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Etapa 6: A partir del último sistema de grietas mencionadas se producen otras que generan una
2.5. Vertiente Numérica
2.5.1. El Problema de Fractura en Suelos (Lee & K.W Lo, 1988)
En lo que se refiere al agrietamiento por desecación, interesa definir mediante algún modelo el momento del inicio de agrietamiento y la propagación de agrietamiento (cantidad y dirección), teniendo en cuenta la variación de la resistencia a tracción en función de la succión o el contenido de humedad del suelo además de la tenacidad de fractura que será también función del grado de humedad.
El suelo sometido a tracción tiene a agrietarse. En su trabajo, Lee & K.W. Lo (1988), proponen un modelo de elementos finitos para la simulación de la propagación de grietas por tracción en suelos. Las características principales de este modelo, en cuanto a la fractura, son el desdoblamiento de un nodo en dos durante el avance de la grieta en el extremo de una fisura para reproducir la separación del material a cada lado de la grieta, y el uso del criterio de MF para predecir la propagación de la grieta. El parámetro material empleado para este criterio, se determina experimentalmente y se muestra razonablemente constante para una determinada gama de longitudes de fisuras. Por esta razón puede adoptarse a este parámetro como una constante de grietas por tracción en suelos.
Este artículo simula la separación física del material en los dos lados que forman una grieta. La apertura de la grieta se simula mediante la separación de un nodo O en otros dos O’ y O’’ al comenzar el agrietamiento en la punta de una fisura existente, tal como muestra la Figura 2.31. Para tener en cuenta la concentración de tensiones en la punta de la grieta, se utiliza un criterio de MF para evaluar si una grieta existente puede propagar. El parámetro material empleado para este criterio es la tasa crítica de liberación de energía Gc.
Los resultados experimentales muestran que Gc es un parámetro adecuado y es constante para un suelo dado.
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(a) (b)
Figura 2.31 - Mecanismo propuesto de propagación: a) Antes de propagar la grieta; b) después de
propagar la grieta. (Lee & K.W. Lo, 1988).
2.5.1.1. Criterio de Propagación de Grietas
El punto de partida del modelo es determinar el campo de tensiones en las proximidades de la punta de la grieta, más allá de la cual las tensiones son insignificantes. Para el problema bidimensional en un continuo lineal elástico infinito, el campo de tensiones cercano a la punta de la grieta puede expresarse en términos de las coordenadas polares mediante la siguiente ecuación matricial (Erdogan & Sih, 1963 e Ingraffea, 1978).
�𝜎𝜎𝜃𝜃𝑐𝑐 𝜎𝑐𝜃 � = 𝐾𝐼 √2𝜋𝜋 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑐𝑐𝑠 �𝜃2� �1 + 𝑠𝑠𝑡2�𝜃 2�� 𝑐𝑐𝑠3�𝜃 2� 𝑠𝑠𝑡 �𝜃2� 𝑐𝑐𝑠2�𝜃 2� ⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ + 𝐾𝐼 √2𝜋𝜋 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑠𝑠𝑡 �𝜃2� �1 − 3𝑠𝑠𝑡2�𝜃 2�� −3𝑠𝑠𝑡 �𝜃2� 𝑐𝑐𝑠2�𝜃 2� 𝑐𝑐𝑠 �𝜃2� �1 − 3𝑠𝑠𝑡2�𝜃 2��⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (2.20)
En la cual 𝜋 y 𝜃 son las coordenadas polares consideradas; KI y KII, factores de intensidad de tensiones en modo I y II respectivamente (Irwin, 1958); y 𝜎𝑐𝑐, 𝜎𝜃𝜃 y 𝜎𝑐𝜃, tensiones radial,
circunferencial y cortante respectivamente.
El criterio de propagación de grietas adoptado aquí es el criterio de la máxima tensión circunferencial, en el cual la grieta se propaga desde la punta de una grieta existente en la dirección normal a la máxima tensión circunferencial (Erdogan & Sih, 1963). De la ecuación (2.20):
Capítulo 2 79 𝜎𝜃𝜃 = 1 √2𝜋𝜋𝑐𝑐𝑠 � 𝜃 2� �𝐾𝐼𝑐𝑐𝑠2� 𝜃 2� − 3 2 𝐾𝐼𝐼𝑠𝑠𝑡𝜃� (2.21)
El máximo valor de 𝜎𝜃𝜃√2𝜋𝜋 con respecto a 𝜃, denotado por (𝜎𝜃𝜃)𝑚𝑡𝑥√2𝜋𝜋, está dado por:
(𝜎𝜃𝜃)𝑚𝑡𝑥√2𝜋𝜋 = 𝑐𝑐𝑠 �𝜃2 � �𝐾0 𝐼𝑐𝑐𝑠2�𝜃2 � −0 32 𝐾𝐼𝐼𝑠𝑠𝑡𝜃0� (2.22) Donde 𝜃0 es la dirección correspondiente a (𝜎𝜃𝜃)𝑚𝑡𝑥 para cualquier longitud del radio r. De
acuerdo al criterio de la máxima tensión circunferencial, 𝜃0 es también la dirección de la
propagación de la grieta.
La tensión de propagación de la grieta es tal que:
(𝜎𝜃𝜃)𝑚𝑡𝑥√2𝜋𝜋 = 𝐾𝐼𝐼 (2.23)
Donde KIC es el factor de intensidad de tensiones en modo I o tenacidad de fractura (Erdogan & Sih, 1963) y está relacionado con la tasa crítica de liberación de energía de (Griffith, 1924), Gc, mediante la siguiente expresión (Irwin, 1958):
𝐺𝑐 =(𝐾𝐼𝐼) 2 𝐸 ; 𝑝𝑡𝜋𝑡 𝐵𝑒𝑡𝑠𝑠ó𝑡 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑡 (2.24) 𝐺𝑐 =(𝐾𝐼𝐼) 2 𝐸 (1 − 𝜈2); 𝑝𝑡𝜋𝑡 𝑑𝑒𝑑𝑐𝜋𝜇𝑡𝑐𝑠ó𝑡 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑡 (2.25)
Donde 𝐸 es el módulo de Young; y 𝜈 es el coeficiente de Poisson.
Así, una vez que han sido determinadas las constantes del material, 𝐺𝑐, 𝐸, y 𝜈 en ensayos de
laboratorios, KIC, puede ser deducida y usada en el criterio de propagación de grietas dado por ecuación (2.23) cuando se resuelven problemas de contorno.
2.5.1.2. Criterio de Iniciación de la Grieta
La ecuación (2.20) se aplica solamente a casos donde el agrietamiento ha comenzado. Antes de la aparición de las grietas, el material puede estudiarse como un continuo en el cual no hay concentraciones de tensiones. El criterio de resistencia a tracción, consiste en comparar la tensión principal de tracción y la resistencia a tracción 𝜎𝑡 determinada experimentalmente. Esta
comparación se utiliza para predecir el inicio del agrietamiento.
2.5.1.3. Modelo de Elementos Finitos
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Una vez obtenido 𝐺𝑐, el factor de intensidad de tensiones se calcula mediante
𝐺𝑐 =(𝐾𝐼𝐼)
2
𝐸 (tensión plana) ó 𝐺𝑐= (𝐾𝐼𝐼)2
𝐸 (1 − 𝜈2) (deformación plana). Esta sección propone
un modelo de elementos finitos usando una aproximación de MF con KIC, como criterio de propagación de grietas.
Se usan elementos finitos triangulares de deformación constante. Aunque la singularidad de las tensiones en el extremo de las grietas no son bien modeladas por este elemento, permite implementar fácilmente el mecanismo de apertura propuesto por el modelo, independientemente de donde se haya iniciado la grieta y de la etapa de carga, permitiendo un método de resolución totalmente automático.
Observando la Figura 2.31, tenemos que en los centros de gravedad de los elementos triangulares conocemos las componentes cartesianas de tensiones. Con estas por ejemplo en los puntos L y M podemos calcular los promedios de tensiones y considerarlos como el estado de tensiones en un punto como el N. La ubicación de N se calcula promediando la ubicación de los centros de gravedad de los triángulos adyacentes. Así, por ejemplo, el estado de tensiones en el punto N, de la Figura 2.31, se calcula en término de las tensiones en los centros de gravedad de los puntos L y M: 𝜎𝑋𝑋𝑁= 1 2 �𝜎𝑋𝑋𝐿+ 𝜎𝑋𝑋𝑀� (2.26) 𝜎𝑌𝑌𝑁= 1 2 �𝜎𝑌𝑌𝐿+ 𝜎𝑌𝑌𝑀� (2.27) 𝜎𝑋𝑌𝑁= 1 2 �𝜎𝑋𝑌𝐿+ 𝜎𝑋𝑌𝑀� (2.28) 𝑋𝑁=12(𝑋𝐿+ 𝑋𝑀) (2.29) 𝑌𝑁=12(𝑌𝐿+ 𝑌𝑀) (2.30)
Este modelo establece que la grieta se propagará en dirección normal a la máxima tensión circunferencial 𝜎𝜃𝜃 actuante. Esto es según lo planteado por (Erdogan & Sih, 1963) que el
criterio de propagación de fisura viene dado por
(𝜎𝜃𝜃)𝑚𝑡𝑥√2𝜋𝜋 = 𝐾𝐼𝐼, donde KIC es la tenacidad a fractura de la teoría de (LEFM), y 𝜋 es un
radio cualquiera a partir de la punta de la grieta, trazado en una cierta dirección 𝜃0. KIC se
determina según el caso mediante 𝐺𝑐 =(𝐾𝐼𝐼)
2
𝐸 (tensión plana) ó 𝐺𝑐= (𝐾𝐼𝐼)2
𝐸 (1 − 𝜈2)
Capítulo 2
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Sea la Figura 2.31a, un problema de contorno resuelto por elementos finitos, como los triángulos tienen funciones de forma lineales, las deformaciones y las tensiones serán constantes en ellos. Así, supongamos que tenemos el valor de las tensiones cartesianas en los centros de gravedad de los triángulos (puntos L y M), con estas podemos calcular las tensiones circunferenciales correspondientes a los radios que unen la punta de la grieta y los puntos L y M. También tenemos calculadas las tensiones en el punto N como promedio de las tensiones en L y M. Con estos tres puntos podemos trazar un gráfico de tensiones circunferenciales respecto del ángulo 𝜃, e interpolar mediante una ecuación cúbica. De esta ecuación calculando la derivada e igualando a cero podemos obtener el valor de la máxima tensión circunferencial y el valor de 𝜃0. Verificando el criterio de progreso de fractura se produce esta propagación en la
dirección 𝜃0, separando el nodo O en O’ y O’’, pasando la punta de la grieta a una nueva
posición X.