Clásicamente, antes del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad, el mundo basado en los conceptos del tiempo absoluto, que marcha por igual en todo el Universo, invariable, y el espacio absoluto, también invariable, siendo ambos conceptos completamente independientes el uno del otro, era un mundo mucho más sencillo. En este mundo, para ubicar a un objeto puntual en el espacio tridimensional utilizando coordenadas Cartesianas para ello, bastaba con especificar tres números para que la posición del objeto puntual quedara identificada de modo unívoco, como el siguiente punto 𝑃 especificado por las coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 3, 5) medidas a partir de un origen de referencia con coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 0, 0):
Ilustración 5
Con esta convención, si el objeto ubicado en el punto 𝑃 empezaba a desplazarse a lo largo de uno de los ejes, digamos el eje 𝑦, a una velocidad constante 𝑣, digamos de unos 4 𝑚/𝑠, su posición nueva medida a partir de un tiempo 𝑡 = 0 se podía obtener fácilmente simplemente sumando la cantidad 𝑣𝑡 al valor original en dicha coordenada. De este modo, al haber transcurrido un tiempo de 𝑡 = 3 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠, el objeto se habría desplazado una distancia de 𝑣𝑡 = 12 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, y sus nuevas coordenadas serían:
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𝑦′ = 𝑦 + 𝑣𝑡 = 3 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 + (4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) (3 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠) = 15 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑧′ = 5 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 (𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙)
(Obsérvese cómo se cancelan las dimensiones de las unidades, para dar siempre en la respuesta final las unidades correctas. Añadir todas las unidades desde un principio en la solución de cualquier problema matemático, cancelándolas según se requiera, es una buena forma de darse cuenta de que no se están cometiendo errores; llevando la contabilidad correcta de las dimensiones. Si en la respuesta final de un problema un estudiante obtiene metros/segundo cuando esperaba obtener kilogramos/metro cúbico ello le indicará que hubo un error, el cual puede ser corregido de inmediato con sólo ver en dónde las unidades se salieron fuera de control.)
De este modo, considerando a dos observadores distintos moviéndose uno con respecto al otro a una velocidad constante 𝑣, un observador 𝑂 en reposo en su propio sistema de coordenadas rectangulares (𝑥, 𝑦, 𝑧) a cuyo marco de referencia 𝑙𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑆 y otro observador 𝑂’ en movimiento junto con su propio sistema de coordenadas rectangulares (𝑥’, 𝑦’, 𝑧’) al que llamaremos 𝑆’, para pasar de un sistema de coordenadas al otro simplemente echábamos mano de las transformaciones de
Galileo deducidas como se hizo en el ejemplo de arriba recurriendo a la lógica
elemental. Si el movimiento relativo se lleva a cabo a lo largo de un eje común entre ambos, digamos el eje 𝑥, y si suponemos que el marco de referencia 𝑆’ es el que se está moviendo de izquierda a derecha:
Ilustración 6
Entonces es fácil ver que las transformaciones de Galileo para pasar las coordenadas de un punto fijo situado en el marco de referencia 𝑆’ a las coordenadas que le corresponden en el marco de referencia 𝑆 deben ser:
𝑥 = 𝑥’ + 𝑣𝑡’ 𝑦 = 𝑦’ 𝑧 = 𝑧’
Aunque nos parezca superfluo, por completitud introduciremos el tiempo universal 𝑡 como un cuarto componente en el conjunto ordenado de componentes de cada
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sistema de coordenadas. Así, para el observador 𝑂 un punto cualquiera en su sistema de coordenadas estará especificado como (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), y para el observador 𝑂’ otro punto cualquiera en su sistema de coordenadas estará especificado como (𝑥’, 𝑦’, 𝑧’, 𝑡’), y el conjunto completo de transformaciones de Galileo para llevar a cabo la conversión de un punto cualquiera en 𝑆’ a las coordenadas que le corresponden en 𝑆 serán:
𝑥 = 𝑥’ + 𝑣𝑡’ 𝑦 = 𝑦’ 𝑧 = 𝑧’ 𝑡 = 𝑡’
Hemos supuesto que ambos observadores están provistos de metros y relojes de forma tal que pueden medir las coordenadas de los eventos o acontecimientos que les toque presenciar. Hemos supuesto también que ambos ajustan sus relojes de modo tal que cuando pasen el uno frente al otro en 𝑥 = 𝑥’ = 0 la lectura en sus relojes será 𝑡 = 𝑡’ = 0. El uso de las transformaciones de Galileo quedará más claro con la resolución de los siguientes problemas.
PROBLEMA: Las coordenadas de un punto fijo en el marco de referencia móvil S’ son (𝑥’, 𝑦’, 𝑧’, 𝑡’) = (4,7,2,0). ¿Cuáles serán las coordenadas del mismo punto evaluadas en el marco de referencia estacionario 𝑆 para un tiempo 𝑡 = 3 segundos y para un tiempo 𝑡 = 5 segundos si la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia es igual a 𝑣 = 4 metros/segundo?
Para un tiempo de 𝑡′ = 3 segundos, las coordenadas en 𝑆 se obtienen como: 𝑥 = 𝑥’ + 𝑣𝑡’ = 4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 + (4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)(3 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠) = 16 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑦 = 𝑦’ = 7 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑧 = 𝑧’ = 2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑡 = 𝑡’ = 3 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 Las coordenadas en 𝑆 serán entonces:
(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (16,7,2,3).
Para un tiempo de 𝑡′ = 5 segundos, las coordenadas en 𝑆 se obtienen como: 𝑥 = 𝑥’ + 𝑣𝑡’ = 4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 + (4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)(5 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠) = 24 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑦 = 𝑦’ = 7 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑧 = 𝑧’ = 2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑡 = 𝑡’ = 5 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 Las coordenadas en 𝑆 serán entonces:
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Obviamente, conforme avanza el tiempo, la posición del punto fijo en 𝑆’ se va desplazando más y más hacia la derecha. Las coordenadas en el eje 𝑦 y en el eje 𝑧 se mantienen iguales puesto que no hay movimiento alguno fuera del que se lleva a cabo a lo largo del eje 𝑥𝑥.
Hemos considerado en la resolución del problema anterior que el marco de referencia 𝑆’ es el que se está moviendo de izquierda a derecha (en el sentido positivo del eje 𝑥) a velocidad 𝑣, pero la resolución del problema hubiera sido exactamente la misma si hubiéramos considerado al observador 𝑂’ fijo y al marco de referencia 𝑆 moviéndose de derecha a izquierda en el sentido del eje 𝑦:
Ilustración 7
Para pasar del marco de referencia 𝑆 al marco de referencia 𝑆’, las transformaciones de Galileo serán:
𝑥’ = 𝑥 – 𝑣𝑡 𝑦’ = 𝑦 𝑧’ = 𝑧 𝑡’ = 𝑡
Obsérvese el cambio de signo que se tuvo que hacer, ya que esta es una transformación inversa a la anterior.
PROBLEMA: Las coordenadas de un punto fijo en el marco de referencia móvil 𝑆 son: (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =
(3,1,8,0). ¿Cuáles serán las coordenadas del mismo punto evaluadas en el marco de referencia estacionario 𝑆’ para un tiempo 𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 y para un tiempo 𝑡 = 10 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 si la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia es igual a 𝑣 = 2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜?
El punto fijo se encuentra ahora en el marco de referencia 𝑆. Para un tiempo de 𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠, las coordenadas en 𝑆 se obtienen como:
𝑥’ = 𝑥 − 𝑣𝑡 = 3 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 − (2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)(5 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠) = −7 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑦’ = 𝑦 = 1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑧’ = 𝑧 = 8 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑡’ = 𝑡’ = 5 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
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Las coordenadas en 𝑆 serán entonces:
(𝑥, 𝑦, 𝑧,𝑡)= (−7,1,8,5)
Para un tiempo de 𝑡 = 10 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠, las coordenadas en 𝑆 se obtienen como: 𝑥’ = 𝑥 − 𝑣𝑡 = 3 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 − (2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)(10 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠) = −17 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑦’ = 𝑦 = 1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑧’ = 𝑧 = 8 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑡’ = 𝑡 = 10 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 Las coordenadas en S serán entonces:
(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (−17,1,8,10)
Obviamente, conforme avanza el tiempo, la posición del punto fijo en 𝑆 se va desplazando más y más hacia la izquierda, en el sentido negativo del eje 𝑥.
PROBLEMA: Un pasajero de un tren que se mueve a 20 metros/segundo para frente a un hombre
que se encuentra en la plataforma de la estación en un tiempo que para ambos es 𝑡 = 𝑡’ = 0. Diez segundos después de que el tren lo pasa, el hombre de la plataforma encuentra que un pájaro que vuela a lo largo de la vía y en la misma dirección del tren está a 500 metros de distancia. ¿Cuáles son las coordenadas del pájaro determinadas por el pasajero?
Las coordenadas asignadas al pájaro por el hombre en la plataforma de la estación son:
(𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑡) = (500 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, 0, 0, 10 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠).
Pasando del sistema de referencia 𝑆 al sistema de referencia 𝑆’ y de acuerdo con las transformaciones de Galileo, la distancia 𝑥 del pájaro al pasajero, medida por éste es:
𝑥’ = 𝑥 − 𝑣𝑡 = 500 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 − (20 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠/𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) (10 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠) 𝑥’ = 300 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
Entonces las coordenadas del pájaro determinadas por el pasajero son: (𝑥’, 𝑦’, 𝑧’ , 𝑡’ ) = (300 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, 0, 0, 10 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠)
Al pasar del marco de referencia 𝑆 al marco de referencia 𝑆’, las transformaciones
de velocidad, según Galileo, basadas en incrementos 𝛥 de las coordenadas, serán:
𝛥𝑥’ = 𝛥𝑥 − 𝛥(𝑣𝑣𝑡) = ∆𝑥 − 𝑣∆𝑡 ∆𝑥′ ∆𝑡 = ( ∆𝑥 ∆𝑡 − 𝑣∆𝑡 ∆𝑡 ) 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 ∆𝑡
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∆𝑥′
∆𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑜 ∆𝑡 = ∆𝑡′ 𝑢’𝑥 = 𝑢𝑥 − 𝑣𝑣 Y del mismo modo:
𝛥𝑦’ 𝛥𝑡 = 𝛥𝑦 𝛥𝑡; 𝛥𝑦’ 𝛥𝑡′ = 𝛥𝑦 𝛥𝑡 𝑢’𝑦 = 𝑢𝑦 ∆z ∆t = 𝛥𝑧 𝛥𝑡; 𝛥𝑧’ 𝛥𝑡′ = 𝛥𝑧 𝛥𝑡 𝑢’𝑧 = 𝑢𝑧
Por otra parte, al pasar del marco de referencia 𝑆 al marco de referencia 𝑆’, las
transformaciones de aceleración, según Galileo, basadas en incrementos 𝛥 de las
velocidades con respecto a incrementos iguales de tiempo, serán (la velocidad relativa 𝑣 entre ambos marcos de referencia permanece constante y no cambia con respecto al tiempo transcurrido):
𝛥𝑢’𝑥 𝛥𝑡 = 𝛥𝑢𝑥 𝛥𝑡 − 𝛥𝑣 𝛥𝑡 𝛥𝑢’𝑥 𝛥𝑡 ’ = 𝛥𝑢𝑥 𝛥𝑡 𝑎’𝑥 = 𝑎𝑥 𝑎’𝑦 = 𝑎𝑦 𝑎’𝑧 = 𝑎𝑧
El hecho de que la aceleración de un cuerpo medida clásicamente tanto por un observador estacionario como por un observador móvil sea la misma implica que las leyes de Newton basadas en la fórmula (𝐹 = 𝑚𝑎) permanecerán las mismas en todos los marcos de referencia al pasar de un marco de referencia a otro, y por lo tanto los experimentos basados en las leyes de la mecánica clásica que a su vez se basan en los conceptos del espacio absoluto y el tiempo absoluto no nos sirven para detectar el movimiento absoluto, confirmando lo que ya habíamos visto al principio de esta obra.
“El movimiento absoluto no se puede detectar a través de experimentos mecánicos. “
Pero se suponía que se podía detectar a través de experimentos ópticos usando rayos de luz. Para eso estaba el éter, para darnos un marco de referencia universal e inmóvil con respecto al cual era posible concebir el movimiento absoluto. De este
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modo, la velocidad de la luz, predicha teóricamente mediante las fórmulas del electromagnetismo de James Clerk Maxwell, parecía zanjar de una vez por toda la cuestión sobre el asunto del movimiento absoluto.
PROBLEMA: Considérese una masa 𝑀 atada a un resorte que se mueve sobre una superficie
horizontal sin rozamiento, y la cual cuando el resorte no está estirado ni comprimido se encuentra a una distancia 𝑥0 de la pared a la que está anclado el otro extremo del resorte. Clásicamente, la
fuerza de tensión 𝐹 ejercida por el resorte sobre la masa M cuando es estirado a una distancia x de la pared está dada por la relación que nos dice que dicha fuerza es directamente proporcional a la distancia 𝑥 − 𝑥0:
𝐹 = −𝑘(𝑥 − 𝑥0)
Esta fuerza cuando está desbalanceada produce una aceleración sobre la masa M que está dada por la ley de Newton 𝐹 = 𝑀 · 𝑎 (fuerza igual a masa por aceleración). Demostrar que esta fórmula es invariante bajo las transformaciones de Galileo.
Ilustración 8
Considerando el movimiento de la masa 𝑀 a lo largo del eje 𝑥, la ecuación del movimiento de la masa determinada por un observador en reposo con respecto a la superficie es:
𝐹 = Ma − k(x − x0) = Max
Usando las transformaciones de Galileo para determinar la ecuación del movimiento encontrada por un segundo observador moviéndose a una velocidad 𝑣 con respecto al primero:
𝑥 = 𝑥’ + 𝑣𝑡’ 𝑥-0 = 𝑥’0 + 𝑣𝑡’
𝑎𝑥 = 𝑎’𝑥
Obtenemos la siguiente ecuación del movimiento para el segundo observador: −𝑘(𝑥’ − 𝑥’0) = 𝑀𝑎’ · 𝑥
Puesto que la ecuación del movimiento para el segundo observador tiene la misma forma que la ecuación del movimiento para el primer observador, la ecuación del
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movimiento es invariante bajo las transformaciones de Galileo. Esto confirma que no se puede detectar el movimiento absoluto haciendo experimentos mecánicos con resortes.
En general, se dice que hay invariancia en una ecuación cuando esta presenta la misma forma al ser determinada por dos observadores distintos moviéndose el uno con respecto al otro. En la teoría clásica se supone que las medidas de espacio y tiempo obtenidas por dos observadores están relacionadas por las transformaciones de Galileo.
PROBLEMA: Suponiendo que los sistemas de referencia 𝑆 y 𝑆’ además de estarse moviendo a una
velocidad relativa 𝑣𝑥 el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes 𝑥, 𝑥’ se están moviendo
también a una velocidad relativa 𝑣𝑦 el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes 𝑦, 𝑦’ y a
una velocidad relativa 𝑣𝑧 el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes 𝑧, 𝑧’, ¿cuáles serán las
transformaciones de las coordenadas? ¿Cuáles serán las transformaciones de velocidad? ¿Cuáles serán las transformaciones de aceleración?
Puesto que el movimiento relativo 𝑣𝑥 es independiente de los movimientos
relativos 𝑣𝑦 y 𝑣𝑧, del mismo modo que el movimiento relativo 𝑣𝑦 es independiente del
movimiento relativo 𝑣𝑧, la extensión natural de las transformaciones de Galileo hacia un espacio de tres dimensiones será:
𝑥 = 𝑥’ + 𝑣𝑥 𝑡’ 𝑦 = 𝑦’ + 𝑣𝑦 𝑡’
𝑧 = 𝑧’ + 𝑣𝑧 𝑡’ 𝑡 = 𝑡’
Diferenciando con respecto al tiempo las transformaciones anteriores obtenemos las transformaciones de velocidad:
𝑢𝑥 = 𝑢’𝑥 + 𝑣𝑥
𝑢𝑦 = 𝑢’𝑦 + 𝑣𝑦
𝑢𝑧 = 𝑢’𝑧 + 𝑣𝑧
Diferenciando con respecto al tiempo las transformaciones de velocidad obtenemos las transformaciones de aceleración:
𝑎𝑥 = 𝑎’𝑥 𝑎𝑦 = 𝑎’𝑦 𝑎𝑧 = 𝑎’𝑧
PROBLEMA: Suponiendo que las coordenadas de un punto 𝑃’ en 𝑆’ son (𝑥’, 𝑦’, 𝑧’) = (7, 4, 9) en un
tiempo 𝑡 = 𝑡’ = 0, y que (𝑣’𝑥, 𝑣’𝑦, 𝑣’𝑧) = (3, 5, −2), ¿cuáles serán las coordenadas de dicho punto en
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Las coordenadas en el sistema de referencia 𝑆 de tres dimensiones serán de acuerdo con los resultados anteriores:
𝑥 = 𝑥’ + 𝑣𝑥 𝑡’ = 7 + (3) (6) = 25 𝑦 = 𝑦’ + 𝑣𝑦 𝑡’ = 4 + (5) (6) = 34 𝑧 = 𝑧’ + 𝑣𝑧 𝑡’ = 9 + (−2) (6) = −3
Las coordenadas del punto 𝑃 en el sistema de referencia 𝑆 serán entonces: (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (25, 34, −3, 6)
La mecánica clásica, construída sobre las columnas del espacio absoluto y el movimiento absoluto, invariante bajo las transformaciones de Galileo, daba lugar a que las ecuaciones de Newton permanecieran iguales al pasar de un sistema de referencia a otro. Era un entorno cómodo, consistente, con el que todos estaban contentos. El único “pero” que se le podía poner a este esquema era que al intentar extender los conceptos de la mecánica clásica al estudio de los fenómenos propios del electromagnetismo (del cual no se sabía casi nada en los tiempos de Galileo y Newton) empezaban a surgir inconsistencias y asimetrías que no se habían visto en el estudio de la mecánica Newtoniana. Si se suponía que era posible medir el movimiento absoluto de todos los objetos del universo con respecto a un simple rayo de luz, el asunto matemático de repente se había vuelto extraordinariamente complejo. Uno de los primeros en darse cuenta de las complejidades matemáticas que se habían venido encima con la suposición del movimiento absoluto basado en el concepto del éter fue un físico alemán de nombre Albert Einstein. Suponiendo el movimiento absoluto como válido, las mismas fórmulas del electromagnetismo de Maxwell tenían que ser revisadas y modificadas para tomar en cuenta los diferentes resultados experimentales que podrían esperar obtener diferentes observadores en movimiento relativo el uno con respecto al otro y por lo tanto en movimientos diferentes con respecto a un rayo de luz.
La revisión requería introducir asimetrías en las fórmulas de Maxwell para dar cabida en ellas a observadores privilegiados cuyo estado de reposo absoluto se encontrase en concordancia exacta con la dirección y la velocidad teórica de un rayo de luz. Estas asimetrías no existían en las fórmulas de Maxwell, puesto que dichas fórmulas no situaban a ningún observador en un plano preferencial con respecto al otro, las fórmulas tal y como estaban dadas por Maxwell eran igualmente válidas para todos los observadores sin cambio alguno. Pero con la velocidad de la luz fijada como una vara de medición absoluta con respecto al éter, las fórmulas de Maxwell habían dejado de ser universales, habían dejado de ser simétricas. Uno de los ejemplos más claros de ello lo es la ecuación de onda electromagnética, obtenida de las ecuaciones de Maxwell de la teoría electromagnética y representada en su forma más compacta por la siguiente fórmula:
𝛻2𝜑 = 1𝜕2𝜑
𝑐2𝜕𝑡2
Esta fórmula en la que el operador Laplaciano (𝛻) actuando sobre la onda electromagnética φ representa de manera concisa lo siguiente:
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𝛻2 = 𝜕2 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝜕𝑦2 + 𝜕2 𝜕𝑧2
Se puede expresar en forma más explícita como: 𝜕2𝜑 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝜑 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝜑 𝜕𝑧2 − 1𝜕2𝜑 𝑐2𝜕𝑡2 = 0
No es difícil demostrar que al aplicar las transformaciones de Galileo a la fórmula anterior, la ecuación toma el siguiente aspecto (se ha utilizado la sobre-línea encima de cada variable en lugar de la comilla para simplificar la notación):
𝜕2𝜑 𝜕𝑥′2 + 𝜕2𝜑 𝜕𝑦′2+ 𝜕2𝜑 𝜕𝑧′2− 1𝜕2𝜑 𝑐2𝜕𝑡′2+ 1 𝑐2(2𝑣 𝜕2𝜑 𝜕𝑥′𝜕𝑡′− 𝑣2 𝜕2𝜑 𝜕𝑥′) = 0
Claramente, esta fórmula es más compleja que la fórmula original. La única manera en la cual ésta fórmula puede simplificarse es haciendo la velocidad 𝑣 = 0, lo cual significa regresar a la fórmula original válida para un observador que está en
reposo con respecto al éter. El observador que está en reposo con respecto al éter siempre tendrá la fórmula más sencilla de todas; es un observador privilegiado. Todos los demás
obtendrán fórmulas diferentes. Y esto cubre apenas las asimetrías con las que nos topamos al manipular la ecuación de onda electromagnética. Cualquier otra situación en la que estén involucradas fórmulas en las que basamos experimentos llevados a cabo con rayos de luz (o con ondas electromagnéticas de teléfonos celulares, radio y televisión) adquirirán asimetrías al pasar de un marco de referencia a otro.
Por más que intentó restaurar con parches las ecuaciones de Maxwell que anteriormente mostraban una simetría perfecta, Albert Einstein lo único que encontró en cada nuevo intento fueron más asimetrías y más asimetrías. Simple y sencillamente no había forma alguna de restaurar las ecuaciones de Maxwell a su condición original como ecuaciones independientes del movimiento del observador. Esto llevó a Einstein a cuestionar las mismas bases de lo que entendemos por
movimiento absoluto. En su esencia básica, todo movimiento, medido
experimentalmente como una velocidad, definida como la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrer dicha distancia:
𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 =𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐
Presupone necesariamente que tanto la distancia como el tiempo son parámetros físicos absolutos, invariables.
Pero, ¿realmente podemos considerar la distancia entre dos objetos como algo invariable, absoluto? La lógica nos dice que sí, que dos personas que estén paradas la una frente a la otra medirán la misma longitud de un metro. ¿Y dos personas que se están moviendo la una con respecto a la otra, también medirán la misma longitud de un metro para la vara? El fundador mismo de la mecánica clásica, Isaac Newton,
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nos había afirmado que sí, y esto se había tomado casi como un dogma indiscutible por muchas décadas en reconocimiento al enorme calibre intelectual de Newton, algo que no era fácil de poner en entredicho en base a lo que nos sugiere nuestra propia intuición. Pero Newton fue más allá al afirmar que eso que nosotros llamamos tiempo también es algo absoluto, universal, en el sentido de que dos personas con relojes diferentes en sus manos y en reposo la una frente a la otra medirán el mismo lapso del tiempo que les marcan los relojes que si se ponen en movimiento la una frente a la otra inclusive hasta alcanzar velocidades extraordinariamente altas. Para Newton, la marcha del tiempo era algo universal, invariable, y si la marcha del tiempo era medida con relojes iguales sincronizados con elevada precisión el uno con respecto al otro, ambos deberían obtener los mismos lapsos de tiempo. Esto, el concepto del tiempo absoluto, aunque un poco menos obvio que el concepto de la
longitud absoluta, también era tan obvio a nuestra intuición que simple y
sencillamente no había razones para cuestionarlo. Pero el problema de aferrarnos a los conceptos de la longitud absoluta y del tiempo absoluto con su consecuencia directa que es el movimiento absoluto se traducía directamente en la destrucción de la simetría universal mostrada por las ecuaciones básicas del electromagnetismo de Maxwell. Podemos, si así lo deseamos, aferrarnos a los conceptos de la longitud absoluta y del tiempo absoluto, y toparnos con las mismas ecuaciones asimétricas para la teoría del electromagnetismo que Einstein trató de remendar inútilmente.
O podemos, aunque nos cueste mucho trabajo hacerlo, y aunque vaya en contra de nuestro más elemental sentido común, prescindir por completo de los conceptos de la longitud absoluta y del espacio absoluto, y con ello del movimiento absoluto.
Esto, desde luego, nos lleva nuevamente a la misma situación en la cual nos encontrábamos desde la perspectiva de la mecánica Newtoniana, de que no es posible determinar quién es el que se está moviendo, definido el movimiento como algo contra lo que se pudiera decir que nos estamos moviendo. Pero tiene una consecuencia matemática extraordinariamente apetecible: todas las asimetrías que habían surgido en las ecuaciones de Maxwell desaparecen casi como por arte de magia, las ecuaciones básicas de la teoría del electromagnetismo retoman su