propagaci´on no lineal en gu´ıas CKG a medios que presentan absorci´on y/o ganan- cia, as´ı como a medios con efectos disipativos no lineales. Como ya se introdujo en el cap´ıtulo anterior, la investigaci´on en materiales no lineales, en general, y materiales de tercer orden, en particular, se muestra como una de las ´areas m´as activas en el campo de la ´optica no lineal y m´as concretamente en el campo de los dispositivos no lineales totalmente ´opticos. Por otra parte, la consecuci´on de materiales eficientes para el desarrollo de dispositivos totalmente ´opticos, requiere de elevados coeficientes no lineales, lo cual a menudo precisa de situaciones cerca- nas a las resonantes, tanto a las resonancias de un fot´on (absorci´on lineal) como a las resonancias de dos fotones (TPA ie. Two Photon Absorption); esta ´ultima (ver figura 2.11) proviene de la absorci´on simult´anea o quasi-simult´anea de dos foto- nes de energ´ıa hν1 generando una transici´on entre niveles de energ´ıa 1 y 2, donde
∆E1−2> hν1. Habida cuenta de que la probabilidad de producirse una absorci´on
simult´anea de dos fotones depende de la cantidad de ellos que inciden sobre el material, la absorci´on de dos fotones, en t´erminos macrosc´opicos, depender´a de la intensidad del haz incidente; dicha absorci´on, viene representada por la parte imaginaria del tensor χ(3) de forma ´analoga a la absorci´on o ganancia lineal, la
cual se representa por la parte imaginaria del ´ındice de refracci´on lineal.
1 2 1 2 hν1 hν1 hν0 (a) (b)
Figura2.11: Representaci´on esquem´atica de la absorci´on de (a) un fot´on y (b) dos fotones.
La parte lineal, correspondiente al tensor susceptibilidad de primer orden, del ´ındice complejo n2lc(x, y), generalizado a medios absorbentes y/o amplificativos
vendr´a dado por n2
lc(x, y) = 1 + χ (1) Re(x, y) + iχ (1) Im(x, y) = n2l(x, y) + iχ (1) Im(x, y);
por otra parte y de forma an´aloga, la susceptibilidad no lineal vendr´a dada por χ(3)(x, y) = χ(3)
Re(x, y) + iχ (3)
Im(x, y). Por consiguiente, la ecuaci´on (2.24) ahora se
transforma en,
A continuaci´on, factoricemos el campo de forma an´aloga al caso conservativo, es decir,
E(x, y, z, t) =1
2ϕ(y)ψ(x, z, t) exp(iβcz) + cc, (2.52) y donde ahora βcrepresenta la constante de propagaci´on compleja, que dar´a cuenta
de los efectos disipativos lineales. Procediendo de forma an´aloga a lo realizado para la deducci´on de la ecuaci´on (2.30) obtenemos la siguiente ecuaci´on paraxial no lineal de ondas para medios disipativos.
2iβc ∂ψ ∂z + ∂2ψ ∂x2 + [β 2(x) − β2 c]ψ +e−2Im(βc)zk2[n k(x) + intpa(x)]|ψ|2ψ = 0, (2.53)
donde, de forma an´aloga a lo descrito en secciones anteriores, nk(x) y ntpa(x)
representan el promedio modal en la direcci´on y del la parte real e imaginaria de la susceptibilidad c´ubica, es decir,
nk(x) =
3 4
Z ∞
−∞
χ(3)Re(x, y)ϕ4(x, y)dy ntpa(x) =
3 4 Z ∞ −∞ χ(3)Im(x, y)ϕ4(x, y)dy, (2.54) cuya dependencia expl´ıcita con la geometr´ıa y materiales de la gu´ıa viene dada por las expresiones (2.44) y (2.48), seg´un consideremos n´ucleo o sustrato no li- neal, respectivamente. Obs´ervese, por lo tanto, que las expresiones para ntpa(x)
son formalmente id´enticas a aquellas obtenidas en la secci´on anterior para nk(x)
sustituyendo la constante nk0 por una constante ntpa0 relacionada con la parte
imaginaria de la susceptibilidad c´ubica.
Asimismo, los t´erminos no lineales aparecen ahora precedidos por el decaimien- to exponencial de la intensidad inducido por la parte imaginaria de la constante de propagaci´on. Por otra parte y en primera aproximaci´on, la parte imaginaria del ´ındice de refracci´on lineal puede considerarse como una perturbaci´on al ´ındice lineal total, de forma que, aplicando de nuevo la teor´ıa perturbativa para la ecua- ci´on de ondas modal podemos reescribir la constante de propagaci´on, a primer orden perturbativo, como:
β2
1(x) = β20+ k2
Z +∞
−∞
[∆n2(x, y) + iχ(1)
Im(x, y)]ϕ20(y, β0)dy. (2.55)
De forma an´aloga a lo realizado para el promedio del coeficiente Kerr, la absor- ci´on lineal depender´a, por lo ya expuesto, de la situaci´on del material no lineal en
la gu´ıa, puesto que cabe considerar despreciables, en un marco realista, los efectos de absorci´on, tanto lineales como no lineales, del material lineal respecto de aque- llos inducidos por el material no lineal. Por tanto, procediendo de forma id´entica al caso anteriormente mencionado, y reescribiendo la constante de propagaci´on como,
β2(x) ' β02[1 − δ(x)] + iβ0α(x), (2.56)
tenemos que el coeficiente de absorci´on/ganancia lineal promediado α(x) vendr´a da- do para un material no lineal situado en el n´ucleo (α(x) ≡ αnuc(x)), por la expre-
si´on, αnuc(x) = α0[1 + ηnuc(x)], (2.57) donde α0= k2χ(1) Im β0 Z t0 0 ϕ20(y)dy (2.58) y
ηnuc(x) = −f(x)ϑnuc donde ϑnuc=
ϕ2 0(0) Z t0 0 ϕ2 0(y)dy . (2.59)
An´alogamente, para el caso en el que el material no lineal se disponga en el sustrato (α(x) ≡ αsus(x)), tendremos que,
αsus(x) = α0[1 + ηsus(x)], (2.60) donde α0= k2χ(1) Im β0 Z 0 −∞ ϕ20(y)dy (2.61) y
ηsus(x) = f (x)ϑsus donde ϑsus=
ϕ2 0(0) Z 0 −∞ ϕ20(y)dy . (2.62)
A continuaci´on, separemos las partes x-dependientes de la constante de pro- pagaci´on dada por la expresi´on (2.56), de forma que, defininiendo la constante de propagaci´on compleja para un gu´ıa homog´enea como β2
c = β02+ iβ0α0, tenemos
que,
β2(x) ' βc2− β02δ(x) + iβ0α0η(x), (2.63)
donde de nuevo debemos recordar que tanto α0como η(x) dependen de la situaci´on
constante de propagaci´on β2
c a primer orden, βc ' β0+ iα0/2, e introduciendo la
expresi´on (2.63) en la ecuaci´on (2.53), obtenemos la ecuaci´on de ondas en gu´ıas monomodo CKG disipativas/amplificativas, 2iβ0 ∂ψ ∂z − α0 ∂ψ ∂z + ∂2ψ ∂x2 − β 2 0δ(x)ψ + iβ0α0η(x)ψ +e−α0zk2[n k(x) + intpa(x)]|ψ|2ψ = 0, (2.64)
Como an´alisis preliminar de la ecuaci´on anterior, digamos que la deducci´on presentada supone una mayor generalizaci´on de la contribuci´on disipativa a la propagaci´on tanto en r´egimen de alta potencia como en r´egimen lineal. En este sentido observamos que la consideraci´on de una constante de propagaci´on compleja en la factorizaci´on del campo dado por la expresi´on (2.52), genera nuevos t´erminos en la ecuaci´on de propagaci´on respecto de las ecuaciones usualmente presentadas en la bibliograf´ıa [Che94, Lis91], las cuales consideran la absorci´on lineal como un t´ermino lineal imaginario en la ecuaci´on anterior [Tri01, p. 316]. De hecho, despreciando el segundo t´ermino de la ecuaci´on (2.64) y factorizando el campo de la forma ψ = ψpexp(−α0z/2), obtendr´ıamos la ecuaci´on,
2iβ0 ∂ψp ∂z + ∂2ψ p ∂x2 − β 2 0δ(x)ψp+ iβ0α0[1 + η(x)]ψp +k2[n k(x) + intpa(x)]|ψp|2ψp= 0, (2.65)
que corresponde a la ecuaci´on no lineal de Schr¨odinger perturbada por el t´ermino de absorci´on lineal¶.
Por tanto, es preciso mencionar que la aproximaci´on perturbativa, si bien es v´alida para niveles de absorci´on razonables, desprecia el acoplamiento entre la re- fracci´on del campo y la disipaci´on de energ´ıa (reflejada en el segundo t´ermino de la ecuaci´on (2.65)), la cual en casos de elevada absorci´on o ganancia, as´ı como en si- tuaciones de intensa no linealidad podr´ıa tener una contribuci´on no despreciable. M´as adelante se explicitar´a, mediante el c´alculo variacional Lagrangiano, dicha contribuci´on as´ı como el mencionado acoplamiento. No obstante, es preciso ade- lantar que, a efectos de dise˜no de dispositivos totalmente ´opticos no amplificativos, los l´ımites en cuanto a absorci´on se refiere otorgan total validez a la aproximaci´on perturbativa descrita por la ecuaci´on (2.65).
¶Es preciso notar, en lo referente a la nomenclatura existente, que la ecuaci´on 2.65 representa
una generalizaci´on de la ecuaci´on c´ubica compleja de Ginzburg-Landau [Con95, Tri01] para medios sin dispersi´on de absorci´on/ganancia (medios donde la luz no genera portadores de cargas libres), ya que en este caso los coeficientes Kerr complejo y absorci´on lineal dependen de la coordenada transversal.