Vínculos y sistemas diferenciales exteriores
Nota 6. Es importante destacar los puntos siguientes.
El EDS no puede utilizarse si las direcciones posibles de engrosamiento de variedades integrales de dimensión n−1 descansan en la misma hoja de tiempo constante. La manera de evitar este hecho indeseable es tomando en cuenta enVn(I)sólo aquellos elementos integrales que
satisfacen la condición de independencia; además están las propias condiciones de integrabilidad que uno debe admitir deben verificar los elementos integrales a través de los cuales pasa alguna solución. Este subconjunto de secciones puede ser descripto por las subvariedades integrales de dimensiónnpara un EDS involutivoI0, obtenido a partir deImediante un número suficiente de prolongaciones.
Se supone también que no hay0-formas que tener en cuenta enIyI0; cuando ello ocurre, deben incluirse las mismas en las definiciones de los fibradosΛ˜yΛ˜0, esto es, redefiniendo tales conjun- tos teniendo presente que las nuevas0-formas se anulan sobre ellos. Los EDS correspondientes son simplemente el pullback de los originales.
Otra suposición es queΛ˜ → M admite una foliación compatible; supondremos además que lo mismo ocurre paraΛ˜0→M, y que la descomposición inducida esΛ˜0 'R×L˜0. Este difeomor-
fismo será indicado mediantesΛ˜0. Hay que agregar, sin embargo, una suposición adicional: la
existencia de una submersiónΠ0: ˜L0→L˜tal que el siguiente diagrama es conmutativo
˜ Λ0 Λ˜ ˜ L0 L˜ ? p2 - Π ? p2 - Π0
Para cadaτ∈Restamos tentados por definir el EDS
Iτ0 :=i∗τI0|Λ˜0τ⊂Ω•L˜0 dondeΛ˜0 τ :=iτ {τ} ×L˜0y iτ : ˜L0 ,→Λ˜0:l7→sΛ˜0(τ, l),
para intentar concluir que
(30) Γn−1(Iτ0, ω0) =i∗τ(Γn(I0,Ω0))
dondeω0:=∂
0yΩ0. La inclusión fácil en esta igualdad es Γn−1(Iτ0, ω0)⊃i∗τ(Γn(I0,Ω0)).
Lan-involutividad deI0nos asegura que cada elementon-integral es tangente a alguna solu- ción; sin embargo, la inclusión opuesta
7.2. Secciones admisibles e involución
es satisfecha si cada elementon−1-integral deI0
τpuede ser “engrosado” (regularmente) a un
elementon-integral deI0. El requisito de involutividad no es suficiente; en su lugar, necesita- mos la regularidad de cada elementon−1-integral del EDSI0
τ.
Introduciremos ahora la noción de regularidad para una foliación. Ella nos asegurará la exis- tencia de una extensión de cualquier variedad integral de dimensiónn−1para el EDS restrin- gido a una hoja de tiempo constante, a una variedad integral de dimensiónndel EDS original; en este sentido es fundamental asegurar que la dimensión de los espacios polares sea estric- tamente mayor an−1, dado que podría ocurrir un caso como el del ejemplo 2.3B, en el cual no hay involutividad porque los elementos regulares no son extensibles. De hecho, analicemos detenidamente la estructura de los vínculos de Dirac para este ejemplo.
Ejemplo 7.2A: Sistema con elementos regulares no extensibles. Estudiemos el sistema del ejemplo 2.3B. Para ello, y utilizando la notación adoptada allí, construyamos el problema va- riacional Lepage equivalente que lo describe; siΛ˜es el fibradoR6→R3, donde en coordenadas la flecha viene dada simplemente porπ: (x, y, z;u, α, β)7→(x, y, z), y
˜
λ
(x,y,z;u,α,β):=αθ1+βθ2,
el problema variacional en cuestión seráΛ˜,˜λ,0. Luego el EDSI de Hamilton-Cartan estará generado mediante
I =hθ1, θ2,dα∧dy∧(dx−ydz) +dβ∧dx∧dzialg. Notemos entonces que, parak∈R, podemos definir la hoja
Ok:=(x, y, z;u, α, β)∈R6:z=k ,
que es un fibrado sobreR2por la restricción de la proyecciónπa la hoja. Luego resulta que
Ik :=I| Ok
=hdu∧dx∧dy,dα∧dx∧dyialg,
de donde se obtiene que las secciones integrales deIkson todas las funciones
(x, y)7→(u(x, y), α(x, y), β(x, y))
dado que los generadores deIkson de grado3. Sin embargo, como vimos oportunamente, las
secciones integrales deIestán caracterizadas poru(x, y) =Uk para alguna constanteUk ∈R,
y tales que las funcionesα, βsatisfacen la ecuación diferencial
αz+yαx+βy = 0.
Esto significa queΓ2(Ik)⊃Γ3(I), y la inclusión es estricta.
Podemos por otra parte estudiar el sistema dinámico asociado a este problema variacional; para ello tomamosK⊂R3la clausura de un disco enR3, y restringimos nuestro fibrado aK. Entonces obtenemos un nuevo fibradoΛK :=K×R3, y allí el problema variacional ΛK,λ,¯ 0,
conλ¯ := ˜λ
ΛK. Designemos por el mismo símboloOkal conjuntoOk∩ΛK(admitiendo que elegimos el númerokde manera tal que el planoz =ktiene intersección no vacía con IntK); entonces
dλ¯Ok =−dα∧du∧dx∧dy,
Capítulo 7. Vínculos y sistemas diferenciales exteriores
por lo cual si Xi : (x, y) 7→ (0,0;δui(x, y), δαi(x, y), δβi(x, y)), i = 1,2 indican un par de
elementos tangentes enσ: (x, y)7→(u(x, y), α(x, y), β(x, y)), tendremos que
ωz|σ(X1, X2) := Z K (δu1δα2−δu2δα1)dx∧dy, Hz(σ) := Z K (βuy+yαux)dx∧dy
para la estructura presimpléctica y el hamiltoniano sobre el espacio de secciones deOk. Enton-
ces (con la estructura de espacio de Sobolev de orden adecuado) puede probarse el resultado siguiente.
Lema 32. El conjunto
ker(ωz|σ) :={X1∈Γ (σ∗VΛK) : ωz|σ(X1, X2) = 0 ∀X2∈Γ (σ∗VOk)}
es el subespacio cerrado
ker(ωz|σ) ={(0,0, δβ) :δβ∈Cs(K)}
siendosel orden del espacio de Sobolev considerado.
SiZ ∈ ker(ωz|σ)es de la formaZ = (0,0, δβ)conδβ∈Cs(K), entonces el vínculo primario se obtiene a partir de la ecuación Z|σ·Hz= 0, y por consiguiente
0 = Z|σ·Hz
=−
Z
K
δβuydx∧dy.
Esto es, el vínculo primario que las secciones deben satisfacer esuy = 0. Para calcular si existen
vínculos secundarios, definimos, para cadaf ∈Cs(K), la función sobreΓ (Ok)dada por
F1(σ) := Z
K
f uydx∧dy.
Entonces (recordando que los elementos tangentes a nuestro espacio de secciones se anulan sobre∂K)
X1·F1=− Z
K
fyδu1dx∧dy
y por lo tanto el campoXF1que a cada secciónσdeOkle asigna el vector tangente XF1(σ) : (x, y)7→(σ(x, y) ; 0,0,0,−fy(x, y),0)
es un campo vectorial hamiltoniano paraF1. El vínculo secundario resulta a partir de la condi- ción de estabilidadXF1(σ)·H z= 0, por lo cual 0 =XF1(σ)·H z =− Z K yuxfydx∧dy = Z K (yux)yfdx∧dy,
de dondeux+yuxy= 0. Como ya sabemos que sobre la superficie final de vínculos debe valer
uy = 0, de aquí resulta el vínculo secundario equivalenteux = 0. Es más, si repetimos este
procedimiento con el nuevo vínculo ux = 0, no obtenemos un vínculo independiente de los
anteriores, por lo cual la variedad final de vínculos enΓ (Ok)es el conjuntoCde secciones tales
queux=uy = 0. Ahora bien, a partir de
(X1·Hz)| C=− Z
K
(βy+yαx)δu1dx∧dy resulta que el campoXHdado por
7.2. Secciones admisibles e involución
parag ∈Cs(K), es un campo vectorial hamiltoniano para el hamiltonianoHz; las ecuaciones
de movimiento para el sistema dinámico sobreCserán pues uz = 0, αz =−βy−yαx, βz =g(x, y).
El algoritmo de Gotay, Nester y Hinds conduce pues al resultado correcto. s
Debido a la discusión previa, introducimos una nueva definición, con el objetivo específico de garantizar las condiciones que permitan describir los vínculos que aparecen al estudiar un pro- blema variacional con el algoritmo de Gotay, Nester y Hinds, mediante un sistema diferencial exterior juiciosamente elegido.