Episodio de clase para el taller sobre creación de problemas, su solución experta y

El contexto de reflexión para el taller sobre creación de problemas fue un episodio de clase en el marco de las funciones cuadráticas. En la Tabla 17 se muestra el episodio de clase propuesto para este taller, el cual contiene un problema intramatemático sobre función cuadrática y que sirvió como marco de reflexión tanto para las prácticas de solución como las de creación. El problema se ubica en el contexto del tercer año de secundaria (estudiantes de 12 a 13 años aproximadamente en el sistema educativo peruano) que intentaron resolver la situación problemática.

Tabla 17. Episodio de clase en el contexto de la función cuadrática

El profesor Carlos, en una clase de funciones, propuso el siguiente problema a sus estudiantes del tercer grado de educación secundaria:

Encuentra un par de números cuya suma sea 43 y su producto sea el máximo posible.

Resuelve el problema y explica tu procedimiento en forma detallada.

Luego de unos minutos, algunos estudiantes comentaron: Pedro: Los números son 21 y 22

Isabel: El producto máximo no se puede saber

Santiago: ¿Para qué me sirve resolver este problema?

De acuerdo con este episodio, proponemos una solución experta utilizando el entorno de las funciones cuadráticas.

138 Solución experta al problema del episodio

A continuación se presenta la solución experta del problema del episodio, bajo el supuesto que se plantea en una clase de tercer año de secundaria.

Datos:

 La suma de dos números es 43.

 Su producto sea máximo.

Dado que el requerimiento es encontrar un par de números cuya suma es conocida y su producto debe ser máximo, se define las siguientes variables:

Primer número:

Segundo número: ₋

Se define la función f como producto de estos números y se busca el valor de la variable que la maximiza:

= −

Completando cuadrados se obtiene

= − = − ( − ) +

Ahora bien, dado que es una función cuadrática cóncava hacia abajo, tendrá máximo para ₌ y precisamente el producto máximo de dichos números es . Por otro lado, también es común denominar a la primera componente del vértice de este tipo de funciones como el valor de la abscisa que maximiza la función. En tal sentido, también es aceptable utilizar el vértice para encontrar el máximo de la función.

El máximo de esta función también se puede entender en forma gráfica, por lo que la parábola que representa a se muestra en la Figura 24.

139 Figura 24. Gráfica de la función producto del problema del episodio

Donde el máximo se encuentra en la cima de la parábola cóncava hacia abajo y corresponde al punto _; que corresponde a su vértice.

Finalmente, los números que se piden en el problema son ambos iguales a .

Configuración epistémica del problema del episodio de tercer año de secundaria (CEPe)

Asociada a la solución experta del problema del episodio, también presentamos la configuración de objetos relacionada con esta solución.

Tabla 18. Configuración epistémica de la solución experta al problema del episodio (CEPe).

Objetos matemáticos

Especificaciones

Lenguaje  Términos y expresiones: primer número, segundo número, máximo, función,

producto, completando cuadrados, cóncava, primera componente, vértice, abscisa, parábola, representa, suma.

 Representaciones verbales: número, función, máximo, producto, parábola, vértice  Representaciones simbólicas 43, x, 43-x, , =, 2, /, 1849, 4, f(x), 43/2, (;), 0  Representaciones gráfica Situación _– problema

Información: la suma de dos números es 43.

Requerimiento: encontrar dos números que cumplan con la información dada, cuyo

producto sea máximo.

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Entorno matemático: funciones cuadráticas, ecuación lineal

Conceptos Función producto, vértice de una función, gráfico de una función cuadrática, ecuación

lineal, potencia de un número.

Proposiciones:  Como el producto de dos números deber ser el máximo, se define la función

producto _{= −}

 Dado que es una función cuadrática cóncava hacia abajo tendrá máximo para =

 La ordenada del vértice de la parábola correspondiente a f es el valor máximo que puede tomar f.

 El máximo se encuentra en la cima de la parábola invertida y corresponde al punto _;

Procedimientos  Se identifica la información del problema.

 Se define la variable y la función f: _{= − .}

 Se completa cuadrados para hallar el máximo de la función.

 Se interpreta el resultado considerando la concavidad de la parábola que representa a la función bajo las condiciones del problema.

 Se plantea la ecuación lineal _{− =} para obtener la abscisa que maximiza la función.

 Se esboza el gráfico de la función producto y se interpreta para dar respuesta al problema.

Argumentos Tesis 1

La función dada por f(x) = x(S – x) tendrá máximo para ₌

Argumento

Una manera equivalente de escribir la función dada es = − ( −�) +�

Se desprende que esta función es de la forma _{= + +} con _{, , ∈ ℝ}, donde _≠ . Ahora, ya que la función es una función cuadrática, el gráfico de esta será una parábola cóncava hacia abajo dado que en este caso _< ; por lo que el máximo se tiene cuando ₌ . Otro argumento es empleando derivadas, pero como el contexto del problema está a nivel escolar, estudiantes de 12 o 13 años, no utilizaremos este objeto matemático.

Tesis 2

Dada una función cuadrática f, su máximo se obtiene hallando las coordenadas del vértice de su gráfico.

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Argumento

En el Capítulo 2, referido al objeto matemático función cuadrática, se presenta la demostración para hallar el vértice de una función y su relación con el máximo y mínimo. En esta parte no insistiremos en la explicación.