L
OSproblemas variacionales en los que centraremos nuestra atención serán llamados1proble-mas variacionales no estándar. Este concepto rescata el hecho de que, en una teoría mecánica (considerando con este nombre general tanto mecánica clásica como teorías de campo), los grados de libertad están divididos en dos grupos: Las “coordenadas” y las “velocidades”, y el segundo grupo tiene una relación diferencial con el primero. Sin dudas la idea de problema variacional que hemos introducido más arriba ha sido formulada teniendo presente este hecho; lo único que estamos haciendo aquí es poner énfasis en la estructura que nos interesa.
Mención aparte debe hacerse del concepto de Lepage equivalencia para problemas variaciona- les. Dado un problema variacional(Λ, λ,I), la idea es incorporar el sistema diferencial exterior
Icomo parte de las ecuaciones que definen al extremal. Para ello se agregan nuevos grados de libertad, una especie de multiplicadores de Lagrange, y se modifica la formaλ; así se obtiene un nuevo problema variacional Λ˜,˜λ,0, y en caso favorable puede establecerse de manera natural una correspondencia entre los extremales de ambos problemas. Cuando tal cosa ocu- rre, se dice que el problema Lepage equivalente esbivariante. Como se muestra en la sección 4.3.1, es la noción de Lepage equivalencia la que permite asociar el principio variacional de Hamilton con el principio de Hamilton-Pontrjagin.
4.1. Versión no estándar de la mecánica
4.1.1. Motivaciones. El enfoque de la mecánica presentado en [Gri98], es muy interesan- te en tanto permite
1. Unificar la mecánica de partículas con las teorías de campo.
2. Incluir algún tipo de vínculo como estructura del espacio de velocidades.
Puede interpretarse la mecánica de partículas como la búsqueda de secciones del fibrado trivial
Q×I→I, I⊂Rque son extremales de la acción
S[γ] := Z
I
˙
γ∗(Ldt)
dondeL∈C∞(T Q×I)es la función lagrangiana del sistema. Notar que la acción se calcula a partir de la curvaγ˙ :I →T Q, que puede interpretarse a su vez como una sección del fibrado
T Q×I →Ique cubre aγ, esto es, tal queτQ◦γ˙ =γ. Además, como vimos en el lema 12, la
secciónγ˙ es integral para el sistema diferencial exterior generado por la colección de formas
θi(q,v,t):=dqi−vidt.
Como estructura básica para definir una mecánica se necesita por lo tanto un fibrado doble Λ→Λ1→M,
Capítulo 4. Problemas no estándar y Lepage equivalencia
una formaλ∈Ωn(Λ), n= dimM y una manera de asociar a cada seccións
1 :M →Λ1una secciónsdeΛque la cubra; diremos ques=:prs1. La acción a extremar se construye con esta estructura, de acuerdo a la prescripción
S[s1] := Z M (prs1) ∗ λ.
El espacioΛ se denominaráespacio de velocidades, y es el análogo al fibrado tangente en este contexto. Sin más información es difícil decir algo de utilidad sobre las extremales deS; esto cambia cuando se prolongan las secciones de Λ1 mediante el auxilio de un sistema diferen- cial exterior sobreΛ. En algunos casos (por ejemplo, en la teoría del campo electromagnético, ver ejemplo 4.1C) parte de los vínculos que aparecen al intentar formular una versión hamil- toniana de las ecuaciones de movimiento pueden incluirse como generadores de este sistema diferencial exterior.
4.1.2. Estructura formal de la mecánica. De acuerdo a lo dicho en la sección anterior, podemos fijar la definición siguiente.
Definición 25(Problema variacional no estándar). Unproblema variacional no estándares un triple(Λ→Λ1→M, λ,I)compuesto por los elementos siguientes:
Una fibración doble
Λ π1
−→Λ1−→p M, n= dimM, Un sistema diferencial exteriorI ⊂Ω•(Λ), y
Una forma lagrangianaλ∈Ωn(Λ).
Nota. A menos que explícitamente se diga lo contrario, cada vez que trabajemos con un pro- blema no estándar(Λ→Λ1→M, λ,I), las proyecciones intermedias se denotarán mediante
π1: Λ1→Λ, p: Λ1→M, con composiciónπ:=p◦π1.
La única diferencia con la definición de problema variacional adoptada anteriormente está re- lacionada con la estructura del fibrado: Aquí se supone que las coordenadas “dependientes” se separan en dos conjuntos, de manera que, como mencionamos arriba, este EDS nos indica la relación de las coordenadas con las velocidades (en el sentido en que aquí entendemos a estas palabras). Esto es, el abuso de notación cometido al utilizar el símbolo(Λ, λ,I)para describir tanto a problema variacionales a secas como problemas variacionales no estándar es sólo apa- rente, en tanto que, la diferencia entre un problema y otro, reside en que el fibrado subyacente en los problemas no estándar admite un fibrado intermedio, y tal estructura está ausente en los problemas variacionales usuales. De todas formas, y como indica el ejemplo 4.1D, la dis- tinción entre estas definiciones es una cuestión de gustos, a menos que se asuman condiciones adicionales sobre el EDSI.
Definición 26(Prolongación de una sección). Dado un problema variacional no estándar
(Λ→Λ1→M, λ,I)
laprolongación de una secciónσ∈Γ (Λ1)es una aplicación pr: Γ (Λ1)→Γ (Λ)
tal que, para cadaσ∈Γ (Λ1), la secciónprσdeΛsatisface las siguientes condiciones: 1. prσcubre aσmediantep, esto es, el siguiente diagrama es conmutativo:
Λ M Λ1 ? p prσ - σ
4.1. Versión no estándar de la mecánica
2. El gráfico deprσes subvariedad integral paraI, esto es,
(prσ)∗(I) = 0.
Sin otras condiciones sobreI no podemos asegurar que la aplicaciónpresté definida a partir de estas condiciones. Por ejemplo, paraI = 0cualquier sección que cubra aσa través depes una buena prolongación para ella.
4.1.3. Ejemplos. El propósito de esta sección es ilustrar con ejemplos importantes la per- tinencia del esquema presentado para la mecánica, de manera de adquirir cierta intuición acer- ca del significado de los diferentes elementos en juego. Primero mostraremos cómo nuestro modelo inicial, la mecánica clásica, nos proporciona un ejemplo de problema variacional no estándar.
Ejemplo 4.1A: Mecánica clásica.En este caso la fibración doble es
I×T Qid×−→τQI×Q p1 −→I⊂R con coordenadas locales t, qi, vi
sobreΛ. El EDS que determina las prolongaciones está dife- rencialmente generado mediante
I:=
θi:=dqi−vidt
diff,
mientras que la forma lagrangiana es λ := Ldt, siendoL el lagrangiano del sistema. Para prolongar, tomamos σ : t 7→ t, qi(t)como sección paraI ×Qy proponemos la siguiente forma para su prolongación
prσ:t7→ t, αi(t), βi(t)
.
Por la condición de cubrimiento, tenemos queαi(t) =qi(t)para todot∈I; por otra parte
(prσ)∗(t,q(t),β(t)) ∂ ∂t = ∂ ∂t+ ˙q i(t) ∂ ∂qi + ˙β i(t) ∂ ∂vi,
de donde concluimos que
0 =h(prσ)∗θi(t,q(t),β(t)) i∂ ∂t = θi(t,q(t),β(t)) ∂ ∂t+ ˙q i(t) ∂ ∂qi + ˙β i(t) ∂ ∂vi = ˙qi(t)−βi(t). Por lo tanto prσ:t7→ t, qi(t),q˙i(t) .
es la expresión buscada para la prolongación de secciones en mecánica clásica. s
Las teorías de campo también tienen cabida en este esquema: La formulación usual [GIM97, Ble81] considera que los campos son secciones de un fibradop : Λ1 → M sobre el espacio- tiempo, y la generalización natural del tangente al fibrado tangente es el espacio de1-jetsJ1(p) asociado a tal fibrado. Resulta aún más sugestivo y notorio el hecho de que todo espacio de jets tiene un EDS naturalmente inducido por suestructura de contacto[Sau89]; en el siguiente ejem- plo mostramos la manera en que estas estructuras forman parte de un problema variacional no estándar.
Ejemplo 4.1B: Teorías de campo de primer orden. Supongamos que los campos son seccio- nes de un dado fibradoF −→π M sobre el espacio-tiempo. La fibración doble es en este caso simplemente
Capítulo 4. Problemas no estándar y Lepage equivalencia
dondeJk(π)denota el espacio dek-jets deF. SiU ⊂F es un entorno coordenado adaptado
con coordenadas locales xi, uα
, entonces
π|U : (x, u)7→x.
Por lo tanto existe un sistema de coordenadas inducido sobreU1 = π−1,10(U) ⊂ J1(π)y con coordenadas localesxi, uα, uβk; la estructura de contacto sobreU1es el EDS generado por la colección de1-formas
θα:=duα−uαkdxk.
Supongamos ahora que tenemos la secciónσ∈Γ (F); en las coordenadas introducidas tendrá la expresión
σ:xi 7→ xi, fα(x)
para ciertas funcionesfα∈C∞(π(U)). Es más, la prolongaciónprσ :π(U)→U
1está deter- minada por la colección de funciones suavesngα, Hβ
l
o
mediante
prσ:xi7→xi, gα(x), Hlβ(x).
Debido a queprσcubre aσ, tendremos queπ1,0◦prσ=σ, lo cual implica quefα =gαpara todoα. Además dado que el gráfico deprσes integral para la estructura de contacto,
0 = (prσ)∗ θβ
=dfβ−Hkβdxk,
y por lo tantoHkβ=∂kfβ; esto es, la prolongación en este caso está determinada porσvia
prσ:xi 7→ xi, fα(x), ∂kfβ(x)
.
Globalmente esto puede escribirseprσ=j1σ. SiL∈C∞ J1(π)
, lan-formaλ:=Ldx1∧ · · · ∧
dxnsatisface
(prσ)∗λ= L◦j1σ
dx1∧ · · · ∧dxn;