficiencia en el modelo aditivo son medidas con las variables de holgura tk y si. Tendrá idéntica frontera eficiente que con el modelo BCC, sin embargo, cuando una unidad DMU es ineficiente, su eficiencia puede variar de un modelo a otro.

Para hacer que este modelo se convierta en un modelo de retornos de escala constante, solo hay que omitir la restricción ∑ .

(37)

30 2.4 Fortalezas y limitaciones

DEA es muy útil para comparar DMU’s entre sí teniendo como referencias a las unidades eficientes (benchmark). Entre otras aplicaciones de aplicación DEA podemos destacar las realizadas en el campo sanitario (hospitales, doctores…), educación (colegios, universidades…), bancos, manufacturas, avaluación de gestión, restaurantes, etc.

El análisis de datos varía con el tamaño. Algunos analistas trabajan con problemas de 15 a 20 DMU’s mientras que otros utilizan en torno a 10.000 ud’s.

DEA presenta en ocasiones un problema de adimensionalidad. Podemos encontrarnos con una gran cantidad de datos para unas pocas unidades productivas. Por ello se recomienda, para la sostenibilidad del problema, que el número de unidades productivas sea igual a tres veces la suma de las entradas y las salidas:

( )

De no tener problemas correctamente dimensionados, nos podemos encontrar con que tenemos gran parte de las DMU’s pertenecientes a la frontera eficiente.

En cuanto a los inconvenientes de la medición de datos y el ruido de los mismos, los datos observados, ya que estamos ante un modelo no estocástico, pueden llegar a ser eficientes por la mera influencia del ruido en las observaciones.

Los valores extremos pueden afectar seriamente a la frontera de producción Es una buena idea examinar relaciones entrada-salida básicos para eliminar los valores atípicos en los datos.

Los modelos DEA son invariantes en la traslación, si se hace una traslación del ventor de entradas y salidas originales, resulta un nuevo problema que tiene la misma solución óptima en la forma envolvente.

(38)

32

3 Análisis Temporal DEA: Índice Malmquist.

El Índice Malmquist hace uso de la función distancia para medir los cambios en la productividad. Puede ser definido tanto en orientación de salida como de entrada.

Esta herramienta fue propuesta por primera vez por Caves, Christensen y Diewert en 1982. [Caves et. al. (1982)]

Para la envolvente en el periodo t, formulada con orientación de salida, se define: ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) Para el periodo t+1: ₍_⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ₍ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ₍_⃗⃗⃗⃗_{⃗⃗⃗⃗)}

Una vez definido esto, se define el Índice Malmquist como:

( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) [ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ₍_⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)] [ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) ₍ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ₍_⃗⃗⃗⃗_{⃗⃗⃗⃗)} ]

Hay que remarcar que el Índice Malmquist de productividad depende de la formulación de cuatro problemas de programación lineal.

En la mayoría de la literatura, se formula como orientación de entrada. Nosotros vamos a formularlo como orientación de salida y bajo la consideración de retornos de escala constante. Así lo usaremos más adelante en este proyecto.

(39)

33 Cuando queramos utilizar esta herramienta para problemas VRS, impondremos la condición de que el vector de ⃗ sume la unidad.

( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) _Max s.a: ∑ (i=1,2,…,m) ∑ _{(k=1,2,…,s)}

Mod 9: DMU y envolvente en el periodo t

El exponente -1 de la función distancia, se corresponde a que al ser de orientación de salida, tenemos que la eficiencia técnica se corresponde con la inversa de la solución del modelo.

Aquí medimos la eficiencia técnica que alcanza la DMU en el periodo t para la envolvente de dicho periodo.

Para una DMU en el periodo t+1 evaluada en la envolvente t, tenemos que resolver el siguiente problema lineal.

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) Max s.a: ∑ (i=1,2,…,m) ∑ _{(k=1,2,…,s)}

Mod 10: DMU del periodo t+1 evaluada bajo la envolvente t

La eficiencia medida para una DMU en el periodo t respecto la envolvente del periodo t+1, responde a:

(40)

34 ₍_⃗⃗⃗⃗_{⃗⃗⃗⃗)} _Max s.a: ∑ _{(i=1,2,…,m)} ∑ (k=1,2,…,s)

Mod 11: DMU del periodo t evaluada bajo la envolvente en t+1

Y el último problema que nos quedaría por resolver sería:

₍ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) _Max s.a: ∑ _{(i=1,2,…,m)} ∑ _{(k=1,2,…,s)}

Mod 12: DMU y envolvente en el periodo t+1

Los Mod 9 y Mod 12 solucionan los periodos t y t+1 de manera independiente. El Mod 10 considera la DMUJ en el periodo t+1 evaluándola bajo las condiciones tecnológicas de la envolvente en t. Por otra parte, el Mod 11 considera la DMUJ en el periodo t evaluándola bajo las condiciones tecnológicas de la envolvente en t+1.

Una vez aplicada la definición del índice de Malmquist, podemos obtener:

 _{nos indica que tenemos un retroceso en la productividad. En} nuestro caso, al ser de orientación de salida, la interpretación se invierte.

 _{experimentamos un aumento de la productividad (viceversa} para output)

(41)

35 Para analizar con más detalle la información que nos proporciona esta herramienta, el índice se puede descomponer en dos términos:

Esto se repite para cada DMU en cada periodo.

La formulación de Malmquist para retornos de escala constantes coincide tanto para orientación de salida como de entrada.

Si analizamos esto bajo retornos de escala variables, puede no tener una solución posible. Esto se debe, a parte de las dificultades intrínsecas de las medidas entre la productividad y los retornos de escala variables, y a las dificultades de cálculo a la hora de medir distancias en VRS (en los casos en los que necesitemos una aproximación rectangular Fig. 10 y Fig. 12). De ahí la recomendación de utilizar bajo CRS.

Para analizar con detenimiento las causas de dicha variación de productividad, tenemos que diferenciar entre:

 Variación en la DMU(cambios en la eficiencia):

o Cociente mayor que 1: la unidad se aleja de la frontera. o Cociente menor que 1: unidad mayor eficiente.

(42)

36 o Corchete mayor que 1: retroceso de la envolvente en torno a la

DMU.

o Corchete menor que 1: aumenta la distancia entre DMU y envolvente.

A continuación vamos a medir los cambios en la eficiencia de la DMU y de la tecnología con un breve ejemplo ilustrativo:

Fig. 15: Índice de productividad Malmquist bajo CRS.

La medida del cambio de eficiencia viene dado por la expresión:

mientras que el cambio en la tecnología es medido:

[ ]

(43)

37

4 Concepto de Metafrontera.

El análisis por metafrontera es una aproximación que nos permite la comparación entre diferentes tecnologías. El modelo DEA tradicional analiza unidades de grupos homogéneos, esto es, supone el uso de una misma tecnología para el grupo de estudio.

Sin embargo, si nos encontramos ante problemas heterogéneos, como por ejemplo en el argot futbolístico, comparar la eficiencia entre un defensa y el delantero, esto nos lleva a plantearnos métodos de resolución mediante metafrontera. [O’Donell, Rao y Battese (2008)].

La metafrontera se puede considerar como un paraguas con todas las posibles fronteras y objetivos que nos genera la frontera homogénea para todo un conjunto de empresas heterogéneas [O’Donell, Rao y Battese (2004)].

El modelo nos devuelve el máximo en la salida para un conjunto de entradas usando la mejor tecnología.

La medida de la eficiencia está profundamente ligada a la teoría de la producción y al concepto de función de distancia.

Las fronteras de producción se pueden estimar mediante dos aproximaciones:  Modelos estocásticos: un sistema estocástico es aquel que funciona por

azar. Es un algoritmo matemático que trata procesos cuya evolución es aleatoria y sus resultados se basan en probabilidades que varían en función del tiempo. Tenemos parámetros junto a las variables en nuestra función objetivo. Estos parámetros también tienen que ser estimados.  Modelos no-paramétricos: son aquellos en los que no tenemos parámetros

a determinar en la frontera de producción. Hacemos uso de datos experimentales (benchmarking).

(44)

38 En los modelos no-paramétricos no existen errores de especificación, ya que se trabajan con datos experimentales. Esto hace muy atractivo el uso del DEA.

4.1 La Metafrontera:

Para comprender el desarrollo del modelo de metafrontera, veamos un ejemplo de dos DEA’s por separado en un mismo análisis. En la Fig. 16 se obtiene la representación gráfica.

Fig. 16 Metafrontera convexa

Todo lo que abarca la metafrontera se obtiene como combinación de los datos generadores de ambas tecnologías y repitiendo un DEA estándar.

Sin embargo esta nueva frontera eficiente abarca una combinación entradas/salidas inadmisible para ambas tecnologías. Estos puntos están localizados en el triángulo nombrado por Salas-Garrido et al. (2011) como “combinación de entradas/salidas inadmisible”.

Sea la unidad U que opera bajo la tecnología B. Su proyección en la metafrontera viene determinada por U*. Sin embargo, no existe combinación de datos tales para que esa unidad productiva alcance dicho nivel de producción, ya sea bajo la tecnología A o B.

(45)

39 Para resolver este problema, se propone un método alternativo basado en el concepto de “metafrontera no-convexa”.

Esta nueva metafrontera sólo envuelve las combinaciones de datos que forman parte de las envolventes de todas y cada una de las tecnologías por separado.

Como resultado, el área identificada como “inadmisible” no aparece en la Fig. 17:

Fig. 17 Metafrontera no-convexa

La estimación de la metafrontera no-convexa envuelve dos etapas:

La primera referente a la tecnología B, eficiencia relativa a la combinación de entradas y salidas de su propia tecnología.

La segunda etapa se refiere a la eficiencia de la DMU en relación con la frontera alternativa A.

Este indicador de eficiencia es determinado por el ratio de distancia ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Si la eficiencia de la tecnología alternativa es inferior que la obtenida por la tecnología a la que pertenece, nos indica que para un nivel de entradas (recursos) constante, la unidad evaluada puede ser más productiva bajo la tecnología alternativa.

Esta comparativa nos permite identificar la tecnología que representa la metafrontera como entrada alrededor de .

(46)

40 4.2 Eficiencia técnica y ratios:

Cuando definimos el concepto de eficiencia, llegamos a la conclusión de que una observación es técnicamente eficiente respecto a la frontera si y sólo si ( ⃗ ⃗) Generalmente, una medida con orientación de salida tiene eficiencia técnica:

( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗)

donde D es la distancia con respecto a la metafrontera y ET son las iniciales de eficiencia técnica.

Por ejemplo, si ( ⃗ ⃗)=0.6, esto indica que el vector de salida ⃗ es el 60% del máximo posible para un vector de entrada ⃗.

Esto mismo podemos hacerlo con un grupo de tecnologías. El superíndice k indica que estamos midiendo con respecto la metafrontera de un grupo de tecnologías.

( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗) siendo ( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗) _.

También podemos medir la eficiencia técnica con respecto a un grupo de tecnologías. La eficiencia del subgrupo tecnológico no puede ser superior que al generado por la metafrontera. En otros términos, la metafrontera envuelve al grupo de tecnologías.

Se define el ratio metatecnológico de un grupo k como:

( ) ( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗)

( ) ( )

Este ratio se usa para medir la diferencia que existe entre la proyección en la metafrontera convexa y la no-convexa.

(47)

41 Haciendo uso de un ejemplo numérico donde la eficiencia técnica respecto a la metafrontera es ( ⃗ ⃗) y la referente al grupo de fronteras ( ⃗ ⃗) _{, el} ratio metatecnológico resulta ser de 0.75 (0.6/0.8). Esto significa que para un vector de entradas dado, la máxima salida que puede producir ese grupo de fronteras es del 75% de la que sería posible alcanzar si nos proyectásemos en la metafrontera.

Reordenando la expresión, conseguimos descomponer la eficiencia como una combinación de E/S.

( ) ( ) ( )

Esto muestra que la eficiencia medida respecto de la metafrontera, se puede descomponer en el producto entre la eficiencia técnica del subgrupo fronteras y el ratio metatecnológico.

Esta descomposición es muy útil ya que permite a los gestores estimar el potencial de tus diferentes programas a la hora de fijar y conseguir objetivos.

Finalmente, la decisión de asumir la metafrontera convexa o no-convexa tiene implicaciones para las medidas de la eficiencia y del ratio metatecnológico.

(48)

42 Ayudémonos de la Fig. 18 para aclarar los conceptos definidos anteriormente.

Sea A una unidad productiva perteneciente al grupo que genera la frontera 2. Vamos a calcular la medida de eficiencia y el ratio metatecnológico, tanto para la metafrontera convexa como para la no-convexa.

Para el caso de la metafrontera no-convexa, obtenemos los siguientes resultados:

( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Pero si nos proyectamos en la metafrontera convexa:

( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Como era de esperar, los resultados obtenidos para la metafrontera no-convexa son más ajustados que si nos proyectamos en la convexa. Esto es así, ya que en la metafrontera convexa es la envolvente de la no-convexa.

(49)

43 4.3 Estimación:

Como ya hemos definido anteriormente, podemos reducir los modelos DEA en dos tipos, los de orientación de entrada y los de salida. En ambos de busca una variación proporcional de reducción en el vector de entradas o de incremento en el vector producto.

En ambos tipos tenemos una eficiencia que, en el caso de CRS coinciden pero difieren si estamos bajo consideraciones VRS.

La metafrontera convexa se define aplicando un DEA con todas las DMU’s del conjunto de subfronteras ∑ . La estructura de la metafrontera particularizando que el vector de entradas X tiene dimensión e .

Para construir una metafrontera convexa aplicando DEA tenemos que considerar todas las entradas y salidas de cada grupo. Si el grupo de k-fronteras contiene datos de Lk DMU’s en T periodos, un modelo en VRS con orientación de salida se formularía de la siguiente manera: ₍ ₎ s.a: ∑ _{(i=1,2,…,m),} ∑ _{(k=1,2,…,s),} ∑

Mod 13: Modelo metafrontera orientación de salida.

El valor es la solución del problema lineal que nos da información sobre la eficiencia técnica de la tecnología i-ésima en el periodo t-ésimo.

En especial, _{es el incremento proporcional que las salidas pueden} alcanzar. Así,

(50)

44 El valor , que también es solución de problema lineal, nos informa de los pesos de la tecnología i-ésima del periodo t-ésimo.

Estos pesos son puntos eficientes y definen el aspecto de la frontera sobre la que se proyectan las entradas y salidas.

En la práctica, resolver un problema de programación lineal para todas las tecnologías y todos los periodos es un trabajo tedioso, por lo que se usan software para su resolución.

Para estimar la metafrontera no-convexa, debemos resolver el problema de programación lineal separadamente para cada tecnología, obteniendo estimaciones de las eficiencias por cada frontera tecnológica. Una vez hecho esto, el valor más ineficiente de todos es el que nos marcará la última frontera con posibilidad de proyección, luego parte de ésta, será la que pertenezca a la metafrontera no-convexa.

Importante marcar supereficiencia en el software para que encuentre solución posible a las DMU’s que se encuentren por encima de determinadas fronteras tecnológicas.

El valor que resuelve el problema no-convexo no es mejor que el obtenido por la metafrontera convexa. Esto es así, ya que la metafrontera convexa envuelve a la no-convexa.

(51)

46

5 Aplicaciones de Metafrontera.

Para ver el potencial del análisis por metafrontera, vamos a comentar tres aplicaciones publicadas en revistas científicas.

5.1 Comparación de eficiencias entre diferentes tecnologías de tratamiento de aguas residuales urbanas.

5.1.1 Caso de estudio:

En este estudio, se aplica el modelo de metafrontera DEA para comparar la eficiencia técnico-económica de cuatro tratamientos distintos para la depuración de aguas residuales [Salas-Garrido (2011)].

En total son evaluadas 99 plantas de tratamiento de aguas residuales de la Comunidad Autónoma de Cataluña. Las tecnologías se corresponden al tratamiento secundario en la depuración de aguas.

Las tecnologías propuestas para este estudio son las siguientes:

1) Fangos activos (AS “activated sludge”): 68 plantas. 2) Laguna de aireado(AL “aerated lagoon”): 12 plantas. 3) Filtro percolador (TF “trickling filter”): 10 plantas.

4) Contactor biológico rotatorio (BC “biological contactor”):9 plantas.

El proceso de fangos activos se lleva a cabo en dos etapas: La oxidación biológica de la materia orgánica y la separación de los sólidos biológicos producidos.

(52)

47 La laguna de aireado consiste en la retención de las aguas residuales durante un tiempo variable en función de la carga de contaminante aplicada y las condiciones climáticas, de forma que la materia orgánica resulte degradada mediante la actividad bacteriológica presente en el medio. Está basado en el principio de depuración de lagos y ríos.

La técnica de filtros percoladores está constituida por un lecho poroso formado por elementos tales como piedras silíceas, roca volcánica, etc. Con tamaños comprendidos entre 50 y 100 mm. En la actualidad se han sustituido por materiales plásticos.

Por último, el contactor biológico rotatorio es un sistema de depuración mediante el contacto de aguas residuales con un medio biológico con el fin de eliminar contaminantes en las aguas residuales antes de la devolución de éstas al medio ambiente. Se compone de una serie de discos estrechamente espaciados y paralelos, montados sobre un eje giratorio que se apoya justo por encima de la superficie de las aguas residuales. Los microorganismos crecen en la superficie de los discos, donde se produce la degradación biológica.

En este estudio, las cuatro tecnologías bajo comparación principalmente difieren en el tipo de reactor biológico que utilizan para eliminar los nutrientes y la materia orgánica. Por tanto, se consideran 3 tipos de agentes contaminantes a eliminar, como resultado del tratamiento del agua residual:

 _{DQO: demanda química de oxígeno, para medir la cantidad de materia}

orgánica susceptible de ser oxidada.

 _{Nitrógeno (N).}  _{Fósforo (P).}

(53)

48 Estos tres elementos constituyen las salidas del problema, mientras que la entrada es única. Se refiere a los costes de operación y mantenimiento.

El volumen de agua residual tratada no se ha tenido en cuenta en la estimación de la eficiencia ya que se considera que no es un factor de escala que varíe el resultado del problema.

5.1.2 Modelo:

DEPURADORA

Diagrama 1: Entradas y salidas

₍ ₎ s.a: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Mod 14: Modelo metafrontera aplicación para las depuradoras. Costes de operación y

mantenimiento (Cost)

[1]DQO [2]N

(54)

49 5.1.3 Conclusión:

Primero veamos los resultados de eficiencia que obtienen las tecnologías las DMU’s comparadas con sus propias fronteras. La tecnología que incluye más plantas depuradoras eficientes es la del contactor biológico, con el 56%, y la que menor rendimiento aglutina es la tecnología de fangos activos con sólo un 12% de sus plantas eficientes. La laguna de aireado y los filtros percoladores presentan un rendimiento intermedio, con un 42 y 47%. Esto nos hace ver que el 88%de las plantas que trabajan con fangos activos eliminan residuos por debajo de los que deberían teniendo el nivel de recursos que consumen. Aun así, la media de eficiencia técnica de las plantas de fangos activos tienen un rendimiento medio del 87.8%, mientras que BD obtiene un 95.7%. Esto indica una cierta uniformidad dentro de cada tratamiento dentro de sus respectivas tecnologías.

Si proyectamos las plantas depuradoras en la envolvente de la metafrontera, vemos que el número de DMU’s eficientes baja, pero no en todas las tecnología por igual. La AS se mantiene constante, con el 12% de sus plantas eficientes, pero el caso más llamativo es la del BD, que pasa a sólo un 10%. Aunque la bajada en las plantas con eficiencia 1 se ha reducido en un 82%, la media de eficiencia del BD se mantiene la más alta, siendo de un 90% del máximo que propone la metafrontera. AL y TF sufren una bajada de plantas eficientes en un 80 y un 75 % respectivamente.

El rendimiento medio más bajo lo tiene ahora TF con un 87.3% de plantas eficientes, o lo que es lo mismo, el vector de salidas que ofrece esta tecnología es un 12.7% más bajo que si operase en condiciones de metafrontera.

(55)

50 Haciendo uso del ratio metatecnológico, el salto más bajo entre metafrontera convexa y no-convexa lo tiene la tecnología AS, que obtiene el mayor valor y el más cercano a la unidad (0.999), de hecho, de las 68 plantas estudiadas sólo una tiene un valor diferente a 1 para este ratio. Esto es, para un vector de entradas, las plantas eliminan lo máximo posible de contaminantes que puede eliminar. Los valores para las demás tecnologías son de 88.2 (TF), 92.1 (AL) y 94.7 (BD).

El estudio afirma que AS es la tecnología que mayor rendimiento proporciona, seguida de BD y AL. TF es la tecnología menos apropiada para con la eficiencia técnico-económica.

El rendimiento en la eliminación de residuos en AS puede elevarse recirculando más producto o instalando una purga en el circuito de depuración. Esta herramienta no afirma que el que más residuos elimina sea esta tecnología, sino que la que es la que más rendimiento le saca a los recursos con los que cuenta.

(56)

51 5.2 Análisis del rendimiento de los jugadores profesionales de la Bundesliga

(primera división alemana)

5.2.1 Caso de estudio:

El fútbol es el deporte de equipo número uno en Alemania. En la temporada 2088/09 más de 12 millones de personas siguieron los partidos en los estadios y muchos más por televisión [Tiedemann et al. (2011)].

Este artículo tiene por objetivo principal relacionar el rendimiento individual de un jugador y el éxito del equipo. Además, buscar explicar mejoras de rendimiento individual, dar recomendaciones sobre posiciones óptimas y cuantificar en la medida de lo posible la variación del rendimiento cuando se cambian las posiciones de juegos de los diferentes futbolistas.

Se utilizaron datos que corresponden desde la temporada 2002/03 hasta 2008/09.

Para hacer una selección de jugadores se han seguido las siguientes normas:

 _{Si un jugador ha jugado en varias posiciones en una misma temporada, se}

le asignará la posición en la cual haya disfrutado de más minutos.

 _{Igualmente si el futbolista en cuestión ha pasado por varios equipos en}

una misma temporada, se quedará con el equipo en el cual haya jugado durante más tiempo.

 _{Como mínimo, los futbolistas que entren en el análisis tienen que haber}

(57)

52 Esto reducen los jugadores de estudio de 350 a 118 de media por temporada, de los cuales el 21% son delanteros, el 37% defensas y el 42% restante es para los centrocampistas.

Para estimar la eficiencia de los futbolistas, asume que es un problema de retorno de escala variable (VRS), El modelos de programación lineal formulado es de orientación de salida (BCC Output) y tiene que resolverse tantas veces como futbolistas tenemos.

En el Diagrama 2 podemos identificar cuáles son las entradas y salidas de nuestro problema.

JUGADOR

Diagrama 2 Entradas y salidas

5.2.2 Modelo ₍ ₎ s.a: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Mod 15: Modelo metafrontera aplicación para los jugadores. Número de minutos por

temporada

[1]Nº goles [2]Nº asistencias [3]Nº pases culminados [4]Nº recuperaciones de balón