3.2 Las funciones de hoy en día
3.2.6 Grá…cas de funciones reales
En esta sección estudiaremos los grá…cos de algunas funciones elementales, y trazaremos algunas representaciones geométricas (grá…cas) de ellos. Para esto es útil conocer el concepto de función monótona que veremos a continuación.
De…nición 3.2.4 Sean A y B dos subconjuntos de R. Decimos que la función f : A ! B es creciente si, al aplicarla a los elementos de A, preserva el orden. Más precisamente, si x; y 2 A son tales que x < y, entonces f(x) y f(y) 2 B son tales que f(x) f (y). Simbólicamente esto se escribe:
8x; y 2 A; x < y ) f(x) f (y);
Si lo anterior se cumple con desigualdad estricta, se dice que la función f es estrictamente creciente. Es decir, f se llama estrictamente creciente si cumple:
Similarmente, decimos que f : A ! B es decreciente si x; y 2 A; x < y ) f(x) f (y); y estrictamente decreciente si
x; y 2 A; x < y ) f(x) > f(y):
Grá…camente, una función es creciente si cuando x se mueve hacia la derecha en el eje de las abscisas, su imagen se mueve hacia arriba en el eje de la ordenadas.
Ejemplo 3.2.31 Considere la función f : R ! R que asocia a cada x 2 R con 2x. Se tiene entonces f (x) = 2x; para cada x 2 R: Es claro que esta función es estrictamente creciente. En efecto, para x; y 2 R se tiene
x < y ) 2x < 2y ) f(x) < f(y):
El grá…co de f es el conjunto G = f(x; 2x) : x 2 Rg. La grá…ca de f contiene al origen, y al punto de coordenadas (1; 2). Por el teorema de Tales, la recta que pasa por dichos puntos, pasa también por el punto de coordenadas (x; 2x) 2 G. Consecuentemente, la grá…ca de f es precisamente dicha recta.
x 2x 2 1
Figura 3.2: Grá…ca de la función dada por f (x) = 2x.
Ejemplo 3.2.32 Considere la función f : R ! R que asocia a cada x 2 R con 2x + 1: Se tiene entonces f (x) = 2x + 1; para cada x 2 R: Veamos que esta función es estrictamente creciente:
x < y ) 2x < 2y ) 2x + 1 < 2y + 1 ) f(x) < f(y):
El grá…co de f es el conjunto f(x; 2x + 1) : x 2 Rg. Su grá…ca se obtiene trasladando la grá…ca del ejemplo anterior, una unidad hacia arriba en el plano cartesiano (ver …gura 3.3).
( 12; 0)
@@R @(0; 1) @ I
Figura 3.3: Grá…ca de la función dada por f (x) = 2x + 1. Grá…cas de funciones a…nes
La función de…nida por f (x) = mx, donde m es un número real …jo, es estrictamente creciente si m > 0; y estrictamente decreciente si m < 0. Su grá…ca es una recta en el plano que pasa por el origen y el punto (1; m). Para justi…car esto, considere un punto (x; y) sobre dicha recta. Por semejanza de triángulos (ver …gura 3.4) se tiene
y x =
m 1 = m;
de donde se sigue que y = mx = f (x). Esto demuestra que efectivamente, la grá…ca de f es la recta en cuestión. El número m se llama la pendiente de esta recta.
1 m jxj jyj (x; y) (0; 0) (1; m)
Figura 3.4: Recta de ecuación y = mx.
Ejemplo 3.2.33 Para m = 3 se obtiene la recta que pasa por el origen y el punto (1; 3). Se invita al lector a trazar dicha recta.
En general, la grá…ca de la función de…nida por g(x) = mx + b, se obtiene trasladando la recta anterior, una distancia jbj hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo de b. Es decir, la grá…ca de g será una recta de pendiente m que pasa por el punto (0; b).
Uso del valor absoluto
La función f : R ! R; de…nida por f(x) = jxj ; no es inyectiva (pues f( 1) = f(1)) ni sobreyectiva (pues ningún número negativo tiene preimagen). Su grá…ca coincide con la recta de ecuación y = x para x 0; y con la recta de ecuación y = x para x < 0: Note que en particular f es estrictamente decreciente en el intervalo ] 1; 0]; y estrictamente creciente en [0; 1[:
Para trazar la grá…ca podemos entonces dibujar las dos rectas en cuestión, y luego borrar las partes de estas que quedan por debajo del eje x:
- 6 y = x @ @ I y = x @ @ @ @ @ @ @ @
Figura 3.5: Grá…ca de la función f (x) = jxj.
Ejemplo 3.2.34 Para gra…car la función g : R ! R de…nida por g(x) = jx 1j ; podemos proceder como en el ejemplo anterior, considerando los casos x 1 y x < 1. Otra forma de hacerlo es observando que la grá…ca de g se obtiene de la grá…ca de f (x) = jxj ; trasladándola una unidad a la derecha. En efecto, dado que g(x + 1) = f (x); la imagen de x bajo f es la imagen de x + 1 bajo g:
Nota: En general, si la función g se de…ne por g(x) = f (x c); con c > 0; entonces su grá…ca se obtiene trasladando c unidades a la derecha la grá…ca de f: Si la función h se de…ne por h(x) = f (x) + c; con c > 0; entonces su grá…ca se obtiene trasladando c unidades hacia arriba la grá…ca de f:
Ejemplo 3.2.35 Para trazar la grá…ca de la función f : R ! R de…nida por f(x) = jxj + jx 1j ; consideramos los siguientes casos:
- 6 @ @ @ @ @ @ @ @ (1; 0) @ @ I
Figura 3.6: Grá…ca de la función f (x) = jx 1j. Si x < 0 entonces jxj = x y jx 1j = 1 x, así que f (x) = 2x + 1. Si 0 x < 1 se tiene f (x) = x + 1 x = 1.
Si x 1 se tiene f (x) = x + x 1 = 2x 1. En resumen, podemos expresar la función f así:
f (x) = 8 < : 2x 1 si x 1 1 si 0 x < 1 2x + 1 si x < 0:
De lo anterior se sigue que la función no es sobreyectiva ni inyectiva. Su ámbito es el intervalo [1; 1[: Se invita al lector a demostrar estos hechos con detalle. La grá…ca de f coincide con la recta de ecuación y = 2x + 1 en el intervalo ] 1; 0], con la recta de ecuación y = 1 en [0; 1], y con la recta de ecuación y = 2x 1 en [1; 1[.
Parábolas
La función f : R ! R; de…nida por f(x) = x2; no es inyectiva ni sobreyectiva. En efecto, no es inyectiva pues f ( 1) = f (1); y no es sobreyectiva pues el ámbito es [0; 1[6= R. Esta función es estrictamente decreciente en el intervalo ] 1; 0] y estrictamente creciente en [0; 1[: Para ver que es estrictamente creciente en [0; 1[; tomemos a; b tales que 0 a < b: Entonces b + a y b a son positivos, con lo que (b + a) (b a) > 0: Esto es, b2 a2 > 0; o sea a2< b2: Similarmente se demuestra que f es decreciente en ] 1; 0]:
Su grá…ca tiene la forma de la …gura 3.8.
Nota: La forma de la grá…ca no es evidente del hecho que f sea decreciente antes del origen y creciente después, pues ese hecho deja aún la posibilidad de que dicha grá…ca tenga formas como las dadas en la …gura ??.
- 6 A A A A A A A A A (1; 1) @ @ I
Figura 3.7: Grá…ca de la función f (x) = jxj + jx 1j.
- 6
Figura 3.8: Grá…ca de la función f (x) = x2.
Ejemplo 3.2.36 Para gra…car la función cuadrática de…nida por g(x) = x2+ 3x + 2; com- pletamos el cuadrado, obteniendo f (x) = (x +32)2 14 . Entonces la grá…ca de g se obtiene trasladando la del ejemplo anterior 32 hacia la izquierda y 14 hacia abajo. El punto 32; 14 se llama el vértice de la parábola, y la función es estrictamente decreciente en ] 1; 32]; y estrictamente creciente en [ 32; 1[: En la …gura 3.10 se describe la grá…ca de f.
Ejemplo 3.2.37 Para analizar la grá…ca de la función g(x) = 4x2, observemos que 4x2 = (2x)2: Entonces la grá…ca se obtiene dibujando la función f (x) = x2 en el plano cartesiano que resulta de reducir la escala en el eje x a la mitad.
En general, g(x) = ax2 (con a > 0) es una parábola que se obtiene de y = x2 mediante un cambio de escala. Cuando a < 0, se debe realizar también una re‡exión con respecto al eje x.
Figura 3.9: Grá…cas no convexas.
- 6
Figura 3.10: Grá…ca de f (x) = x2+ 3x + 2 La forma general de la ecuación cuadrática
La función de…nida por f (x) = ax2 + bx + c; donde a 6= 0, b y c son constantes, puede escribirse en la forma
f (x) = a x + b 2a
2
4a;
donde = b2 4ac es el discriminante. Su grá…ca es entonces una parábola con vértice en el punto 2ab ; 4a . Si > 0; la parábola corta al eje x en los puntos
b p 2a ; 0 ! ; b + p 2a ; 0 ! :
- 6
Figura 3.11: Grá…ca de f (x) = 4x2 La parábola abre hacia arriba si a > 0, y hacia abajo si a < 0.
Ejemplo 3.2.38 Para gra…car la función dada por f (x) = x2+ x x2; observemos que x2+ x = x(x + 1); así que
f (x) = (
x; si x =2 [ 1; 0] 2x2 x si x 2 [ 1; 0]:
En la …gura 3.12 se gra…can la recta y = x y la parábola y = 2x2 x.
- 6
Figura 3.12: Grá…cas de y = x 2 y y = 2x2 x
Luego debemos borrar la parte de la recta que corresponde al intervalo [ 2; 1]; y la parte de la parábola que corresponde al complemento de dicho intervalo. La grá…ca de f se presenta en la …gura 3.13.
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Figura 3.13: Grá…ca de la función dada por f (x) = x2+ x x2