Pasos t´ıpicos de soluci´ on

Al abordar un problema de din´amica los pasos usuales son los siguientes.

Comprensi´on del problema

Es muy importante comprender correctamente el problema a resolver, ya que si nos equivocamos en esto, trataremos de resolver un problema distinto al que el profesor ten´ıa en mente, y quiz´as el nuevo problema ni siquiera tenga soluci´on. Comprender el problema pasa por leer varias veces su enunciado, mirar con detenci´on la figura acompa˜nante, imaginar f´ısicamente el sistema descrito (a veces conviene imaginarse c´omo podr´ıa uno construir en la realidad el sistema descrito) y estar seguro de entender los datos que se entregan y de los resultados pedidos. El an´alisis debe ser con esp´ıritu cr´ıtico, pues a veces los problemas est´an mal planteados o confusamente descritos, y en tal caso tenemos el derecho a solicitar una mejor explicaci´on. Un buen an´alisis inicial incluso debe sugerirnos cu´al es la soluci´on o al menos qu´e caracter´ısticas cualitativas podr´ıa presentar de acuerdo a nuestra intuici´on f´ısica (la cual se desarrolla comprendiendo bien los conceptos b´asicos y aplic´andolos resolviendo muchos problemas). En ocasiones hay problemas en que con un buen argumento f´ısico la soluci´on se obtiene inmediatamente en este an´alisis inicial, mientras que “ech´andole p’adelante”, sin pensar f´ısicamente, nos entregar´a la (con suerte) misma soluci´on s´olo despu´es de varias hojas de respuesta.

34 CAP´ITULO 3. DIN ´AMICA: LEYES DE NEWTON Y FUERZAS

Buen dibujo

Despu´es de comprender el problema, realizar un buen dibujo del sistema en estudio es fundamental. Pondremos all´ı los datos conocidos, definiremos los ´angulos importantes del problema y tambi´en una o m´as variables auxiliares que nos ayuden a resolverlo. Si bien al corregir pruebas uno ve que el 99 % de los estudiantes hacen dibujos, una fracci´on no despreciable podr´ıa denominarse con cierta raz´on “mamarracho”, en el cual no se distinguen las variables, o son muy chicos, o est´an hechos con el pulso de una madrugada de s´abado. Ese tipo de dibujos en general no ayuda mucho a la soluci´on del problema y m´as bien lo dificulta, por lo que si en alg´un momento me doy cuenta de que est´a quedando as´ı, m´as me convendr´ıa borrarlo y partir de nuevo.

Diagrama de cuerpo libre

En el Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) ponemos nuestra part´ıcula de inter´es junto con las fuerzas que la afectan, incluyendo su direcci´on y sentido en que las consideraremos positivas. Debemos tener especial cuidado de no omitir ninguna fuerza que podr´ıa estar actuando de acuerdo a la situaci´on f´ısica del problema, y tambi´en debemos cuidarnos de no poner fuerzas que el enunciado nos dice expl´ıcitamente que son despreciables o que no existen.

Selecci´on de sistema de referencia y coordenadas

Definimos entonces el sistema de referencia (origen y ejes) a utilizar y el sistema de coordenadas empleado, tratando de seleccionar el sistema que simplifique la representaci´on del movimiento y/o de las fuerzas presentes en el problema.

Ecuaci´on de movimiento

Escribimos ahora la ecuaci´on de Newton

F =ma, (3.54)

desarrollando ambos lados de la ecuaci´on. Usamos la expresi´on general de la aceleraci´on que corresponde al sistema de coordenadas escogido (Cap´ıtulo 1), y expresamos cada una de las fuerzas del DCL en ese mismo sistema. El resultado de este paso es en general 3 ecuaciones escalares, correspondientes a las 3 componentes de la ecuaci´on de movimiento.

Aplicaci´on de restricciones cinem´aticas o geom´etricas

T´ıpicamente el problema contendr´a restricciones cinem´aticas o geom´etricas, que nos indican a priori que la part´ıcula no se mueve en forma libre por el espacio, sino, por ejemplo, lo hace sobre una superficie esf´erica de radioR. En este paso debemos imponer todas las restricciones cinem´aticas que el problema tiene en la expresi´on general de la aceleraci´on que escribimos en el paso anterior.

Identificaci´on de inc´ognitas y condiciones

La ecuaci´on de movimiento m´as las restricciones cinem´aticas nos debieran entregar un sistema cerrado de ecuaciones e inc´oginitas. Por ejemplo, las fuerzas de restricci´on como una Normal son usualmente una inc´ognita del problema, pero por otra parte nos agregan una condici´on cinem´atica de que la part´ıcula se desplaza sobre la superficie conocida.

3.4. METODOLOG´IA USUAL Y EJEMPLOS 35

Es bueno, entonces, detenerse brevemente en este paso para apreciar las ecuaciones e inc´ognitas del problema, recordar cu´al es el resultado requerido, y definir la estrategia para obtenerlo (la mayor parte de las veces no necesitamos resolver todas las inc´ognitas del problema).

Soluci´on matem´atica

Reci´en aqu´ı viene la soluci´on matem´atica que puede pasar por una manipulaci´on alge- braica y/o soluciones de ecuaciones diferenciales, tendientes a obtener la respuesta solic- itada. Es bueno ir verificando en cada paso matem´atico que se mantenga la consistencia dimensional (de unidades) en las ecuaciones que se obtienen, ya que apenas aparece una inconsistencia de unidades ella es un aviso de que es 100 % seguro que hemos cometido un error. Tenemos entonces 2 alternativas: o ignoramos ese aviso y seguimos “ech´andole p’adelante” (con el riesgo de que el error cometido era importante y nos descarrile com- pletamente nuestra soluci´on), o bien revisamos para atr´as, detectamos el error, corregimos lo que haya que corregir y seguimos adelante con nuestra confianza reforzada. Es nuestra elecci´on.

Verificaci´on y apreciaci´on de la soluci´on

Finalmente, al obtener un resultado final siempre es bueno chequear su consistencia dimensional y f´ısica y compararla con nuestra intuici´on inicial del problema.