GLADYS PALAU Resumen
En el presente trabajo nos proponemos mostrar el enfoque cognitivo que recibió la lógica a partir de la publicación de la tesis de Gerhard Gentzen de 1934, reflejado tanto en el cálculo de deducción natural como en su lógica de secuentes respecto de las versiones axiomáticas sostenidas por Frege y en el empirismo lógico fundamentalmente por Russell, y la conse-cuente distinción entre lógica ‘‘lógica de fórmulas’’ y ‘‘lógica de inferencias’’ que permitió caracterizar en forma precisa diferentes nociones de conse-cuencia lógica y cambiar radicalmente la presentación de la lógica.
A modo de presentación comenzaremos con unas mínimas refe-rencias al estado de la cuestión acerca de la fundamentación de la matemática y su relación con la lógica a fin de situar la obra de G. Gentzen dentro de tal problemática. Desde Frege y hasta bien entra-do el siglo XX, tanto la presentación formal de la lógica, como la con-cepción filosófica acerca de la naturaleza de la misma, han estado regidas de una u otra forma por el pensamiento fregeano y cuyas tesis fundamentales y pertinentes a nuestros fines podrían conside-rarse las siguientes: (i) La lógica consiste en un sistema formado por un conjunto de fórmulas (semánticamente un conjunto de verdades lógicas) basado en un conjunto finito de axiomas y ciertas reglas de inferencia primitivas preservativas de la verdad, las cuales posibili-tan la deducción de teoremas que constituyen las resposibili-tantes verdades lógicas del sistema y (ii) Las leyes de la matemática y la lógica no se conocen por medio de la intuición ni son probadas por observaciones psicológicas, sino que son verdades a priori y analíticas. Es sabido que estas tesis acerca de la naturaleza de la matemática y la lógica se plasmaron en los Principia de Whitehead y Russell
constituyen-do la posición filosófica conocida con el nombre de logicismo, la cual prevaleció hasta bien entrado el siglo XX y se consolidó definitiva-mente en las rigurosas obras de Alonzo Church, Introduction to Ma-thematical Logic de 1944 y 1956 y de Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, de 1964.
Es interesante señalar que la opción por el método axiomático no se debía a una ignorancia acerca de los sistemas de deducción natu-ral ya propuestos por S. Jaskowski y G. Gentzen, datados ambos en 1934 pero escritos en forma independiente, sino a una fundamenta-da y racional opción. En efecto, en el texto citado (1956 p. 164) Church toma una decisión explícita a favor del método axiomático en contra de los sistemas de deducción natural cuando argumenta a favor del Teorema de la Deducción contra la regla de Introducción del Condi-cional sosteniendo que ésta tiene un carácter demasiado ‘‘elemental’’ y que por ello no debe ser admitida como primitiva en un sistema logístico tal como él lo ha caracterizado. Respecto del texto de Men-delson, su única referencia a la obra de Gentzen consiste en un co-mentario acerca de la conocida prueba formal de la consistencia de la aritmética de Gentzen de 1936. Asimismo, en ambos autores, la presentación de la lógica como sistema axiomático va asociada a una determinada versión de la noción de consecuencia lógica. En el pa-rágrafo 55 (p. 325) de la mencionada obra, A. Church afirma: ‘‘Una oración o forma proposicional A de un sistema logístico (...) es una consecuencia de los postulados si el valor de A es V en todo modelo de los postulados’’ y, en la nota 533 asociada, identifica su noción de consecuencia lógica con la dada por A. Tarski en 1936, i.e., con la noción de consecuencia semántica aún vigente en muchos lógicos contemporáneos1. Por su parte, Mendelson (1964, p.30) da la versión sintáctica de esta noción de consecuencia lógica afirmando que una fórmula bien formada (fbf) A es una consecuencia de un conjunto de fbf Γ y sólo si hay una secuencia de fórmulas A1,...An en Γ, tal que para cada Ai, ella es un axioma o una consecuencia lógica de anterio-res por la aplicación de una regla de inferencia. En síntesis, el eje central de la noción de consecuencia lógica en un sistema logístico pasa por el hecho de que ella ofrece garantía absoluta para la trans-misión de la verdad lógica de los axiomas a los teoremas,
fundamen-1 Efectivamente, en On the Concept of logical consequence, Tarki define la no-ción de consecuencia lógica de la siguiente forma: Una sentencia S se sigue lógica-mente de la clase K si y sólo si todo modelo de la clase K es también un modelo de la sentencia S, la cual queda caracterizada por las propiedades de Reflexividad, Monotonía y Corte.
tándose así la concepción semántica de la lógica como un conjunto de verdades lógicas
Por otra parte, es sabido que el logicismo no ha constituido el único enfoque de la lógica sostenido y discutido en la primera mitad del siglo XX. En 1930 ya había aparecido en Berlín la obra de A. Heyting Die formalen Reglen der intuitionistischen Logik, en la cual Heyting, siguiendo las ideas de Brouwer acerca de la naturaleza constructiva del pensamiento matemático, presenta también bajo la forma de sistema axiomático la lógica intuicionista, precisamente con el fin de construir una lógica acorde con la matemática de Brouwer, lo cual implicaba que ésta debía reproducir las formas ‘‘intuitivas’’ del pensamiento matemático y cuya diferencia fundamental con la lógica clásica consistiría precisamente en el rechazo del principio clásico del Tercero Excluido, debido a una interpretación diferente de la nega-ción lógica. Si bien el sistema de lógica intuicionista de Heyting pre-serva la forma axiomática nos interesa destacar que ella generó un cambio en la mirada acerca de lo que debe entenderse por ‘‘demostra-ción’’, ya que ahora el significado de las fórmulas compuestas de un sistema lógico no se dará ya en términos de valores de verdad sino en términos ‘‘prueba’’ partiendo de que ésta es intuitiva para las fór-mulas atómicas. Finalmente, es posible sostener que el formalismo de Hilbert es el movimiento filosófico que finalmente rompe el ‘‘ca-samiento’’ entre matemática y lógica sostenido por el logicismo cuan-do, en su artículo de 1926 ‘‘Sobre el infinito’’2, siguiendo a Kant, Hilbert sostiene que la lógica y la matemática son ciencias indepen-dientes y que por ello la matemática no puede fundamentarse sola-mente en la lógica (ob. cit., p. 142). Textualsola-mente afirma ‘‘(...) we conceive mathematics to be a stock of two kinds of formulas: those to which the meaningful communication of finitary statements correspond; and, secondly, other formulas which signify nothing and which are the ideal structures of our theory’’ (ob. cit., p. 146) y, a fin de no de-jar dudas, en el sumario final del mismo trabajo, agrega ‘‘In contrast to the early efforts of Frege and Dedekind, we are convinced that certain intuitive concepts and insights are necessary conditions of scientific knowledge, that logic is not sufficient’’ (ob. cit., p. 151). Más aún, entre 1934 y 1938 aparecen en Berlín los dos volúmenes de Grundlagen der Mathematik de Hilbert y Bernays en los cuales los autores profundizan estas ideas proponiendo justificar el
conocimien-2 Publicado en Philosophy of Mathematics, Selected Readings, ed. by P. Bena-cerraf y H. Putnam, Prentice-Hall Philosophy Series, 1964, pp. 134-151.
to matemático en tanto sistema axiomático abstracto constituido por elementos ideales, i.e exclusivamente por métodos finitarios o cons-tructivos, los cuales consistían en aplicar reglas de inferencia a los axiomas para poder ‘‘deducir’’ los teoremas. Si bien debe reconocer-se el giro constructivo o cognitivo que las ideas de Hilbert introduje-ron en la naturaleza del conocimiento matemático, Hilbert continúa presentado la lógica bajo la forma de sistema axiomático pero, a di-ferencia de presentaciones anteriores, los 11 axiomas lógicos se enun-cian separados para las distintas conectivas proposicionales y tal vez por esta razón la lógica se siguió presentando como conjunto de teo-remas derivados a partir de los axiomas por medio de reglas de in-ferencia. En síntesis, la verdad de los axiomas continuó siendo el fundamento del conocimiento lógico-matemático, característica ésta que impide poner el acento en la noción de regla de inferencia, la cual precisamente expresa el proceso cognitivo involucrado en el pasaje de los axiomas a los teoremas.
Seguramente son los trabajos de Paul Hertz de 19203 sobre las nociones de derivabilidad y la obra de Stanislaw Jaskowski On the Rules of Supposition in Formal Logic, de 1934, los que primero plan-tean la cuestión de cómo construir un sistema lógico que capte esta idea de construcción a partir de supuestos en tanto prueba de teore-mas a partir de suposiciones y no de axioteore-mas4. Más aún, según el tes-timonio dejado por Jaskowski, en el año 1926 Lukasiewicz ya había planteado en un seminario a su cargo el mismo problema. Sin embar-go, pese a estos trabajos que describen de cierta forma la problemáti-ca de la époproblemáti-ca en el problemáti-campo del pensamiento matemático es en la obra de G. Gentzen donde la idea se cristaliza ya que, si bien Jaskowski, ya había introducido la idea de razonar a partir de suposiciones, es Gentzen quien introduce la división entre reglas de introducción y de eliminación para caracterizar las conectivas proposicionales y el nombre de deducción natural (das natuerliche Schliessen) en su obra Investigations into logical deduction (Untersuchungen über das Logische Schliessen, 1934-5).
En efecto, para materializar sus ideas, Gentzen debió romper drásticamente con la formulación axiomática tradicional de la lógi-ca de predilógi-cados de Frege, Russell y del mismo Hilbert. A este fin,
3 Para tomar conocimiento de la influencia de la obra de Hertz en el Sistema de Deducción Natural de Gentzen remitimos al trabajo de J. Legris, ‘‘Paul Hertz y los orígenes de la teoría de la demostración’’, Episteme, vol. 3, n. 6, 1998.
4 W. Marciszewski, ‘‘A system of Suppositional Logic as embodied in the Proof of Checker Mizar’’, Mathesis Universales, Nº 3, 1996.
construye primero los llamados N-sistemas o N-cálculos pero conti-nuando con el uso de los símbolos de Hilbert en particular para los cuantificadores5. En ellos la idea central de Gentzen consiste en construir sistemas formales que expresen lo más adecuadamente posible los procesos naturales de razonamiento involucrados en la demostración matemática, objetivo éste que se pone en evidencia en su primera prueba de consistencia de la aritmética, la cual expone mediante los N-cálculos y en los cuales la simplicidad y elegancia de los procedimientos es sacrificada a fin de la ‘‘naturalidad’’ (Szabó, 1969, p. 4). Más aún, hoy en día hay coincidencia en sostener, por un lado, que los N-cálculos le posibilitaron a Gentzen considerar a la matemática y a la lógica intuicionista como más natural y más básica que la lógica clásica y por ello más apropiada para la metamatemáti-ca y, por el otro, que las reglas de deducción natural, vía la afirmación de proposiciones a partir de suposiciones, reflejan más adecuadamente los aspectos esenciales del razonamiento natural de los matemáticos. Más aún, en la actualidad existen buenas razones para sostener que las reglas de eliminación e introducción de las conectivas lógicas explicitan el significado de las mismas, a pesar de las críticas recibi-das de A. Prior y refutarecibi-das N. Belnap en su célebre artículo de 1962 ‘‘Tonk, Plonk and Plink’’ y en el cual Belnap deja claramente senta-do que el significasenta-do de las constantes lógicas debe establecerse den-tro de un contexto previo de deducibilidad, i.e., denden-tro de una noción de consecuencia lógica, tal como lo pensaba Gentzen. Esta noción es la que precisamente Gentzen caracteriza con las reglas de su cálcu-lo de secuentes, para cuya construcción cálcu-los especialistas en el tema coinciden en que Gentzen se inspiró en el enfoque estructural de la prueba dado por Paul Hertz6, dado que sus reglas explicitan las dis-tintas estructuras que pueden adoptar en una demostración.
Por nuestra parte, somos de la opinión de que la noción de con-secuencia lógica expresada por Gentzen en los L-cálculos elucida más exhaustivamente los aspectos constructivos de la noción de conse-cuencia lógica que la formulación atribuida a Tarski y también a Carnap. Nuestras principales razones son las siguientes: (i) La regla de Atenuación en el antecedente que se corresponde con Monotonía es complementada con Atenuación en el postsecuente, la cual permitió luego contar con un método para determinar si una fórmula es o no
5 Jaskowski elaboró un método análogo en 1934, a partir de una sugerencia de Lukasiewicz en un seminario dictado en 1926.
6 P. Schroeder-Heister, ‘‘Resolution and the origins of structural reasoning’’, The Bulletin of Symbolic Logic, vol. 8, 2, 2002.
es un teorema intuicionista, ya que un teorema será intuicionista si y solo si no tiene más de una fórmula en el postsecuente; (ii) la pro-puesta de Gentzen muestra que la regla de Corte, presente en la caracterización de Tarski, es prescindible, resultado que se demues-tra en su célebre teorema Hauptsatz7; (iii) Las reglas estructurales conjuntamente con las N-reglas o reglas operatorias permiten caracte-rizar claramente no solamente la noción de consecuencia de la lógica clásica y la lógica intuicionista sino también la noción de consecuencia lógica de las lógicas subclásicas, mostrando que ellas no son estruc-turalmente completas (Wójciki, 1984) y que pueden diferenciarse se-gún sea las reglas que rechacen; y (iv) las reglas de Introducción y Eliminación permiten otorgar un significado a las constantes lógicas por su uso y en forma independiente de los clásicos valores de verdad, camino este tomado por Ian Hacking, en su célebre artículo ‘‘What is Logic?’’ de 1979.
A partir de los años ’50 distintas propuestas de sistemas de de-ducción natural comenzaron a aparecer en los textos introductorios de lógica en nuestro medio tales como Methods of Logic de W. V. O. Quine (1950), Introduction to Logical Theory de P. F. Strawson (1952), Symbolic Logic de I. Copi (1958), Elements of Symbolic logic de H. Reichembach (1956), Logic y Techiques of Formal Reasoning de D. Kalish & R. Montague (1964), entre muchos otros. Lo común de todos ellos consiste en afirmar de una u otra forma que los sistemas de Gentzen son aptos para modelizar los razonamientos del lengua-je ordinario. Por elengua-jemplo, en uno muy reciente8 se afirma: ‘‘Los cálcu-los de deducción natural (de Gentzen) pretenden describir o modelar los principios de razonamiento informal o ‘natural’ donde la conclu-sión se deriva de las premisas en una cadena de razonamientos uti-lizando unas reglas de deducción que formalizarían principios de razonamiento formal o natural’’. Sin embargo, opinamos que de los trabajos escritos por Gentzen no se sigue que su intención haya sido formalizar el pensamiento natural o de sentido común, tal como se sostiene en algunos textos.Contrariamente a esta posición creemos que los cálculos de deducción natural no intentan describir los argu-mentos que conforman lo que hoy en día se conoce como ‘‘lógica na-tural’’ o ‘‘lógica de sentido común’’, pese a lo cual en los manuales de
7 Sin embargo, es bueno tenerla formulada en forma explícita porque ella será explícitamente modificada en la actual formalización de la consecuencia no-monó-tona.
8 M. Manzano y A. Huertas, ‘‘Lógica para principiantes’’, Alianza, 2004, pp. 137-138.
lógica se apliquen, en nuestra opinión a veces equivocadamente, a cualquier argumento del lenguaje natural que sea posible reformular como argumento deductivo, aunque con esfuerzo y distorsiones vía un dudoso proceso de formalización. Pese a ello se debe reconocer que estos cálculos son mucho más adecuados que el método axiomático para modelizar el razonamiento de sentido común y que su enseñan-za será útil y positiva siempre y cuando se especifiquen meticulosa-mente sus alcances y sus limitaciones, ya que no es posible hoy en día ignorar que hay otros formalismos con formulaciones incluso ‘‘al es-tilo Gentzen’’ que, construidos sobre una noción de una consecuen-cia no monótona, i.e., que no satisfacen la regla de Atenuación en el Prosecuente, dan cuenta más adecuadamente de los argumentos de la lógica natural de los sujetos que los propios sistemas de deducción natural de Gentzen. Sin embargo, es admisible sostener que el en-foque cognitivo de los cálculos de deducción natural han obrado como ‘‘condición de posibilidad’’ para la construcción de las lógicas y forma-lismos no monótonos construidos precisamente para dar cuenta del pensamiento natural. Pese a las observaciones apuntadas estimo que ‘‘algo’’ hay en los cálculos de deducción natural que han motivado a transponer sus aplicaciones más allá del razonamiento matemático. Creo que la respuesta se encuentra precisamente en el enfoque cognitivo que subyace en los cálculos de deducción natural tanto en los de Gentzen como en los de sus predecesores ya que ellos permi-tieron introducir otra distinta forma de pensar la naturaleza de la matemática y de la lógica y que ello es lo que hace posible trasponer-los al análisis de la lógica de trasponer-los lenguajes naturales. Usando una metáfora más arriesgada: los sistemas de deducción natural, y en particular con la pulida presentación de Gentzen, bajaron los prin-cipios de la lógica (i.e., verdades lógicas) del mundo de las ideas y los transformaron en reglas o procesos normativos de la mente humana para razonar correctamente.
No deseo finalizar este trabajo sin mencionar que la introducción en nuestro medio del enfoque de Gentzen en la concepción de la ló-gica se debe a los lógicos argentinos Andrés Raggio y Carlos E. Al-chourrón. En efecto, Andrés Raggio es quien escribe el primer artículo en el año 1979, titulado Processes cognitifs logiques9 destinado pre-cisamente a defender la posición filosófica implícita en los cálculos de deducción natural de Gentzen. Asimismo la concepción abstracta (o estructural) de la noción de consecuencia lógica subyace en las
mas obras de Alchourrón y está expresamente sostenida en su tra-bajo Concepciones de la lógica10. Por el contrario, desde los años 1956, en nuestro medio los estudios lógicos giraron casi exclusivamente en torno a las obras de A. Church, Introduction to Mathematical Logic (1956), S. Kleene, Introduction to Metamathematics (1952) y E. Men-delson, Introduction to Mathematical Logic (1964) en las cuales –a excepción de la obra de Kleene que dedica el capítulo XV a la presen-tación de lógica de Secuentes– el nombre de Gentzen solamente es citado en relación con su prueba de consistencia de la aritmética, cuya exposición está explícitamente desarrollada en el Apéndice de la obra de Mendelson citada. La razón de esta ausencia creemos que en parte se encuentran en el trabajo antes mencionado de A. Raggio. En efecto, Raggio ubica la labor de Gentzen en la tradición kantiana porque, según su opinión, a Kant se le debe el mérito de haber sido el primero en reconocer la importancia de los procesos cognitivos en filosofía y el haber dado una primera descripción de su estructura y funcionamiento11. Más aún, según Raggio, el positivismo y en particu-lar el positivismo lógico de la Escuela de Viena, sostuvo dos dicotomías sumamente inapropiadas para la caracterización del conocimiento matemático y especialmente para abordar la naturaleza de la lógica, a saber: 1) la separación ‘‘brutal’’ entre los aspectos puramente teó-ricos de la explicación científica y la génesis histórico psicológica del pensamiento científico por el otro y 2) la separación tajante entre contexto de descubrimiento y contexto de justificación, dejando sólo para este último el reinado de la lógica (como si en el contexto de descubrimiento no se utilizaran inferencias lógicas). Y estas eran precisamente las ideas que predominaban en ese entonces en las