Estadio de las operaciones

concretas (7- 9 años)

 Capacidad para efectuar operaciones simples con elementos concretos relacionados con objetos físicos

 Concreción numérica relacionada con material físico.  Concreción operatoria relacionada con analogías físicas.  Necesidad de clausura.

 Una letra es re- presentante unívoca de un número, esto es, el sujeto es capaz de sustituir una letra por

un número que identifica como su equivalente. 3. Estadio final de operaciones concretas (10-12 años)  Reversibilidad

 Inclusión lógica, clasificación y ordenamiento de objetos  Habilidad para conservar ciertas propiedades de los objetos (número, cantidad) a través de los cambios de otras propiedades

 En cuanto a numeración:

- Capacidad de realizar cierto número de operaciones en secuencia con números pequeños

- Capacidad de efectuar operaciones simples con números grandes (con clausura)

 Una letra es

sustituida por un par de números que per- miten hacer generali- zaciones y elaborar conclusiones.  Capacidad de re- tener mentalmente dos o más variables. 4. Estadio de generalización concreta o formal temprana (13-15 años)

 Uso de cierto número de operaciones en secuencia, con números no asequibles físicamente (clausura como garantía, no como necesidad).

 Uso de elementos generalizados (cifras grandes, letras en sustitución de números)

 Capacidad de trabajo con fórmulas.

 La letra represen- ta un número genera- lizado, con entidad propia e iguales pro- piedades que otros números con los que tuviera experiencia.

5. Estadio de las operaciones formales

(De los 16 años en adelante)

 Habilidad de pensar, más allá de experiencias concretas, las consecuencias de cambios en objetos y sucesos.

 Capacidad de usar enunciados verbales y proposiciones en lugar de objetos concretos únicamente.

 Capacidad para razonar sobre las combinaciones de las variables de un problema.

 Capacidad para comprender reglas generales de ejemplos particulares

 Capacidad para deducir conclusiones particulares de

proposiciones generales  En cuanto a numeración:

-No es necesaria la relación de elementos, operaciones o combinaciones de ambos con modelos físicos análogos.

-Es posible tomar como realidad un sistema abstracto bien determinado, con definiciones, relaciones y reglas.

-La clausura no se necesita más que cuando se agotan todas las posibilidades de razonamiento abstracto.

-Se resuelven problemas en que las letras representan números o variables que emplean una operación bien determinada.

 Aparición del con- cepto de letra como incógnita específica.  Aparición del con-

cepto de letra como número generalizado o como variable.

Ilustración 2-2: Estadios de pensamiento y desarrollo de los aspectos numéricos-algebraicos de la edad escolar

Fuente: Elaboración propia partir de (Fidela Velázquez, 2003)

Sin embargo Godino y Font van un paso más allá y proponen que el álgebra debe empezar a desarrollarse desde el estadio pre-operatorio a través del “estudio de patrones (numéricos,

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geométricos o de cualquier tipo), las funciones, y la capacidad de analizar situaciones con la ayuda de los símbolos” (Godino, J; Font, V., 2003)

Nuestro estudio se centra en el último estadio, el de las operaciones formales y, como bien expresan Azcarate y Camacho, debemos tener presente que “Cuando nos referimos a procesos cognitivos implicados en el pensamiento matemático avanzado, pensamos en una serie de procesos matemáticos entre los que destaca el proceso de abstracción que consiste en la substitución de fenómenos concretos por conceptos confinados en la mente. No se puede decir que la abstracción sea una característica exclusiva de las matemáticas superiores, como tampoco lo son otros procesos cognitivos de componente matemática tales como analizar, categorizar, conjeturar, generalizar, sintetizar, definir, demostrar, formalizar, pero resulta evidente que estos tres últimos adquieren mayor importancia en los cursos superiores: la progresiva matematización implica la necesidad de abstraer, definir, demostrar y formalizar. Por otro lado, entre los procesos cognitivos de componente más psicológica, además de abstraer, podemos citar los de representar, conceptualizar, inducir y visualizar” (Azcarate, C. y Camacho, M., 2003)

Para Fidela (Fidela Velázquez, 2003), la mejor manera de preparar al alumnado para las adquisiciones algebraicas últimas comporta:

1. No perder de vista estos estadios y sus características;

2. No producir saltos en cuanto al orden de aparición de los sucesivos estadios; 3. Desarrollar al máximo todas las capacidades potenciales de cada estadio;

4. Para preparar las capacidades de cada estadio, trabajar de forma suficiente las del estadio precedente.

Debemos tener en cuenta que el aprendizaje matemático se nutre de las características de la “asimilación” y la “acomodación”, en cuanto a sucesivos avances y retrocesos en las adquisiciones, lo que nos obliga a un continuo trabajo de regreso hacia atrás para consolidar las etapas precedentes, como base que se produzca la asimilación de las referencias.

Desde 1976, la desilusión con los resultados de la investigación conductista previa y con la teoría conductista en general impulsó a los investigadores a empezar las investigaciones en álgebra desde procesos de aprendizaje específicos de un contenido, y no desde una teoría

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general y neutral respecto del mismo. Algunas de las contribuciones principales de la investigación a un cuerpo creciente de conocimientos sobre los procesos cognitivos involucrados en el aprendizaje del álgebra de secundaria son los que vamos a describir en este apartado (Kieran, 2006).

Los principales temas investigados en álgebra han sido los que describimos a continuación.

a) El marco aritmético de referencia: Cuando los alumnos se enfrentan cara a cara por primera vez con el álgebra, traen consigo nociones y enfoques aritméticos. Y se encuentran ante un gran problema, puesto que lo que pensaban que sería una generalización de la aritmética requiere de ellos un cambio en el pensamiento de las situaciones numéricas concretas (modo informal de representación y resolución de problemas) a proposiciones más generales sobre números y operaciones (modo formal). Las dificultades que ello comporta se ven reflejadas en:

Su forma de ver el signo igual

Sus dificultades con la concatenación y con algunas de las convenciones de notación de álgebra

Su falta de habilidad para expresar formalmente los métodos y los procedimientos que usan para resolver problemas

Su interpretación de las variables

b) Variables

Se ha visto que los malos usos que interfieren a menudo con la forma en que los estudiantes llegan a entender el significado de los términos variables en las ecuaciones algebraicas y que, a su vez, producen una gran resistencia a asimilar esta parte del álgebra son:

- El uso de las letras como etiquetas. Por ejemplo, 10 mm = 1 cm.

- El hecho, observable también en el ejemplo anterior, de que el signo igual no señala una relación de equivalencia, sino más bien una proposición: “hay diez milímetros en un centímetro”.

- El trato de las letras como incógnitas específicas más que como números generalizados o variables, en expresiones y ecuaciones. (Kieran, C., Filloy, 1989)

Ante esta situación, Harper (Harper, 1981) se atrevió a sugerir la existencia de etapas en la comprensión de un término literal como variable, y señaló que los estudiantes

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usan los términos literales mucho antes de que sean capaces de conceptualizarlos como variables. Más tarde Booth (Booth, 1998) sugirió que la obtención de este nivel de conceptualización está relacionada con el desarrollo de estructuras cognitivas de orden más alto.

c) Expresiones y ecuaciones

Con respecto a las expresiones, se ha observado que los estudiantes creen que expresiones como a+3, están incompletas en algún sentido, y por ello se ven obligados a expresarlas como parte de una igualdad. También se ha comprovado que muchos no asignan significado alguno a “a” porque la expresión carece de signo igual y de un miembro a la derecha.

Por ello se ha visto la necesidad de diseñar experimentos con el objetivo de que los alumnos superen la incapacidad para aceptar que expresiones algebraicas puedan ser soluciones a problemas.

Y hablando de ecuaciones, se ha observado que:

- los alumnos casi nunca usan ecuaciones para representar los problemas aritméticos verbales;

- si se les pide una ecuación, primero resuelven el problema y luego intentan dar la ecuación, ya que son capaces de resolver problemas verbales pero no pueden escribir las ecuaciones que representan las relaciones cualitativas de la situación del problema;

- cuando escriben la ecuación se basan en las operaciones que han usado para resolver el problema. No colocan la incógnita y el resultado del cálculo está, de forma habitual, en el lado derecho del signo igual.

Uno de los factores que favorece estos hechos es que al estudiante a menudo se le presentan las ecuaciones fuera de contexto de auténticas situaciones de problemas verbales. Por ello el alumno carece de un apoyo en el mundo real para interpretarlas. Se ha visto que los procesos que usan los alumnos para resolver proposiciones de sumando desconocido incluyen:

- “contar hacia delante”

- “contar hacia atrás”

- “substitución”

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Se presume que las concepciones primitivas de los niños de lo que es una ecuación no contienen, en general, la idea de que tengan términos literales a ambos lados del signo igual.

La concepción de que “una ecuación es una representación de una relación numérica en la que el lado izquierdo tiene el mismo valor que el lado derecho” fue objeto de un experimento de Kieran (Kieran, 2006). El autor demostró que es posible cambiar la percepción de las ecuaciones que tienen los estudiantes que comienzan en álgebra como algo unidireccional y con la respuesta en el lado derecho.

d) Resolución de ecuaciones

Se ha observado que existen distintos enfoques usados por los estudiantes para resolver ecuaciones. Éstos se pueden clasificar en tres tipos:

- Enfoque de resolución intuitivo: los alumnos que resuelven las ecuaciones de esta manera, trabajan con el uso de hechos numéricos, técnicas de recuento y métodos de recubrimiento. Se han realizado estudios (Kim, K.; Bonk, C., 2006) que mostraron que los alumnos que suelen utilizar una combinación de procesos formales e intuitivos tienen más éxito en las resoluciones que los que usan uno solo de esos procesos. También se observó que las técnicas intuitivas a menudo no se generalizan como en las ecuaciones en que aparecen números negativos.

- Substitución por tanteo: este método de resolución tiene la desventaja de que consume mucho tiempo y coloca una carga pesada en la memoria de trabajo, excepto si todos los intentos se van anotando. Se ha observado que los estudiantes que utilizan este método como un mecanismo primerizo de resolución de ecuaciones poseen una noción más desarrollada del equilibrio entre los dos lados de una ecuación y del papel del signo igual como equivalencia que la que poseen estudiantes que nunca usaron este método. A medida que los estudiantes empiezan a aprender el método formal tienden a abandonar el método de substitución con la desventaja de que ni siquiera lo siguen utilizando para verificar la corrección de una solución.

- El método formal: este método incluye la transposición de términos, esto es cambiar de lado, cambiar de signo y ejecutar la misma operación en ambos lados de la ecuación. El problema que se presenta es que, aunque la transposición de términos se presente como una forma abreviada y más fácil que la del procedimiento de realizar la misma operación a ambos miembros de

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la ecuación, los estudiantes no alcanzan a darse cuenta de ello. Como consecuencia, los alumnos no logran interiorizar la simetría de una ecuación.

Se observó que los estudiantes que tienen preferencia por el método de transposición no son capaces, en general, de dotar más tarde de sentido al procedimiento de ejecutar la misma operación en los dos lados de la ecuación. En cambio los estudiantes que tienen preferencia por el método de substitución, como ven la ecuación como una balanza entre los lados izquierdo y derecho, no tienen ningún problema en comprender el procedimiento enseñado.(Kieran, C., Filloy, 1989)

e) Funciones y sus gráficas

Se pueden distinguir dos tipos de concepciones de función. Una es la operativa, que es aquella que ve una función como un algoritmo para calcular una magnitud cambiante por medio de otra. Y la otra es una concepción estructural, que es la que ve una función como una correspondencia entre dos conjuntos.

Con respecto a la segunda concepción, se ha observado que si se introduce el concepto de función como una correspondencia de varios a uno, entre un dominio y un rango, la concepción de la función será lineal para los estudiantes, independientemente del contexto matemático o científico.

Otras investigaciones han concluido que los subconceptos de función deberían introducirse en formato de gráfica para los estudiantes de alto nivel y en formato de tablas para los estudiantes de bajo nivel, puesto que se observó que los estudiantes más capaces prefieren trabajar el formato de gráfico para todos los conceptos, mientras que los estudiantes menos capaces prefieren el formato de tablas. (Kieran, C., Filloy, 1989). Sin embargo Godino, J. y Font, V. en el manual sobre “El razonamiento algebraico y su didáctica para maestros” proponen que se inicie el uso y estudio del concepto de función a partir de quinto grado de primaria, pues es uno de los principales temas de las matemáticas, y que se haga a través del análisis y estudio de relaciones en contextos significativos para los alumnos. A medida que se vaya desarrollando este razonamiento en cada nivel, el alumno irá progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo, hasta que ya en los cursos superiores logre formalizar y generalizar patrones (Godino, J; Font, V., 2003).

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En los últimos años se han realizados estudios sobre diferentes aspectos de la enseñanza del álgebra como el de Cerdán, F. sobre “Estudios sobre la familia de problemas Aritmético- algebraicos” (Cerdán, 2008), o el de García, E. sobre “Fundamentos y métodos en la enseñanza y aprendizaje inicial del álgebra. Una propuesta concreta”(Garcia, 2011). No obstante, no es la intención de nuestro trabajo centrarnos en dar relevancia a los estudios sobre álgebra, sino simplemente dirigir nuestra investigación hacia el objetivo propuesto.

Para conocer el nivel de lenguaje algebraico de los alumnos de la muestra de nuestro estudio utilizamos una prueba diagnóstica que consta de tres cuestionarios (Anexo 1) que describiremos con detalle en el Capítulo 3 de Metodología. Los dos primeros cuestionarios fueron diseñados por Martin M. Socas (Socas M. , 1997), para realizar un estudio de errores revisado posteriormente por Ruano, Socas y Palarea en el 2008 (Ruano, R. M., Socas, M. M. y Palarea, M. M., 2008). Por este motivo vemos la necesidad de definir el contexto utilizado en el análisis de los resultados de las pruebas realizadas a los alumnos de la muestra.

2.2.2.

Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje del álgebra

En el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas podemos distinguir tres niveles de concreción de problemas que pueden surgir:

Ilustración 2-3: Niveles de concreción de las dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas Fuente: Elaboración propia a partir de (Ruano, R. M., Socas, M. M. y Palarea, M. M., 2008)

2.2.2.1. Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas

Cuando los alumnos resuelven un ejercicio de matemáticas observamos que muchas veces cometen errores, no únicamente como consecuencia de no saber el contenido sino también

Dificultades Obstáculos Errores

Manifestación de las dificultades en los alumnos Concreción de las dificultades en la práctica

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como resultado de un “esquema cognitivo inadecuado”. Estas dificultades que se ven a través de los errores, según Socas (Socas M. , 1997)pueden tener diferentes naturalezas:

Ilustración 2-4: Origen de las Dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas Fuente: Elaboración propia a partir de (Socas M. , 1997)