3. Nuestro modelo
3.1.1. Ecuaciones básicas de transporte y estructura
Las ecuaciones que gobiernan la evolución de la envoltura gaseosa de un planeta gigante son las ecuaciones básicas de transporte y estructura utilizadas en la teoría de evolución estelar (Kippenhahn y Weigert, 1990), dadas por,
∂r ∂mr
= 1
4πr2ρ e
Ecuación de definición de la masa, (3.1) ∂P
∂mr
= −Gm4 r
πr4 Ecuación de equilibrio hidrostático, (3.2)
∂Lr
∂mr
= ǫpla−T
∂S
∂t Ecuación de balance energético, (3.3)
∂T ∂mr
= −GmrT
4πr4P∇ Ecuación de transporte. (3.4)
En este conjunto de ecuaciones, ρe es la densidad volumétrica de gas de la envoltura, G es la constante de gravitación universal, ǫpla es la tasa de generación de energía debido a la acreción de planetesimales y S es la entropía por unidad de masa.
Finalmente, ∇ es el gradiente de temperatura adimensional, definido como ∇ ≡ ddln Tln P.
El mismo depende del tipo de transporte de energía. Si el transporte es radiativo, ∇ está
definido por
∇rad = 3
κLrP 16πacGmrT4
, (3.5)
en dondeaes la constante de densidad de radiación,c la velocidad de la luz en el vacío y κ la opacidad media de Rosseland.
3.1. Modelo de formación de planetas gigantes
Si el transporte es convectivo, ∇=∇ad, en donde∇ad corresponde al gradiente adiabá- tico. Como mencionamos anteriormente, el tipo de transporte de energía estará determinado por el criterio de estabilidad de Schwarzschild,
∇=
(
∇rad si∇rad <∇ad,
∇ad si∇rad ≥ ∇ad. (3.6)
Es importante notar que la Ec. (3.3) esta gobernada por dos términos bien distintos. El primero,ǫpla, denota la energía por unidad de tiempo y unidad de masa que los planetesimales aportan cuando son acretados por el planeta. En esta Tesis, por simplicidad, no se tendrán en cuenta fenómenos de ablación, es decir, supondremos que los planetesimales no pierden masa a medida que ingresan en la envoltura del planeta, hasta chocar con el núcleo. Entonces, en una cáscara de radio r y de espesor dr un planetesimal de masa mp pierde una cantidad de energía gravitatoria dada por,
dE = Gmrmp
r2 dr, (3.7)
con lo cual, la energía que adquiere la capa por unidad de tiempo está dada por, dLpla=
dE dt = ˙MN
Gmr
r2 dr, (3.8)
y por ende la energía total que liberan los planetesimales en todo el planeta por unidad de tiempo es, Lpla = ˙MN Z RP RN Gmr r2 dr, (3.9)
en donde RN representa radio del núcleo y RP representa el radio del planeta.
Definimos la tasa de generación de energía debido a la acreción de planetesimales, ǫpla, imponiendo que,
Lpla = Z MP
MN
ǫpla dmr, (3.10)
donde MN =m(RN) y MP = m(RP) representan la masa del núcleo y la masa del planeta,
respectivamente.
En esta Tesis, a diferencia de los trabajos de Fortier et al. (2007, 2009) en donde los
planetesimales van depositando energía capa por capa a medida que ingresan en la envoltura, adoptamos que toda la energía generada por la acreción de los planetesimales es liberada en las capas más profundas de la envoltura gaseosa (Benvenuto y Brunini, 2005),
ǫpla =A α−mrM−MN N 2 . (3.11)
De esta manera, ǫpla se anula para Menv(r) =αMN (en donde la masa de la envoltura está
dada por Menv(r) =mr−MN), y es cero hacia afuera. La constante Ase calcula a partir de
las Ec. (3.9) y (3.10),
A= 2GM˙N α(2 +α)RN
. (3.12)
El parámetro α se escoge de manera arbitraria, aunque las simulaciones numéricas son poco sencibles al valor del mismo.
3. Nuestro modelo
El segundo término de la Ec. (3.3) está dado por la primera ley de la termodinámica, T∂S ∂t = dq dt = ∂u ∂t + P ∂V ∂t, (3.13)
donde q es el calor, u es la energía interna y V es el volumen, todos por unidad de masa. De la Ec. (3.13), podemos ver que hay otros dos mecanismos que regulan la energía; uno es la contracción gravitatoria de las capas de la envoltura, reflejado en el término P∂V
∂t; el otro es la variación de la energía interna, dado por ∂u
∂t. El término TdS se resuelve mediante la relación termodinámica,
TdS =CPdT−
δ ρe
dP, (3.14)
en donde CP representa el calor específico a presión constante por unidad de masa, y δ se define por,
δ = ∂lnρe
∂ln T. (3.15)
Según la etapa de formación del planeta, la Ec. (3.3) estará determinada por el primer o segundo término. En la primera etapa, la formación del planeta estará regulada por la acre- ción de planetesimales. Por lo tanto, estos últimos serán quienes aporten la principal fuente de energía, evitando que las capas de la envoltura colapsen sobre el núcleo y regulando el tiempo de formación del planeta. Cuando la tasa de acreción de planetesimales disminuye, y la masa de la envoltura gaseosa alcanza valores similares a los de la masa del núcleo, la energía que aportan los planetesimales ya no es suficiente para evitar el colapso de las capas de la envoltura. La envoltura comienzan a contraerse, y la acreción del gas circundante au- menta considerablemente. En este caso, la Ec. (3.3) está gobernada por el segundo término. El planeta entra en su segunda etapa de formación, la cual es mucho más corta que la pri- mera, y recibe el nombre de crecimiento en fuga de la envoltura. Es importante mencionar
que la contracción de la envoltura y el aumento en la tasa de acreción de gas se da en estado de cuasi equilibrio hidróstáticos. Como hemos mencionado anteriormente, este fenómeno fue encontrado por primera vez en los trabajos de Bodenheimer y Pollack (1986) y Pollack et al.(1996). Dado que originalmente Benvenuto y Brunini (2005) desarrollaron un código hi-
drodinámico, hemos podido corroborar que los resultados obtenidos para la formación de un planeta gigante a partir de un código hidrodinámico y uno con la aproximación de equilibrio hidrostático son análogos. Es por este hecho que en los últimos años en la literatura se suele referirse al modelo de inestabilidad nucleada como modelo de acreción del núcleo.
Acerca de la ecuación de estado de la envoltura
Para poder resolver el sistema de ecuaciones (3.1) – (3.4) es necesario conocer ρe, S,
κ y ∇ad como función de la presión y la temperatura. La ecuación de estado define las propiedades termodinámicas de la envoltura y es la que determina unívocamente las variables termodinámicas (ρe, S,κ y∇ad) como función de la presión y la temperatura.
Como mencionamos anteriormente, y al igual que en los trabajos previos del grupo, usa- remos la ecuación de estado calculada por Saumon et al. (1995)2. Estos autores calcularon
la ecuación de estado para un gas de hidrógeno o helio puro, bajo las condiciones usuales 2En este artículo existen errores de tipeo en las formulas para derivar la ecuación de estado. Lamentable-
mente, no existe unaerratade los autores. Las formulas escritas en forma correcta pueden encontrarse en el trabajo de Fortieret al.(2009) o en su Tesis Doctoral.
3.1. Modelo de formación de planetas gigantes
para la presión y la temperatura presentes en objetos subestelares (estrellas de masa menor a 1 M⊙, enanas marrones y planetas gigantes).
La fig. 3.1(a) muestra el diagrama de fases para el hidrógeno. A bajas temperaturas y bajas densidades, el hidrógeno se encuentra en estado molecular (log T . 3.5) o neutro (3.5.log T.3.5). A temperaturas más altas el hidrógeno se ioniza. La línea a trazos corta delimita las tres regiones. Para valores de densidad logρ&−2 el fluido comienza a apartarse
del régimen ideal. Para valores logρ&0, el fluido se ioniza por presión. Esta ionización no se
daría de manera continua, sino que se produciría una discontinuidad en la transición de fase conocida como transición de fase de plasma(PPT, por sus siglas en idioma inglés). La PPT
separa la fase no ionizada, constituida por moléculas de hidrógeno (H2), de la fase ionizada
por presión, a altas densidades, la cual está caracterizada por hidrógeno metálico (H+). Sin
embargo, es importante aclarar que que esta transición de fase aún no es posible de reproducir en laboratorios, aunque trabajos recientes muestran evidencias de su existencia (Silveraet al.
2013).
En la fig. 3.1(b) se muestra el diagrama de fases para el helio. Al igual que con el hidrógeno, se pueden observar tres diferentes regiones, dominadas por helio neutro (He), helio una vez ionizado (He+) y helio dos veces ionizado (He++). Para este caso no se resuelve el problema
de la ionización por presión. Sin embargo, como mencionamos anteriormente, para un planeta joviano, la envoltura está constituida principalmente por hidrógeno.
Si bien la existencia, o no, de la PPT (tanto para el H y el He) es de importancia, dado que las capas más internas de la envoltura estarían afectadas por la misma, en la etapa de formación del planeta la situación no sería tan crítica, dado que los valores de la densidad de las capas más internas no alcanzarían valores tan altos (ver fig. 6 del trabajo de Benvenuto y Brunini, 2005). Sin embargo, si sería de importancia en la etapa de evolución del planeta, el cual se enfría y contrae con el tiempo, aumentando notablemente la densidad de las capas internas del planeta. De hecho, aquí radica quizás la mayor incerteza a la hora de estimar la masa de los posiblesnúcleos de Júpiter y Saturno.
Por otro lado, el hidrógeno y el helio no se encuentran como substancias puras sino mezclados entre sí. Saumon et al. proponen realizar interpolaciones entre el hidrógeno y el
helio para encontrar la ecuación de estado de una dada mezcla. Si bien sería deseable poder calcular dichas ecuaciones de estado de manera autoconsistente, la complejidad del problema hace que deban utilizarse ciertas simplificaciones.
Finalmente, es importante remarcar que si bien en la literatura existen otras ecuaciones de estado para el hidrógeno y el helio calculadas a partir de primeros principios termodinámicos (ver por ejemplo Millitzer et al. 2008 y Nettelmann et al. 2008), éstas no se encuentran
tabuladas y disponibles como para ser incorporadas en nuestros modelos numéricos.
Acerca de las opacidades
Como mencionamos anteriormente, y al igual que en los trabajos previos del grupo (Fortier
et al. 2007, 2009), utilizamos las tablas de opacidades para los granos del trabajo de Pollack
et al. (1985) para densidades bajas y temperaturas menores a 103 K. Para temperaturas en
el rango 103 K< T < 104 K, utilizamos las tablas de opacidades moleculares de Alexander y
Ferguson (1994). Para temperaturas superiores a 104 K se utilizan las opacidades moleculares
de Rogers e Iglesias (1992).
Las opacidades, al igual que las ecuaciones de estado, juegan un papel importante en los modelos de formación de planetas gigantes, en especial la opacidad de los granos. La opacidad de los granos es un factor de importancia para estimar las escalas de tiempo y la masa del núcleo a la cual comienza la etapa de crecimiento en fuga de la envoltura gaseosa. Stevenson (1982), mediante modelos analíticos sencillos, encontró una dependencia entre
3. Nuestro modelo
(a) Diagrama de fases para el hidrógeno. Las líneas a trazos largos definen la región de validez de la ecuación de estado derivada por Saumonet al.(1995). Las líneas punteadas a, b, c, d, y e corresponden a diferentes objetos ricos en hidrógeno. La curva a representa a Júpiter. Podemos ver que en las capas más profundas domina el hidrógeno ionizado (H+), en donde el gas se aparta del régimen ideal.
Las capas más externas de la envoltura están dominadas por hidrógeno molecular (H2).
(b) Diagrama de fases para el helio. Las líneas a trazos largos definen la región de validez de la ecuación de estado derivada por Saumonet al. (1995). En este caso, la curva a no representa a Júpiter, sino a una enana blanca DE compuesta puramente de helio. Podemos ver que, haciendo una analogía con la fig. 3.1(a), en las capas más externas de la envoltura predomina el helio neutro, mientras que en las más internas el helio ionizado.
Figura 3.1. Diagramas de fase para el H y el He. Figuras pertenecientes al artículo de Saumonet al.(1995).
3.1. Modelo de formación de planetas gigantes
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Figura 3.2. Opacidad como función de la temperatura para un elemento de volumen con densidadρ= 10−14
y abundancia solar. Las diferentes curvas (que corresponden a disferentes interpolaciones) están definidas a partir de 17 puntos en el intervalo log T = 0.18 y log T = 0.39. Figura extraida del trabajo de Benvenuto y Brunini (2005).
la opacidad y el comienzo de la etapa de crecimiento en fuga de la envoltura. Pollack et al.(1996), mediante simulaciones numéricas detalladas, validan los resultados encontrados por
Stevenson, encontrando que si la opacidad de los granos se reduce un factor 50 respecto a la del medio interestelar, el tiempo de formación de un planeta gigante se reduce considerablemente. Podolak (2003), a partir de las simulaciones de Pollacket al.(1996), encuentra que la opacidad
debida a los granos puede disminuir significativamente debido a corrientes convectivas en la envoltura. Estas corrientes llevarían los granos de regiones frías a regiones más calientes, en donde los mismos se podrían vaporizar. Hubicky et al. (2005), adoptando que la opacidad
de los granos es un 2 % de su correspondiente valor en el medio interestelar, encontró que el tiempo de formación de Júpiter se reduce un factor 3. Sin embargo, Dodson-Robinson et al.(2008), no encontró una correlación entre entre la reducción en la opacidad de los granos y
una reducción significativa en el tiempo de formación de Saturno. Más recientemente, Hori e Ikoma (2010) estiman la masa del núcleo a partir de la cual comenzaría la etapa de crecimiento en fuga de la envoltura, considerando una envoltura libre de granos (compuesta únicamente por H y He). Estos autores encuentran que el crecimiento en fuga de la envoltura se da a partir de núcleos relativamente poco masivos, menores a 2 M⊕. Este hecho tiende a acortar los tiempos de formación de los planetas gigantes, mostrando que la opacidad de los granos juega un rol importante en el proceso de formación de planetas gigantes.
En nuestros trabajos, no se considera una reducción de la opacidad de los granos. Sin embargo, como se evidencia en los trabajos antes mencionados, una reducción de la opacidad acortaría los tiempos de formación de los planetas gigantes. A modo ilustrativo, en la Fig. 3.2 mostramos el compartamiento de la opacidad como función de la temperatura para un dado modelo arbitrario.
3. Nuestro modelo
3.1.2. Modelado numérico de las ecuaciones diferenciales: ecuaciones en