TEorEMa DE PiTÁGoraS 2 Observa los dos triángulos semejantes situados en
12.4 esFerAs ÁreA Y vOlUMen lA esFerA terrestre
ActividAdes
1 Calcula el área y el volumen de una esfera de radio 10 cm.
Área = 400π cm2; Volumen = 4 000π
3 = 4 186,67 cm3.
2 Un globo esférico tiene 6 m de diámetro. Haz un di- bujo y calcula:
a) ¿Cuántos m3 de aire contiene?
b) ¿Cuántos m2 de tela se han gastado para hacerlo?
a) Contiene 36π m3 de aire.
b) Se han gastado 36π m2 de tela.
3 Para construir una lámpara necesitamos un globo de vidrio transparente con muy poco espesor cuyo diámetro valga 40 cm. Si nos cobran 0,5 euros por cm2 de vidrio,
¿cuánto debemos pagar?
4 En esta esfera terrestre representada en la fi gura:
ecuador N
G
S
a) Dibuja un paralelo en el hemisferio norte y otro en el hemisferio sur; un meridiano que esté al este del meridiano de Greenwich y otro que esté al oeste. b) Dibuja otra esfera terrestre con el eje norte sur, el
ecuador y el meridiano cero. Después señala aproxi- madamente un punto que tenga latitud 70° norte y longitud 60° oeste.
Teoría.
ActividAdes de reFUerZO
1 Una tienda de campaña tiene forma cónica, de radio de la base 1 m y altura 2 m. Calcula el precio de la tela (sin contar la base) si cuesta 22 euros el m2.
Generatriz = Î5 ≈ 2,24 m; Área lateral = 7,03 m2 de tela; pre-
cio = 154,66 euros.
2 En un cilindro de radio 1 m y altura 2 m se introduce una esfera de 2 m de diámetro. Calcula el volumen del cilindro, el de la esfera y el del hueco que queda entre ellos. Haz un dibujo.
Volumen del cilindro = 2π m3
Volumen de la esfera = 4π 3 m3
Volumen del hueco = 2π 3 m3
3 El cuerpo de esta fi gura está formado por un cilindro rematado por dos conos iguales, uno en cada base.
10 cm
10 cm 10 cm
10 cm
Calcula:
a) El volumen del cuerpo. b) El área exterior del cuerpo.
a) Volumen del cilindro = 250π cm3
Altura del cono = Î75 ≈ 8,66 cm
Volumen de los dos conos = 453,21 cm3
Volumen del cuerpo = 1 238,21 cm3.
b) Área lateral del cilindro = 100π cm2
Área lateral de los dos conos = 100π cm2
Área exterior del cuerpo = 200π cm2.
4 El radio de la base de un cono mide 9 cm y la altura 12 cm. Hemos cortado el cono por un plano paralelo a la base a 4 cm del vértice. Utilizando la semejanza de triángulos, calcula el radio de la base del cono pequeño. Después, calcula el volumen del:
a) Cono mayor. b) Cono menor. c) Tronco de cono.
Radio de la base del cono pequeño = 3 cm a) Volumen cono mayor = 324π cm3
b) Volumen cono menor = 12π cm3
c) Volumen tronco de cono = 312π cm3
5 En un cilindro de 20 cm de radio y 30 cm de altura que estaba lleno de agua hemos metido una pelota de 12 cm de radio. Calcula:
a) El peso del agua que había en el cilindro. b) El peso del agua que ha desalojado la pelota. c) El peso del agua que aún queda en el cilindro.
a) Volumen cilindro = 12π dm3; Peso del agua = 12π kg
b) Volumen esfera = 2,304π dm3; Peso del agua = 2,304π kg
13
ESTaDÍSTica
¿recUerdAs QUÉ es…?
1 Dibuja una circunferencia y divídela en tres sectores iguales. ¿Cuántos grados mide el arco de cada sector? ¿Y cada ángulo central?
El arco de cada sector mide 120°, lo mismo que su ángulo central.
2 Hemos dividido una circunferencia en tres arcos. Uno de ellos mide 120° 35’ y otro mide 96° 40’. Calcula la medida del tercer arco.
142° 45’
3 Divide 360° en partes directamente proporcionales a 1, 3 y 5. Después, dibuja en una circunferencia tres sec- tores circulares cuyos arcos midan los resultados que has obtenido.
40°, 120° y 200°
13.1 estUdiOs estAdÍsticOs.
tABlAs de FrecUenciAs
ActividAdes
1 Escribe con tus propias palabras:
a) Qué es frecuencia absoluta de un valor de la va- riable.
b) Qué es frecuencia relativa de un valor de la variable. c) Cómo se calcula el porcentaje de un valor de la va-
riable.
Teoría.
2 En 2.º B de ESO de un centro escolar hay 24 estudian- tes. Se les ha preguntado si en su casa hay algún horno microondas; 18 alumnos han contestado que sí y el resto que no.
a) Indica cuál es la población y cuántos individuos tiene.
b) ¿Cuál es la pregunta o variable estadística que se ha hecho?
c) ¿Se trata de una variable estadística cuantitativa o cualitativa?
d) Completa la tabla de frecuencias.
a) La población es el conjunto de los alumnos de 2.º B; tiene 24 individuos.
b) ¿Tienes horno microondas en casa? c) Cualitativa.
d) Valores de
la variable Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Porcentaje %
Sí 18 0,75 75
No 6 0,25 25
Total: 24 1 100
3 En 2.º A de ESO de un centro escolar hay 25 alumnos. Se les ha preguntado cuántos aparatos de televisión hay en su casa, y se han recogido las siguientes respuestas: 1, 1, 2, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3. a) Indica cuál es la población y cuántos individuos
tiene.
b) ¿Qué tipo de variable es?
c) Completa la tabla de frecuencias.
a) La población es el conjunto de los alumnos de 2.º A; tiene 25 individuos.
b) Cuantitativa. c)
Valores de
la variable Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Porcentaje %
0 2 0,08 8 1 11 0,44 44 2 7 0,28 28 3 5 0,20 20 Total: 25 1 100
13.2 GrÁFicOs estAdÍsticOs
ActividAdes1 Un público de 50 personas ha visto tres películas, que denotamos por A, B y C. Se les ha preguntado cuál es su favorita. Las repuestas están recogidas en esta tabla. Completa la tabla y dibuja el diagrama de barras y el de sectores.
Valor
(película) Frecuencia absoluta Frecuencia relativa % Númerogrados
A 25 0,5 50 180 B 5 0,1 10 36 C 20 0,4 40 144 Total: 50 1 100 360 5 10 15 20 25 N.º de personas A A B C Películas B C
2 En un aula de preescolar hay 16 niños/as y sus esta- turas (en cm) están recogidas en esta tabla de frecuen- cias. Completa la tabla y dibuja el diagrama de barras, el polígono de frecuencias y el diagrama de sectores.
Estatuta
(cm) Frecuencia absoluta Frecuencia relativa % Númerogrados
75 2 0,125 12,5 45 77 4 0,250 25 90 80 6 0,375 37,5 135 82 4 0,250 25 90 Total: 16 1 100 360 2 4 6 8 Estatura (cm) 75 76 77 78 79 80 81 82 75 cm N.º de chicos/as 77 cm 80 cm 82 cm 2 4 6 8 Estatura (cm) 75 76 77 78 79 80 81 82 N.º de chicos/as
13.3 PArÁMetrOs de centrAliZAción
ActividAdes1 Escribe con tus propias palabras cómo se calcula la media aritmética de una serie de 12 datos.
Teoría.
2 ¿Qué nombre recibe el valor de la variable que se repite mayor número de veces en la serie de datos?
Moda.
3 Antonio ha sacado a lo largo del curso estas notas en Matemáticas: 4, 6, 5, 7, 6, 6, 4, 5, 6, 7. Calcula la media
aritmética de las notas. Halla también la moda y la me- diana.
Media aritmética = 5,6; Moda = 6; Mediana = 6.
4 Lidia y Manuel están haciendo un estudio estadísti- co en un grupo de 15 amigos. La variable estadística que han elegido es: ¿cuántos viajes has realizado en avión a lo largo de tu vida? Las respuestas han sido: 3, 1, 2, 2, 4, 3, 1, 1, 2, 0, 3, 1 , 1, 1, 2.
a) Calcula la media aritmética. b) ¿Cuál es la moda?
c) Ordena los datos de menor a mayor y halla la me- diana.
Media = 1,8; Mo = 1; Me = 2.
5 En una tertulia de 8 amigos han querido comparar sus sueldos mensuales, que son: 900 €, 1 050 €, 1 525 €, 715 €, 980 €, 1 100 €, 900 €, y 1 200 €. Calcula la media aritmética, la moda y la mediana.
Media = 1 046,25 euros; Mo = 900; Me = 1 015 euros.