El modelo del disco de Poincar´ e

2. Demuestre que la reflexi´on en el eje imaginario z → −z es una isometr´ıa hiperb´olica de H².

3. Demuestre que si t > m > 0, entonces ρ(t i , m i) = log t − log m. 4. Demuestre formalmente el Teorema 2.2.3.

5. Demuestre que dado un tri´angulo hiperb´olico en H2 con un v´ertice en la recta al infinito, un ´angulo recto y otro ´angulo positivo α, se tiene que sen α cosh b = 1, donde b denota la longitud hiperb´olica del lado finito. 6. Demuestre que existen parametrizaciones de curvas que minimizan la dis-tancia hiperb´olica entre dos puntos, pero que sin embargo sus derivadas se anulan en algunos puntos.

b b b b b z i|z| α α α b Figura 2.8: Paralelismo

2.3. El modelo del disco de Poincar´e

La relaci´on 2.1 descrita en la secci´on de densidades permite exhibir, sin gran dificultad, el disco unitario ∆ como un segundo modelo del plano hiperb´olico. Como se mostr´o en el primer cap´ıtulo, una biyecci´on conforme de H² en el disco unitario ∆ est´a dada por la funci´on de Cayley

f (z) = ^{z − i} z + i^.

Para encontrar la m´etrica hiperb´olica en ∆, primero hay que calcular la funci´on inversa de f y su factor de conformalidad. Se tiene que

f⁻¹(w) = ^{iw + i} −w + 1^,

y

f⁰(z) = ^{(z + i) − (z − i)}

(z + i)2 = ²ⁱ (z + i)2.

Ahora, se sigue de las ecuaciones de Cauchy Riemann que el factor de con-formalidad, denotado en 2.1 por µ(z) est´a dado por |f⁰(z)|, por lo cual

µ(z) = ² |z + i|^2. Tambi´en Imf−1(w) = Re^{hw + 1} 1 − w i = Re " (w + 1)(1 − w) |1 − w|² # = ^{1 − |w|} 2 |1 − w|^2. Finalmente, juntando esta informaci´on se tiene

σ(w) = λ^f⁻¹(w)^ µ^f⁻¹(w)^ =   f⁻¹(w) + i    2 2 Im f⁻¹(w) = |1 − w|²     iw + i 1 − w ^{+ i}     2 2(1 − |w|2) ⁼ 2 1 − |w|2.

Estos c´alculos nos permiten definir una densidad en ∆ que define la m´etrica hiperb´olica en este segundo modelo.

Definici´on 13 El disco unitario ∆ = {z ∈ C|z| < 1} provisto con la m´etrica definida por la densidad

σ(w) = ² 1 − |w|2,

se le conoce como el disco de Poincar´e y a la m´etrica inducida se le llama hiperb´olica.

Ambos modelos, el disco de Poincare y el semiplano H², se les conoce como el plano hiperb´olico. Se sigue de las observaciones y definiciones ante-riores que la funcion f es una isometr´ıa hiperb´olica entre estos dos “discos” de la esfera de Riemann.

2.3. EL MODELO DEL DISCO DE POINCAR ´E 65

Es evidente de la definici´on de esta densidad que al trasladar euclideana-mente una curva en el disco unitario hacia su frontera, es decir, el c´ırculo unitario, su longitud hiperb´olica crece tanto como se quiera. Sin embargo, al trasladar hiperb´olicamente una curva hacia el c´ırculo unitario, la longi-tud euclideana decrece a cero. Este ´ultimo hecho se manifiesta con gran cla-ridad y belleza en algunas de las famosas ilustraciones de Escher, como la que reproducimos en la figura 2.9. Una manera rigurosa de constatar estas ideas es observando la acci´on de la transformaci´on hiperb´olica conjugada a la homotecia z → k z, k > 1, bajo la funci´on f . Si denotamos a esta fun-ci´on como g se tiene que su eje es el intervalo [−1, 1], ya que f (∞) = 1 y f (0) = −1. Tambi´en, es claro que si consideramos la imagen iterada bajo g de un segmento vertical

[−t i, t i],

su longitud euclideana tiende a cero, mientras que la longitud hiperb´olica se mantiene constante. Esto se sigue, ya que g es composici´on de isometr´ıas (v´ease la figura 2.10).

Figura 2.9: M.C Escher: C´ırculo l´ımite IV

Este modelo del disco es ciertamente m´as homog´eneo que el del semiplano, al ser todos los puntos en la recta al infinito ∂∆ similares, a diferencia

de H2 en el que ∞ es un punto distinguido. Sin embargo, al estudiar las transformaciones parab´olicas y hiperb´olicas, como ´estas son conjugadas a las traslaciones y las homotecias –que se expresan de manera muy simple con n´umeros reales–, el modelo del semiplano es el m´as adecuado. En contraste, el ´ambito, donde se entiende mejor a las transformaciones el´ıpticas es en el disco unitario, ya que las rotaciones se expresan en t´erminos de complejos unitarios.

ti

−ti

Figura 2.10: Homotecia en el disco de Poincar´e

Casi todas las propiedades que se probaron para el semiplano son tambi´en v´alidas en el disco de Poincar´e, ya que la funci´on f es una isometr´ıa de M¨obius y es por lo tanto conforme y preserva la familia de todos los “c´ırculos”. En primera instancia, f transforma los “c´ırculos” ortogonales a la recta real, en los “c´ırculos” ortogonales al c´ırculo unitario, tambi´en se sigue de la prueba de la relaci´on 2.1 que est´a funci´on no solamente es una isometr´ıa, sino que tambi´en preserva la longitud de las curvas de clase C1 por tramos, en particular de las que minimizan la distancia. Por lo tanto, los segmentos en ∆ de los “c´ırculos” ortogonales al c´ırculo unitario minimizan las distancias hiperb´olicas. Se sigue tambi´en de la discusi´on en la secci´on anterior, referente a que la ´unica curva que minimiza la distancia entre i y k i es el correspon-diente segmento vertical en el eje imaginario; que esta propiedad de unicidad tambi´en la cumplen los segmentos de los “c´ırculos” ortogonales al c´ırculo unitario. En consecuencia las geod´esicas en este modelo son los semic´ırculos ortogonales al c´ırculo unitario as´ı como los di´ametros (v´ease la figura 2.11). Estos argumentos muestran que el teorema 2.2.3 tambi´en se cumple en este modelo.

2.3. EL MODELO DEL DISCO DE POINCAR ´E 67

Figura 2.11: Geod´esicas en el disco de Poincar´e

Otra consecuencia fundamental es que los grupos P SL(2, R) y M (∆) son congujados bajo la transformaci´on f , y por consiguiente el grupo M (∆) act´ua como un grupo de isometr´ıas en el disco de Poincar´e, en particular, las rotaciones son isometr´ıas hiperb´olicas en este modelo. Por otra parte, las propiedades descritas de la funci´on f , junto con el teorema 2.2.6 implican tambi´en que los c´ırculos hiperb´olicos en el disco de Poincar´e son c´ırculos euclideanos; m´as a´un, los discos hiperb´olicos con centro en el origen son c´ırculos euclideanos con centro en el origen (ejercicio). Tambi´en como la funci´on f es una isometr´ıa conforme que manda geod´esicas en geod´esicas, se sigue que el teorema 2.2.8 y la propiedad del paralelismo se cumplen tambi´en en este modelo (v´ease la figura 2.8). El siguiente resultado es el dual del teorema 2.2.7 para el disco unitario.

Teorema 2.3.1 Cualquier isometr´ıa hiperb´olica del disco de Poincar´e es un elemento de M (∆), o es de la forma

z −→ ^{a z + c} c z + a^, donde |a|²− |c|2 = 1.

Este resultado es consecuencia directa del teorema 2.2.7 y del hecho de que las transformaciones z → z y z → −z son conjugadas bajo la funci´on f . Dejamos la verificaci´on de los detalles como ejercicio para el lector. En la

siguiente secci´on se probar´a una f´ormula general para la distancia entre dos puntos cualesquiera en ∆. A continuaci´on probamos un caso particular.

Lema 2.3.2 La distancia hiperb´olica del origen a un punto z en el disco de Poincar´e est´a dada por

log ^{1 + |z|}

1 − |z|^{. (2.3)}

Demostraci´on. Se sigue de las observaciones anteriores, que basta calcular la longitud hiperb´olica del segmento de geod´esica [ 0, |z| ], el cual se puede parametrizar por γ : [0, |z| ] → ∆, γ(t) = t. Por lo cual

l_h(γ) = Z |z| 0