EL CENTENARIO DE GERHARD GENTZEN ( )

EL CENTENARIO DE GERHARD GENTZEN

(1909-2009)

Acto organizado

por el Centro de Estudios Filosóficos Eugenio Pucciarelli y su Sección Lógica y Filosofía de las Ciencias de la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires,

GENTZEN Y LA CONSISTENCIA DE LA ARITMÉTICA JORGE ALFREDO ROETTI Un objetivo central de la obra de Gerhard Gentzen fue demostrar la consistencia de la aritmética en la versión de Peano. Esa demos-tración había fracasado parcialmente hasta comienzos de la década de 1930. La tarea se facilitó en 1934-5, cuando Gentzen propuso los cálculos clásico e intuicionista de deducción natural y sus correspon-dientes cálculos secuenciales, y demostró en ellos su teorema funda-mental (Hauptsatz) o teorema de corte en varias formas. Ese teore-ma permitió demostrar sintácticamente la consistencia de la lógica de primer orden, otras varias propiedades metateóricas y la consis-tencia de la aritmética de Peano sin el axioma de inducción, con un método que recuerda al del teorema de Jacques Herbrand. Gentzen amplió en 1936 esa demostración de consistencia de la aritmética de Peano para ese sistema con axioma de inducción. Para ello usó un principio de inducción transfinita, que fue luego discutido por algu-nos autores. Autores como Kurt Schütte y Paul Lorenzen remedia-ron más tarde las dificultades encontradas. Hoy podemos decir sin exagerar que la obra de Gentzen es una de las más importantes en la historia del conocimiento humano perfectamente fundado.

Los pasos fundamentales de esos resultados de Gentzen en los cálculos secuenciales son los siguientes:

§ 01. Los desarrollos correctos de los cálculos secuenciales (una presentación de la lógica creada por Gentzen) parten de ‘‘secuencias originarias’’ de la forma A
A y se desarrollan mediante reglas es-tructurales y reglas para constantes lógicas, en el antecedente y en el sucedente –salvo en el caso de la regla de corte– hasta alcanzar la secuencia final. Ellas son:

Reglas de desarrollo estructurales

En el antecedente. En el sucedente. Debilitamiento1 _{(Verdünnung o Abschwächung, thinning) D:}

Γ
Θ Γ
Θ

(D
_{) A, Γ
Θ} (
_{D) Γ
Θ, A}

Contracción (Zusammenziehung o Kontraktion, contraction) C:

A, A, Γ
Θ Γ
Θ, A, A

(C
) A, Γ
Θ (
C) Γ
Θ, A

Permutación o intercambio (Vertauschung, interchange o permuta-tion) P:

∆, A, B, Γ
Θ Γ
Θ, A, B, Λ (P
) ∆, B, A, Γ
Θ (
P) Γ
Θ, B, A, Λ Corte (Schnitt, cut) S:

Γ
Θ, M ,, M, ∆
Λ (S) Γ, ∆
Θ, Λ 2

Reglas de desarrollo para constantes lógicas. En el antecedente. En el sucedente. A, Γ
Θ B, Γ
Θ Γ
Θ, A Γ
Θ, B (∧
) A∧B, Γ
Θ , A∧B, Γ
Θ (
)Γ
Θ, A∨B , Γ
Θ, A∨B A, Γ
Θ,,B, Γ
Θ Γ
Θ, A,, Γ
Θ, B (∨
) A∨B, Γ
Θ (
∧)Γ
Θ, A∧B

F(a), Γ
Θ Γ
Θ, F(a) (∧
) ∧xF(x), Γ
Θ (
∨) Γ
Θ, ∨xF(x)

1 _{La regla de debilitamiento en el antecedente se denomina también ‘regla de} monotonía’. Ésta vale en cálculos lógicos estrictamente demostrativos, incluso am-pliativos, como los que admiten construcciones sintéticas a priori, por ejemplo prag-máticas. A la derecha damos los nombres alemanes e ingleses de las reglas.

2 _{Una variante de esta regla de corte es Γ > M ,, M, Γ > C}

Γ > C , versión que corres-ponde a los cálculos secuenciales intuicionistas, efectivos o constructivos.

Fa, Γ
Θ Γ
Θ, F(a) *(∨
) ∨xF(x), Γ
Θ *(
∧) Γ
Θ, ∧xF(x) Γ
Θ, A,, B, ∆
Λ A, Γ
Θ, B (→
) A → B, Γ, ∆
Θ, Λ (
_{→) Γ
Θ, A → B} Γ
Θ, A y A, Γ
Θ (¬
) ¬A,
Θ (
_{¬) Γ
Θ, ¬ A}

Las reglas para el negador son simétricas. Esta forma del cálculo se presenta como un ‘‘semiformalismo’’3_.

§ 02. Las reglas del cálculo son de tal índole que, salvo la regla de ‘‘corte’’ S o su equivalente de ‘‘mezcla’’ M, no hacen desaparecer en la secuencia inferior ninguna secuencia que aparezca en las secuen-cias superiores o sea subfórmula en ellas. Por lo tanto se demuestra fácilmente la:

Propiedad de las fórmulas parciales: En un desarrollo

secuencial sin corte (o mezcla), que parte de secuencias iniciales, to-das las fbf.s de la deducción son fórmulas parciales de las fbf.s que aparecen en la secuencia final4_.

Es decir, en los desarrollos sin corte las fbf.s de una secuencia nunca se tornan más simples hacia abajo: cuando se modifican, se tornan más complejas. Gentzen llamó ‘‘deducción sin rodeos’’ a un desarrollo con esta propiedad. En ellos las fórmulas parciales no desaparecen: todas las expresiones que aparecen en alguna secuen-cia también aparecen en la secuensecuen-cia final, como tales o como subfór-mulas.

En consecuencia, si se puede demostrar que para cada desarro-llo con corte existe otro equivalente –es decir con la misma

secuen-3 _{Una variante de esta regla de corte es Γ
M ,, M, Γ
C}

Γ
C , versión que co-rresponde a los cálculos secuenciales intuicionistas, efectivos o constructivos.

4 _{Un ‘‘semiformalismo’’ (Halbformalismus o semi-formal system) es un sistema}

de reglas en el que al menos una regla puede contener infinitas premisas. *(∨
) y *(
∧) son reglas críticas: La variable propia a de las figuras de deducción (∨
) y (
∧) no puede aparecer en la secuencia inferior de esas figuras de deducción (es decir, no puede aparecer ni en Γ, ni en Θ, ni en F(x)). Esta restricción impide deducciones incorrectas.

cia final– sin corte, significa que para cada desarrollo con rodeos existe otro desarrollo equivalente ‘‘sin rodeos’’.

§ 03. El teorema fundamental (Hauptsatz)

Por razones de brevedad sólo presentamos los enunciados de las dos formas principales del teorema fundamental o de corte. Largas y elaboradas demostraciones se encuentran en cualquier exposición de los cálculos secuenciales de Gentzen5_{. También hay} presentacio-nes breves para los mismos sistemas presentados como cálculos de diálogos lógicos en Lorenzen 1987 y otras. Los enunciados de estos teoremas son:

Teorema fundamental: Todo desarrollo secuencial correcto se

pue-de transformar en otro pue-desarrollo secuencial correcto con la misma secuencia final en el cual no se utiliza la regla de corte (S) (o la regla de mezcla (M)). El caso del cálculo secuencial intuicionista es un caso particular del teorema clásico.

Gentzen facilita la larga demostración usando la regla de mezcla (M) en lugar de la regla de corte (S). Las reglas (S) y (M) son equivalentes.

Teorema fundamental para formas normales prenexas (o

teo-rema fundamental ‘‘fortificado’’) para el cálculo secuencial clásico. Sea un desarrollo en el cálculo secuencial clásico cuya secuencia final ‘Sf’ sea tal que cada fbf. de esa secuencia final esté en forma normal prenexa. El teorema fundamental fortificado demuestra que ese desarrollo se puede transformar en otro equivalente con la mis-ma secuencia final, pero que tiene las siguientes propiedades: (1) el desarrollo equivalente cuya secuencia final ‘Sf’ no contiene nin-gún corte (S) o, lo que es equivalente, ninguna regla de mezcla (M); (2) existe en el desarrollo una secuencia media ‘Sm’ tal que

(2a) su desarrollo carece de cuantores ‘

∧

∨

(2b) a partir de Sm, y excluida ella misma, las únicas reglas de de-sarrollo que aparecen son (

∧

∧

∨

∨

5 _{Es el ‘‘suplemento al teorema fundamental’’ (Zusatz zum Hauptsatz):}

propie-dad de las fórmulas parciales (Teilformeln-Eigenschaft). Cf. Gentzen 1934-5, 2.513, 195.

§ 04. La consistencia sintáctica del cálculo de predicados clásico e intuicionista

El teorema de consistencia sintáctica de estos cálculos dice lo siguiente: Los cálculos secuenciales intuicionista y clásico son consis-tentes respecto de la negación (es decir, ninguna secuencia final es de la forma
A∧¬A).

Dem. Procedemos por reducción al absurdo. Sabemos que es de-ducible la secuencia ‘A_{∧¬A
’, ya que es equivalente a la secuencia} ‘
¬(A∧¬A)’. Supongamos que fuese deducible la secuencia vacía ‘
’. Ella nos permitiría desarrollar por debilitamiento la secuencia ‘
A∧¬A’. Un desarrollo con corte para ella tendría el siguiente aspecto: A
_A

¬A, A
(¬
) (*)
_{A∧¬A, A}
(∧
) (*)
A
A, A∧¬A
(P
)
A ,,
¬A (
¬) A∧¬A, A∧¬A
(∧
) Hip.
A∧¬A ,, A∧¬A
(C
)

(S)

‘A’ es una fbf. de grado lógico cualquiera. Si fuera posible una demostración de ‘
’ mediante corte, entonces por el teorema funda-mental debe haber otra demostración de ‘
’ sin corte. Nos pregunta-mos entonces de qué secuencias puede surgir la secuencia nula sin cortes. No puede surgir de ninguna de las restantes reglas estructu-rales, porque éstas, o bien aumentan el número de fbf.s por (D), o bien cambian su orden por (P), o bien lo disminuyen por (C), pero

nunca lo reducen a cero. Tampoco puede surgir por ninguna de las

doce reglas de deducción para constantes lógicas, pues éstas introdu-cen al menos una formula principal compleja en la secuencia inferior, pero no eliminan fbf.s (por la propiedad de las fórmulas parciales de la § 02). Por lo tanto no hay una deducción correcta de la secuen-cia ‘
’ que le sea equivalente y carezca de cortes. Pero por el teore-ma fundamental, si no es deducible la secuencia ‘
’ sin corte, tampoco lo es con corte, y como sí es deducible la secuencia ‘A_{∧¬A
»’,} enton-ces no es deducible la secuencia ‘
A∧¬A’.

§ 05. La ley de tercero excluido en la lógica intuicionista

Luego de demostrar la consistencia de los cálculos lógicos clási-co e intuicionista, demostraba Gentzen que las lógicas de enunciados intuicionista y clásica son decidibles. A continuación daba algunos resultados concernientes al tercero incluido, que es lo que considera-remos a continuación.

El principio de tercero excluido irrestricto sólo vale en casos es-peciales en la lógica intuicionista. Es decir, su justificación en ella no es formal, sino material. La forma de tercero excluido formalmente válida en la lógica intuicionista es:

¬¬(A∨A), que se demuestra así:

A
A A
_A∨¬A (
_∨), ¬(A∨¬A), A
(¬
), A, ¬(A∨¬A),
(P
_), ¬(A∨¬A),
¬A (
¬), ¬(A∨¬A),
A∨¬A (
_∨), ¬(A∨¬A), ¬(A∨¬A),
(¬
), ¬(A∨¬A),
(C
),
¬¬(A∨¬A) (
¬).

La penúltima secuencia desarrollada, _{¬(A∨¬A)
, dice que ‘‘la} negación del tercero excluido implica lo falso’’, lo que equivale a de-cir que no se puede negar el tercero excluido, lo que es obvio, pues por una equivalencia de De Morgan intuicionista demostrable, a saber ¬(A∨B) ↔ ¬A∧¬B, sabemos que ¬(A∨¬A) equivale a la contradicción ¬A∧¬¬A, que es no desarrollable en el sistema. El siguiente teorema de indeducibilidad es crucial para la lógica intuicionista:

Teorema. La ley de tertium non datur A∨¬A no es deducible en la lógica intuicionista.

Demostrar este teorema supone demostrar imposibilidad de de-sarrollar la secuencia
A∨¬A para el caso general de cualquier fbf. A con grado lógico G(A) ≥ 0. Comenzamos con el caso base de fbf.s A con grado lógico G(A) = 0. La demostración se hace por raa.

Dem.: supongamos que existe un desarrollo secuencial intuicionista para
A∨¬A. Por el teorema fundamental existirá un desarrollo equivalente de
A∨¬A sin corte. En tal caso la última regla de de-ducción que se usó debe haber sido (
∨), pues:

1.
A∨¬A no puede haber surgido por (
P), pues deberían haber dos fbf.s en el sucedente de la secuencia final, ni por (
C), pues ello su-pondría la existencia de al menos dos fbf.s en la secuencia superior de la secuencia final. Pero estas dos posibilidades no son admisibles en un sistema secuencial intuicionista. Tampoco puede haber surgido por (
D), pues entonces el final de la deducción se vería así:

A∨¬A,

Y sabemos que ‘
’ no es deducible por la ya demostrada consistencia del cálculo.

2.
A∨¬A tampoco puede derivarse de las reglas para constantes lógicas, pues en ellas, o bien el antecedente de la secuencia inferior no es vacío (para las reglas (_{∧
), (∨
), (→
), (¬
), (∧
) o (∨
)), o bien} aparece una constante lógica diferente de ‘∨’ en el sucedente (para las reglas (
∧), (
→), (
¬), (
∧) o (
∨)).

Por lo tanto el final de un desarrollo sin corte debió ser uno de los siguientes:

(I) (II) A

A
_¬A (
_¬)

A∨¬A, (
∨)

(Para que una disyunción
A∨B sea intuicionistamente deducible es preciso que, o bien
A sea deducible, o bien
B lo sea.) Considere-mos ahora los dos casos:

(I)
A, con G(A) = 0, no es una secuencia inicial. Pero A no puede ser secuencia inferior de ninguna regla de deducción intuicionista, ni de

las estructurales (
C) o (
P), pues suponen al menos dos fbf.s en el sucedente, ni de las para constantes lógicas. Por lo tanto sólo queda (
D), es decir el final de desarrollo siguiente:

A (>D)

A∨A, (>∨).

Pero por el teorema de consistencia la secuencia superior no es de-sarrollable. Por lo tanto
A no es dede-sarrollable. (Esto prueba además el criterio de consistencia de Post, pues si A es una fbf. atómica, ella sólo es desarrollable a partir de ‘
’, pero como ya sabemos ‘
’ no es desarrollable.)

(II) A
, con G(A) = 0, no es una secuencia inicial. Pero no pudo haber sido secuencia inferior de ninguna regla de deducción intuicionista, ni de las estructurales (
D) o (
P), pues suponen al menos dos fbf.s en el sucedente, ni de las reglas para constantes lógicas, por lo que el desarrollo sólo podría ser:

A, …, A
⯗ A, A
(C
_),

Pero de ese modo no se llega nunca a una secuencia inicial A
A. Por lo tanto ¬A no es desarrollable. Esto equivalente a una forma débil del criterio de consistencia de Post (la negación de una variable pro-posicional no es teorema); obviamente lo mismo se dice de ¬¬A. Por lo tanto no es deducible el tertium non datur en el cálculo secuencial intuicionista.

§ 06. La aritmética de Peano

Giuseppe Peano, uno de los padres del logicismo, redujo los nú-meros a expresiones de la lógica de predicados utilizando el predicado monádico ‘C1_{a’, que leemos ‘a es cero’ (es decir, el objeto a tiene la} ‘‘propiedad’’ cero), el predicado binario ‘P2_{ab’, que leemos ‘a = p(b)’ ó} ‘a precede inmediatamente a b’ y el ternario ‘S3_{cab’, que leemos ‘c =} a+b’ ó ‘c es suma de a y b’. De este modo los números naturales se

pueden representar mediante esos predicados de la siguiente ma-nera: 0 syss C1_a 1 syss C1_a∧P2_ab 2 syss C1_a∧P2_ab∧P2_bc ⯗ n syss C1_a ∧ P2_ab∧P2_bc∧…∧P2_mn, donde ‘syss’ abrevia ‘si y sólo si’.

En ese simbolismo los diez axiomas de Peano toman la siguien-te forma:

Axiomas de igualdad

A1. ⵩x(x = x) (reflexividad),

A2. ⵩x⵩y(x = y → y = x) (simetría),

A3. ⵩x⵩y⵩z(x = y ∧ y = z → x = z) (transitividad). Axiomas del cero.

A4. ⵪x(C1_x) (existencia),

A5. ⵩x⵩y(C1_x∧C1_y → x = y) (unicidad). Axioma de infinitud.

A6. ⵩x⵪y(P2_xy) (infinitud).

Axiomas de buen orden.

A7. ⵩x⵩y(P2_xy → ¬C1_y) (el cero no sucede a nin-gún número),

A8. ⵩x⵩y⵩z⵩u(P2_xy∧P2_zu∧x=z → y=u) (unicidad del sucesor), A9. ⵩x⵩y⵩z⵩u(P2_xy∧P2_zu∧y=u → x=z) (unicidad del predecesor). Axioma de inducción.

A10. A(0)∧⵩k(A(k) → A(k’)) → ⵩x.A(x) (axioma de inducción fi-nita)

De este conjunto P = {A1, …, A10} de axiomas de Peano no con-sideraremos en lo inmediato el axioma A10 de inducción finita, por-que la demostración de consistencia de la aritmética de Peano con ese axioma realizada por Gentzen en 1936 y su versión definitiva de

19386 _{tenía dificultades con los procedimientos de inducción} transfini-ta que implicaba, que la hacían discutible, por lo que se debió esperar algún tiempo antes de que fuera resuelta. Nuestro conjunto de axiomas para el teorema siguiente será el conjunto disminuido A = {A1, …, A9}. § 07. La consistencia de la aritmética de Peano

sin el axioma de inducción

Para esta demostración es útil la siguiente definición:

Df. Una fbf. C es aritméticamente deducible sin inducción finita, si se puede desarrollar en el cálculo secuencial clásico la secuencia _Γ
C, con Γ ⊆ A = {A1, …, A9}.

Teorema. La aritmética de Peano sin inducción finita es

consisten-te respecto de la negación, es decir, no exisconsisten-te una fbf. aritmética de-ducible que corresponda a una secuencia desarrollable de la forma Γ
A∧¬A.

Dem.: La demostración utiliza el teorema fundamental para formas normales prenexas (o teorema de corte reforzado). En primer lugar se demuestra que la siguiente regla simétrica es correcta:

Γ
A∧¬A Γ

La deducción de abajo hacia arriba es inmediata por (
D). Puesto que A∧¬A
es deducible, esa deducción de arriba abajo depende de la hipótesis _{Γ
A∧¬A. A partir de ella se desarrolla Γ
por corte,} como muestra el siguiente desarrollo:

A
A ¬A, A
_(¬
) (*) A∧¬A, A
(∧
) (*) A, A∧¬A
(P
) A∧¬A, A∧¬A
(∧
) Hip. Γ
A∧¬A ,, A∧¬A
(C
)

Γ
(S)

Si la aritmética de Peano sin inducción finita fuera inconsisten-te, existiría al menos un desarrollo con la secuencia final _{Γ
, con} Γ ⊆ A (recuérdese que Γ consta de axiomas de A que están en forma normal prenexa).

Procedemos por raa. Supongamos que el sistema sea inconsisten-te y por lo tanto que exista un desarrollo correcto con la secuencia final _{Γ
, con Γ ⊆ A. Aplicando el teorema fundamental para formas} prenexas obtenemos un desarrollo con la misma secuencia final Sf _Γ
que tiene las siguientes propiedades:

1. No tiene cortes.

2. Existe una secuencia media Sm _{Γ’
cuya deducción no contiene} ningún cuantor, en la cual las fbf.s de Γ’ son esquemas no cuantifi-cados de los axiomas, y a partir de la cual se desarrolla linealmente Sf sólo mediante una sucesión de reglas (⵩
), (⵪
), (D
), (C
) y (P
), pues el sucedente es vacío y no hay otras reglas primitivas en esa parte del desarrollo.

3. Mediante los cambios de nombre de variables libres que se requie-ran se asegura la corrección del desarrollo. Éste tiene además la pro-piedad de que la variable propia de cada regla (⵪
) –que es la única regla crítica de este desarrollo– aparece sólo en la línea de secuen-cias superiores a la de su aparición.

A partir de ese momento del desarrollo reemplazamos cada va-riable libre en todas sus apariciones por números naturales deter-minados del modo que indicamos más abajo. Con ello obtendremos desarrollos que ya no serán desarrollos formales del cálculo secuen-cial clásico, sino aritméticos elementales. El reemplazo lo realizamos de la siguiente manera:

1. Todas las variables libres que no aparecen como variables propias de una (⵪
) (e.d. las que contienen subfórmulas de reglas (⵩
)), las reemplazamos inicialmente por ‘0’ (luego progresaremos en la suce-sión natural).

2. Consideramos la regla crítica en el antecedente, que es (⵪
), y ve-mos sus apariciones desde la secuencia final Sf hacia arriba y reem-plazamos su variable propia por un número en todas las apariciones de los dos únicos axiomas que introducen esta regla, A4 o axioma de existencia del cero y A6 o axioma de infinitud:

A4. C1_0, Γ
_{A6. (P}2_mm’), Γ
⵪xC1_x, Γ
⵪y(P2_my), Γ
⵩x⵪y(P2_xy), Γ
Esto se hace de la siguiente manera:

En A4 reemplazamos inicialmente el parámetro de la regla por 0 y en A6 el segundo parámetro por un número m’ sucesor de m en la construcción de los naturales (por supuesto, en su primera aparición reemplazamos m por 0). En la línea inferior del desarrollo de (⵩
) en A6 se reemplaza m por la variable ligada x.

Este procedimiento se puede reiterar a partir de los casos inicia-les de las funciones recursivas elementainicia-les, que son verdaderas en cada uno de los casos por construcción.

Consideremos ahora el siguiente desarrollo transformado _Γ’’
que hicimos de la secuencia media Sm _{Γ’
en este desarrollo. Por} hi-pótesis su sucedente es vacío y todas las fbf.s de su antecedente tie-nen alguna de las siguientes formas.

i. o bien es C1_{0, ó} ii. P2_{mm’, ó}

iii. es una fbf. sin ningún cuantor ‘⵩’ en la que las variables propias han sido reemplazados por números, que pueden comenzar por 0, y que son instancias de los restantes axiomas.

Pero entonces, por mero cálculo con algunas de las funciones recursivas primitivas de arriba, todas las fbf.s de las transformadas Γ’’ son enunciados aritméticos sobre constantes numéricas verdade-ros por construcción. Además las Sm transformadas

Γ’’

serán demostraciones aritméticas que sólo han empleado recursos de la lógica de enunciados. Por lo tanto podemos afirmar que, si la arit-mética de Peano sin axioma de inducción finita fuese contradictoria, se podrían construir contradicciones a partir de enunciados numéri-cos todos verdaderos que son instancias de los axiomas A1-A9 usan-do sólo reglas primitivas del cálculo secuencial clásico7_{. Pero como ya} 7 Como, por ejemplo 3 = 3, 4= 5 → 5=4, 3 = 4 ∧ _{4 = 2 → 3 = 2, C}1_{0, C}1₃ ∧ _C1₁

sabemos, por teorema anterior, que el cálculo secuencial clásico es consistente y por lo tanto, a fortiori, su fragmento de lógica de enun-ciados clásica también lo es, y además las fbf.s del antecedente Γ’’ son constructivamente verdaderas.

Todo esto implica que no puede existir una secuencia media de la forma _{Γ’’
, pues por las funciones recursivas primitivas se} deter-mina:

(1) que las fbf.s numéricas son constructivamente verdaderas; (2) que sus compuestos con constantes lógicas enunciativas son tam-bién verdaderos;

(3) que son casos especiales de los esquemas de axiomas sin cuanto-res de la secuencia media Sm _Γ’
.

Estas figuras de deducción enunciativas siempre pasan de fbf.s verdaderas a conclusiones verdaderas, por lo que no pueden produ-cir secuencias de la forma _{Γ’’
A∧¬A o, lo que es equivalente, Γ’’
.}

La relación entre los casos de _{Γ’’
y la Sm Γ’
es de inducción} completa. Las funciones recursivas primitivas de arriba permiten rechazar todos los casos particulares _{Γ’’
de los esquemas de} axio-mas que aparecen en _{Γ’
, que por el teorema fundamental para} for-mas prenexas se habrían deducido sólo por medio de reglas de la lógica de enunciados. Pero la lógica de primer orden es consistente. Por lo tanto, por contraposición, así como no pueden existir secuen-cias _{Γ’’
, tampoco puede existir una secuencia de la forma Γ’
. En} consecuencia no puede existir una secuencia _{Γ
, como decía nuestra} hipótesis para la raa. Esto equivale a decir que la axiomática de Peano sin el axioma de inducción es consistente, demostración que se funda en una reducción a la lógica de enunciados mediante el teo-rema fundamental reforzado y una demostración por inducción finita dentro de ese fragmento de lógica, utilizando el teorema de no con-tradicción de la lógica de primer orden ya demostrado.

09. La consistencia de la aritmética de Peano con el axioma de inducción

Dicha demostración se basa, como en el caso anterior, en la arit-mética de funciones recursivas primitivas pero con un principio de inducción transfinita sin cuantores hasta el ordinal ε0. Ése fue el

método que utilizó Gentzen. Dicho principio de inducción transfini-ta sin cuantores hastransfini-ta ε0 dice que para cualquier fórmula A(x) sin va-riables ligadas vale la inducción transfinita hasta ε0, que es el primer ordinal α, tal que ωα _{= α, es decir el supremo de la sucesión:}

{

,

,

,...

}

sup

ω

ω

ω

Este método tiene el inconveniente de que hay pasos de la de-mostración que no se reducen a operaciones de la aritmética elemen-tal recursiva, como bien muestra Kleene, por lo que no todos lo aceptan y por lo que no expondremos.

Otro método usa la llamada regla-ω (ω-Regel) en un semifor-malismo pleno (vollständiger Halbformalismus), como hacen Kurt Schütte y Paul Lorenzen. Para los detalles enviamos a la literatura de esos autores. Dejamos aquí el desarrollo del tema.

Hay muchos resultados importantes conectados a estas demos-traciones de Gentzen. Uno de ellos dice que todos los cálculos en los que vale el teorema fundamental son consistentes.

También hay resultados curiosos. Es sabido que en los cálculos de tipo Gentzen que evitan el corte, las demostraciones sin corte son habitualmente más largas que las que tienen aplicaciones de la re-gla de corte. A veces son incluso mucho más largas. George Boolos llegó a mostrar incluso que existe una fórmula que con ayuda del corte se puede deducir en alrededor de una página, mientras que escribir una deducción sin cortes de la misma duraría más que toda la duración del universo. Por ello escribió un artículo titulado ‘‘Don’t Eliminate Cut!’’.

Literatura

George Boolos, ‘‘Don’t Eliminate Cut!’’, Journal of Philosophical Logic 13 (1984), pp. 373-378.

Gerhard Gentzen, ‘‘Untersuchungen über das logische Schließen’’,

Mathe-matische Zeitschrift 39 (1934) (reedición en Karel Berka & Lothar

Kreiser, Logik-Texte, Berlin, 1986).

Gerhard Gentzen (ed. M. E. Szabo), The Collected Papers of Gerhard

Gentzen, Amsterdam, 1969.

Gerrit Haas, Konstruktive Einführung in die formale Logik, 1984, ISBN 3411016280.

Lutz Heindorf, Elementare Beweistheorie, 1994, ISBN 3411171618. Rüdiger Inhetveen, Logik, Eine dialog-orientierte Einführung, Leipzig,

Stephen Cole Kleene, Introduction to Metamathematics, Amsterdam, Groningen, 1952.

Kuno Lorenz & Paul Lorenzen, Dialogische Logik, Darmstadt, 1978 (contie-ne la primera demostración en teoría de diálogos).

Paul Lorenzen, Metamathematik, Mannheim, 1962.

Paul Lorenzen, Lehrbuch der konstruktiven Wissenschaftstheorie, Zürich, 1987, Stuttgart, 2000, ISBN 3-476-01784-2.

Kurt Schütte, Beweistheorie, Berlin, Göttingen Heidelberg, 1960.

A. S. Troelstra & H. Schwichtenberg, Basic Proof Theory (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science), Cambridge University Press, ISBN 0521779111.

SEMÁNTICA DE GENTZEN

JAVIER LEGRIS Gerhard Gentzen (1909-1945) fue uno de los lógicos más impor-tantes del siglo XX. Sus sistemas de deducción natural y secuentes, su célebre Hauptsatz, su demostración de la consistencia de la aritméti-ca de 1936 y su análisis de procedimientos constructivos en matemá-tica abrieron nuevos caminos para la lógica matemámatemá-tica, de riqueza metodológica y filosófica. En este trabajo paso revista a las ideas semánticas que están en la base de su distinción entre reglas de intro-ducción y eliminación para las constantes lógicas, y describo cómo esas ideas han sido desarrolladas posteriormente en la teoría general de la demostración, añadiendo algunas observaciones filosóficas.

I

En su artículo ‘‘Investigaciones sobre la deducción lógica’’, resul-tado de su trabajo de doctorado en Göttingen, Gentzen presenta su sistema de deducción natural, cuyas reglas permiten la introducción y eliminación de cada una de las constantes lógicas. Inmediatamente después Gentzen se ocupa del ‘‘sentido contentual’’ (inhaltliche Sinn, es decir, el significado) de las reglas del sistema, y en la sección 5 ob-serva:

‘‘Las introducciones representan, por así decirlo, las ‘definiciones’ de los símbolos en cuestión, y las eliminaciones son, a final de cuentas, tan sólo consecuencias de aquéllas. Esto puede expresarse del modo siguiente: en la eliminación de un signo, podemos usar aquella fórmu-la, de cuyo signo principal nos estamos ocupando, únicamente ‘como aquel que tiene significado sobre la base de la introducción de ese sig-no’’’ (Gentzen 1934-1935, p. 189).

Tómese por ejemplo la regla del modus ponens, que expresa la eliminación del condicional material. La idea es que esta regla

pue-de aplicarse porque responpue-de a la respectiva regla pue-de introducción, la llamada regla de ‘‘demostración condicional’’ o ‘‘condicionaliza-ción’’. Gentzen sugiere aquí una concepción que se articuló más tar-de en una corriente tar-dentro tar-de la filosofía tar-de la lógica. Según esta corriente, las reglas de introducción dan el significado de los símbolos lógicos, de modo que tienen un valor semántico. En la medida en que estas ‘‘definiciones’’ se entiendan como elucidaciones, conduce a una formulación del significado de las constantes lógicas y, por lo tanto, a una semántica.

Franz von Kutschera introdujo la expresión ‘‘semántica de Gentzen’’ en su trabajo ‘‘La completitud del sistema de los operado-res {¬, ∧, ∨, ⊃} para la lógica de enunciados intuicionista en el mar-co de la semántica de Gentzen’’ (Kutschera 1968). La denominación ‘semántica’ se entiende aquí ‘‘en el sentido más general de la palabra, que se aplica a investigaciones que se ocupan de la interpretación de expresiones, especialmente de operadores lógicos, y no en el sentido estricto de las investigaciones en teoría de modelos’’ (Kutschera 1968, p. 47, n. 1). Esta semántica queda justificada por las siguientes ra-zones:

‘‘Desde un punto de vista constructivo la semántica conjuntística resulta insuficiente, ya que se toman en consideración cualesquiera valuaciones de las fórmulas atómicas con los valores de verdad, y no sólo aquellas que resultan por la ayuda de procedimientos efectivos. Si queremos restringirnos a tales valuaciones, entonces primero nos limi-taremos a determinados procedimientos efectivos, cálculos formales por ejemplo. Si establecemos para un cálculo K un concepto de demos-tración y un concepto formal de refutación, i.e. definido inductivamente en K, entonces puede determinarse que los enunciados demostrables en K sean destacados como verdaderos y los enunciados refutables en

K como falsos. En este enfoque resulta natural no limitarse

únicamen-te a aquellos cálculos en los que todo enunciado atómico es demostra-ble o refutademostra-ble, sino tomar en consideración también cálculos que dejan indeterminados a ciertos enunciados. Así, se renuncia al principio de bivalencia (Prinzip der Wahrheitsdefinit) respecto de los enunciados, principio que está en la base de la semántica conjuntista’’ (Kutschera 1968, pp. 38 y s.)

Kutschera construye su semántica sobre la base de un cálculo de secuentes. Más específicamente, formula un cálculo de secuentes singulares (con un único sucedente) que reproduce las mismas ideas acerca de las constantes lógicas que subyacen al cálculo de deducción natural de Gentzen 1934. De esta manera, la semántica queda expre-sada mediante un cálculo formal. Cualquier sistema de lógica de

primer orden será adecuado si es traducible a este cálculo formal. Esta perspectiva se opone a la semántica ‘‘conjuntista’’, basada en la teoría de modelos.

II

Más tarde, en 1987, Peter Schröder-Heister introdujo la expre-sión proof-theoretic semantics, traducible como ‘‘semántica basada en la teoría de la demostración’’ (véase Schröder-Heister 1991). La idea básica es que las demostraciones o deducciones tienen un valor se-mántico, de modo que pueden definirse sobre su base nociones como consecuencia lógica y verdad lógica. Los significados de los enuncia-dos se entienden en términos de demostraciones y la relación de con-secuencia lógica se entiende en términos de demostraciones.

Así, esta idea queda formulada más tarde en las siguientes pa-labras:

‘‘Según la concepción de la teoría de modelos, la cual prevalece to-davía en la lógica […] una consecuencia es lógicamente válida si trans-mite la verdad de sus premisas a su conclusión, en relación con toda interpretación. Se muestra que los sistemas de demostración son correc-tos probando que las consecuencias que ellos generan son lógicamente válidas. […] La semántica basada en la teoría de la demostración pro-cede al revés, asignando a las demostraciones o deducciones un papel semántico autónomo desde el principio antes que elucidar su función en términos de transmisión de verdad. En la semántica basada en la teoría de la demostración, las demostraciones son […] tratadas […] como entidades en términos de las cuales se puede elucidar el significado y la consecuencia lógica’’ (Kahle & Schroeder-Heister 2006, p. 503). Estas afirmaciones requieren algunas aclaraciones. En general y siguiendo el programa de Hilbert, la teoría de la demostración se entiende prima facie como la parte de la metalógica que estudia las propiedades de las demostraciones formales entendidas como objetos sintácticos. El núcleo metodológico del programa era el ‘‘punto de vis-ta finito’’ (finite Einstellung) y según este punto de visvis-ta son carac-terizadas las demostraciones matemáticas con contenido (inhaltlich), es decir, las demostraciones matemáticas informales. El punto de vis-ta finito se aplica a diferentes tipos de objetos matemáticos: reglas, enunciados moleculares, definiciones, etc., y sus rasgos centrales con-sisten en limitar las operaciones a un número finito de objetos y fun-ciones, en no tomar en consideración conjuntos infinitos y en no

admitir definiciones impredicativas. La teoría de la demostración que Hilbert proponía caracterizaba a la deducción como un proceso combinatorio: a partir de supuestos se obtienen consecuencias nue-vas por combinación de aquéllos. La adopción del punto de vista fi-nito da lugar a la matemática finitaria. En su programa, Hilbert quería reducir la aritmética a esta matemática finitaria con el fin de probar su consistencia y otorgarle un fundamento seguro. Esta reduc-ción debía llevarse a cabo en el marco de una ‘‘lógica del pensamiento finito’’, con características propias. Por todo esto, se ha etiquetado de reductiva a la teoría de la demostración concebida por Hilbert.

Ahora bien, en un sentido más amplio, la teoría de la demostra-ción se ocupa de la representademostra-ción y la estructura que tienen las de-mostraciones matemáticas, siendo entonces una ‘‘teoría acerca de demostraciones’’: ‘‘Las demostraciones expresadas mediante deriva-ciones formales es el principal objeto de estudio’’ (Kreisel 1971, p. 242). Aquí el término ‘‘demostración’’ hace referencia el proceso me-diante el cual se establece la inferencia deductiva de un enunciado (eventualmente a partir de otros), mientras que ‘‘derivación’’ deno-ta la represendeno-tación sintáctica de deno-tal proceso. Se supone así que una demostración es una entidad de algún tipo (no necesariamente sin-táctica). Así se habla de una teoría general de la demostración (en oposición a la teoría de la demostración reductiva), en la cual las demostraciones se toman como objetos formales (y no meramente sintácticos).

III

Los resultados que se adoptan para la elaboración de la semán-tica basada en la teoría de la demostración provienen del estudio de los sistemas de deducción natural y de recuentes. Un problema bási-co que interesa en la teoría general de la demostración es el de esta-blecer demostraciones normales (que, idealmente, puedan ser además únicas). Del hecho de probar la existencia de demostraciones norma-les se siguen varios resultados. El más importante de ellos es la con-sistencia (no contradicción) del sistema.

En el caso específico de la deducción natural, la base para esta-blecer la existencia de demostraciones normales consiste en mostrar que pueden eliminarse las demostraciones ‘‘en círculo’’, en las que la aplicación de reglas de eliminación de un símbolo lógico sigue a la aplicación de la respectiva regla de introducción. Esto equivale a

mostrar que toda derivación que termine con una aplicación de una regla de eliminación puede reducirse a una derivación más simple si esta aplicación aparece inmediatamente después de una aplicación de la regla de introducción correspondiente.

Por ejemplo, en el caso del condicional material, el segmento de una demostración con la forma

: [A] : B ___________(I→) A A → B ____________________(E→) B se reduce directamente. : [A] : B

Una descripción detallada de estos procedimientos para los res-tantes símbolos lógicos puede encontrarse en Prawitz 1977 y 1978.

En virtud de los procedimientos de reducción, las reglas de eli-minación quedan justificadas sobre la base de las reglas de introduc-ción. Los procedimientos de reducción aseguran que las reglas de eliminación extienden conservativamente las reglas de introducción. Esto significa que éstos aseguran que las demostraciones de las premisas de la aplicación de una regla de eliminación pueden trans-formase en una demostración de su conclusión (por lo tanto, sin ne-cesidad de aplicar la regla de eliminación). Mediante la aplicación repetida de procedimientos de reducción, toda demostración se con-vierte en otra que está en una forma normal. En una demostración en forma normal (o derivación normal) ningún enunciado aparece como la conclusión de una regla de introducción y a la vez como la premisa mayor de la aplicación de una regla de eliminación. Hablan-do metafóricamente, en la ‘‘mitad superior’’ de una derivación normal se hace uso de reglas de eliminación para ‘‘desenvolver’’ la

informa-ción contenida en las premisas, la cual es reorganizada en la ‘‘mitad inferior’’ mediante las reglas de introducción a fin de obtener la con-clusión.

IV

La semántica verificacionista abarca actualmente diferentes enfoques que tienen en común la tesis de que el significado de un enunciado está determinado por aquello que cuente como un proce-dimiento para su verificación. Estos enfoques se diferencian del ve-rificacionismo del positivismo lógico surgido en la década de 1920 que consideraba significativos únicamente a los enunciados para los cua-les existía, de hecho, un procedimiento efectivo de verificación, es decir, a los enunciados decidibles.

La semántica basada en la teoría de la demostración es una for-ma de semántica verificacionista. En pocas palabras, un enunciado lógico o matemático es verdadero si existe una demostración para él, y un enunciado tiene significado si es posible determinar aquello que cuenta como su demostración (véase, por ejemplo, Prawitz 1998, p. 44). Esta concepción semántica es verificacionista, en la medida en que una demostración hace verdadero o verifica a un enunciado.

La semántica verificacionista basada en el concepto de demostra-ción otorga a las demostraciones un papel semántico autónomo, con-trariamente a lo que ocurre en semántica basada en la teoría de modelos, en la que las demostraciones dependen semánticamente de la transmisión de verdad. La idea de una semántica basada en la teoría de la demostración puede remontarse a la observación que hace Gentzen al presentar su sistema de deducción natural (mencio-nada en la sección I), según la cual las reglas de introducción propor-cionan el significado de las constantes lógicas. Estas ideas fueron desarrolladas sobre todo por Michael Dummett, Dag Prawitz y otros, al mismo tiempo que se obtenían nuevos resultados en la teoría ge-neral de la demostración, tales como los teoremas de normalización en deducción natural.

Esta concepción se ha usado para reconstruir y defender desde una perspectiva semántica la lógica intuicionista. De hecho, tiene como antecedente a la teoría BHK de las constantes lógicas, en la que el significado de las mismas es elucidado sobre las bases de sus con-diciones de demostrabilidad (véase Legris 2008, p. 78). Como ha se-ñalado Prawitz, se habla de un verificacionismo en el sentido de que

la concepción del significado que propone el intuicionismo matemá-tico se basa en un punto de vista verificacionista y no en considera-ciones ontológicas (véase Prawitz 1998, p. 41).

Dummett se ha ocupado de destacar las ideas que están en la base de la semántica basada en el concepto de demostración. Estas son, en forma resumida, la tesis de la composicionalidad del signifi-cado (el signifisignifi-cado de una expresión es función del signifisignifi-cado que los componen), el molecularismo semántico (cada enunciado del len-guaje tiene un significado independiente), la existencia de un nexo entre significado y comprensión lingüística (la comprensión del len-guaje consiste en el conocimiento del significado), la existencia de un único concepto clave para elucidar el significado (véase Dummett 1978, pp. 222 y s., y para una descripción más extensa véase Legris 1994, pp. 151 y ss.).

Estas ideas básicas son compartidas por otras perspectivas, como, por ejemplo, el realismo semántico. Sin embargo, la apelación al concepto de demostración como concepto clave para analizar el significado de los enunciados matemáticos marca claramente una diferencia esencial (véase Dummett 1978, p. 225 y 1991, pp. 176 y ss.). Esta posición verificacionista surge de diversas constataciones, que pueden sintetizarse, a grandes rasgos, del modo siguiente.

En primer lugar, el significado de una expresión es determina-do por su uso: identidad de uso es identidad de significadetermina-do. Esta afir-mación se basa en aspectos de (a) la comunicabilidad del significado y (b) el aprendizaje del lenguaje. Es decir, si el significado es comu-nicable, entonces debe haber algo observable que lo determine, y además, aprender una lengua es aprender a usarla; captar el signi-ficado de una expresión es captar su uso. Pero una tesis adicional importante es que (c) el conocimiento del significado de un enuncia-do es un conocimiento implícito, es decir el conocimiento del signifi-cado no se explicita en el mismo lenguaje. De otro modo, se caería en un círculo o en una regresión al infinito (v. Dummett 1978, p. 217). En segundo lugar, cualquier rasgo que determine el significado de un enunciado está determinado por el uso que se hace de ese enunciado. Esto no exige que sea el uso total aquello que determine el significado, es decir hay aspectos del uso de un enunciado que no determinan su significado. Lo que determina el significado es algún ‘‘rasgo especial’’ del uso. Esto no lleva a una refutación de una ontolo-gía platónica, pero una consecuencia es que las condiciones de verdad no pueden estar dentro de los rasgos especiales. Basta con conside-rar enunciados indecidibles, para los cuales no hay un completo

co-nocimiento de sus condiciones de verdad (véase Dummett, 1973, p. 225). En el caso de los enunciados matemáticos, este rasgo especial del uso es el conocimiento de su demostración. Dummett señala: ‘‘el conocimiento del significado se manifiesta en la capacidad para re-conocer una demostración cuando nos es mostrada’’ (Dummett 1978, p. 225).

Finalmente, son dos los aspectos del uso de un enunciado que están implícitos en las demostraciones: las condiciones bajo las cua-les se puede aseverar el enunciado y las consecuencias que se siguen de haberlo aseverado de este modo. De este modo, si las reglas de introducción de la deducción natural expresan estas condiciones y las reglas de eliminación resultan ser consecuencia de las condiciones aceptadas. Así, las reglas de introducción se consideran como la de-finición de las constantes lógicas, entonces los procedimientos de reducción completan la justificación de las reglas: las reglas de eli-minación se entienden sobre la base de las de introducción (véase Legris 1999).

V

En suma, la ‘‘semántica de Gentzen’’, basada en la teoría de la demostración, pretende tanto llegar a una comprensión de la natu-raleza de las demostraciones como a elucidar el significado de las constantes lógicas. En este sentido, sus resultados abonan una la fi-losofía de la lógica más rica que incluye aspectos pragmáticos (véa-se Legris 1999). Obviamente, esta (véa-semántica ofrece un punto de partida distinto de (y muchas veces opuesto a) la semántica basada en la teoría de modelos (o ‘‘semántica de Tarski’’).

Basta con señalar una interesante diferencia entre ambas. La semántica basada en la teoría de modelos parte de la idea de que los conceptos de significado, verdad y consecuencia lógica deben anali-zarse de manera independiente de la manera en que se captan signi-ficados o los procedimientos que llevan a establecer la verdad de enunciados o que un enunciado es consecuencia lógica de otros. En particular, es independiente del concepto de demostración, que –des-de esta perspectiva– queda caracterizado por la –des-definición –des-de –des- deriva-bilidad en los sistemas formales. Es una tarea posterior establecer, si esto es posible, la equivalencia extensional de ambos conceptos (esto es la adecuación de ambos conceptos). Prawitz ha llamado a esta po-sición perspectiva de los dos estratos (véase Prawitz 1978, p. 25).

Esto no sucede en el caso de la semántica basada en la teoría de la demostración. En el marco de esta semántica los conceptos prefor-males de significado, verdad y consecuencia lógica pueden ser rigu-rosamente definidos de una manera tal que dé lugar a una posterior caracterización de una relación de derivabilidad en sistemas forma-les. Dicho de otro modo, no hay dos perspectivas diferentes de aná-lisis (sintáctica y semántica formal), sino que ambas responden a las mismas ideas. La posición defendida por Kutschera en su trabajo de 1968 (la definición de la consecuencia lógica en términos de deriva-bilidad en un sistema formal) es ciertamente extrema y no tiene ac-tualmente muchos adherentes. Asimismo, la semántica basada en la teoría de la demostración tiene ciertos presupuestos sobre las demos-traciones (su carácter constructivo) que son problemáticos. Pero, en todo caso, la perspectiva de un único estrato es filosóficamente atrac-tiva.

Referencias

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Prawitz, Dag. 1977. ‘‘Meaning and Proofs: On the Conflict between Classical and Intuitionistic Logic’’, Theoria 43, pp. 2-40

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Reidel, pp. 25-40.

Prawitz, Dag. 1998. ‘‘Truth and Objectivity from a Verificacionist Point of View’’, en Truth in Mathematics, comp. por H. G. Dale et al. Oxford, Clarendon Press, pp. 41-51.

Schröder-Heister, Peter. 1991. ‘‘Uniform Proof-Theoretic Semantics for Logical Constants’’ (abstract), Journal of Symbolic Logic 56 (1991), p. 1142.

CEF/CONICET, FCE/UBA E-mail: [email protected]

EL ENFOQUE COGNITIVO DE LA LÓGICA EN G. GENTZEN

GLADYS PALAU Resumen

En el presente trabajo nos proponemos mostrar el enfoque cognitivo que recibió la lógica a partir de la publicación de la tesis de Gerhard Gentzen de 1934, reflejado tanto en el cálculo de deducción natural como en su lógica de secuentes respecto de las versiones axiomáticas sostenidas por Frege y en el empirismo lógico fundamentalmente por Russell, y la conse-cuente distinción entre lógica ‘‘lógica de fórmulas’’ y ‘‘lógica de inferencias’’ que permitió caracterizar en forma precisa diferentes nociones de conse-cuencia lógica y cambiar radicalmente la presentación de la lógica.

A modo de presentación comenzaremos con unas mínimas refe-rencias al estado de la cuestión acerca de la fundamentación de la matemática y su relación con la lógica a fin de situar la obra de G. Gentzen dentro de tal problemática. Desde Frege y hasta bien entra-do el siglo XX, tanto la presentación formal de la lógica, como la con-cepción filosófica acerca de la naturaleza de la misma, han estado regidas de una u otra forma por el pensamiento fregeano y cuyas tesis fundamentales y pertinentes a nuestros fines podrían conside-rarse las siguientes: (i) La lógica consiste en un sistema formado por un conjunto de fórmulas (semánticamente un conjunto de verdades lógicas) basado en un conjunto finito de axiomas y ciertas reglas de inferencia primitivas preservativas de la verdad, las cuales posibili-tan la deducción de teoremas que constituyen las resposibili-tantes verdades lógicas del sistema y (ii) Las leyes de la matemática y la lógica no se conocen por medio de la intuición ni son probadas por observaciones psicológicas, sino que son verdades a priori y analíticas. Es sabido que estas tesis acerca de la naturaleza de la matemática y la lógica se plasmaron en los Principia de Whitehead y Russell

constituyen-do la posición filosófica conocida con el nombre de logicismo, la cual prevaleció hasta bien entrado el siglo XX y se consolidó definitiva-mente en las rigurosas obras de Alonzo Church, Introduction to Ma-thematical Logic de 1944 y 1956 y de Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, de 1964.

Es interesante señalar que la opción por el método axiomático no se debía a una ignorancia acerca de los sistemas de deducción natu-ral ya propuestos por S. Jaskowski y G. Gentzen, datados ambos en 1934 pero escritos en forma independiente, sino a una fundamenta-da y racional opción. En efecto, en el texto citado (1956 p. 164) Church toma una decisión explícita a favor del método axiomático en contra de los sistemas de deducción natural cuando argumenta a favor del Teorema de la Deducción contra la regla de Introducción del Condi-cional sosteniendo que ésta tiene un carácter demasiado ‘‘elemental’’ y que por ello no debe ser admitida como primitiva en un sistema logístico tal como él lo ha caracterizado. Respecto del texto de Men-delson, su única referencia a la obra de Gentzen consiste en un co-mentario acerca de la conocida prueba formal de la consistencia de la aritmética de Gentzen de 1936. Asimismo, en ambos autores, la presentación de la lógica como sistema axiomático va asociada a una determinada versión de la noción de consecuencia lógica. En el pa-rágrafo 55 (p. 325) de la mencionada obra, A. Church afirma: ‘‘Una oración o forma proposicional A de un sistema logístico (...) es una consecuencia de los postulados si el valor de A es V en todo modelo de los postulados’’ y, en la nota 533 asociada, identifica su noción de consecuencia lógica con la dada por A. Tarski en 1936, i.e., con la noción de consecuencia semántica aún vigente en muchos lógicos contemporáneos1_{. Por su parte, Mendelson (1964, p.30) da la versión} sintáctica de esta noción de consecuencia lógica afirmando que una fórmula bien formada (fbf) A es una consecuencia de un conjunto de fbf Γ y sólo si hay una secuencia de fórmulas A1,...An en Γ, tal que para cada Ai, ella es un axioma o una consecuencia lógica de anterio-res por la aplicación de una regla de inferencia. En síntesis, el eje central de la noción de consecuencia lógica en un sistema logístico pasa por el hecho de que ella ofrece garantía absoluta para la trans-misión de la verdad lógica de los axiomas a los teoremas,

fundamen-1 _{Efectivamente, en On the Concept of logical consequence, Tarki define la}

no-ción de consecuencia lógica de la siguiente forma: Una sentencia S se sigue lógica-mente de la clase K si y sólo si todo modelo de la clase K es también un modelo de la sentencia S, la cual queda caracterizada por las propiedades de Reflexividad, Monotonía y Corte.

tándose así la concepción semántica de la lógica como un conjunto de verdades lógicas

Por otra parte, es sabido que el logicismo no ha constituido el único enfoque de la lógica sostenido y discutido en la primera mitad del siglo XX. En 1930 ya había aparecido en Berlín la obra de A. Heyting Die formalen Reglen der intuitionistischen Logik, en la cual Heyting, siguiendo las ideas de Brouwer acerca de la naturaleza constructiva del pensamiento matemático, presenta también bajo la forma de sistema axiomático la lógica intuicionista, precisamente con el fin de construir una lógica acorde con la matemática de Brouwer, lo cual implicaba que ésta debía reproducir las formas ‘‘intuitivas’’ del pensamiento matemático y cuya diferencia fundamental con la lógica clásica consistiría precisamente en el rechazo del principio clásico del Tercero Excluido, debido a una interpretación diferente de la nega-ción lógica. Si bien el sistema de lógica intuicionista de Heyting pre-serva la forma axiomática nos interesa destacar que ella generó un cambio en la mirada acerca de lo que debe entenderse por ‘‘demostra-ción’’, ya que ahora el significado de las fórmulas compuestas de un sistema lógico no se dará ya en términos de valores de verdad sino en términos ‘‘prueba’’ partiendo de que ésta es intuitiva para las fór-mulas atómicas. Finalmente, es posible sostener que el formalismo de Hilbert es el movimiento filosófico que finalmente rompe el ‘‘ca-samiento’’ entre matemática y lógica sostenido por el logicismo cuan-do, en su artículo de 1926 ‘‘Sobre el infinito’’2_{, siguiendo a Kant,} Hilbert sostiene que la lógica y la matemática son ciencias indepen-dientes y que por ello la matemática no puede fundamentarse sola-mente en la lógica (ob. cit., p. 142). Textualsola-mente afirma ‘‘(...) we conceive mathematics to be a stock of two kinds of formulas: those to which the meaningful communication of finitary statements correspond; and, secondly, other formulas which signify nothing and which are the ideal structures of our theory’’ (ob. cit., p. 146) y, a fin de no de-jar dudas, en el sumario final del mismo trabajo, agrega ‘‘In contrast to the early efforts of Frege and Dedekind, we are convinced that certain intuitive concepts and insights are necessary conditions of scientific knowledge, that logic is not sufficient’’ (ob. cit., p. 151). Más aún, entre 1934 y 1938 aparecen en Berlín los dos volúmenes de Grundlagen der Mathematik de Hilbert y Bernays en los cuales los autores profundizan estas ideas proponiendo justificar el

conocimien-2 _{Publicado en Philosophy of Mathematics, Selected Readings, ed. by P.}

to matemático en tanto sistema axiomático abstracto constituido por elementos ideales, i.e exclusivamente por métodos finitarios o cons-tructivos, los cuales consistían en aplicar reglas de inferencia a los axiomas para poder ‘‘deducir’’ los teoremas. Si bien debe reconocer-se el giro constructivo o cognitivo que las ideas de Hilbert introduje-ron en la naturaleza del conocimiento matemático, Hilbert continúa presentado la lógica bajo la forma de sistema axiomático pero, a di-ferencia de presentaciones anteriores, los 11 axiomas lógicos se enun-cian separados para las distintas conectivas proposicionales y tal vez por esta razón la lógica se siguió presentando como conjunto de teo-remas derivados a partir de los axiomas por medio de reglas de in-ferencia. En síntesis, la verdad de los axiomas continuó siendo el fundamento del conocimiento lógico-matemático, característica ésta que impide poner el acento en la noción de regla de inferencia, la cual precisamente expresa el proceso cognitivo involucrado en el pasaje de los axiomas a los teoremas.

Seguramente son los trabajos de Paul Hertz de 19203 _{sobre las} nociones de derivabilidad y la obra de Stanislaw Jaskowski On the Rules of Supposition in Formal Logic, de 1934, los que primero plan-tean la cuestión de cómo construir un sistema lógico que capte esta idea de construcción a partir de supuestos en tanto prueba de teore-mas a partir de suposiciones y no de axioteore-mas4_{. Más aún, según el} tes-timonio dejado por Jaskowski, en el año 1926 Lukasiewicz ya había planteado en un seminario a su cargo el mismo problema. Sin embar-go, pese a estos trabajos que describen de cierta forma la problemáti-ca de la époproblemáti-ca en el problemáti-campo del pensamiento matemático es en la obra de G. Gentzen donde la idea se cristaliza ya que, si bien Jaskowski, ya había introducido la idea de razonar a partir de suposiciones, es Gentzen quien introduce la división entre reglas de introducción y de eliminación para caracterizar las conectivas proposicionales y el nombre de deducción natural (das natuerliche Schliessen) en su obra Investigations into logical deduction (Untersuchungen über das Logische Schliessen, 1934-5).

En efecto, para materializar sus ideas, Gentzen debió romper drásticamente con la formulación axiomática tradicional de la lógi-ca de predilógi-cados de Frege, Russell y del mismo Hilbert. A este fin,

3 _{Para tomar conocimiento de la influencia de la obra de Hertz en el Sistema}

de Deducción Natural de Gentzen remitimos al trabajo de J. Legris, ‘‘Paul Hertz y los orígenes de la teoría de la demostración’’, Episteme, vol. 3, n. 6, 1998.

4 _{W. Marciszewski, ‘‘A system of Suppositional Logic as embodied in the Proof}

construye primero los llamados N-sistemas o N-cálculos pero conti-nuando con el uso de los símbolos de Hilbert en particular para los cuantificadores5_{. En ellos la idea central de Gentzen consiste en} construir sistemas formales que expresen lo más adecuadamente posible los procesos naturales de razonamiento involucrados en la demostración matemática, objetivo éste que se pone en evidencia en su primera prueba de consistencia de la aritmética, la cual expone mediante los N-cálculos y en los cuales la simplicidad y elegancia de los procedimientos es sacrificada a fin de la ‘‘naturalidad’’ (Szabó, 1969, p. 4). Más aún, hoy en día hay coincidencia en sostener, por un lado, que los N-cálculos le posibilitaron a Gentzen considerar a la matemática y a la lógica intuicionista como más natural y más básica que la lógica clásica y por ello más apropiada para la metamatemáti-ca y, por el otro, que las reglas de deducción natural, vía la afirmación de proposiciones a partir de suposiciones, reflejan más adecuadamente los aspectos esenciales del razonamiento natural de los matemáticos. Más aún, en la actualidad existen buenas razones para sostener que las reglas de eliminación e introducción de las conectivas lógicas explicitan el significado de las mismas, a pesar de las críticas recibi-das de A. Prior y refutarecibi-das N. Belnap en su célebre artículo de 1962 ‘‘Tonk, Plonk and Plink’’ y en el cual Belnap deja claramente senta-do que el significasenta-do de las constantes lógicas debe establecerse den-tro de un contexto previo de deducibilidad, i.e., denden-tro de una noción de consecuencia lógica, tal como lo pensaba Gentzen. Esta noción es la que precisamente Gentzen caracteriza con las reglas de su cálcu-lo de secuentes, para cuya construcción cálcu-los especialistas en el tema coinciden en que Gentzen se inspiró en el enfoque estructural de la prueba dado por Paul Hertz6_{, dado que sus reglas explicitan las} dis-tintas estructuras que pueden adoptar en una demostración.

Por nuestra parte, somos de la opinión de que la noción de con-secuencia lógica expresada por Gentzen en los L-cálculos elucida más exhaustivamente los aspectos constructivos de la noción de conse-cuencia lógica que la formulación atribuida a Tarski y también a Carnap. Nuestras principales razones son las siguientes: (i) La regla de Atenuación en el antecedente que se corresponde con Monotonía es complementada con Atenuación en el postsecuente, la cual permitió luego contar con un método para determinar si una fórmula es o no

5 _{Jaskowski elaboró un método análogo en 1934, a partir de una sugerencia de}

Lukasiewicz en un seminario dictado en 1926.

6 _{P. Schroeder-Heister, ‘‘Resolution and the origins of structural reasoning’’,} The Bulletin of Symbolic Logic, vol. 8, 2, 2002.

es un teorema intuicionista, ya que un teorema será intuicionista si y solo si no tiene más de una fórmula en el postsecuente; (ii) la pro-puesta de Gentzen muestra que la regla de Corte, presente en la caracterización de Tarski, es prescindible, resultado que se demues-tra en su célebre teorema Hauptsatz7_{; (iii) Las reglas estructurales} conjuntamente con las N-reglas o reglas operatorias permiten caracte-rizar claramente no solamente la noción de consecuencia de la lógica clásica y la lógica intuicionista sino también la noción de consecuencia lógica de las lógicas subclásicas, mostrando que ellas no son estruc-turalmente completas (Wójciki, 1984) y que pueden diferenciarse se-gún sea las reglas que rechacen; y (iv) las reglas de Introducción y Eliminación permiten otorgar un significado a las constantes lógicas por su uso y en forma independiente de los clásicos valores de verdad, camino este tomado por Ian Hacking, en su célebre artículo ‘‘What is Logic?’’ de 1979.

A partir de los años ’50 distintas propuestas de sistemas de de-ducción natural comenzaron a aparecer en los textos introductorios de lógica en nuestro medio tales como Methods of Logic de W. V. O. Quine (1950), Introduction to Logical Theory de P. F. Strawson (1952), Symbolic Logic de I. Copi (1958), Elements of Symbolic logic de H. Reichembach (1956), Logic y Techiques of Formal Reasoning de D. Kalish & R. Montague (1964), entre muchos otros. Lo común de todos ellos consiste en afirmar de una u otra forma que los sistemas de Gentzen son aptos para modelizar los razonamientos del lengua-je ordinario. Por elengua-jemplo, en uno muy reciente8 _{se afirma: ‘‘Los} cálcu-los de deducción natural (de Gentzen) pretenden describir o modelar los principios de razonamiento informal o ‘natural’ donde la conclu-sión se deriva de las premisas en una cadena de razonamientos uti-lizando unas reglas de deducción que formalizarían principios de razonamiento formal o natural’’. Sin embargo, opinamos que de los trabajos escritos por Gentzen no se sigue que su intención haya sido formalizar el pensamiento natural o de sentido común, tal como se sostiene en algunos textos.Contrariamente a esta posición creemos que los cálculos de deducción natural no intentan describir los argu-mentos que conforman lo que hoy en día se conoce como ‘‘lógica na-tural’’ o ‘‘lógica de sentido común’’, pese a lo cual en los manuales de

7 _{Sin embargo, es bueno tenerla formulada en forma explícita porque ella será}

explícitamente modificada en la actual formalización de la consecuencia no-monó-tona.

8 _{M. Manzano y A. Huertas, ‘‘Lógica para principiantes’’, Alianza, 2004, pp.}

lógica se apliquen, en nuestra opinión a veces equivocadamente, a cualquier argumento del lenguaje natural que sea posible reformular como argumento deductivo, aunque con esfuerzo y distorsiones vía un dudoso proceso de formalización. Pese a ello se debe reconocer que estos cálculos son mucho más adecuados que el método axiomático para modelizar el razonamiento de sentido común y que su enseñan-za será útil y positiva siempre y cuando se especifiquen meticulosa-mente sus alcances y sus limitaciones, ya que no es posible hoy en día ignorar que hay otros formalismos con formulaciones incluso ‘‘al es-tilo Gentzen’’ que, construidos sobre una noción de una consecuen-cia no monótona, i.e., que no satisfacen la regla de Atenuación en el Prosecuente, dan cuenta más adecuadamente de los argumentos de la lógica natural de los sujetos que los propios sistemas de deducción natural de Gentzen. Sin embargo, es admisible sostener que el en-foque cognitivo de los cálculos de deducción natural han obrado como ‘‘condición de posibilidad’’ para la construcción de las lógicas y forma-lismos no monótonos construidos precisamente para dar cuenta del pensamiento natural. Pese a las observaciones apuntadas estimo que ‘‘algo’’ hay en los cálculos de deducción natural que han motivado a transponer sus aplicaciones más allá del razonamiento matemático. Creo que la respuesta se encuentra precisamente en el enfoque cognitivo que subyace en los cálculos de deducción natural tanto en los de Gentzen como en los de sus predecesores ya que ellos permi-tieron introducir otra distinta forma de pensar la naturaleza de la matemática y de la lógica y que ello es lo que hace posible trasponer-los al análisis de la lógica de trasponer-los lenguajes naturales. Usando una metáfora más arriesgada: los sistemas de deducción natural, y en particular con la pulida presentación de Gentzen, bajaron los prin-cipios de la lógica (i.e., verdades lógicas) del mundo de las ideas y los transformaron en reglas o procesos normativos de la mente humana para razonar correctamente.

No deseo finalizar este trabajo sin mencionar que la introducción en nuestro medio del enfoque de Gentzen en la concepción de la ló-gica se debe a los lógicos argentinos Andrés Raggio y Carlos E. Al-chourrón. En efecto, Andrés Raggio es quien escribe el primer artículo en el año 1979, titulado Processes cognitifs logiques9 _destinado pre-cisamente a defender la posición filosófica implícita en los cálculos de deducción natural de Gentzen. Asimismo la concepción abstracta (o estructural) de la noción de consecuencia lógica subyace en las