5. Categorizaci ´on y an´alisis de los errores observados
5.2. Errores de transformaci ´on
Entendemos este tipo de errores como aquellos en los que el alumno ha entendido lo que el problema le plantea, pero no es capaz de dar con la operaci ´on o estrategia que le permi- ta solucionarlo. Entramos en la fase de resoluci ´on en la que se hace necesario manipular el esquema mental construido, transformar el((espacio problema))al lenguaje matem´atico. Las Matem´aticas tienen su propio lenguaje, sus sistemas de expresi ´on y representaci ´on, que son distintos a los del lenguaje natural (Duval, 1999), y las habilidades para leer, interpretar y responder en ese idioma son esenciales para conseguir un aprendizaje sig-
Tabla 2.20: Preguntas con mayor frecuencia de errores de transformaci ´on. 4.º CURSO 5.º CURSO M031346B 51 M031346B 46 M031379 32 M031379 31 M041299 16 M031346C 24 M051117 16 M051109 18 M041184 15 M031380 16 M051601 12 M041184 7 M041155 1 M041158 7 M031346A 1 M051117 4 M051123 0 M051123 3 M051091 0 M041299 3 M041098 0 M051601 3 Código de pregunta Número de errores Código de pregunta Número de errores
Fuente: elaboraci ´on propia.
nificativo (Krutetskii, 1976; Martin y Mullis, 2011) y por tanto para ser capaz de resolver problemas.
Estos errores no solo est´an asociados a las habilidades aritm´eticas del alumno, sino tam- bi´en, y creemos que fundamentalmente, al abanico de estrategias que pueda conocer y saber aplicar el alumno. En este sentido, podemos comprobar que una mayor´ıa de los alumnos solo est´an entrenados en traducir el problema a una operaci ´on y no en otro tipo de procedimientos que pudieran facilitarles la resoluci ´on del problema. Son muy pocos los alumnos que hacen, por ejemplo, un buen dibujo del problema, o aquellos que ra- zonan simplificando el problema o que al explicar su soluci ´on hacen uso de problemas similares o de material manipulativo.
An´alisis de errores de transformaci ´on
Nos centraremos en las seis preguntas que m´as errores de este tipo presentan. Encabezan la lista los apartados M031346B, M031379, M031346C y M031380 del problema conocido como ((intercambio de cromos)). Este problema consta de cinco apartados que dan lugar a siete cuestiones diferentes. Se encuadra dentro del bloque de n ´umeros enteros y com- prende los ´ambitos de aplicar y razonar. En la p´agina siguiente se muestra el enunciado
completo del problema.
En el Test II se recogen todos los apartados de esta pregunta, en el Test I se han incluido solo los dos primeros apartados (M031346A y B) y la pregunta M031379. El porcentaje de preguntas contestadas correctamente para la opci ´on A es mayor entre los alumnos de nuestras pruebas que entre los alumnos de las pruebas oficiales tanto a nivel nacional como internacional. Como ya hemos comentado, suponemos que esta pregunta se ha utilizado como pregunta ejemplo para explicar la estructura de la prueba y la forma de abordarla y por tanto su enunciado y contexto est´an m´as claros para la mayor parte de los alumnos. El resto de las opciones presentan una tasa de error por encima de las muestras nacionales e internacionales. Y los alumnos de quinto no llegan a alcanzar las tasas de respuestas correctas de la muestra internacional para el resto de las opciones.
Problema del((intercambio de cromos)):
En la feria del pueblo hab´ıa un puesto donde la gente pod´ıa cambiar cromos.
Algunos ni ˜nos fueron al puesto a cambiar cromos.
M031346A: Berta ten´ıa 5 cromos de animales para cambiarlos por cromos de mu ˜necos. ¿Cu´antos cromos de mu ˜necos obtendr´ıa?
M031346B: Jaime ten´ıa 8 cromos de animales para cambiarlos por cromos de deportes. ¿Cu´antos cromos de deportes obtendr´ıa?
M031346C: Catalina ten´ıa 6 cromos de animales. Los quer´ıa cambiar por tantos como fuera posible.
¿Cu´antos cromos de mu ˜necos obtendr´ıa? ¿Cu´antos cromos de deportes obtendr´ıa?
¿Deber´ıa cambiarlos por cromos de mu ˜necos o por cromos de deportes? M031379: Esteban ten´ıa 15 cromos de deportes para cambiarlos por cromos de animales. ¿Cu´antos cromos de animales obtendr´ıa?
M031380: Antonio ten´ıa 8 cromos de mu ˜necos para cambiarlos por cromos de deportes. ¿Cu´antos cromos de deportes obtendr´ıa?
Hemos interpretado como errores de transformaci ´on los que llevan a los alumnos a res- ponder que obtendr´ıan:
16 o 24 al cambiar los 8 cromos de animales por cromos de deportes en la pregunta M031346B.
30 o 45 cromos al cambiar los 15 cromos de deportes por cromos de animales en la pregunta M031379.
cualquiera de las respuestas que aportan los alumnos de 5.o, apartados M031346C y M031380. En el caso de esta ´ultima pregunta hay muchos m´as alumnos que no han contestado pues al no tener una referencia gr´afica expl´ıcita no han entendido la pregunta.
Para estos alumnos el problema se reduce a un problema multiplicativo de una sola etapa. Los alumnos no interpretan correctamente el valor del signo igual como((equivalencia))23. Podemos observar que el alumno que ha resuelto correctamente el problema lo hace en t´erminos gr´aficos; esta es la soluci ´on m´as frecuente entre los alumnos de 4.o curso mien- tras que los de 5.olo hacen mayoritariamente a partir de dos operaciones (una divisi ´on y una multiplicaci ´on).
23En l´ınea con lo expuesto por Molina (2011, p. 46),((algunos alumnos muestran no prestar atenci ´on a las relaciones entre los elementos de la sentencia o a las caracter´ısticas particulares de esta, evidenciando cierta rigidez al abordar la resoluci ´on de las sentencias solo en un lado de la igualdad, y operan con ella en t´erminos multiplicativos)).
Otro de los razonamientos empleados es percibir el conjunto del enunciado gr´afico como una serie (alumno 19). Pudimos entender este razonamiento gracias a la explicaci ´on de un alumno en la pizarra:((siempre obtienes uno m´as, por uno de animales tienes dos de mu ˜necos, por dos de mu ˜necos tres de futbol)). Esto mismo es lo que parece querer explicar el alumno 18 y el 502 en la figura 2.9.
Tenemos dudas sobre la categorizaci ´on del error al que conduce este tipo de razonamien- to, pues tambi´en puede interpretarse como un error de comprensi ´on del tipo E2.2 ya que el alumno sabe transformar en t´erminos matem´aticos aquello que responde a su inter- pretaci ´on del enunciado, que no es correcta, pero es la que para ´el tiene sentido. Esto es as´ı hasta el punto de que cuando un alumno expuso su razonamiento en voz alta llev ´o a pensar a algunos alumnos de los que ten´ıan bien resuelto el problema que estaban equi- vocados. Esta disyuntiva al categorizar este tipo de error se nos ha planteado a los tres correctores.
Alumno 6
Alumno 27
Alumno 14
Alumno 37
Alumno 19
Alumno 546
Alumno 545
Alumno 502
Alumno 17
Alumno 15
Figura 2.9: Errores de transformaci ´on. Pregunta M031346 y sus apartados.
Pregunta M041299: Tom´as comi ´o 1/2 de un pastel, y Juana comi ´o 1/4 del pastel. ¿Qu´e parte del pastel comieron entre los dos?
llegan a hacer el dibujo que corresponde a las porciones de pastel24que come cada uno de los implicados en el problema, pero no saben pasar a una soluci ´on ni gr´afica ni num´erica que les permita dar la respuesta correcta (m´as adelante observaremos que hay alumnos que son capaces de llegar a la expresi ´on matem´atica o la representaci ´on gr´afica correcta pero no sabr´an operar las fracciones o interpretar correctamente el dibujo). En la figu- ra 2.10 se muestra el caso del alumno 531 (de 5.ocurso), que es capaz de entender que no llegan a comer el pastel completo, pero no sabe determinar cu´anto es lo que comen. Los alumnos parecen no ser capaces de identificar la unidad sobre la que hay que actuar, en este caso la tarta completa.
La mayor parte de los alumnos de cuarto curso que responden correctamente a este pro- blema lo hacen a partir de un planteamiento gr´afico, mientras que en quinto curso son mayor´ıa los alumnos que hacen un planteamiento num´erico. Varios alumnos dan la solu- ci ´on num´erica sin m´as explicaciones.
Alumno 87
24Las representaciones son variadas, no se limitan a la((pizza redonda)), sino que encontramos tambi´en diferentes barras y cuadrados.
Alumno 11
Alumno 49
Alumno 531
Figura 2.10: Errores de transformaci ´on en la pregunta M041299 y soluci ´on correcta.
enunciado es el siguiente:
En la figura 2.11 se muestra un ejemplo de soluci ´on correcta y un ejemplo del error m´as extendido. El57 %de los alumnos de quinto curso han dado la misma respuesta err ´onea a esta pregunta: ((tres ni ˜nos eligen vainilla)). Creemos que utilizar como s´ımbolo de un grupo de cuatro helados el mismo dibujo que ya representa en s´ı mismo la unidad no es lo m´as acertado. Es parecido a utilizar para la decena el mismo s´ımbolo que utilizamos para la unidad.
Alumno 545
Alumno 546
Figura 2.11: Errores en la pregunta M051109.
Propuestas de trabajo sobre los errores de transformaci ´on
Hemos visto que estos errores est´an muy vinculados al conocimiento que los alumnos tienen sobre los contenidos trabajados en los problemas y que a pesar de presentarse en contextos que podr´ıan resultarles familiares y accesibles a veces el alumno no es capaz de reconocer en ellos lo ya trabajado en clase. Por esto es importante en primer lugar cuidar la redacci ´on y los t´erminos en los que se formula la pregunta, trabajar variedad de repre- sentaciones para cada concepto y ense ˜nar a los alumnos a plantear un buen dibujo sobre el problema. Para la mayor´ıa de las preguntas un buen dibujo de la situaci ´on-problema lleva directamente a la respuesta correcta sin necesidad de c´alculos. Yancey, Thompson y Yancey (1989) defienden el uso de dibujos para resolver problemas como una de las t´ecnicas heur´ısticas m´as exitosas gracias a que minimizan la demanda sobre los recur- sos memor´ısticos, ayudan al alumno a interpretar la situaci ´on problema y focalizarse en los hechos y datos relevantes, al tiempo que ayuda a visualizar la relaci ´on entre ellos. Adem´as, el grado de abstracci ´on y dificultad de las representaciones gr´aficas puede irse adaptando a la etapa educativa. Hemos podido comprobar que es necesario ense ˜nar la t´ecnica en clase y que hay que mostrar qu´e es un buen dibujo en matem´aticas (el que muestra la historia del problema, los datos y sus relaciones) y que la calidad viene deter- minada por estas caracter´ısticas y no por su valor art´ıstico.
Otra de las actitudes a desarrollar en el aula de matem´aticas es la verbalizaci ´on por parte del profesor de su proceso de pensamiento. El maestro deber´ıa hacer en clase exactamen- te aquello que est´a demandando de sus alumnos: pensar en voz alta mientras est´a resol- viendo los problemas, pues con eso brinda a los alumnos la oportunidad de aprender a hacerlo.
Son varias las investigaciones que avalan el papel de las habilidades verbales en el ´exito acad´emico; la forma en la que los ni ˜nos hablan y se explican en la clase de matem´aticas es un buen predictor de las habilidades aritm´eticas a lo largo de la Educaci ´on Primaria (Du- rand, Hulme, Larkin y Snowling, 2005) y del rendimiento en la resoluci ´on de problemas (Watson et al., 2003; Fuchs et al., 2006). Este saber hacer en la resoluci ´on de problemas puede verse potenciado fomentando la participaci ´on activa de los alumnos en el aula. El grado de participaci ´on de los alumnos y su capacidad cr´ıtica para adaptarse a las ideas de sus compa ˜neros durante la resoluci ´on de problemas en peque ˜no grupo est´an positi- vamente relacionados con la capacidad de resolver problemas eficazmente (Webb et al., 2009).
Las discusiones durante las sesiones de revisi ´on nos proporcionan la oportunidad de en- tender la l ´ogica que subyace al pensamiento de los alumnos y que les conduce algunas ve- ces a errores de comprensi ´on y transformaci ´on. En l´ınea con lo que apunta Bruner (1974) hemos podido comprobar que hay alumnos que no consiguen explicar c ´omo hacen algu- nas cosas, pero al volver sobre su propia conducta tienen la oportunidad de reflexionar sobre ello y estamos con ello indic´andoles el camino hacia la metacognici ´on entendida en este contexto como la reflexi ´on sobre mi forma de pensar y hacer. Como tambi´en in- dica este mismo autor, la capacidad para verbalizar la estrategia empleada no es una caracter´ıstica necesaria para el desarrollo de estrategias de resoluci ´on. Finalmente, hemos encontrado a lo largo de la intervenci ´on alumnos que alcanzan soluciones num´ericamen- te correctas pero con planteamientos y resoluciones err ´oneas (esto se da principalmente ligado a los errores que analizamos a continuaci ´on) y en estos casos la mitificaci ´on que te- nemos sobre la soluci ´on num´erica hace especialmente complicado dar con las preguntas que les hagan reflexionar sobre lo err ´oneo de su razonamiento.