6. Llenado del Hueco
5.4. Estimación de la aproximación local de la curva
Require: x = 1, y = 2 y z = 3
1: for i=−q to q do
2: I= index + i
3: a(1) = a(1) + (w(I) ∗ s(I)2) 4: a(2) = a(2) + (w(I) ∗ s(I)3)
5: a(3) = a(3) + (w(I) ∗ s(I)4)
6: a(4) = a(4) + (w(I) ∗ s(I)4) 7: a(5) = a(5) + (w(I) ∗ s(I)5)
8: a(6) = a(6) + (w(I) ∗ s(I)6)
9: end for 10: a(2) = 12∗ a(2) 11: a(3) = 14∗ a(3) 12: a(4) = 16∗ a(4) 13: a(5) = 121 ∗ a(5) 14: a(6) = 361 ∗ a(6) 15: for i=−q to q do 16: I= index + i
17: b(x, 1) = b(x, 1) + (w(I) ∗ s(I) ∗ points(I).x) 18: b(x, 2) = b(x, 2) +12∗ (w(I) ∗ s(I)2∗ points(I).x)
19: b(x, 3) = b(x, 3) +16∗ (w(I) ∗ s(I)3∗ points(I).x)
20: b(y, 1) = b(y, 1) + (w(I) ∗ s(I) ∗ points(I).y) 21: b(y, 2) = b(y, 2) +12∗ (w(I) ∗ s(I)2∗ points(I).y)
22: b(y, 3) = b(y, 3) +16∗ (w(I) ∗ s(I)3∗ points(I).y)
23: b(z, 1) = b(z, 1) + (w(I) ∗ s(I) ∗ points(I).z) 24: b(z, 2) = b(z, 2) +12∗ (w(I) ∗ s(I)2∗ points(I).z)
25: b(z, 3) = b(z, 3) +16∗ (w(I) ∗ s(I)3∗ points(I).z)
26: end for 27: configurar matriz A 28: configurar matriz B 29: r= AB { r contiene r00, r000 y r0000} 30: estime τ(s) = −(r 0 0×r000)·r0000 kr000×r00 0k 2
teoría de probabilidades permiten asignar probabilidades a algunas proposiciones “com- plejas” sobre la base de las probabilidades que han sido asignadas previamente a otras proposiciones elementales. Sin embargo, con el fin de estimar una medida para caracterizar contornos, no es de interés sólo la estimación de probabilidades sobre una característica geométrica, si no también su variabilidad. Una alta variabilidad puede ser medida por me- dio de la entropía. En este trabajo se utiliza específicamente entropía condicional.
Dadas dos variables x y y, la cantidad Sx|yque mide la cantidad de incertidumbre sobre una variable x cuando se tiene alguna información sobre otra variable y, es entropía con- dicional [36]. Ésta es obtenida calculando la entropía de x , como si el valor preciso de y fuera conocido y tomando la media de los posibles valores de y, Así:
Sx|y= −
∑
y
py
∑
x
px|ylog(px|y) (5.19)
de forma similar,
Sx|y= −
∑
pxylog(px|y) (5.20)Dada una secuencia de n puntos P : {pi} ∈ R3, que forman el conjunto de vértices de
un contorno de una discontinuidad que define una anomalía, ordenados de tal forma que (pi, pi+1) definen una arista del contorno. Sea ϕ un conjunto de n características geométri-
cas asociadas a cada punto i de P. Se categorizan los elementos ϕidentro de r categorías
obtenidos del intervalo [ϕmin, ϕmax], obteniendo una secuencia Sϕ = {ϕ
0
1, . . . , ϕ
0
n}, tal que
ϕi’ es la categoría del elemento ϕi. Se define la entropía de Sϕ como la suma de todas
la entropías de una categoría dado un conjunto precedente ψi de l categorías ϕ
0
i, tal que
ψi: {ϕ
0
k : i − l − 1 < k < i − 1}. La certeza, o en forma inversa la incertidumbre de todos
los ϕi0, está relacionada con la entropía. Sϕ = − n
∑
i p(ϕi0, ψi) log(p(ϕ 0 i|ψi)) (5.21) donde ψi: {ϕ 0 i−(l+1), ϕ 0 i−l, . . . , ϕ 0 i−2, ϕ 0 i−1}, yϕi= τ(pi) = −
(r0× r00) · r000 kr0× r00k2
El tratamiento mediante categorías es debido a que es necesario reducir el dominio posible de las medidas ϕi dado que éstas son continuas. Aquí, categoría es referida a un
rango en el cual cae una estimación de la característica geométrica. Esta forma de medir la entropía puede ser resumida como la entropía de la secuencia de las mediciones de una característica geométrica, basada en elementos anteriores. En particular, la posición y el orden de los elementos de los subconjuntos ψ son tomados en cuenta. Así, las probabili- dades podrían interpretarse como las frecuencias relativas con la que una medida ocurre condicionada con la precedencia de un conjunto de éstas. De forma similar a como se mide la entropía en secuencias de información.
Medición de la Aproximación a la Curvatura del Contorno: La limitación principal de un descriptor basado en la medición de la torsión, es el tratar con curvas planas. Las curvas planas aparecen como resultado de oclusiones; si bien éstas son poco frecuentes, tomar una decisión basada en la torsión es altamente limitado. Sin embargo, con el fin de lograr la integridad frente a los posibles casos, la medida propuesta trata los casos de baja torsión, mediante la estimación de la variabilidad del vector tangente como medida de irregularidad, lo que aproxima a una estimación de la curvatura.
Para anomalías en los casos planos la variabilidad tangente usualmente es alta y los agujeros reales muestran cambios suaves entre los ángulos tangentes (ver Figura 5.11).
Para calcular esta medida se toma el enfoque de mínimos cuadrados ponderados y la aproximación de la longitud de arco. El vector tangente se define como:
τ (t) = N(s) × B(s) (5.22)
y en términos de derivadas T (t) = krr00(t)(t)k. Se estima la entropía ST del ángulo entre tangen-
Figura 5.11: Variabilidad del Vector tangente (rojo) para a) Objeto dragón y b) Contorno del ojo de la mascara, c-d) Representación de la variabilidad local de los dos casos respec- tivamente.
por el ángulo entre las tangentes. Y finalmente cuantificando la entropía del contorno Sc,
de la siguiente manera:
Sc= Sϕ + ST (5.23)
Finalmente,
Irregularidad = SI (Sϕ + ST) (5.24)
Para casos indefinidos de SI, es decir, para casos donde se presenten planos, la medida de irregularidad será ST.
5.4.
Diseño de Experimentos y Resultados
Todas las pruebas fueron realizadas utilizando un computador con procesador Intel de 3.0GHz, memoria RAM de 4.0Gb corriendo bajo el sistema operativo Microsoft Windows 7. Las implementaciones de los modelos fueron realizadas en C++ y MATLAB, adicional- mente se programó un motor gráfico en OpenGL, para obtener la representación gráfica de las imágenes.
5.4.1.
Conjunto de objetos
Para la realización de pruebas acerca del comportamiento de la medida se seleccionó un conjunto de 10 objetos de los cuales, 6 contienen anomalías reales (ver Figura 5.12) y 4 contienen falsas anomalías (ver Figura 5.13). Los modelos del conjunto de trabajo fueron obtenidos utilizando el sensor Minolta de la Universidad Nacional de Colombia - sede Manizales, el sensor Kreon disponible en el Advanced Man-Machine Interface Laboratory - Departament of Computing Science, University of Alberta, Canadá, y el Repositorio de Formas de acceso público, AIM@SHAPE1.
5.4.2.
Tamaño de clases
Con el fin de estimar los valores de pxyy px|y, dada una variable continua de la medida
de la torsión, se discretizó el espacio de valores de torsión en r clases, obtenidas a partir de un conjunto de contornos experimentales consistente de 10 imágenes con anomalías de huecos reales y 10 contornos de anomalías falsas, en datos parciales y completos de mode- los de rango 3-D (ver Algoritmo 5.5). La estimación correcta del número de clases es un tópico amplio en sí mismo, diferentes enfoques teóricos y prácticos existen en la literatura [140, 141, 166, 78, 11]. En esta investigación se adoptó el procedimiento propuesto por Scott [153], en el cual el tamaño óptimo de clases es tomado como:
r= 3,49σ n−13 (5.25)
donde σ es una estimación de la desviación estándar.
Esta aproximación corresponde al valor óptimo basado en los datos del número de clases, si se desconoce la función de densidad y si los datos corresponden o no a una distribución Gaussiana. El valor de σ se estimó sobre el conjunto de veinte contornos. Para cada vértice de los contornos se calculó la torsión, de este conjunto de medidas se seleccionó el mayor y menor valor, se calculó su varianza σ y la longitud l de cada clase como:
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(a) (b)
(c) (d)
(e)