n ámbito de aplicación importante de los resultados de la investigación de la presente tesis, es la aplicación de técnicas bayesianas utilizando como información a priori la propuestas realizadas en el Capítulo 4 (Tabla 4-4). Veamos varios ejemplos:
EJEMPLO 1
. MEDICION DE FLECHA EN UNA VIGA BIAPOYADA (basado en Diamantidis2001).
Sea una viga de madera de pino laricio, clasificada como ME-1, biapoyada sometida a una carga en su centro. Aceptemos que podemos considerar como deterministas la luz L = 4 m, el módulo resistente de la sección W = 0.0007 m3, el momento de inercia I = 0.00007 m4. Tenemos tres variables aleatorias para el análisis de la fiabilidad de la viga ante una carga central P:
• El valor de la carga P ~ N (20, 2) kN
• MOR ~ N (77.99, 18.98) MPa
• MOE ~ N (16.53, 4.266) GPa
• ρ(MOR, MOE) = 0.52 (correlación entre las dos variables)
Estos datos de resistencia son los que obtenemos directamente de los ajustes de distribución normal al 100% de los ensayos.
Como se ha indicado, la utilización de distribuciones normales de la resistencia y la rigidez conduce a resultados conservadores (algo menos acusados para las maderas clasificadas).
La función de fallo para la rotura por flexión de la viga es: G = W * MOR – 0.25 * P * L
Es decir, estamos interesados en estimar la probabilidad de que G<0. Siguiendo lo indicado en el apartado b de este mismo subcapítulo, y aplicando los métodos habituales de combinación de distribuciones normales, tenemos que:
µ(G) = W * µ(MOR) - 0.25 * µ(P) * L = 34.6 kNm
σ(G) = (W2 * σ2 (MOR) + 0.252 * σ2 (P) * L2 )0.5 = 13.4 kNm
β = µ(G) / σ(G) = 2.58 → Pf~
0.005 .
U
Miguel A. R. Nevado - Página5.2-22 En la formulación precedente, W es el módulo resistente de la sección, P es el valor de la carga, y L la longitud de la viga.
Bien, ésta es nuestra estimación inicial sobre la fiabilidad de la viga de que se trata, frente al fallo de rotura por flexión. La sometemos, entonces, a una carga determinista de 10 kN. La flecha debería ser, puesto que la esperanza matemática de MOE es E(MOE) = 16.53 GPa, de 11.5 mm. Supongamos que la flecha que medimos es 8 mm, luego la viga es más notablemente rígida de lo que suponíamos, y, por la correlación existente entre MOR y MOE, también será más resistente. Podemos considerar, dada la flecha, que MOE = 23.8 GPa.
Por simplicidad, estamos considerando que la precisión de la medición es
comparativamente total. Lógicamente, cabe tratar estadísticamente el posible error de medida que se derive de las condiciones del ensayo.
Nótese, por lo demás, que el resultado del ensayo es totalmente verosímil (un 4% del total de la muestra NI-1 presenta valores del módulo de elasticidad de 23 GPa o superiores.
Utilizando la formulación para actualización bayesiana de variables normales (véase Box y Tiao, 1973, o Ang y Tang, 2004), los valores a posteriori de la centralidad y dispersión de MOR, dado que MOE = 23.8 GPa, resultan ser, puesto que ρ = 0.52:
µ(MOR | MOE = 23.8GPa) =
µ(MOR) + ρ ∗ σ(MOR) * {(23.8 GPa - µ(MOE)) / σ(MOE)} = 94.8 MPa
σ(MOR | MOE = 23.8 GPa) = σ(MOR) * (1-ρ2)0.5 = 16.2 MPa
Se recuerda que la expresión “µ(MOR | MOE = 23.8GPa)” se leería “valor medio de MOR dado que(o condicionado a que) MOE es 23.8 GPa”.
Por lo tanto, la fiabilidad a la rotura por flexión de la viga dado que su módulo de elasticidad medio es 23.8 GPa, será la siguiente:
µ(G | MOE = 23.8 GPa) = W * µ(MOR | MOE = 23.8 GPa) - 0.25 * µ(P) * L = 46.4 kNm
σ(G) = (W2 * σ2 (MOR | MOE = 23.8 GPa) + 0.252 * σ2 (P) * L2 )0.5 = 11.5 kNm B = µ(G) / σ(G) = 4.03 → Pf~
0.00003
Por lo tanto, el ensayo ha reducido la probabilidad de fallo inicialmente supuesta a la estructura, en más de dos órdenes de magnitud. Apréciese que se trata de un ensayo no destructivo de relativo poco coste.
Conocidas las correlaciones entre MOR y/o MOE y cualquier otra variable física (velocidad de propagación de ondas, ensayos de propiedades correlacionadas con la densidad…), es fácil ver el potencial de aplicación de estas técnicas, especialmente cuando se dispone de información a priori altamente informativa. Nótese que cuando las distribuciones son normales o lognormales, los procedimientos de cálculo y análisis de correlaciones son simples y de fácil implementación práctica.
Miguel A. R. Nevado - Página5.2-23
EJEMPLO 2. REALIZACIÓN DE ENSAYOS A ROTURA POR FLEXIÓN DE VIGAS DE UNA
PARTIDA DE PINO GALLEGOSea una partida de madera de p. pinaster, de la que sabemos que no ha sido clasificada.
Podría tratarse, por ejemplo, de cualquiera de las partidas que se dedican
habitualmente a paletizado y que, por razones de precio, no son objeto de clasificación ninguna (con la única excepción de eliminarse tablas con desperfectos o grandes nudos pero, en todo caso, esto llevaría a una situación conservadora).
A priori, creemos que su resistencia a flexión podría ser (ver Capítulo 4), MOR ~ LN (37.82, 0.5018) MPa. Tomamos aleatoriamente una pieza, y la ensayamos hasta rotura, resultando un valor de 90 MPa.
Procedamos a actualizar el valor de la distribución considerada, aceptando que la dispersión de los datos se mantiene inalterada (es decir, el CV se mantiene en el orden del 50%, con un parámetro δ = 0.5018).
Siguiendo los resultados del presente estudio (véase el Capítulo 4), es aceptable suponer que la incertidumbre del parámetro del valor central responde a un CV inferior al 2%. Es decir, sus valores son:
µ'(λ) = ln(37.82) = 3.63
σ'(λ) = 0.073
Si una variable tiene una distribución normal, entonces es posible considerar que las distribuciones a priori y a posteriori del parámetro µ son asimismo normales, y es sencillo formular los nuevos parámetros de la distribución de µ, mediante el
procedimiento de las distribuciones conjugadas (véase Box y Tiao, 1973, Benjamin y Cornell, 1970 o Ang y Tang, 2006). Aplicando este método, los parámetros posteriores de la distribución del valor central resultan ser:
µ''(λ) = 3.65
σ''(λ) = 0.072
Supongamos que hacemos un segundo ensayo de otra pieza, que resulta romper a 85 MPa. En este caso:
µ'(λ) = 3.65
σ'(λ) = 0.072
µ''(λ) = 3.66
σ''(λ) = 0.071
Las distribuciones, por lo tanto han pasado de ser MOR ~ LN (37.82, 0.5018) MPa, a LN (38.47, 0.5018) y LN (38.86, 0.5018), por lo que el 5º percentil de rotura inicial de 16.5 MPa, ha pasado sucesivamente a 16.8 y 17.0 MPa con los dos ensayos.
Miguel A. R. Nevado - Página5.2-24 Supongamos que, a continuación, posiblemente animados por lo elevado de los
primeros valores obtenidos, ensayamos una selección aleatoria de 20 muestras, de modo que el valor promedio de los ensayos es 88 MPa. El mismo procedimiento nos lleva a los siguientes resultados:
µ'(λ) = 3.66
σ'(λ) = 0.071
µ''(λ) = 3.89
σ''(λ) = 0.060
En este caso, la distribución pasaría a ser MOR ~ LN (48.91, 0.5018), y el 5º percentil pasaría a 21.4 MPa.