El papel preponderante del concepto de función

Hasta …nales del siglo XVII, la noción de función sigue siendo muy vaga. Sin embargo, a partir de este momento, con matemáticos como Leibnitz y Jean Bernoulli, el concepto de función comienza a tomar un sesgo más analítico, aunque sigue siendo vago. Una precisión signi…cativa, se logra con los trabajos de Euler (1707- 1783 ).

El nacimiento del cálculo in…nitesimal sucitó un gran entusiasmo entre los matemáticos de la época y planteó la necesidad de clari…car y precisar una serie de conceptos, entre ellos la noción de “in…nitamente pequeño”.

El siglo XVIII, en cuanto a la matemática se re…ere, arranca alrededor de 1730 con los primeros trabajos de Euler, considerado el gigante del siglo, los de Daniel Bernoulli (1700- 1782). Comienza un momento nuevo en el desarrollo histórico de la matemática, que se ve marcado por un distanciamiento entre …lósofos y matemáticos y una especialización creciente del trabajo cientí…co.

La primera consideración de una función como expresión analítica se debe a Jean Bernoulli en 1718,: “llamamos función de una magnitud variable a una cantidad compuesta de cualquier manera que sea de esta magnitud variable y de constantes”.

Euler, y otros matemáticos contemporáneos, al no contar con el concepto de límite y no poder superar los problemas generados por la utilización de los algoritmos in…nitos, consid- era el cálculo in…nitesimal como una extensión del álgebra, agregando la diferenciación y la integración. Euler se proponía estudiar las funciones elementales y sus propiedades re- curriendo al cálculo algebraico. Él utiliza las manipulaciones algebraicas sobre expresiones in…nitas (series, productos in…nitos, fracciones continuas, etc.) de una manera puramente formal; es decir sin ninguna preocupación por aspectos de convergencia.

El libro escrito por Euler “Introductio in analysin in…nitorum” se constituye en el primer tratado en donde el concepto de función está a la base de la construcción matemática. Euler de…ne una función de una cantidad variable como “una expresión analítica compuesta de una manera cualquiera de esta cantidad variable y de números o cantidades constantes”. Es decir, para Euler, una función es una combinación arbitraria de operaciones tomadas del conjunto de operaciones y de modos de cálculo conocidos en su tiempo y aplicables a los números: operaciones clásicas del álgebra, exponencial, logaritmo, etc; algunas de estas operaciones pueden ser iteradas de manera ilimitada. Esta manera de construir expresiones analíticas, permite a Euler hacer una clasi…cación de las mismas en tres grupos principales: algebraicas-trascendentes, uniformes-multiformes, explícitas-implícitas.

Resulta importante mencionar que las funciones consideradas en la obra de Euler, es decir las de…nidas por una sola expresión analítica …nita o in…nita, son llamadas funciones continuas tanto por Euler como por los otros matemáticos del siglo XVIII.

Posteriormente, Euler desarrolló aplicaciones del concepto de función a la geometría; in- troduciendo así lo que él llamó funciones mixtas o irregulares y que requieren diferentes

expresiones analíticas en diferentes dominios. Así, la continuidad según Euler, expresa al carácter inmutable de la fórmula que de…ne la función para todos los valores de la variable.

Función continua:

Una sola expresión analítica.

Función discontinua:

Dos o más expresiones analíticas.

Por otro lado, se debe señalar que el desarrollo de la teoría de ecuaciones diferenciales y del cálculo de variaciones en el siglo XVIII, constituyen un testimonio del desplazamiento del concepto de número al de función como objeto matemático central y del cual hablaba J.Hadamard.

Euler, seguido de otros matemáticos contemporáneos, rompe con el lenguaje, la escogencia y la organización de los matemáticos que le preceden, y es el concepto de función el que pasa a ser la base del edi…cio matemático.

Posterior a Euler, y dentro de la perspectiva formalista, aparece Lagrange con su esfuerzo por dotar a la matemática de bases rigurosas sustentadas en una sistematización de las prácticas del análisis algebraico del siglo XVIII. Esta tentativa de Lagrange se apoya sobre la teoría del desarrollo de funciones en series enteras. Lagrange maneja una noción de función que es la noción de función continua de Euler. Lagrange no tuvo éxito en su empresa, pues excluyó de partida toda consideración sobre límite dentro de su teoría. En el último decenio del siglo, un gran pesimismo sobre el futuro se apoderó de los matemáticos. Lagrange, dijo al respecto, que eran pocos los progresos que se podían lograr con el estado actual del análisis.

Muy importante de resaltar es el hecho que la concepción algebraica y formal de las funciones, que durante mucho tiempo sirvió de estímulo para el desarrollo del análisis, se convertía en un verdadero freno para la búsqueda de nuevos resultados.

El atascamiento que embargaba el análisis, se ve truncado por dos líneas de trabajo desar- rolladas por matemáticos de la generación siguiente.

Por un lado, Gauss, Cauchy, Bolzano y Abel, desarrollan trabajos en donde había una preocu- pación especial por el rigor y los fundamentos, y que desembocan en la clasi…cación y presición de una serie de conceptos centrales para el análisis: el in…nitamente pequeño, límite, con- tinuidad, convergencia, etc. Por otro lado, no de manera independiente, Fourier, Lejeune, Dirichlet y Riemann toman como base de su trabajo los problemas planteados por la física y la representación de las funciones mediante series trigonométricas.