5. Energ´ ıa y Trabajo
5.4. Ecuaci´ on de la EMT
De lo visto en la secci´on anterior, podemos inmediatamente decir que el peso y la fuerza el´astica son conservativas, y que sus energ´ıas potenciales son
Vmg(r) = mgz, (5.31)
VF e(r) =
1
2k(r−lo)
2, (5.32)
donde en el primer caso la coordenada z apunta en la direcci´on contraria a g y en el segundo la coordenada r tiene su origen en el punto fijo del resorte.
5.4.
Ecuaci´on de la EMT
Cuando en el problema existen fuerzas conservativas y no conservativas, la ecuaci´on de la energ´ıa cin´etica queda
Kf −Ki =Wf c+Wf nc. (5.33)
El trabajo de las fuerzas conservativas puede calcularse como la diferencia de las energ´ıas potenciales y ser pasado a la mano izquierda de 5.33, para obtener finalmente la ecuaci´on de la EMT:
EM Tf −EM Ti =Wf nc, (5.34)
que puede enunciarse diciendo que el cambio de la EMT de una part´ıcula se origina en el trabajo de las fuerzas no conservativas que act´uan sobre ella.
5.5.
3 Preguntas
Habiendo presentado los conceptos de fuerzas conservativas y energ´ıa potencial, ter- minemos el cap´ıtulo contestando tres preguntas b´asicas.
5.5.1. Dado Fc (r), c´omo calculo VFc(r) ?
Para una fuerza conservativa, F, y su energ´ıa potencial, V, la relaci´on entre ambas est´a dada por
rf ri
F·dr =V(ri)−V(rf). (5.35)
En esta pregunta consideramos conocido F(r) y nuestra inc´ognita es V(rf). Despejando
de 5.35 obtenemos V(rf) =V(ri)− rf ri F·dr. (5.36)
Consideraremos que ri es un punto de referencia rref al cual asignaremos un valor de
energ´ıa potencial de referencia,Vref. Por otra parte, nuestro vectorrf ser´a nuestro vector
r que apunta a cualquier punto del espacio. Entonces 5.36 queda como
V(r) =Vref − r rref F ·dr. (5.37)
Si definimosVref = 0 podemos finalmente llegar a
V(r) =
rref r
58 CAP´ITULO 5. ENERG´IA Y TRABAJO
que puede enunciarse diciendo que la energ´ıa potencial de una fuerza conservativa en un cierto punto es el trabajo realizado por esta fuerza cuando la part´ıcula se mueve desde ese punto a un punto de referencia al que hemos asignado una energ´ıa potencial nula.
Debemos notar dos cosas importantes. Primero, la integral del trabajo en 5.38 puede hacerse por cualquier camino, dado que sabemos a priori que la fuerza es conservativa. Al momento de realizar el c´alculo elegiremos el camino que simplifique el c´alculo de la integral. En segundo lugar, la definici´on y el uso de la energ´ıa potencial siempre depende de diferencias de energ´ıa en dos puntos del espacio. Es por esto que siempre podemos asignar el valor Vref a alg´un punto arbitrario del espacio, ya que al hacer las diferencias
de energ´ıa potencial esa constante arbitraria desaparece. Elegiremos el punto de referencia tal que simplifique la expresi´on de energ´ıa potencial resultante.
El Ap´endice C de estos apuntes describe con mayor detalle el m´etodo de c´alculo de las integrales de l´ınea requeridas para el c´alculo de la energ´ıa potencial seg´un 5.38.
5.5.2. Dado VFc(r), c´omo calculo Fc (r) ?
Partimos nuevamente de la relaci´on entre fuerza conservativa y energ´ıa potencial
rf ri
F ·dr=V(ri)−V(rf). (5.39)
La diferencia de energ´ıa potencial de la mano izquierda podemos escribirla como
V(ri)−V(rf) = ri rf dV = rf ri (−dV). (5.40) Con 5.39 y 5.40 podemos reconocer que la relaci´on diferencial entre fuerza conservativa y energ´ıa potencial es entonces
F ·dr =−dV. (5.41) En el Ap´endice D de los apuntes se define para un campo escalar, V(r), el operador gradiente, ∇V, tal que
dV =∇V ·dr, (5.42) por lo que comparando 5.41 y 5.42 conclu´ımos que
F =−∇V. (5.43)
Es decir, la fuerza conservativa es igual a menos el gradiente de su energ´ıa potencial. El ap´endice D explica el significado f´ısico del operador gradiente y muestra sus formas de c´alculo en los distintos sistemas de coordenadas que conocemos. De acuerdo a 5.43, la fuerza conservativa siempre apunta en la direcci´on de m´aximo descenso del campo de energ´ıa potencial.
5.5.3. Dado F(r), c´omo puedo verificar si es conservativa ?
Por ´ultimo veamos un test que podemos aplicar a un campo vectorial,F(r), para saber a priori si se trata de una fuerza conservativa. En el Ap´endice D mostramos que el gradiente de un campo escalar es siempre irrotacional, es decir, el operador rotor aplicado sobre un gradiente es nulo. Dado que una fuerza conservativa es justamente el gradiente de un campo escalar (su energ´ıa potencial), entonces una fuerza conservativa es justamente irrotacional.
5.5. 3 PREGUNTAS 59
Por lo tanto, usaremos esta condici´on para verificar si una fuerza es conservativa, es decir, verificaremos la condici´on
∇ ×F =0. (5.44)
Como se muestra en el ap´endice, en coordenadas cartesianas el rotor de F se calcula
∇ ×F = ∂Fz ∂y − ∂Fy ∂z ˆı+ ∂Fx ∂z − ∂Fz ∂x ˆ j+ ∂Fy ∂x − ∂Fx ∂y ˆ k, (5.45)
de tal manera que la condici´on 5.44 equivale, en coordenadas cartesianas, a exigir que las derivadas parciales cruzadas de la fuerza sean iguales. Se deja propuesto usar este resultado para mostrar que una fuerza central descrita en coordenadas esf´ericas en la forma
F(r) =f(r)ˆr (5.46)
Cap´ıtulo 6
Equilibrios y Oscilaciones
Estudiaremos en este cap´ıtulo el importante tema de las oscilaciones de sistemas mec´anicos. En la primera secci´on veremos que en las cercan´ıas de sus equilibrios estables los sistemas conservativos tienden a oscilar. Nos concentraremos a continuaci´on en el sis- tema de resorte con part´ıcula como el oscilador lineal por excelencia, y con ´el estudiaremos el efecto de las fuerzas disipativas y de forzantes externas en sus oscilaciones. Finalmente, extenderemos el an´alisis a sistemas m´as complejos mostrando que ´estos presentar´an en general una mayor variedad de modos y frecuencias propias de oscilaci´on.
6.1.
Equilibrios y peque˜nas oscilaciones
Una fuerza conservativa, Fc, y su energ´ıa potencial asociada, V(r), est´an relacionadas
por las ecuaciones
V(r) = rref r Fc ·dr, (6.1) Fc = −∇V. (6.2)
En particular, 6.2 nos dice que si conocemos la variaci´on de la energ´ıa potencial en el espacio, entonces su fuerza conservativa asociada tiene en cada punto la direcci´on del m´aximo descenso deV. En esta secci´on explotaremos al m´aximo la informaci´on que nos proporciona la variaci´on espacial de la energ´ıa potencial.
Restringiremos, por ahora, nuestro an´alisis al caso de movimiento unidimensional en que la posici´on de la part´ıcula es r = xˆı, y la energ´ıa potencial es entonces una funci´on
V(x). A modo de ejemplo, si la fuerza conservativa considerada es un resorte, podr´ıa tenerse que V(x) = 12k(x−lo)2, o bien, si la fuerza conservativa es el peso, V(x) =mgx
(en cuyo caso hemos puesto al vector unitario ˆı apuntando verticalmente hacia arriba). Sin embargo, por ahora pensaremos queV(x) es una funci´on cualquiera que representa la energ´ıa potencial de alguna fuerza conservativa que act´ua sobre la part´ıcula. La Figura 6.1 muestra la forma que esta funci´on podr´ıa tener.
La ecuaci´on 6.2 en el caso unidimensional se simplifica a
Fc =−
dV
dxˆı=−V
(x)ˆı, (6.3)
en que usamos primas para representar derivadas respecto ax. De inmediato 6.3 nos dice que la direcci´on de la fuerza conservativa depende de la pendiente de la funci´onV(x). En regiones dondeV crece conx(V(x)>0) la fuerza conservativa resulta seg´un−ˆı, mientras