Evoluci ´on de la estructura - Halos de materia y estructura en gran escala /

En la secci ´on anterior, vimos como es posible construir un sistema de ecuaciones diferen- ciales (ecuaciones 1.6, 1.2), para describir las perturbaciones en densidad δy velocidad~v de un fluido ideal que produce un campo gravitatorio Φ, sobre una m´etrica de fondo FRW. No

1.3. Evoluci ´on de la estructura

obstante para poder cerrar el sistema recurrimos a una aproximaci ón lineal. Esta aproximaci ón es conocida también como teor´ıa de perturbaciones euleriana a primer orden. En esta secci ón veremos un formalismo alternativo, la teor´ıa de perturbaciones lagrangiana a primer orden, o m ás conocida como la aproximaci ón de Zel’Dovich.

1.3.1. La aproximaci ´on de Zel’Dovich

Zel′_{Dovich (1970) desarroll ó un método cinem ático para estudiar la formaci ón de estruc-}

tura, que hoy conocemos como aproximaci ón de Zel’Dovich, o teor´ıa lagrangiana de perturbaciones a primer orden15. En este método, se calcula el desplazamiento inicial de un elemento del fluido, representado por una part´ıcula, extrapolando luego el movimiento en esta direcci ón inicial. De esta manera, expresamos la posici ón de una dada part´ıcula (en coordenadas f´ısicas r) como:

~r(t) =a(t)~q+b(t)f~(~q). (1.10)

El primer término representa la expansi ón general de Hubble (a(t)es el factor de escala), mien- tras que el segundo puede ser entendido como una perturbaci ón a la distribuci ón homogénea de part´ıculas, la cual se anula cuando t → 0. Denotamos con ~q las coordenadas com óviles iniciales at= 0, yb(t)es una funci ón del tiempo que modela la evoluci ón temporal del campo de desplazamientof~(~q). Fijando un conjunto de observadores en reposo con respecto al fluido (ca´ıda libre), las coordenadas ~q definen un sistema que, por construcci ón, fija una posici ón constante a través del tiempo, para cada elemento de materia. En terminolog´ıa de mec ánica de fluidos, se dice que~rrepresenta laposici ón euleriana, y~qlaposici ón lagrangiana.

Por otro lado, a primer orden, podemos expresar la relaci ´on (1.10) como:

xi= ri a(t) ≈Iijqj+ b(t) a(t) ∂fi ∂qj qj≡Aij(t)qj (1.11)

Para obtener la densidad euleriana es necesario calcular el jacobiano de la transformaci ´on (1.10), i.e.P(t)≡det(Aij). Esto se debe simplemente a que los elementos de volumen satisfa-

cen:d3r=P(t)d3q. En las coordenadas lagrangianas~q, la densidad es constante por definici ´on ρ=ρb. Dado que el tensor de esfuerzos,∂fi/∂qj, es sim´etrico (ya que asumimos que la pertur-

baci ón en la densidad se debe s ólo al modo creciente, ver secci ón 1.2.3), es diagonalizable. Si denotamos con(α, β, γ), los autovalores en orden creciente, calculandoP(t)obtenemos:

ρ ρb = ·µ 1 + b aα ¶ µ 1 + b aβ ¶ µ 1 + b aγ ¶¸−1 . (1.12)

Luego, para regiones con autovalores negativos, se producir á un aumento de la densidad con respecto al fondo. En estas regiones, el colapso comenzar á en primera instancia en la direcci ón del autovector correspondiente al autovalor negativo m ás grande en valor absolu- to. En el caso de regiones con perturbaciones en forma de elipsoides triaxiales, el colapso

devendr á a lo largo del eje m ás corto. De esta manera la gravedad acent úa asfericidades, de- jando estructuras aplanadas, conocidas comopanqueques de Zel’Dovich. La densidad diverge cuando el primer autovalor alcanza−a/b. Las zonas donde la densidad se hace infinita se las denomina c áusticas, en analog´ıa con la óptica geométrica.

Debido a que el tensor de esfuerzos es sim´etrico, el campo de desplazamiento es irrotacio- nal, luego puede ser expresado como el gradiente de un potencial escalarψ:

~ f(~q) =∇ψ(~q) ⇒ ∂f_∂qi j = ∂ 2_ψ ∂qi∂qj . (1.13)

Si linealizamos la relaci ´on (1.12), el contraste en densidad queda expresado:

δ=− b a(α+β+γ) =− b a∇ ·f ~u=1 a µ ˙ ~r−a_a˙~r ¶ = Ã ˙ b a− ˙ ab a2 ! ~ f (1.14)

Cuando las fluctuaciones en densidad son pequeñas, el tratamiento a primer orden ya sea lagrangiano o euleriano, resulta equivalente. En este l´ımite, las soluciones de las ecuaciones (1.14), son id´enticas a las obtenidas en la teor´ıa euleriana de primer orden (ecuaciones 1.7).

A partir deδ=−(b/a)∇ ·~ f, podemos decir entonces que[b(t)/a(t)] =D(t), dondeD(t)factor de crecimiento euleriano. Por lo tanto tenemos:

~x(t) =~q+D(t)f~(q), (1.15)

La ventaja fundamental de la aproximaci ón de Zel’Dovich radica en que normalmente, aproxima la soluci ón no lineal mucho m ás tiempo que la teor´ıa euleriana. Es decir, para obtener resultados comparables en precisi ón con la teor´ıa de perturbaciones lagrangianas de primer orden, es necesario incluir órdenes m ás altos en el desarrollo euleriano. Es por esto que la aproximaci ón de Zel’Dovich, es utilizada normalmente para calcular condiciones iniciales, en simulaciones numéricas cosmol ógicas.

Tanto la teor´ıa euleriana como la lagrangiana, obtienen la soluci ón del problema mediante separaci ón de variables en las ecuaciones linealizadas. Por lo tanto en ambos casos, es posible desarrollar la soluci ón como suma de modos de Fourier, lo cual como veremos m ás adelante, resulta conveniente tanto para describir la estad´ıstica de campos en densidad, como para resolver numéricamente las ecuaciones no lineales. Transformando en la variable~x, obtenemos para un modo de Fourier~k:

fk =−iδk

k2 ~k. (1.16)

Con lo cual, fijado el modoδk en las condiciones iniciales16, es posible construir el campo de

16_{El espectro de potencias (ver secci ´on 1.5.2),}_h_δ2

ki, resulta fundamental en la descripci ´on de campos en densidad.

La teor´ıa de inflaci ón predice naturalmente el espectro inicial, el cual puede ser medido en observaciones del fondo de microondas. Los modos iniciales, son fijados en amplitud por el espectro, con fases distribuidas uniformemente seg ún el principio cosmol ógico.

1.3. Evoluci ´on de la estructura

desplazamiento correspondiente, en posici ´on y velocidad.

M ás adelante, en la secci ón 1.4, veremos como la teor´ıa de primer orden, resulta también ´

util para estudiar las condiciones iniciales y etapas tempranas, para regiones centradas en m áximos locales del campo de densidad. Estos m áximos o picos del campo, por la subsecuente evoluci ón no lineal, dar án lugar a la formaci ón de halos de materia oscura.

La aproximaci ón cinem ática de Zel’Dovich no s ólo ha demostrado ser un método poderoso para evolucionar campos de densidad en cosmolog´ıa, sino también para el tratamiento general de sistemas de part´ıculas autogravitantes. Este es el caso de la aproximaci ón impulsiva, utilizada para el modelado de colisiones entre galaxias. En particular, para el caso de un im- pacto perpendicular y axial al disco de una galaxia, por un satélite compacto, la aproximaci ón cinem ática ha demostrado ser útil. No s ólo predice la propagaci ón de ondas de densidad sobre el disco sino adem ás, las superficies c áusticas de las ecuaciones, modelan las posiciones y velocidades de anillos observados en galaxias, como el caso de la galaxia de Cartwheel (ver Paz et al. (2004) y referencias all´ı).

1.3.2. Simulaciones Num ´ericas

Para obtener la evoluci ón exacta de campos en densidad es necesario recurrir a simulaciones numéricas (también conocidas como simulaciones de N–cuerpos), en las cuales el fluido es representado mediante la suma de un conjunto discreto de part´ıculas. Dichas part´ıculas representan el movimiento de una regi ón del espacio de fases de masa equivalente. Para describir su din ámica, vamos a recurrir a la aproximaci ón newtoniana, que presentamos en la secci ón 1.2.1. Las ecuaciones de movimiento para cada part´ıcula, son no lineales, y dependen de la soluci ón del campo de potencial gravitatorio, originado por el resto de éstas. De esta manera, se busca calcular el cambio en las posiciones y velocidades de las part´ıculas, en un pequeño intervalo o paso temporal, calculando el movimiento y aceleraci ón de las mismas, para finalmente recalcular el campo gravitatorio e iniciar una nueva iteraci ón del proceso.

Si utilizamos unidades com ´oviles tanto en la longitud como en la velocidad (~v = a~u), la ecuaci ´on de movimiento (1.3) queda de la forma:

d dt~u+ 2 ˙ a a~u=− 1 a2∇~Φ, (1.17)

DondeΦes el potencial gravitatorio invariante de gauge, an álogo al newtoniano. Este potencial es gobernado por la ecuaci ón de Poisson (1.2). La soluci ón se obtiene mediante convoluci ón del término fuente (lado derecho de 1.2), con la funci ón de Green1/r. Al haber discretizado la materia enN part´ıculas, esta integral se convierte en una suma finita sobre todos los elementos. De esta manera, es posible calcular el lado derecho de (1.17), y si adem ás reemplazamos la variablet pora, (1.17) queda expresada como:

d dlna(a 2_~u_{) =} a H~g= G aH N X i=1 mi ~xi−~x |~xi−~x|3 . (1.18)

Fig. 1.2: En el panel izquierdo (derecho) presentamos un corte bidimensional de una simulaci ´on de lado 60 Mpc h−1 (500 Mpc h−1). La escala de grises representa diferencias lineales en el logaritmo de la densidad de part´ıculas, aumentando la densidad desde blanco a negro.

Aqu´ı, la aceleraci ón gravitatoria~gha sido escrita como una suma sobre todas las part´ıculas de la simulaci ón. Este c álculo resulta prohibitivo para grandes cantidades de part´ıculas, ya que es necesario computar la sumatoria por cada part´ıcula, luego el n úmero de operaciones crece con el cuadrado deN.

Un manera alternativa y r ápida, para resolver la ecuaci ón de Poisson (1.2), es utilizar transformadas de Fourier. La eficiencia de esta técnica radica en el algoritmo de transformada r ápida (en inglésFast Fourier Transform, FFT, ver cap´ıtulo 13 de Press et al. (1992)). De esta manera, expresamos el campo de perturbaciones en densidad como: δ =P

δkexp(−i~k·~x), la

ecuaci ´on de Poisson queda: −k2_Φ

k = 4πGa2ρ δ¯ k, y el gradiente del potencial:

(∇~Φ)k=−iΦk~k= −

i4πGa2_ρ_¯

k2 δk~k. (1.19)

Este método, adem ás nos permite modelar de manera natural las condiciones de contorno, que deben ser tenidas en cuenta al simular un pedazo finito del universo, en un modelo infinito y de geometr´ıa plana. Si tomamos la transformada de la densidad, para una simulaci ón en una caja de ladoL, las condiciones de contorno ser án peri ódicas, es decir, nuestro campo puede ser imaginado como un mosaico infinito de cubos de lado L. De esta manera, la densidad puede expresarse comoρ=N m/(aL)3_{, y las ecuaciones de movimiento toman la forma}

adimensional: d dlna[f(a)U~] = 3 8πΩm(a)f(a) 1 N X i ~ Xi−X~ |X~i−X~|3 . (1.20)

Donde la funci ´onf(a)es proporcional aa2_H₍_a₎_,_X_~ ₌_~x/L_y_U_~ ₌_~v/₍_HLa_{) =}_{~u/HL. Para un dado}

paso temporal las part´ıculas son desplazadas en un intervalo de longitudd ~X=U d~ lna. El algoritmo m ás sencillo para resolver estas ecuaciones de movimiento, es el denominado método part´ıcula-grilla, m ás conocido comoparticle–mesh (PM). En este método se promedia el campo de densidad en una grilla, sobre la cual se calculan la transformada de la densidad, y las transformadas inversas necesarias para obtener las componentes de la fuerza en el espacio real (Efstathiou et al. 1985). Este método tiene como resoluci ón l´ımite el tamaño

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