El modelo del semiplano - M´ etrica Hiperb´ olica 47

2. M´ etrica Hiperb´ olica 47

2.2. El modelo del semiplano

2. Demuestre formalmente la validez de la desigualdad descrita al final de la demostraci´on del teorema 2.1.1: ^R^t0

a λ(γ(t)) |γ⁰(t)| dt ≥ m r.

3. Sea A es un abierto en Rⁿ y f : A → Rⁿ una funci´on conforme en x₀ ∈ A, demuestre que l´ım_x→x₀ ^{|f (x)−f (x}0)|

|x−x₀| existe y es precisamente el factor de conformalidad.

2.2. El modelo del semiplano

La discusión sobre densidades nos permite presentar un primer modelo del plano hiperbólico, donde P SL(2, R) actua como un grupo de isometr´ıas. Definición 10 El plano superior _H2 provisto con la métrica definida por la densidad

λ(z) = ¹ Im z

se le llama el plano hiperbólico y a esta métrica se le llama la métrica hiperbólica.

En este modelo llamado el del semiplano es intuitivamente claro que si se tiene una curva C en H2 y se traslada en dirección vertical, su longitud hiperbólica puede crecer tanto como se quiera (si se mueve hacia abajo), o puede decrecer tanto como se quiera (si se mueve hacia arriba); sin embargo la longitud euclideana, siempre es la misma. Viceversa, existen curvas que euclideanamente miden cualquier valor que se quiera, pero que hiperb´ oli-camente siempre miden lo mismo, por ejemplo, los segmentos de c´ırculos concéntricos de la figura 2.2. Esto se sigue del teorema 2.2.1, ya que que las homotecias son isometr´ıas hiperbólicas, al estar definidas por matrices en SL(2, R).

Teorema 2.2.1 El grupo P SL(2, R) actua como un grupo de isometr´ıas en H² con la m´etrica hiperb´olica.

Demostraci´on. Observ´ese primero que si

T (z) = ^{az + b} cz + d est´a definida por la matriz

a b c d

entonces Im T (z) = Im^{az + b} cz + d = Im (az + b)(cz + d) |cz + d|2 = Im adz + bcz |cz + d|2 = ^Im(z) |cz + d|2. Tambi´en, como

T⁰(z) = ¹ (cz + d)2, se sigue de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que

µ_T(z) = ¹ |cz + d|2.

Estos hechos muestran que se cumple la relaci´on 2.2, ya que 1 Im T (z) ⁼ |cz + d|2 Im(z) ⁼ 1 Im(z) 1 µ_T(z) ,

por lo que se sigue el resultado.

Figura 2.2: Curvas de la misma longitud hiperb´olica

Otros ejemplos de isometr´ıas hiperb´olicas son las traslaciones por reales y la funci´on z → −1/z, esto se sigue ya que las matrices

1 t 0 1 , 0 −1 1 0 , t ∈ R,

2.2. EL MODELO DEL SEMIPLANO 53

pertenecen a P SL(2, R). Observ´ese que esto implica que al trasladar cualquier curva horizontalmente su longitud hiperb´olica permanece invariante.

La reflexi´on en el eje imaginario

ϕ(z) = −z

es también una isometr´ıa hiperbólica de H2 (ejercicio). De hecho, probaremos que el grupo generado por P SL(2, R) y ϕ consiste de todas las isometr´ıas hiperbólicas del modelo del semiplano superior H2.

Se establece ahora como son las curvas en el modelo del semiplano que minimizan la distancia. Para esto se considera primero una caso sencillo: se toman los puntos i, k i, k > 1 y γ : [a , b] → H2, de clase C1, tal que γ(a) = i y γ(b) = k i. Si lh(γ) denota la longitud hiperb´olica de γ y γ(t) = (γ₁(t), γ₂(t)), se tiene l_h(γ) = Z b a p(γ1⁰(t))2+ (γ₂0(t))2 γ₂(t) ^dt ≥ Z b a p(γ₂0)2(t) γ2(t) ^{dt ≥} Z b a γ₂⁰(t) γ2(t) ^{dt = log(γ}²^(t)) b a

= log γ₂(b) − log γ(a) = log(k) − log(1) = log k.

En particular, la curva γ : [1 , k] → H2, dada por γ(t) = i t alcanza esta cota l_h(γ) = Z k 1 1 t ^{dt = log k.}

Como este argumento se generaliza f´acilmente a curvas de clase C1 por tramos, se sigue que

ρ(i, k i) = log k,

donde ρ denota la distancia hiperbólica. Se sigue también que este segmento del eje imaginario es la única curva que minimiza la distancia, ya que para cualquier otra curva con componente real y parametrizada por una función β, se tiene l_h(β) > log k (ejercicio).

Si 0 < k < 1, se aplican los mismos argumentos, considerando ahora, que las curvas inicien en k i y terminen en i, y que el dominio de la curva de longitud m´ınima sea el intervalo [k , 1], obteni´endose como distancia − log k.

Alternativamente, como la transformaci´on z → −1/z est´a en P SL(2, R) y fija i, se sigue del caso anterior que

ρ(k i , i) = ρ(i/k , i) = log (1/k) = − log k. Estos resultados implican tambi´en, que si t > m > 0, entonces

ρ(t i , m i) = log t − log m (ejercicio).

De manera an´aloga se puede definir un modelo del espacio hiperb´olico n-dimensional, usando el semiespacio superior en Rn

Hⁿ = {(x₁, x₂, ..., x_n) ∈ Rⁿ | x_n> 0} , con la densidad

λ(x) = ¹ x_n^,

donde x = (x₁, x₂, ..., x_n). Resulta que una prueba, casi idéntica a la del caso del semiplano superior, muestra que en este caso la longitud hiperbólica entre puntos alineados con el eje definido por el vector e_n = (0, ..., 0, 1) está también dada por el logaritmo.

Volviendo al contexto bidimensional, se necesita otro resultado para anali-zar cuales son las curvas que minimizan la distancia hiperb´olica entre dos puntos en H2 que no est´en alineados verticalmente.

Proposici´on 2.2.2 El grupo P SL(2, R) actua transitivamente en la familia de “c´ırculos” ortogonales al eje real.

Demostración. Observése primero que por conformalidad cualquier trans-formación en P SL(2, R) preserva esta familia. Ahora, para probar el teore-ma, basta probar que dado cualquier “c´ırculo” ortogonal al eje real C existe una función en P SL(2, R) que transforma este c´ırculo en el eje imaginario.

Si C es una recta paralela al eje imaginario, una traslación la mueve al eje imaginario. Por otra parte, si C es e un c´ırculo que intersecta ortogonalmente al eje real, éste se puede transformar mediante una traslación y una homotecia en el c´ırculo unitario, por lo que basta probar que existe un elemento en P SL(2, R) que transforme el c´ırculo unitario en el eje imaginario. Una opción es mandar 1 en 0 y −1 en ∞, lo cual sugiere tomar

z 7−→ ^{z − 1} z + 1^,

2.2. EL MODELO DEL SEMIPLANO 55

que es en efecto una transformaci´on en P SL(2, R) que transforma el c´ırculo unitario en el eje imaginario.

Notese, que la transformaci´on

z 7−→ ^{z + 1}

z − 1 ∈ P SL(2, R),^/

por lo que es importante checar a nivel matricial las entradas para detec-tar si una transformación pertenece, o no, a P SL(2, R). Obsérvese también que la proposición 2.2.2 implica que P SL(2, R) es transitivo en puntos de H² (evidentemente lo es para los puntos de b_{R), ya que cualquier punto se} puede trasladar al eje imaginario y posteriormente aplicando una homotecia mandarlo al punto i.

Se puede ahora caracterizar todas las curvas que minimizan distancias, que en este contexto se les llama también geodésicas. Sean z, w ∈ H2 y C el “c´ırculo” ortogonal a la recta real que pasa por z y w, se tiene entonces que ρ(z, w) está dada por la longitud hiperbólica del segmento de C que une z con w. Esto se sigue ya que en virtud de la proposición 2.2.2 se puede encontrar un función en P SL(2, R) que transforme C en el eje imaginario y estas transformaciones, además de ser isometr´ıas, tienen la propiedad de preservar curvas que minimizan la distancia (véase la figura 2.3). Esta última afirmación se sigue de la prueba del teorema 2.2.1.

Este argumento demuestra además que el segmento de C, que denotare-mos por [z, w], es la única curva que minimiza la distancia; esto se sigue ya que si hubiera otra curva de z a w, con dicha propiedad , existir´ıa otra geodésica, distinta de un segmento vertical, uniendo a dos puntos en el eje imaginario. Se concluye entonces que los “semic´ırculos” en H2, ortogonales a la recta real, contienen todas las geodésicas hiperbólicas. Estos últimos razonamientos demuestran también el siguiente importante resultado. Teorema 2.2.3 Sean z, w, v tres puntos distintos en H2, entonces

ρ(z, v) = ρ(z, w) + ρ(w, v) ⇐⇒ w ∈ [z, v].

Obsérvese que el teorema anterior implica que cualquier isometr´ıa hiperb´ o-lica de H², necesariamente manda geodésicas en geodésicas. Para obtener una fórmula general de la distancia hiperbólica, entre dos puntos cualesquiera, se prueba primero el siguiente resultado de invariabilidad de cierta expresión, bajo la acción de elementos en P SL(2, R).

i ki z w ⁱ ki z w

Figura 2.3: Geod´esicas en H2

Lema 2.2.4 La expresi´on

|z − w|2

2 Im z Im w

es invariante bajo la acci´on de transformaciones en P SL(2, R).

Demostraci´on. Sea T ∈ P SL(2, R) dada por

T (z) = ^{az + b}

cz + d^, ^{ad − bc = 1,} se tiene entonces que

|T (z) − T (w)|2 2 Im T (z) Im T (w) = az + b cz + d −^{aw + b} cw + d 2 |cz + d|2|cw + d|2 2 Im z Im w = |(az + b)(cw + d) − (aw + b)(cz + d)|2 2 Im z Im w ⁼ |z − w|2 2 Im z Im w^. Se puede ahora exhibir una fórmula general de la distancia hiperbólica en el modelo del semiplano, ésta mostrará ser de gran utilidad, debido a sus multiples aplicaciones.

2.2. EL MODELO DEL SEMIPLANO 57

Teorema 2.2.5 Sean z y w dos puntos en H2, entonces cosh ρ(z, w) = 1 + |z − w|2

2 Im z Im w^.

Demostraci´on. Si z = i y w = ki, k > 1, entonces

cosh ρ(i, k i) = cosh (log k) = ^{k + 1/k} 2 = ^{k + 1/k − 2} 2 ^{+ 1 =} (k − 1)² 2k ^{+ 1} = |i − k i|2 2 Im i Im k i ^{+ 1.}

El caso general se sigue del lema anterior y de los teoremas 2.2.2 y 2.2.1, ya que se puede encontrar una transformación en P SL(2, R) que mande z y w en i y k i, k > 1. Esto último se logra enviando la geodésica por z y w al eje imaginario y posteriormente –si es necesario– aplicando una homotecia

y la funci´on z → −1/z.

Se puede probar que la fórmula del teorema anterior es también válida en todas las dimensiones (véase [2] p. 35 y el final de este cap´ıtulo).

z₀

Figura 2.4: C´ırculo hiperb´olico con centro en z₀

Una primera aplicación de esta fórmula muestra que los c´ırculos hiperb´ oli-cos son c´ırculos euclideanos, donde el centro euclideano se obtiene incremen-tando la parte imaginaria del centro hiperbólico (véase la figura 2.4).

Teorema 2.2.6 El conjunto de los puntos z = x + iy en H2 que equidis-tan hiperbólicamente una distancia r de un punto z₀ = x₀ + i y₀, están determinados por la siguiente ecuación

(x − x₀)²+ (y − y₀cosh r)² = y₀²senh²r, es decir, constituyen un c´ırculo euclideano.

Demostraci´on. Sea C = {z ∈ H² | ρ(z, z₀) = r}, entonces cosh ρ(z, z0) = cosh r = 1 + |z − z₀|2 2 Im z Im z₀^, y se tiene coshr = ^{(x − x}⁰⁾ 2+ y²+ y₀² 2 y y₀ ^. Despejando y completando cuadrados se tiene

2 y y0cosh r = (x − x0)² + y²+ y²₀(cosh²r − senh²r) y

(x − x₀)²+ (y − y₀cosh r)² = y₀²senh²r.

Se ha probado entonces que el c´ırculo hiperbólico con centro z₀ = x₀+ iy₀ y radio hiperbólico r es el c´ırculo euclideano con centro en x₀ + iy₀cosh r y radio y₀senh r (véase la figura 2.4). De nuevo, esta fórmula de los c´ırculos hiperbólicos se generaliza a esferas hiperbólicas de cualquier dimensión (cf. [2] p. 35). Mostramos ahora otra manera de probar que los c´ırculos hiperb´ oli-cos son c´ırculos euclideanos. Sean z₀ ∈ H2

y r ∈ R⁺, trazando cualquier geodésica en H² por el punto z0, se encuentra otro punto z ∈ H², tal que ρ(z, z₀) = r. Ahora si C denota el c´ırculo de Apolonio con respecto a z₀ y z₀ que pasa por z, como b_{R es tambi´}en un “c´ırculo”de Apolonio con respecto a estos puntos l´ımite, se tiene que cualquier transformación el´ıptica, que fije z₀ y z₀, está en P SL(2, R) y preserva C. En consecuencia C consiste de puntos que equidistan hiperbólicamente de z₀, dicha distancia r, ya que las transformaciones en P SL(2, R) son isometr´ıas. Finalmente, si ρ(z0, w) = r, al trazar la geodesica que une z₀ con w, ésta intersecta C en 2 puntos y es claro que uno ellos es w (véase la figura 2.5).

2.2. EL MODELO DEL SEMIPLANO 59 z₀ z0 z w C

Figura 2.5: Los c´ırculos hiperb´olicos son de Apolonio

Una consecuencia importante de esta caracterización de los c´ırculos hiper-bólicos es que las métricas hiperbólica y euclideana definen la misma topolog´ıa en el semiplano superior H2, es decir, los conjunto abiertos en ambas m´ etri-cas coinciden. Esto se sigue del hecho de que dado un punto z₀ ∈ H2, los c´ırculos de Apolonio en H2 con puntos l´ımite z₀ y z₀ cubren H2− {z₀}.

En este contexto se puede interpretar las transformaciones de Möbius en P SL(2, R) de manera hiperbólica, primero introducimos dos definiciones, véase también las figuras 2.6 y 1.13.

Definici´on 11 Un horociclo basado en un punto α ∈ b_{R es un c´ırculo en} H², tangente en α a la recta real, si α es finito y es cualquier recta en H2

paralela a la recta real ( y distinta de ´esta), si α = ∞.

Definici´on 12 Un hiperc´ıclo por α, β puntos distintos en b_{R es la} intersec-ci´on de cualquier “c´ırculo” por α y β con H2.

Se tiene entonces que las el´ıpticas son rotaciones hiperbólicas en los c´ırcu-los de Apolonio contenidos en H². Las transformaciones parabólicas son un caso l´ımite de las el´ıpticas cuando los puntos fijos z₀ y z₀ se juntan en la recta real para coincidir en un solo punto, digamos α, se dice que son una rotación l´ımite, esto es, son rotaciones en los horociclos (véase la figura 2.6).

Por otra parte, si T es hiperbólica con puntos fijos α, β ∈ b_{R, entonces} T preserva la geodésica y los hiperciclos por α y β; más aún al iterar T los puntos viajan en estos hiperciclos y en la geodésica hacia el atractor,

por lo que T es una traslación hiperbólica (véase la figura 1.13). Resulta que en los casos hiperbólico y parabólico los puntos fijos no pertenecen al plano hiperbólico, sin embargo juegan un papel fundamental en la acción geométrica de estas funciones, por lo que es muy importante considerar la recta real extendida, a la que se le llama la recta al infinito.

Otra aplicaci´on fundamental del teorema 2.2.5 lo establece el siguiente re-sultado, el cual implica que el grupo completo de isometr´ıas de H2 est´a dado por

hz 7−→ −z, P SL(2, R)i,

posteriormente mostraremos que este grupo es tambi´en el generado por las reflexiones en los “c´ırculos” ortogonales a la recta real.

z₀

Figura 2.6: Las transformaciones parab´olicas en P SL(2, R) son rotaciones hiperb´olicas por horoc´ıclos en H2

Teorema 2.2.7 Cualquier isometr´ıa del plano hiperb´olico H2 es un elemen-to de P SL(2, R), o es de la forma

z −→ ^{a(−z) + b} c(−z) + d^, donde a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1.

2.2. EL MODELO DEL SEMIPLANO 61

Demostración. Sea ϕ una isometr´ıa de H² con la métrica hiperbólica. Usando los teoremas 2.2.1, 2.2.3 y la proposición 2.2.2 (y si es necesario aplicando una homotecia y la función z → −1/z), se puede suponer, sin perder generalidad, que existe T ∈ P SL(2, R), tal que la función T ϕ fija puntualmente el eje imaginario positivo.

Ahora, sea z ∈ H2, z = x + iy y T ϕ(z) = a + ib, se sigue entonces del teorema 2.2.5 que ∀ t ∈ R, t > 0, se tiene

|it − T ϕ (z)|2 2 Im (it) Im T ϕ(z)⁼ |it − z|2 2 Im (it) Im (z)^, por lo cual a2+ (b − t)2 b ⁼ x2+ (y − t)2 y y y a²+ (b − t)² = b x²+ (y − t)² . Haciendo t tender a ∞ en esta ´ultima ecuaci´on, se obtiene

b = y y a = ± x.

Finalmente, como las isometr´ıas son evidentemente continuas, se sigue que los puntos en el primer cuadrante, donde T ϕ es la funci´on z → −z (o la identidad), es una conjunto abierto y cerrado (este argumento se aplica tambi´en al segundo cuadrante). Se sigue entonces por conexidad y del hecho de que cualquier isometr´ıa es inyectiva que

T ϕ = Id o T ϕ (z) = −z.

Una caracterización del grupo completo de isometr´ıas en el espacio hiperb´ o-lico n-dimensional aparece en [12], pp. 129, 130. Una versión más geométrica, que sin embargo asume diferenciabilidad, se puede consultar en [10] p. 61. Estas generalizaciones muestran que –como en el caso bidimensional– este grupo está generado por las reflexiones en “esferas” ortogonales a Rⁿ⁻¹. El siguiente resultado muestra que la distancia de un punto a una geodésica se alcanza trazando otra geodésica ortogonal.

Lema 2.2.8 Sea λ una geod´esica en H2 y z ∈ H2− λ, entonces ρ(z, λ) se alcanza en z₀ ∈ λ, donde el segmento [z, z₀] corta ortogonalmente a λ.

z i|z|

Figura 2.7: Distancia de un punto a una geod´esica

Demostración. Sin perder generalidad, se puede suponer que λ es el eje imaginario, se afirma que ρ(z, λ) = ρ(z, i|z|) (véase la figura 2.7). Usando la fórmula de la distancia hiperbólica, si z = x + iy, se tiene

coshρ(z, it) = 1 + |z − it|2

(Im z)t ⁼ x²+ y²+ t² 2yt = |z|2 + t2 2yt ⁼ |z| 2y |z| t ⁺ t |z| ≥ ^|z| y

(puesto que ∀ x ∈ R+, x + 1/x ≥ 2). La igualdad se obtiene si t = |z|. Se deduce de la fórmula de la distancia hiperbólica una interesante propie-dad que cumplen todos los triángulos hiperbólicos en el semiplano superior –o en el disco de Poincaré– que tienen un ángulo recto y dos puntos finitos. Esta propiedad establece que la longitud hiperbólica del lado finito está determi-nada por el ángulo de magnitud distinta de 0 y de π/2. Expl´ıcitamente, como P SL(2, R) es transitivo en geodésicas, se puede tomar el triángulo determinado por ∞, i|z| y z; si el ángulo en z es α, se tiene

sen α cosh ρ(z, i|z|) = 1

(ve´ase la figura 2.8). A esta propiedad se le conoce como ´angulo de paralelis-mo, queda como ejercicio para el lector probar dicha identidad.

EJERCICIOS 2.2

1. Demuestre formalmente que si se tiene una curva C1 por tramos que une i con k i, k > 1, y que no est´a contenida en el segmento vertical [i , k i], entonces su longitud hiperb´olica es estrictamente mayor que log k.

In document Una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional. Antonio Lascurain Orive (página 51-63)