1.5. Estad´ıstica de los campos cosmol ´ogicos en densidad
1.5.4. El modelo de Halo para la distribuci ´on de galaxias
El objetivo de esta secci ´on es presentar los lineamientos generales, utilizados en la comu- nidad, para construir el espectro de potencias de galaxias, a partir del espectro de potencias de la materia oscura. Como vimos en la secci ´on 1.5.2, en las observaciones (Peebles 1980), el modelo est ´andar para el espectro de potencias y la funci ´on de correlaci ´on, es el de la ley de potencias:
P(k)∝kn ; ξ(r) = (r/r0)γ ; γ=n−3 ; γ≈ −1,8
El comportamiento de la ley de potencias del espectro de galaxias, es bien distinto al predicho para la materia oscura en simulaciones (figura 1.4). De esta manera es previsible que, al rela- cionar la distribuci ´on de galaxias con la distribuci ´on de materia oscura, intervengan procesos de sesgo.
Siguiendo lo discutido en la secci ´on anterior, se distinguen en general dos fuentes de sesgo posibles. Primero, tenemos el n ´umero de galaxias por halo. Para halos de baja masa, la probabilidad de encontrar galaxias de luminosidad t´ıpica disminuye, tendiendo a cero. Para halos masivos, el n ´umero de galaxias contenidas, no necesariamente crece de manera lineal con la masa. Segundo, las propiedades de galaxias en halos, dependen de la din ´amica de ´estos. Debido a choques y fusiones, la probabilidad de encontrar galaxias tempranas o tard´ıas, var´ıa seg ´un la din ´amica de la estructura.
El espectro de potencias para una distribuci ´on de halos de masa fija, es proporcional al espectro de la materia. Es decir, ∆2
h =b2(M)∆2. Dado un halo de masaM, mediante simetr´ıa
esf´erica, es posible asociarle a ´este una escala o radio R, correspondiente a la regi ´on inicial com ´ovil de donde provino la materia del halo: M = 4π
3ρbR
3. En general, y sobre todo cuando
se realizan tratamientos anal´ıticos, como el formalismo de Press & Schechter (1974) (PS), suele reemplazarse la masa M como variable independiente, por larareza de la fluctuaci ´on, ν. Esta ´ultima, es definida a trav´es de la desviaci ´on cuadr ´atica media, en la escala asociada al halo,σ(R)(ver ecuaci ´on 1.35), como ν ≡δc/σ(R), dondeδc es la sobredensidad de colapso
del modelo esf´erico (1,686en un modelo Einstein–de Sitter). De esta manera, el factor de sesgo b(M)puede ser determinado de manera directa, mediante simulaciones num´ericas, mientras que es usual encontrar formas funcionales parab(ν), en trabajos anal´ıticos23.
Por otro lado, el n ´umero de ocupaci ´on de halosN, puede expresarse mediante la asignaci ´on de un peso w, a los halos utilizados para calcular el espectro de galaxias. Una vez m ´as, ´este puede ser funci ´on24 deM oν.
Como el factor de sesgobde los halos depende de la masa, el factor de sesgo efectivo para el espectro de galaxias es:
btot= 1 + R∞ ν b(ν)w(ν) dF dν dν R∞ ν w(ν) dF dν dν,
dondeF(ν)es la fracci ´on de masa en halos con rareza mayor aν, ydF/dν ∝exp(−ν2/2) en el
23Por ejemplo Mo et al. (1996), utilizando el formalismo PS, obtienenb= 1 + (ν2
−1)/δc.
24Un modelo sencillo parawes el de Jing et al. (1998), dondew(M) = 0si(M < Mc)yw(M) = (M/Mc)α−1
si (M > Mc). En este modelo, cuandoα= 1yMc→0,w→1, recuperando la estad´ıstica no pesada.
1.5. Estad´ıstica de los campos cosmol ´ogicos en densidad
formalismo PS. Por lo tanto, el modelo para el espectro de potencias en galaxias es:
∆2g= ∆2halo ® +b2tot∆2lineal donde ∆2halo(k) ® = 4π µ k 2π ¶3 R M2w2(M)|W k(M)|2f(M)dM £ R M w(M)f(M)dM¤2 .
Hasta aqu´ı, el ingrediente clave para definir el espectro es el n ´umero de ocupaci ´on por halo. Asumiendo una cosmolog´ıa de fondo, es posible determinar estos n ´umeros de manera emp´ırica, mediante cat ´alogos espectrosc ´opicos de galaxias. En estos relevamientos, es posi- ble identificar grupos de galaxias, que trazan halos de materia oscura. La identificaci ´on de estos sistemas se lleva a cabo mediante algoritmos similares al m´etodoamigos de los amigos, adaptados para muestras observacionales (ver Merch ´an & Zandivarez (2005) y referencias all´ı). Mediante la apropiada correcci ´on por la limitaci ´on en flujo del cat ´alogo, la observaci ´on del n ´umero de galaxias en grupos, puede convertirse en una estima de luminosidad total del sistema. Esto permite la determinaci ´on de la funci ´on de luminosidad de galaxias en grupos, en un amplio rango de masas. Para el caso del cat ´alogo CfA, Moore et al. (1993) obtienen:
dφ=φ∗ £
(L/L∗)β+ (L/L∗)γ¤−1
dL/L∗,
dondeφ∗ = 0,00126 h3Mpc−3,β = 1,34, γ = 2,89; y la luminosidad caracter´ıstica esL∗ = 7,6×
1010h−2L
⊙.
Un rasgo notable de la funci ´on de luminosidad, es que ´esta se aplana para luminosidades bajas, a diferencia de la funci ´on de masa para halos de materia oscura, que a medida que baja la masa, sigue creciendo (ver Sheth & Tormen (1999)). De esta manera, la luminosidad estelar por halo, es una funci ´on mon ´otona y no lineal de la masa. La relaci ´on masa–luminosidad adecuada, puede deducirse encontrando la luminosidadL, para la cual la densidad Φ(> L), concuerda con el n ´umero integrado en la densidad de halos con masa> M. Se pueden calcu- lar as´ı, los n ´umeros de ocupaci ´on de halos,N, como funci ´on de la masa.
Siguiendo Seljak (2000) tenemos quewi =hNii/M. No obstante, la mayor´ıa de las galaxias
observadas no pertenecen a sistemas (N = 1), y por lo tanto no contribuyen en la correlaci ´on del t´ermino de un halo. Si aplicamos el peso anterior en el t´ermino de un halo, se diluye la señal para halos ocupados conN ≥2. Por lo tanto, resulta conveniente definir para el t´ermino de halo (Seljak 2000):
wi= h
Ni(Ni−1)i1/2
M ,
dejando la primer definici ´on para el t´ermino de dos halos. Como ´ultimo paso, para construir el espectro de las galaxias, se necesita colocar ´estas dentro del halo. La convenci ´on que mejor resultado produce, es ubicar una galaxia central, dejando las restantes como sat´elites. De esta manera, las galaxias trazan, de manera autom ´atica, la pendiente del perfil en densidad del halo en las regiones internas.
Fig. 1.5:Panel superior:Factor de sesgo entre el espectro de la materia oscura y el correspon- diente a galaxias, como funci ´on de la escala, seg ´un el modelo de halo. En l´ıneas de trazos se muestra el sesgo con respecto al espectro lineal. Las l´ıneas s ´olidas, presentan resultados en el rango de1010(sesgo m ´as bajo) hasta1012,5h−1M
⊙(sesgo m ´as alto).
Panel inferior: Comparaci ´on del espectro de galaxias predicho por el modelo, con el modelo can ´onico de ley de potencias (Peacock 2003).
En la figura 1.5 podemos ver los resultados para el factor de sesgo entre el espectro de la materia oscura y el correspondiente a galaxias, como funci ´on de la escala, seg ´un el modelo de halo. Es decir, aqu´ı b(k), es la ra´ız cuadrada del cociente entre el espectro de la materia y el de galaxias. En l´ıneas de trazos se muestra el sesgo con respecto al espectro lineal. Las l´ıneas s ´olidas, presentan resultados para diferentes rangos en masa. El sesgo es mayor cuanto mayor sea la masa. En el panel inferior de la figura 1.5, se compara el espectro de galaxias predicho por este modelo, con el modelo can ´onico de ley de potencias. Es notable que para cierto rango de masa (alrededor de 1012h−1M
⊙, de las 7 l´ıneas la cuarta l´ınea al medio), el
espectro de potencias difiere a lo sumo en un factor2con respecto a la ley de potencias, en un rango de3 ´ordenes de magnitud en escala. Es decir, este modelo concilia el espectro can ´onico de ley de potencias, con el modelo no lineal del espectro de la materia oscura (Peacock 2003).