Espectro de Energía del Oleaje

Las ondas oceánicas son aleatorias y se representan como la superposición de un número infinito de ondas regulares (Pierson et al., 1955). Cada tren de ondas presenta una frecuencia, amplitud y dirección de propagación diferente. La amplitud de cada tren infinito de ondas es infinitesimalmente pequeña y la energía total del oleaje es finita en proporción con la altura al cuadrado (Goda, 1997). La distribución de energía de las ondas generadas por el viento (olas) se conoce como función de densidad espectral direccional o simplemente espectro direccional del oleaje. Es costumbre expresarla como para indicar su dependencia de la frecuencia ( ) y dirección de propagación ( ).

2.4.1. Espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz.

Pierson y Moskowitz (1964) estudiaron los espectros de oleaje del Atlántico del Norte y propusieron una expresión del espectro de energía que representa el estado del mar en aguas profundas para un oleaje completamente desarrollado, basado en la expresión obtenida por Kitaigorodskii a partir del análisis dimensional y en medidas directas del oleaje. Es decir, su modelo depende únicamente de la intensidad del viento. La descripción de un estado del mar con un oleaje completamente desarrollado es dada por el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz (Pierson y Moskowitz, 1964; Fréchot, 2006),

donde es el espectro de energía del oleaje en frecuencia o espectro del oleaje, es la constante de Philips con un valor numérico de 0.0081, y se denomina máximo de la frecuencia espectral y se obtiene de,

(35)

donde es la rapidez del viento (ms-1), medida a una altura de 10 m arriba del nivel del mar. En la ecuación (34) se considera que el viento ha soplado durante varias horas sobre un área relativamente grande sin cambio alguno y que el crecimiento del oleaje es prácticamente nulo.

Las unidades del espectro de energía en la ecuación (34) son m2s o m2/Hz. Es pertinente preguntarse por qué el espectro de energía no tiene unidades de energía. La respuesta es un abuso en el lenguaje oceanográfico. Una breve explicación se da a continuación. En la teoría lineal del oleaje, la varianza de la elevación de la superficie libre es proporcional a la altura de la ola al cuadrado: ; la densidad espectral de la varianza representa la distribución de la varianza sobre intervalos de frecuencia y sus unidades son precisamente m2s o m2/Hz. Es conceptualmente más adecuado expresar las unidades de la densidad espectral de la varianza como m2/Hz porque se hace referencia a la frecuencia de la ola en lugar de un intervalo de tiempo (Holthuijsen, 2007). Entonces, la ecuación (34) es en realidad la densidad espectral de la varianza. Ahora bien, la densidad espectral de energía o espectro de energía del oleaje, es estrictamente la densidad espectral de la varianza multiplicada por el factor , de tal manera que las unidades son J/m2

Hz, es decir, energía por área unitaria por frecuencia. El abuso del lenguaje está en nombrar la densidad espectral de la varianza como densidad espectral de energía, pero ¿a qué se debe esto? En la teoría del oleaje, la energía total de la ola es la suma de la energía potencial y la energía cinética: , y se acostumbra denominarla densidad total de energía o simplemente densidad de energía. Dado que, como se mencionó anteriormente, la varianza es proporcional a la altura de la

, y las unidades son J/m2, es decir, energía por área unitaria. Aquí es importante resaltar que en Oceanografía, la energía se trabaja por área unitaria, es algo que se da por enterado y coloquialmente no se menciona. El abuso del lenguaje consiste en que al ser la densidad espectral de la varianza y la densidad de energía ambas proporcionales a la altura al cuadrado, se llame entonces a la densidad espectral de la varianza como densidad espectral de energía, espectro de energía del oleaje o simplemente espectro del oleaje.

2.4.2. Espectro en frecuencia de JONSWAP.

Para un mar con alcance limitado en donde el crecimiento del oleaje es continuo (mares con un alcance del viento menor), la descripción adecuada es dada por el espectro de JONSWAP (Hasselmannet al., 1973),

(36)

El término representa un factor de aumento del máximo espectral que puede variar entre 1 y 7, y para ,

– (37) donde el parámetro controla la amplitud del máximo espectral de acuerdo a,

si _si (38)

y en donde los parámetros típicos para calcular son los siguientes: en lugar de la constante en (34) se utiliza,

y en lugar de en (35) se usa,

(40)

En las ecuaciones (39) y (40), es el alcance limitado del viento en metros. Notar que en el espectro de Pierson-Moskowitz depende únicamente de , mientras

que en el espectro JONSWAP es función de y de . Para propósitos comparativos entre estos dos espectros, en el trabajo presente se igualan las ecuaciones (35) y (40) de manera que el alcance del viento que se utiliza para el espectro JONSWAP es,

(41)

con lo cual es posible comparar los espectros de Pierson-Moskowitz y JONSWAP con la misma .

2.4.3. Espectro direccional de energía del oleaje refractado.

Los espectros direccionales del oleaje refractado proveen la descripción completa de un determinado estado del mar y además son útiles para los cálculos de la transformación del oleaje cuando éste se propaga hacia la costa. El espectro direccional del oleaje refractado en un sitio ubicado en aguas someras se puede estimar como (LeMéhauté y Wang, 1982)

(42)

En la ecuación (42) las variables con subíndice indican una evaluación en aguas consideran una evaluación en

aguas profundas; donde es la velocidad de grupo y es la función inversa de dirección. La ecuación (42) transforma un espectro de energía en el dominio de las frecuencias para aguas profundas , en un espectro direccional en aguas someras a través de la función inversa de dirección que se obtiene del trazo inverso de rayos. Un resumen del fundamento físico de (42) es dado en el Anexo B.

El factor constante , se puede expresar de la siguiente manera

(43)

En (42), el término se puede descomponer como,

(44)

donde se normaliza de manera que,

(45)

El espectro direccional del oleaje representa la distribución de la varianza sobre bandas de frecuencia y de dirección. Las unidades de las bandas de frecuencia son Hz y las bandas de dirección, aunque son adimensionales, sus unidades son radianes o grados (Holthuijsen, 2007). Entonces, las unidades del espectro direccional del oleaje son: m2/Hz/grado. Abusando del lenguaje, en Oceanografía se acostumbra nombrar al espectro direccional del oleaje indistintamente como espectro direccional de energía.