Métodos algebraicos

Los métodos algebraicos tratan de ajustar una función a los puntos. A diferencia de las técnicas interpolantes, es posible generar superficies suaves, mediante la incorporación

de funciones suaves que restringen la reproducción exacta del conjunto de puntos inicia- les. Por lo tanto, es posible generar superficies no ruidosas, continuas y suaves. La super- ficie reconstruida puede consistir de una sola función global o varias funciones locales, las cuales son unidas. Es importante anotar, que los métodos basados en funciones implí- citas [33, 118, 171, 122], pertenecen a esta categoría también. Las funciones implícitas f1(x) = 0, . . . , fk(x) = 0, definen el conjunto de ceros de f , esto es Z( f ) = {x : f (x) = 0}.

Siendo f : Rn→ Rk_{, una función de mapeo suave con primera y segunda derivada en todos}

los puntos. Esta función representará una superficie en el caso en que n = 3 y k = 1. Dos ejemplos de reconstrucción por ajuste algebraico global son los trabajos de Taubin [164, 163], Gotsman y Keren [93]. Taubin ajusta una función implícita polinomial a un conjunto de puntos minimizando la distancia entre el conjunto de puntos y la superficie implícita [163][164]. Keren y Gotsman crearon familias parametrizadas de polinomios que satisfacen propiedades deseables, tales como la preservación de la continuidad o el ajuste a los datos. Dicha familia debe ser tan extensa que incluya tantas funciones como sea posible. Esta técnica conduce a una sobre-representación de un subconjunto, en la que el polinomio resultante a menudo tendrá más coeficientes, para los cuales resolver los polinomios más simples incluidos en el subconjunto requiere cálculos adicionales. La principal limitación de los métodos algebraicos globales es su incapacidad para reconstruir modelos complejos o de topología arbitraria. Estos métodos llegan a ser muy costosos en términos compu- tacionales para los polinomios de alto grado, necesarios para la construcción de objetos complejos.

Bajaj [7], supera las limitaciones de complejidad construyendo parches de polinomios por partes (denominados α-shape) los cuales se combinan para formar una superficie. Allí, se utiliza triangulación de Delaunay para dividir el punto en grupos delineados por tetrae- dros. Un α-shape es formado ajustando un polinomio de Bernstein a los puntos dentro de cada tetraedro. Mediante la construcción de una superficie por partes (ver Figura 2.7), el enfoque de Bajaj pierde la característica compacta de una representación global. Ejemplos de métodos algebraicos desarrollados tempranamente, que proveen tanto ajuste global sua- ve y refinamiento local preciso se incluyen en los trabajos de Terzopoulos y Metaxas en

Figura 2.7: Datos iniciales, descomposición final en tetraedros y objeto reconstruido [7].

supercuádricos deformables [168], Pentland y Esclaroff en funciones implícitas generali- zadas [132, 152]. Ambos métodos utilizan elipsoides supercuadráticos como forma global y agregan deformaciones locales para ajustar los puntos.

Dinh [57], propone un enfoque de reconstrucción basado en una suma de funciones de base no polinómica cuyo dominio es un valor escalar obtenido de la distancia entre los puntos muestreados. La regularización de superficies restringe la clase de superficies admi- sibles a aquellas que minimizan una función de energía seleccionada. El trabajo de Boult y kender [26] y el trabajo de Terzopoulos [167], son ejemplos de regularización aplicada a superficies de mapas de rango. Terzopoulos [167], fue pionero en técnicas de diferencias fi- nitas para calcular aproximaciones de derivadas usadas en la optimización de funciones de energía thin-plate (placa delgada) de un mapa de rango. Terzopoulos desarrolló moléculas computacionales desde formulaciones discretas de las derivadas parciales. La regulariza- ción se realiza iterando a niveles gruesos y finos en una jerarquía de multi-resolución. Boult y Kender [26], compararon clases de funciones permisibles y estudiaron la utilización de funciones de base para minimizar la energía funcional asociada a cada clase. Utilizando datos sintéticos, muestran ejemplos de superficies rebasadas las cuales son comúnmente encontradas en regularización de superficies. Como puede comprobarse en estos dos méto- dos, muchos enfoques basados en regularización de superficies están restringidos a mapas de rango, debido a que las derivadas de las superficies son requeridas en el proceso de re- gularización. Derivadas con respecto al eje mayor son naturalmente definidas por su mapa de rango.

Fang y Gossard [64], reconstruyen curvas paramétricas continuas por partes. La ventaja de las curvas paramétricas y superficies sobre mapas de rango es la habilidad de represen- tar curvas cerradas y superficies. En cada curva su reconstrucción a pedazos minimiza una combinación de energías de primer, segundo y tercer orden. A diferencia de los ejemplos anteriores, en este método la derivada de la curva es evaluada con respecto a la variable pa- ramétrica. Cada curva es formulada como una sumatoria de funciones de base ponderada. Fang y Gossard muestran ejemplos utilizando funciones de base Hermit. Dinh [57], utiliza funciones de base, para reconstruir una superficie cerrada la cual minimiza una combina- ción de energías de primer, segundo y tercer orden. En este trabajo se reconstruyen objetos 3-D complejos usando una función de base implícita en regularización volumétrica. Ajus- tando funciones suaves a los puntos de entrada, los métodos algebraicos [168], manejan conjuntos de datos ruidosos pero no puede tratar con topologías arbitrarias.

Un problema importante de los métodos algebraicos es como preservar características finas, debido al hecho de que las funciones ajustadas son suaves en la mayoría de los ca- sos. Ohtake et al. [122], representan segmentos con características finas ajustando estas regiones mediante dos o más funciones cuádricas. Estas regiones pueden ser correctamente representadas si son seleccionadas correctamente las funciones de forma. Fleishman et al. [65], utilizan un enfoque de búsqueda para encontrar un vecindario mediante el cual sea posible estimar los mínimos cuadrados móviles. Las características finas se convierten en datos atípicos identificados por el enfoque de búsqueda. Jenke et al. [89], busca un máxi- mo local de probabilidad posterior en el espacio de reconstrucción, parametrizado como una nube de puntos. Este enfoque es robusto en presencia de ruido y tiene la capacidad de manejar las características finas.