Fundamentos de Relatividad General

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Fundamentos de

Relatividad General

Conceptos y recursos matemáticos de relatividad restringida y general

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Fundamentos de Relatividad General Prologo

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Prof. Armando Martínez Página 2

Indice de contenidos

Prologo ... 4

Movimiento absoluto ... 18

Un descubrimiento sorprendente ... 26

La física es parada de cabeza ... 34

Las consecuencias directas de la teoría ... 50

El experimento que antecedió a la teoría ... 68

Los diagramas espacio-tiempo de Minkowski ... 80

Las transformaciones de Lorentz ... 104

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Prologo

Surge este trabajo ante una ausencia de texto alguno en español acerca de la Teoría de la Relatividad que abarque no sólo la aplicación de las fórmulas fundamentales (que es algo a lo que se limitan muchos libros de texto) sino la filosofía fundamental sobre lo que es realmente la Teoría de la Relatividad, cómo se fueron desarrollando las ideas hasta llegar a ella.

Resulta lamentable que muchos libros de texto sobre este tema se limitan a reproducir algunas fórmulas aplicando dichas fórmulas a unos cuantos ejemplos particulares, dejándole al estudiante muchas dudas e inclusive cierto grado de perplejidad ante lo que parecen ser efectos sacados de un baúl de trucos de magia y paradojas aparentes que hacen dudar sobre las bases de la teoría. Aunado a lo anterior se enfrenta el obstáculo de que los efectos físicos que son consecuencia directa de la Teoría de la Relatividad no son apreciables en nuestra experiencia cotidiana dado que tales efectos sólo salen a relucir a velocidades comparables a la velocidad de la luz, la cual es extraordinariamente alta (300 mil kilómetros por segundo). Si la velocidad de la luz fuese de unos 2 mil kilómetros por segundo, seguramente estaríamos acostumbrados a sus efectos y la Teoría Especial de la Relatividad sería comprendida en sus efectos hasta por un niño de primaria por la familiaridad diaria con sus consecuencias.

La ausencia de un buen libro introductorio en español e inclusive en inglés que le permita al lector no sólo comprender lo que es la relatividad sino que además le permita llevar a cabo la resolución de problemas numéricos o inclusive problemas generalizados es notoria. Así tenemos libros introductorios escritos para el público en general como el libro “The Relativity Explosion” de Martin Gardner, el cual intenta describir de manera detallada las filosofías que están detrás de las conclusiones y descubrimientos de la Teoría de la Relatividad, pero el cual por su ausencia de fórmulas y números aplicados sobre dichas fórmulas a casos particulares deja a sus lectores funcionalmente iletrados en lo que es la relatividad. Después de leer en su totalidad tal libro lo más seguro es que no podrán resolver ni siquiera un solo problema así sea sencillo que involucre fenómenos relativistas. Por otro lado, tenemos libros de texto universitarios como el libro “Foundations of Modern Physics” de Paul A. Tipler, el cual en las 51 páginas de las que consta el primer capítulo del libro enseña de manera concisa a sus lectores a resolver problemas simbólicos y

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numéricos relacionados con la Teoría Especial de la Relatividad, pero no recurre para nada a los diagramas espacio-tiempo concebidos originalmente por Hermann

Minkowski, tan esenciales para poder obtener una perspectiva geométrica sobre los

fenómenos relativistas. La didáctica utilizada por Tipler es una didáctica puramente algebraica, y al prescindir por completo de los diagramas espacio-tiempo limita las perspectivas de entendimiento de sus lectores, sobre todo en asuntos que involucran la simultaneidad, un fenómeno que se puede captar claramente en un diagrama espacio-tiempo. Por si esta deficiencia fuese poca, el libro de Tipler no da ni siquiera la más remota pista a sus lectores acerca de lo que trata la Teoría General de la Relatividad.

Los diagramas espacio-tiempo sí son utilizados en el libro “Física” (en su versión en Español) de los autores Francis W. Sears y Mark W. Zemansky, lo cual da una buena perspectiva geométrica a los lectores sobre la interpretación de los fenómenos relativistas, pero lo que por un lado generosamente dan con los diagramas espacio-tiempo (a los cuales llaman diagramas Brehme) por el otro lado lo quitan al omitir (seguramente por la naturaleza introductoria del libro aunque se trate de un texto universitario) totalmente no sólo la derivación de las fórmulas de transformación Lorentz-Fitzgerald sino toda la filosofía básica que subyace a los postulados básicos de la Teoría de la Relatividad, como tampoco hacen mención alguna a lo más elemental que yace detrás de la Teoría General de la Relatividad. De este modo, la perspectiva filosófica y la perspectiva algebraica son sacrificadas en aras de la perspectiva geométrica. Por otro lado, el libro “Space, Time and Gravity” de Robert M.

Wald no lleva a cabo ni siquiera una introducción decente a los diagramas

espacio-tiempo en menos de las cinco páginas que le dedica a tal cosa, para luego saltar directamente hacia la Teoría General de la Relatividad presentando un conjunto de fórmulas que los lectores no tienen ni siquiera la más remota idea de dónde pudieron haber salido. Los materiales propios requeridos para el estudio de la Teoría de la Relatividad se encuentran tan dispersos que inclusive en el venerable libro “Mathematical Methods for Physicists” de George Arfken (tercera edición, 1985), el importantísimo tensor de Riemann tan fundamental para la geometría diferencial y el estudio del espacio-tiempo curvo, en vez de cubrirse en una sección dedicada única y exclusivamente a dicho tema, es relegado a uno de varios problemas en el capítulo 3.2 del libro, sin hablarse después más del asunto. ¡Y este es precisamente el libro de texto convencional usado por años en las universidades para educar a los físicos en el uso de las herramientas matemáticas que todo físico necesita para poder continuar adelante con estudios más especializados!

Y si no les enseñan en este libro mucho sobre el tema, ¿entonces en dónde esperan que lo puedan aprender si no es que por cuenta propia? El libro “Física

Moderna” de Ronald Gautreau y William Savin (de la Serie de Compendios Schaum)

podría haber sido una buena opción, excepto que no da una génesis coherente sobre el desarrollo de las ideas que condujeron a la Teoría Especial de la Relatividad, ni habla en lo absoluto acerca de los diagramas de Minkowski ni toca para nada el tema de la Teoría General de la Relatividad.

Y el libro “Física para estudiantes de Ciencias e Ingeniería” de Robert Resnick y David

Halliday es todavía peor en el sentido de que simplemente se limita a reproducir

varias de las fórmulas propias de la relatividad, sin entrar en detalle sobre los orígenes filosóficos de la teoría y sin incluir mención alguna acerca de la existencia de los diagramas espacio-tiempo. Enfatiza la aplicación de las fórmulas a los

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ejemplos numéricos sobre los cuales se pueden aplicar directamente las fórmulas sin explicar realmente lo que está sucediendo. Lo cual tiene la desventaja de que hay muchos problemas sencillos que se pueden postular en un curso introductorio que no pueden ser resueltos con la mera aplicación de fórmulas aprendidas como dogmas traídos por un ser superior, problemas para los cuales es necesario comprender exactamente lo que está sucediendo. No se puede tratar de resolverlo todo o inclusive una ínfima parte del todo simplemente multiplicando o dividiendo por:

√1 −𝑣2 𝑐2

Como acostumbran a hacerlo muchos principiantes. Si no se sabe cómo fue obtenida una fórmula, menos se sabrá como modificar la fórmula para aquellos casos en los que el problema sea alterado un poco. Esta metodología para lo único que es buena es para memorizar, no para comprender, y ha sido la causante de que muchos estudiantes que simplemente se limitan a aplicar las fórmulas terminen con la impresión equivocada de que la relatividad es algo repleto de efectos casi mágicos, posibles ilusiones ópticas, o finalmente que se trata de una teoría equivocada. Y muchos, que frustrados, tratan de aprender por cuenta propia lo que es la Teoría de la Relatividad y se en las pocas bibliotecas técnicas que hay en México con libros en los que es tema es tratado de una manera rigurosa e inclusive pedante en la cual se obscurecen conceptos esenciales con formalismos notacionales que no ilustran mucho lo que se está estudiando.

De este modo, en lugar del estilo relajado utilizado por matemáticos como Henri Poincaré que se explayaban en sus trabajos dando todo tipo de ejemplos ilustrativos, esforzándose por hacerle entender a sus lectores las ideas que les quería transmitir. Lo que se tiene en muchos casos son textos que adoptan un rigorismo axiomático en el cual no se proporciona un solo ejemplo ilustrativo y que sólo se limitan a la derivación de teoremas a partir de los axiomas y definiciones que se van dando, siguiendo el método moderno para la publicación de trabajos científicos inspirado por el grupo Bourbaki con el cual se elimina todo lo que no es considerado estricta y absolutamente indispensable. Eliminándose muchos pasos intermedios que se suponen “obvios”, aunque ello implique dejar a los lectores con muchas dudas. Si antes se tenía un formalismo moderado con el cual se dificultaba captar la naturaleza esencial de las ideas transmitidas, con el formalismo axiomático riguroso de hoy en día en muchos casos no se tiene ni siquiera la más remota idea de las posibles aplicaciones o la posible trascendencia de aquello de lo que se está hablando.

En el camino de forjar una teoría generalizada en grado extremo, abstracta por excelencia, con un conjunto mínimo de axiomas y postulados, definiendo algunos términos básicos, derivando teoremas y empleando estrictamente las reglas de la lógica simbólica, obtener resultados y corolarios y continuar derivando teoremas sin un solo ejemplo ilustrativo e inclusive sin recurrir a un solo diagrama, puede dejar la impresión en muchos de que en ese largo recorrido se están pasando por alto o se están perdiendo ideas importantes.

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Los rigoristas de hoy han olvidado que si no se le puede poner números a aquello de lo que se está hablando en realidad se sabe muy poco o tal vez no se sepa nada acerca de lo que se está hablando, y a ellos se les podría recordar la máxima de Lord Kelvin quien señaló:

“Yo digo frecuentemente que cuando uno puede medir aquello de lo cual se está

hablando, y expresarlo en números, entonces uno sabe algo acerca de ello”.

- Lord Kelvin -

Y procediendo de una manera rigurosamente axiomática, formalista, bastarían tan sólo unas dos o tres páginas para decirle al lector que todo lo que tenga que ver con la Teoría General de la Relatividad se puede derivar de tan sólo dos ecuaciones:

𝑇𝑢𝑣 = 8𝜋 ⋅ 𝑇𝑢𝑣

𝑥̈𝛽 + Γ_𝜎𝛽𝛽 ∙ 𝑥̇𝛼 _{∙ 𝑥̇}𝛽

Lo cual es cierto. E inclusive, adentrándonos en el rigorismo, podríamos comenzar postulando a la siguiente cantidad conocida como la “acción”, (el integrando es un concepto físico importante conocido como el Lagrangiano) como punto de partida de la Teoría General de la Relatividad:

𝑆[𝑔] = ∫ 1

2𝑘∙ 𝑅√−𝑔 𝑑4𝑥

Habido el hecho de que a partir de la “extremización” de la acción (con la ayuda del cálculo de variaciones que es esencialmente un refinamiento del procedimiento para obtener máximos y mínimos mediante el cálculo infinitesimal) se pueden derivar axiomáticamente las ecuaciones de campo de Einstein de la Relatividad General. Pero nadie en su sano juicio esperaría que algún lector sin experiencia previa en el asunto empiece a resolver de buenas a primeras problemas a partir de los anteriores enunciados matemáticos como lo haría alguien que haya tomado un buen curso previo sobre la materia.

Se pueden tomar las ecuaciones anteriores como postulados, y con unas cuantas definiciones que se vayan agregando en el camino, se pueden ir derivando teoremas, lemas y corolarios con los cuales se pueden seguir derivando más teoremas, y más lemas y más corolarios, y así la cosa hasta el infinito. Pero... ¿realmente se entiende aquello de lo que se está hablando? La derivación mecánica de resultados aplicando las reglas de la lógica es algo que, estrictamente hablando, lo puede hacer cualquier máquina programada para ello. Aunque hasta la fecha son pocos, inclusive los más optimistas en el campo de la inteligencia artificial, los que esperan realmente que de una máquina, aplicando a ciegas las leyes de la derivación lógica, pueda salir una idea nueva.

Otro obstáculo en el estudio independiente de la Teoría de la Relatividad lo constituye el hecho de que un mismo símbolo es usado frecuentemente para representar conceptos totalmente diferentes, como la letra griega delta minúscula

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𝛿 que es usada para representar el símbolo delta de Kronecker 𝛿_𝑖𝑗, y es usada también para denotar la derivada absoluta, y es usada también para denotar la función delta de Dirac, y en el cálculo de variaciones se utiliza para representar la variación de una integral a ser extremizada. Esto desde luego podría ser solventado inventando una cantidad creciente de nuevos símbolos que a fin de cuentas sólo reemplazarían una complejidad por otra (la primera opción, retener un mismo símbolo para representar cosas distintas, parece ser mejor que la segunda).

La contraparte son las definiciones matemáticas para las cuales no hay una convención universalmente aceptada, como el hecho de que en muchos libros los componentes de los vectores covariantes son representados con índices subscriptos (sub-índices) y los componentes de los vectores contravariantes son representados con índices superscritos (superíndices), mientras que en muchos otros libros se lleva a cabo precisamente lo contrario representando los componentes de los vectores covariantes con índices superscriptos y los componentes de los vectores contravariantes con índices subscriptos; o como ocurre con los símbolos de Christoffel que no sólo son representados con la notación usual gamma 𝛤_𝑖𝑗𝑘 y 𝛤_𝑗𝑘𝑖

sino que también son representados con paréntesis rectangulares [𝑖𝑗, 𝑘] y con notación de corchetes { }, lo cual sólo aumenta la confusión en los iniciados al ir de un texto a otro.

Un libro muy bueno que tal vez sea una excepción a la regla de los libros pedantes, fanfarrones o incompletos sobre el tema de la Teoría General de la Relatividad es el libro “Relativity” de Bernard F. Schütz, el cual tiene la enorme ventaja de que incluye al final del libro pistas y soluciones a los ejercicios de práctica propuestos en el libro, con los cuales el estudiante autodidacta puede ver por sí mismo qué tan bien ha comprendido el material. Desafortunadamente, este libro es un libro en inglés, que aún (2009) no ha sido traducido al español, que no está disponible en la gran mayoría de las bibliotecas técnicas y universitarias de la República Mexicana, y de que se trata de un libro impreso no en los Estados Unidos sino en Inglaterra o Australia o algún otro país miembro del Commonwealth, dificulta obtener el libro.

Otro problema en intentar comprender realmente de lo que trata la Teoría de la Relatividad frecuentemente es que la tarea es complicada por maestros que no saben explicar bien aquello de lo cual saben mucho, o peor aún que saben dar explicaciones perfectamente claras acerca de cosas sobre las cuales saben y entienden muy poco. Estoy convencido de que la única razón por la cual una persona se resigna a perder miles de horas de su corta vida calentando pupitres, sin aprender mucho o inclusive nada de aquellos malos maestros de los cuales debería de estar aprendiendo muchas ideas nuevas, privándose a la vez de otras satisfacciones que podría obtener de la vida, es porque tiene que cumplir con un requisito obligatorio aplicado por igual a todos los estudiantes. Aguantar a esos malos maestros como un mal necesario de la vida ante el cual solo queda resignarse, mientras los cursos académicos felizmente lleguen a su fin.

Otro estorbo en la difusión de las ideas fundamentales que hay detrás de la Teoría de la Relatividad es la formidable (e injustificada) reputación de que se trata de una teoría extremadamente complicada para la cual se necesita ser un genio para poder

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comprenderla. Una anécdota que viene al caso es una entrevista realizada al Profesor Arthur Stanley Eddington, en la cual el entrevistador pregunta:

“Profesor Eddington, ¿es cierto que sólo hay tres personas en el mundo que entienden

la teoría de Einstein?”, a lo cual supuestamente Eddington le responde: “¿quién es la tercera?”

Como si todo lo que ya se ha señalado no fuesen suficientes intimidaciones, obstáculos e impedimentos para dificultarle al principiante el tratar de aprender por cuenta propia los aspectos relevantes de la Teoría de la Relatividad, otro problema con el que nos topamos es, que no sólo hay autores que omiten pasos de desarrollo que tal vez para ellos serán muy obvios pero que no son nada obvios para quien está tratando de entender cada paso, sino que inclusive incurren en lo que parecen ser errores sin dar justificación alguna a la lógica empleada por ellos para asentar tales errores dándolos como hechos ciertos e incontestables. Un ejemplo entre muchos lo podemos tomar del reverenciado libro “A First Course in General Relativity” del muy respetado y alabado autor Bernard F. Schütz, en donde podemos leer en la sección 10.7 de su libro titulada “Realistic stars and gravitational collapse” una derivación del momentum de Fermi que invoca al principio de incertidumbre de Heisenberg para afirmar que para un electrón encerrado en una caja de volumen 𝑉, el momentum de dicho electrón es incierto por una cantidad del orden de (ecuación 10.71 en el libro):

𝛥𝑝 = ℎ𝑉−1/3

Qué viene siendo lo mismo que:

𝛥𝑝 · 𝑉3 _{= ℎ}

En donde ℎ es la constante de Planck:

ℎ = 6.626 · 10−34_{𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 · 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜}

ℎ = 4.136 · 10−15_{𝑒𝑉 · 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜}

Lo primero que salta a la vista es que la ecuación dada por Schütz es dimensionalmente incorrecta. No existe forma alguna en la cual se puedan compaginar las unidades. Ello deriva del hecho de que la relación usual de la incertidumbre de Heisenberg es una fórmula unidimensional:

∆𝑝 ∙ ∆𝑥 ≥ ℎ 4𝜋

El principio de incertidumbre de Heisenberg puede ser extendido rigurosamente, desde luego, de una dimensión a tres dimensiones. Pero la fórmula así obtenida no se asemeja a la fórmula dada por Schütz. En una ciencia en la que hasta diferencias numéricas minúsculas - después de la tercera o la cuarta cifras significativas - en las masas de dos elementos distintos son importantes para calcular la enorme cantidad de energía liberada mediante el proceso de conversión de masa a energía. Estas omisiones en las que con toda la naturalidad del mundo una potencia lineal es reemplazada por una potencia cúbica o viceversa son francamente imperdonables. Y si el lector intenta justificar por sí mismo la fórmula dada por

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Schütz, encontrará que el 99 por ciento de los libros que pueda consultar le darán la fórmula de Heisenberg en su versión unidimensional, no en su versión tridimensional. Y cuando se la dan es probable que se la den como parte de un ejercicio puesto al final del libro para el cual no se da solución alguna dentro del libro. Complicando aún más las cosas está el hecho de que la derivación dada por Schütz ni siquiera es la derivación usual que se da al momentum de Fermi, ya que mientras que Schütz parte del principio de incertidumbre de Heisenberg, la derivación usual de la fórmula que se da en la gran mayoría de los libros de Mecánica Cuántica para el momentum de Fermi recurre a la especificación de niveles energéticos extendidos a lo que llamamos una esfera de Fermi encerrada dentro de una superficie de Fermi:

http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_energy

Por lo que podemos ver, la derivación dada por Schütz es una derivación muy sui

generis, partiendo de una base que para él parece estar totalmente justificada y que

no requiere mayores explicaciones al lector, y si lo que Schütz omitió en su libro resulta ser muy claro para él entonces se supone que debe ser también muy claro para todos sus lectores y para los maestros que adopten su libro como libro de texto, aunque desafortunadamente esto no sea el caso.

Otro punto de contención que se puede formular en contra de muchos textos “clásicos” es el hecho de que asumen demasiadas cosas por enseñadas o explicadas en otros textos considerados más elementales. Un ejemplo lo podemos ver en la segunda edición del libro “Classical Electromagnetic Radiation” de Jerry B. Marion y

Mark A. Heald en el Apéndice C “Fundamental Constants”, en donde para la carga

eléctrica 𝑒 del electrón se proporciona un valor de 4.803 × 10−10_{𝑠𝑡𝑎𝑡𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏𝑠, y}

debajo de dicho valor proporciona un valor de 𝑒² = 1.440 × 10−13_{𝑀𝑒𝑉 · 𝑐𝑚 sin dar}

mayores explicaciones al respecto, lo cual puede dejar perplejo al lector. Pero no sólo no proporciona explicación alguna en dicho apéndice sobre el por qué o la forma en la cual se llevó a cabo esta conversión. Tampoco dentro del libro hace mención alguna al respecto, suponiendo que la razón para esto seguramente fue enseñada en otros textos más elementales. Y además la gran mayoría de los textos considerados más elementales, no hace tampoco mención alguna sobre el origen de esto, suponiendo que tal cosa será cubierta en mayor detalle en textos considerados más avanzados como el de Marion-Heald. Y lo peor del caso es que en los textos considerados más elementales el sistema de unidades utilizado es el SI del cual la unidad de carga eléctrica statcoulomb no forma parte (el valor que utilizan es el de 1.6 × 10−19_{𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏, el cual está relacionado con el statcoulomb mediante la}

conversión 1 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 = 3 × 109_{𝑠𝑡𝑎𝑡𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏𝑠).}

Esto puede confundir y desesperar a cualquier principiante que se encuentra a sí mismo perdiendo una gran parte de su tiempo enfrascado en la conversión de unidades, algo en lo que no debería haber problema alguno. Y como éste caso se pueden citar millares de ejemplos en los cuales, en textos considerados autosuficientes, se utiliza información para la cual se dan muchas cosas por conocidas previamente aunque no haya razón para suponer que tales cosas fueran enseñadas previamente en la mayoría de los cursos considerados más elementales.

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Una razón utilizada por muchos autores para no entrar en detalles aclaratorios sobre cosas que ameritan una mayor explicación es el argumento (yo lo llamaría más bien excusa, pretexto) de “la falta de espacio”. Afortunadamente, en Internet no se trabaja con tales limitaciones, y es posible explayarse de un modo que muchas casas editoras no lo permitirían. Naturalmente, si muchos libros en el mercado resultan demasiado crípticos para el lector ordinario por todas aquellas cosas omitidas por “la falta de espacio”, siempre existe la posibilidad de que tales libros eventualmente sean desplazados y pierdan una buena parte del mercado. Reemplazados por materiales de mayor extensión que se pueden encontrar en Internet, inclusive de manera gratuita.

Soy de la opinión de que el énfasis en rigorismo y en invención continua de notación matemática cada vez más elaborada y compleja tiene que ver directamente con el hecho de que en la actualidad no se estén dando ya los espectaculares avances que se estaban dando a principios del siglo XX en las ciencias básicas. A cambio de tanto rigorismo y tanto formalismo aplicado casi a ciegas lo que estamos obteniendo son teorías sumamente complejas como la teoría de las supercuerdas

(string theory) que no han servido para proponer ni siquiera un solo experimento con

el cual se pueda descubrir algo nuevo y confirmar así la teoría. En contraste con las ecuaciones originales de James Clerk Maxwell y de Albert Einstein a partir de las cuales se predijeron muchos efectos que posteriormente fueron confirmados en los laboratorios.

No sé si haya un libro en inglés que subsane todas las deficiencias que han sido señaladas anteriormente. Si lo hay, no tengo conocimiento del mismo. Pero ciertamente tal libro no parece estar disponible para su venta en español, al menos yo no he visto un libro tal en las librerías dedicadas a la venta de textos universitarios y temas de índole técnica. Es por ello que, aprovechando la facilidad de poder llegar a través de Internet a un auditorio amplio, he decidido recopilar los materiales que se encuentran dispersos aquí y allá para presentarlos de una manera coherente y entendible.

He tratado de mantener los materiales agrupados y seleccionados de modo tal que puedan ser comprensibles con un mínimo de estudios matemáticos. Pero no he tratado de incluirlo todo. Debe tomarse en cuenta que un curso completo sobre la Teoría de la Relatividad requeriría de un libro como el libro “Gravitation” de más de 1,200 páginas:

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Ilustración 1

De Charles W. Misner, Kip S. Thorne y John Archibald Wheeler (considerado por los estudiosos como la “Biblia” de la Relatividad General y conocido también entre la comunidad científica como el “Directorio Telefónico” por su grosor), siendo éste un libro que se utiliza a nivel de estudios de Doctorado en Física. No es el propósito de esta obra ser enciclopédica cubriéndolo absolutamente todo. Sin embargo, con los materiales que he incluido, al menos los que no son especialistas en el tema tendrán cierta idea sobre aquello de lo cual están hablando estos libros de texto avanzados, y tal vez hasta podrán entender algunas cosas en dichos libros. Lo cual siempre es mejor que no entender absolutamente nada y no tener la menor idea sobre aquello de lo cual trata una de las teorías más revolucionarias de nuestros tiempos.

Tal vez haya frases o comentarios dentro de este trabajo que a algunos lectores les parecerán demasiados obvias e inclusive superfluas. Por ejemplo, en varias partes el lector tal vez encontrará una referencia a cierto objeto moviéndose todo el tiempo en la misma dirección y sentido, y al ver esto tal vez se dirá a sí mismo: “¿Por qué se habla aquí de un objeto que se está moviendo en la misma dirección y sentido? ¿Es que acaso un objeto puede moverse en cierta dirección pero en diferente sentido?”. La respuesta que a veces sorprende a muchos está ejemplificada en el siguiente diagrama:

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Ilustración 2

En este caso, tenemos un cuerpo 𝐴 que está moviéndose siguiendo una dirección

hacia la derecha. Pero el sentido en el que está moviéndose dicho cuerpo es realmente

hacia donde lo está jalando el cuerpo 𝐵, que es hacia abajo. Al hablar de un cuerpo que está moviéndose en la misma dirección y sentido, se está hablando de un cuerpo que se está moviendo en la misma dirección y en el mismo sentido, literalmente hablando. Existen también otras def0iniciones con diferencias sutiles que desafortunadamente muchos maestros omiten señalar ya sea por olvido o por ignorancia, como el hecho de que utilizamos la palabra área cuando nos referimos al espacio comprendido dentro de una figura geométrica plana y utilizamos la palabra superficie cuando nos referimos al mismo espacio comprendido dentro de los bordes de una figura geométrica tridimensional (como lo es el caso de la superficie de una pelota); o como el hecho de que no es lo mismo velocidad que rapidez, ya que para definir la velocidad de un objeto generalmente la damos señalando la dirección hacia la cual se está desplazando dicho objeto o por lo menos le asignamos un signo positivo o negativo (por ejemplo un signo positivo cuando se trata de un cuerpo moviéndose hacia la derecha o un signo negativo cuando se trata del mismo cuerpo moviéndose en sentido contrario, hacia la izquierda) pero para definir la rapidez del mismo objeto simplemente damos la magnitud de la velocidad (por ejemplo, 5 metros por segundo) sin hacer referencia alguna a la dirección hacia la cual se está moviendo el objeto.

Hay aún otras definiciones cuyo uso puede causar confusión en quienes adolecen de una mala enseñanza en sus estudios de secundaria y bachillerato, como la diferencia entre el concepto de masa y el concepto de peso (la masa es algo intrínseco, invariable, medido en kilogramos, propio de un objeto cualesquiera que ocupe un lugar en el espacio y que inclusive pueda estar flotando en el espacio, mientras que el peso es la atracción ejercida por la gravedad sobre una masa, de forma tal que una masa de una tonelada puede tener un peso igual a cero al estar flotando fuera del sistema solar, mientras que una masa de unos cuantos gramos puede tener un peso considerable sobre la superficie de un planeta como Júpiter). Y así como éstos hay otros detalles y expresiones similares empleadas aquí que vistas a fondo no son tan superfluas.

En donde lo he considerado conveniente, he metido problemas de ejercicios de práctica que el lector puede intentar resolver por sí mismo antes de irse un poco más abajo del mismo para ver su solución. En ningún caso he incluido problema o ejercicio para el que yo no dé solución alguna, porque es mi objetivo no dejar con dudas a los lectores. Y esto aplica a toda la obra.

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He tratado también de recurrir a todo el arsenal disponible de elementos didácticos y pedagógicos para poder mantener centrada la atención del lector sobre el tema que se está discutiendo, incluyendo numerosas figuras y diagramas así como el uso de colores en donde tal cosa sea conveniente para resaltar la importancia de algo en específico; y del mismo modo me he permitido agregar pasos extra en la derivación de resultados que frecuentemente son omitidos en los textos impresos. Aunque en una cadena de razonamientos hay muchas explicaciones y muchos pasos que son más que obvios para el maestro o para el especialista, pasos que son omitidos en la publicación de trabajos científicos. Muchas veces hay cosas que no son tan obvias para los que están iniciando por vez primera el estudio de una rama nueva del conocimiento, y es aquí en donde cualquier explicación adicional o comentarios extra pueden ser de gran ayuda para ayudarle al lector a comprender mejor una idea sin dejarle dudas sobre la misma, y de esto es de lo que trata a fin de cuentas todo el esfuerzo que se ha estado llevando a cabo en esta obra.

La obligación del maestro no es dar explicaciones elegantes, su obligación es dar explicaciones entendibles, su obligación es enseñar, y en la medida en que el maestro pueda lograr esto habrá cumplido (o fracasado) en su misión fundamental que consiste en la transmisión de conocimientos. Las explicaciones elegantes, concisas, abstractas, rigurosas (y de preferencia poco entendibles) se pueden dejar para la publicación de trabajos científicos para cuya lectura se supone que los lectores están familiarizados e inclusive son expertos en el tema.

Se ha hecho lo posible por hacer esta obra autosuficiente, proporcionando dentro de la misma las herramientas necesarias para poder avanzar sin necesidad de tener que estar buscando en las bibliotecas y en las librerías otros libros de texto de difícil obtención que recurren incluso a notación diferente que puede resultar confusa. Los materiales de referencia externos, cuando son citados aquí, son materiales que se pueden obtener rápidamente con una conexión a Internet.

Como será obvio conforme el lector se adentre en el estudio de la materia, Einstein no formuló por cuenta propia todo lo que tiene que ver con la Teoría de la Relatividad, se tuvo que apoyar en los trabajos de otros científicos de primer nivel como Bernhard Riemann (el matemático que asentó sobre bases firmes la geometría diferencial y formalizó el estudio de las geometrías no-euclideanas), James Clerk Maxwell (el padre del electromagnetismo), Gregorio Ricci y su alumno Tullio Levi-Civita (creadores del cálculo tensorial) y Hermann Minkowski (descubridor de la interpretación geométrica de la Teoría de la Relatividad a través de los diagramas espacio-tiempo), y la labor ha tenido que ser continuada por científicos de la talla de Stephen Hawking y Roger Penrose. Pero el mérito de haber utilizado todas las herramientas disponibles en su tiempo para consolidar una de las teorías más brillantes del siglo XX es indiscutiblemente suyo, y ese es un mérito que nadie le va a negar.

Aunque al tratar sobre el tema de la Teoría Especial de la Relatividad se ha tratado de hacer el menor uso posible de las herramientas propias del cálculo infinitesimal, la transición hacia la Teoría General de la Relatividad requiere forzosamente de

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algunos conocimientos básicos del cálculo infinitesimal, y no sólo del cálculo infinitesimal sino de otra rama de las matemáticas conocida como el cálculo tensorial (cuyos fundamentos son cubiertos en esta obra). Esta es la naturaleza de la bestia. De cualquier modo, hay mucho material que puede ser entendido aún por quienes no cuentan con estas herramientas matemáticas, se ha hecho aquí un esfuerzo adicional por lograrlo.

Como corresponde a una obra de esta extensión, se ha suministrado al final de la misma una Bibliografía que incluye textos que van desde los más elementales hasta los que suelen considerarse más avanzados. También dentro de la Bibliografía, y reflejando el impacto que está teniendo la enciclopedia universal virtual Wikipedia, se ha proporcionado la lista de enlaces en los cuales los lectores pueden encontrar otras referencias de apoyo a los materiales condensados en esta obra. Dicha lista ha sido puesta acomodando los enlaces siguiendo un orden similar al cual se van tratando los temas dentro de esta obra. En dicha lista los lectores encontrarán tanto enlaces Wikipedia en Español como enlaces Wikipedia en Inglés, esto en virtud de que los enlaces Wikipedia en Inglés por lo general tienen información más actualizada o están algo más completos que los enlaces Wikipedia en Español sobre los mismos temas, especialmente tratándose de temas en ciencia y tecnología, e inclusive hay ciertos temas que aparecen publicados en los enlaces Wikipedia en Inglés pero que no aparecen aún en los enlaces Wikipedia en Español. Siendo la Wikipedia una base de datos en proceso continuo de evolución, al igual que el mismo Internet, vale la pena tener todas las referencias y enlaces posibles de la misma tanto en español como en inglés para poder buscar así en uno algo que no se pueda encontrar en otro. La Wikipedia tiene otra ventaja adicional que la pone por encima de otros enlaces que se pudieran facilitar: persistencia. ¿En cuántas ocasiones el lector no se llegó a encontrar con la desagradable sorpresa de que después de encontrar un enlace interesante regresó tiempo después solo para descubrir que dicho enlace ya no existía y que posiblemente hasta el sitio en el que se encontraba alojado el enlace tampoco existe, habiendo sido borrada toda la información junto con todas las imágenes? Esta es la principal razón por la cual me he abstenido en esta obra de citar enlaces cuya duración a largo plazo no esté garantizada.

Como una muestra de la revolución informática que está ocurriendo desde que Internet irrumpió en la vida del hombre del Tercer Milenio, en algunas partes de esta obra se hace referencia a un nuevo medio de diseminación de trabajos científicos que está adquiriendo cada día mayor renombre. Se trata de arXiv, administrado por la Universidad de Cornell y financiado en parte por la National Science Foundation. Dados los costos involucrados en el pago de la compra o descarga vía Internet de papeles científicos publicados por las organizaciones profesionales establecidas, los cuales pueden irse acumulando rápidamente poniendo en aprietos los bolsillos de los académicos e investigadores que no son precisamente gente rica (un contrasentido considerando que en su gran mayoría los autores que envían sus trabajos para ser publicados en estos medios no lo hacen con fines de lucro), aunado a la lentitud con la cual puede tardar en aparecer publicado algún resultado importante mientras el trabajo es revisado por un equipo de colegas (proceso conocido como revisión por pares conocido en inglés como peer

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publicación vaya menguando y que la atención se esté trasladando cada vez con mayor frecuencia a recursos más modernos en Internet tales como arXiv. En muchos campos de las matemáticas y la física, casi todos los artículos científicos de importancia se están colocando ya en arXiv. A la fecha de septiembre de 2007, arXiv contenía más de 440.000 trabajos imprimibles, lo que supone que miles de ellos son añadidos cada mes. Su existencia fue uno de los factores que condujo a que se precipitara la actual revolución en la forma en que se efectúan las publicaciones científicas, conocido como el “movimiento de libre acceso”, con la posibilidad de una eventual desaparición de las revistas científicas tradicionales que pueden terminar siguiendo el camino recorrido por los dinosaurios en su extinción. Los matemáticos profesionales y los científicos cargan regularmente sus artículos en arXiv.org para que haya un acceso mundial y algunas veces para que se revise antes de que sean publicadas en revistas. Aunque la falta de revisión por pares suscita alguna preocupación, no se considera un obstáculo para los usuarios de arXiv, ya que muchos autores son cuidadosos con sus contribuciones, y la mayoría de los e-prints también se envían a revistas científicas para que sean publicadas, pero algunos trabajos, incluidos algunos artículos influyentes, se quedan solo como e-prints y jamás son publicados en una revista científica. Un ejemplo bien conocido de esto último es una prueba de la conjetura de la geometrización de Thurston que resuelve finalmente la famosa conjetura de Poincaré como caso particular, enviada por Grigori “Grisha” Perelman el 11 de noviembre de 2002 bajo el título “The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications”. Perelman parecía satisfecho de renunciar a una publicación tradicional revisada por pares, alegando que “Si alguien está interesado en mi forma de resolver los problemas, está todo ahí (refiriéndose a arXiv), dejemos que entren y lo lean”.

En las entradas en esta obra en donde se trata el tema de la electrodinámica relativista, en lugar de la extensión del sistema de unidades 𝑀𝐾𝑆 hacia el área del electromagnetismo convencionalizado conocido todo en conjunto como el sistema de unidades 𝑆𝐼, se ha escogido al sistema Gaussiano de unidades. Aunque la gran mayoría de los lectores seguramente han sido expuestos al sistema 𝑀𝐾𝑆 de unidades de uso tan común en la resolución de problemas prácticos de ingeniería, cuyas unidades son de un orden de magnitud que resulta útil en la discusión de efectos medibles a la escala de laboratorio (volts, amperes, webers/m², etc.), en el estudio de la interacción de la radiación electromagnética con los constituyentes elementales de la materia (átomos, fotones, etc.) resulta más conveniente adoptar el sistema Gaussiano de unidades.

Una consecuencia en la adopción del sistema Gaussiano de unidades es que fórmulas que le resultan familiares a muchos estudiantes como la fórmula 𝐵 = 𝜇𝐻 en el sistema Gaussiano se tome simplemente como la igualdad 𝐵 = 𝐻 sin que se vea a la constante de permeabilidad magnética 𝜇 presente. Pero la ausencia de 𝜇 en esta fórmula en el sistema Gaussiano de unidades se debe a la forma en la cual ha sido definido dicho sistema de unidades. Aún otra consecuencia es que la familiar fórmula que define al vector de Poynting como el producto cruz 𝑆 = 𝐸 · 𝐻 se convierte en la fórmula 𝑆 = (𝑐/4𝜋)𝐸 · 𝐻, haciendo que entre en el panorama la constante que simboliza a la velocidad de la luz. Sin embargo, este factor multiplicativo de 𝑐/4𝜋 resulta conveniente en los desarrollos que son llevados a cabo en el estudio de la electrodinámica clásica. (De cualquier forma, para convertir una fórmula del

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sistema de unidades 𝑆𝐼 al sistema Gaussiano de unidades basta reemplazar la permisividad eléctrica del espacio libre 𝜀0 con 1/4𝜋 y la permeabilidad magnética 𝜇0

con 4𝜋.) Otra razón que justifica la adopción del sistema Gaussiano de unidades al tratar el tópico de la electrodinámica relativista es que una gran cantidad de libros de texto a nivel universitario y a nivel postgrado adoptan el sistema Gaussiano de unidades, y el adoptar aquí el sistema 𝑀𝐾𝑆 puede causar confusión posterior al estar consultando varios textos, y esta sea tal vez la mejor razón de todas para no tratar de desviarse de algo que se ha convertido en una costumbre extendida. Se han incluido como parte de los apéndices de esta obra tanto el texto completo (en inglés) del primer trabajo que le fue publicado a Einstein en 1905 con el cual dio a conocer al mundo la Teoría Especial de la Relatividad, así como las copias más relevantes de su cuaderno de apuntes en el cual fue desarrollando a lo largo de dos años en forma manuscrita sus ideas principales acerca de la Teoría General de la Relatividad, que fue publicada en octubre de 1915. Se ha relegado también a los apéndices material importante que complementa las ideas expuestas en el interior de la obra o que expande el material expuesto hacia nuevos horizontes pero que no es indispensable para poder dar continuidad a lo que se está leyendo cuando se está siguiendo el orden de las entradas puestas en esta obra.

Parafraseando a Jimmy Wales, el fundador de Wikipedia, este trabajo es una pequeña contribución al ambicioso objetivo de un mundo en el que todas las personas y cualquier persona tengan libre acceso a la suma total de los conocimientos de la humanidad.

Aprovecho la ocasión para expresar mi más profundo agradecimiento a Roger Cortesi, quien generosamente proporcionó los medios para la generación automatizada a través de LaTeX de la tipografía requerida para la construcción de fórmulas matemáticas que hasta la fecha no pueden ser generadas automáticamente por ninguno de los navegadores de Internet (browsers) convencionales.

IMPORTANTE: Este es un trabajo construcción, y sólo se considerará terminado

cuando este último párrafo no aparezca aquí haciendo esta advertencia. Los huecos que aparezcan aquí y allá a espera de ser llenados en esta obra son la consecuencia inevitable de ser algo que está siendo elaborado simultáneamente en partes diferentes. Aunque conforme se van acumulando los materiales están siendo sometidos a un proceso de revisión continua, es inevitable que en una obra de esta magnitud surjan equivocaciones, errores tipográficos e inclusive fallos de lógica, por lo que agradeceré cualquier observación que se me haga llegar al respecto así como cualquier sugerencia para mejorías.

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Movimiento absoluto

Empezamos nuestra disertación con un viajero que se acaba de subir a un tren de pasajeros en una estación de ferrocarriles y se acaba de acomodar en su asiento el cual está justo a un lado de una ventana que da una vista hacia afuera. Una vez que el porter se ha asegurado de que todos los pasajeros le han entregado sus boletos de viaje y que están ya en sus lugares asignados, el tren se pone en movimiento enfilándose hacia su destino:

El viajero se da cuenta de que el vagón de ferrocarril en el que viaja está en movimiento porque la vista que recibe del exterior le muestra que todo lo que observa de afuera, casas, praderas, edificios, llanos, granjas, etc., parece crear la ilusión de estarse desplazando todo junto en una dirección contraria a la dirección hacia la cual se está moviendo el ferrocarril. Al caer la noche, los pasajeros bajan las cortinas de las ventanas para poder dormir, y todo lo que se siente es el vaivén del ferrocarril conforme avanza sobre las vías de acero.

Es aquí cuando el viajero se percata de que al estar cerradas las cortinas, al no tener una vista directa desde el vagón hacia el exterior, ha perdido su punto de referencia visual con el cual podía darse cuenta sin el menor asomo de duda que el vagón de pasajeros en el que viaja estaba en movimiento sobre las vías del tren.

De cualquier manera, él sabe que el pesado tren está en movimiento porque se está meciendo de un lado a otro produciendo vibraciones sensibles no sólo al oído sino al tacto, clara señal de que el tren mantiene cierto tipo de movimiento.

Ahora llevaremos a cabo un experimento gedanken, un experimento realizado por completo dentro de la tranquilidad de nuestro pensamiento pero que no por ello deja de tener repercusiones completamente válidas para el mundo real en que vivimos como las podría tener un experimento llevado a cabo con instrumentos y aparatos costosos. Vamos a suponer que todas las ventanas del tren han sido selladas herméticamente de modo tal que será imposible tener la menor pista de que el tren está en movimiento por alguna señal visual llegada del exterior. El interior del tren se encuentra perfectamente iluminado por el sistema de energía eléctrica autónomo del convoy de ferrocarriles, pero no es posible ver hacia afuera porque el vagón es en efecto una caja herméticamente sellada.

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Fundamentos de Relatividad General Movimiento absoluto

¿Entonces cómo podremos saber que nos estamos moviendo junto con el vagón que nos transporta?

Lo primero que se nos ocurre es la confirmación que nos da el vaivén del vagón meciéndose de un lado a otro. Esto nos confirma que estamos en movimiento. Pero esta confirmación se debe a las imperfecciones de las vías del ferrocarril que no están situadas sobre una superficie horizontal perfectamente plana. En nuestro experimento gedanken, imaginaremos que las vías del ferrocarril están colocadas sobre una superficie extensa perfectamente plana de modo tal que el vagón no tiene por qué mecerse de un lado a otro, e imaginaremos también que el tren se mueve siempre hacia adelante sin virar en lo más mínimo ni hacia la derecha ni hacia la izquierda. De este modo el convoy de vagones se mueve sin mecerse de un lado a otro, y así hemos perdido otra pista que nos indicaba que estamos en movimiento. Pero aún nos queda el ruido estridente que producen las ruedas de acero del ferrocarril tallando sobre las vías de acero en las que se mueve. Sin embargo esto se puede solucionar sellando acústicamente el vagón de ferrocarril de modo tal que no sea posible percibir ruido alguno llegado del exterior, con lo cual estaremos viajando en un tren perfectamente blindado en contra de ruidos (si el viajero es sordo, tal blindaje acústico no será necesario).

Tal vez se nos ocurra hacer trampa con un amigo situado en el exterior que a través de un teléfono celular nos llame del exterior y nos confirme que el tren está en movimiento. Pero supondremos que no contamos con tal ayuda.

Supongamos que el tren es un tren bala de diseño ultramoderno que está viajando a una velocidad extremadamente elevada con respecto al suelo, digamos a unos 500 kilómetros por hora. Se nos podría ocurrir otra cosa; se nos podría ocurrir saltar hacia arriba dentro del vagón de ferrocarril para no tener contacto alguno con el piso del mismo por algunos segundos, en la creencia de que al estar separados del piso por ese breve lapso de tiempo suspendidos en el aire el vagón continuará con su movimiento rápido de 500 kilómetros por segundo mientras que nosotros iremos quedando atrás, y al caer tocando nuevamente el piso estaremos en una posición más retrasada que la posición desde la cual habíamos saltado. Sin embargo, al hacer esto, descubrimos que esto no funcionará tampoco, caeremos exactamente en el mismo sitio desde el cual saltamos hacia arriba. Esto se debe a que si bien el tren se está moviendo a una rapidez elevada, a 500 kilómetros por hora, nosotros con los pies puestos firmemente sobre el piso del vagón también nos estaremos moviendo a los mismos 500 kilómetros por hora, y al despegarnos del piso del tren seguiremos moviéndonos a la misma velocidad de 500 kilómetros por hora, porque en un vagón perfectamente blindado no hay nada que nos haga perder nuestra velocidad de 500 kilómetros por hora. Esto es algo que nos garantiza una de las leyes de Newton, que nos dice que todo cuerpo permanece en estado de reposo o en su movimiento rectilíneo mientras no intervenga una fuerza externa que modifique dicho estado de reposo o de movimiento rectilíneo. Y en un vagón perfectamente sellado no hay fuerza horizontal alguna actuando en contra nuestra que nos haga perder nuestra velocidad de 500 kilómetros por hora. Si el vagón estuviera al descubierto, sin techo y sin paredes, entonces al saltar hacia arriba la fuerza del aire exterior actuando como un viento en contra de nosotros nos haría caer más atrás, pero esto se debe a que al saltar y despegarnos del piso del vagón por breves

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instantes el vagón ya no nos puede seguir arrastrando con la misma velocidad al no tener nosotros ya el momento del tren para vencer a la resistencia del aire. En un vagón perfectamente sellado, no hay corrientes de aire que nos puedan mover de un lado a otro cuando saltamos, así que un brinco hacia arriba nos hará caer en el mismo punto del cual saltamos. Esta es una experiencia que tal vez muchos habrán compartido cuando al estar viajando dentro de un camión de pasajeros circulando por la carretera saltaron hacia arriba creyendo que iban a caer un poco más atrás y cayeron en el mismo lugar del cual saltaron.

Al fallar lo anterior, nuevamente, volvemos a formularnos la pregunta de antes: ¿Entonces cómo podremos saber que nos estamos moviendo junto con el vagón que nos transporta?

Si hemos sido raptados, anestesiados, y despertamos después en un vagón de ferrocarril perfectamente sellado del exterior, lo primero que desearíamos saber es si el tren en el que viajamos está en movimiento. Pero sin pista visual alguna y sin pista acústica alguna, tal cosa se antoja problemática. Es entonces cuando tratamos de recurrir a la física, cuando tratamos de recurrir a cierto experimento mecánico que nos permita darnos cuenta de que estamos en movimiento. Aquí vale de todo, sacar balanzas, agujas colgando de hilos delgados, medidores de presión barométrica, en fin, todos los instrumentos y aparatos que se nos puedan ocurrir.

Sin embargo, conforme hacemos experimento tras experimento, encontramos que no hay absolutamente nada de índole mecánica que nos confirme que nos estamos moviendo, por la sencilla razón de que todos nuestros instrumentos y aparatos mecánicos están en reposo frente a nosotros moviéndose exactamente a la misma velocidad a la cual nos estamos desplazando con el tren. Adentro del vagón perfectamente blindado, todo se encuentra en un reposo tan perfecto como el reposo en el que nos encontraríamos afuera en un laboratorio escolar.

Aquí seguramente habrá críticos que dirán que esta es una situación altamente hipotética, altamente idealizada, de un experimento imposible de llevarse a cabo. Sin embargo, esto no es así, ya que para llegar a las mismas conclusiones todo lo que tenemos que hacer es subirnos a una nave espacial y salir fuera de la órbita terrestre. Estamos en la nave espacial, y de repente al asomarnos por una de las ventanas de la misma vemos pasar un asteroide a gran velocidad muy cerca de nosotros el cual casi se estrella contra nuestra nave. Aquí decimos: “Qué rápido se está moviendo el asteroide”. Pero un náufrago espacial varado en el asteroide muy bien nos podría decir “Qué rápido se está moviendo esa nave espacial”. Tanto nosotros como el náufrago espacial varado en el asteroide podríamos enfrascarnos en un debate diciendo que es el otro el que se está moviendo a gran velocidad. ¿Pero cuál de los dos tiene la razón? En realidad, ninguno, no a menos de que exista un experimento mecánico que permita determinar de modo absoluto quién es el que se está moviendo. Y para que la respuesta sea válida, tendría que existir algún punto de referencia absoluto, algo que por su misma naturaleza pudiéramos clasificar en un estado de reposo absoluto, con respecto al cual tanto nosotros como el náufrago espacial podríamos dirimir el asunto sobre quién es el que realmente se está moviendo. Porque podría muy bien suceder que si bien nosotros y el náufrago espacial varado en el asteroide nos estamos viendo el uno al otro moviéndonos en

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direcciones opuestas a gran velocidad el uno con respecto al otro, ninguno de los dos realmente está en reposo con respecto a otro punto de referencia absoluto si es que pudiera existir una cosa así.

En base a lo anterior, los siguientes tres puntos de vista para dos naves espaciales que se encuentran en el espacio viajando en direcciones opuestas producirán los mismos resultados numéricos para cualquier tipo de experimento mecánico que se pueda llevar a cabo.

Ilustración 3

En el primer caso, la nave inferior se considera a sí misma que está parada flotando en el espacio, mientras que ve pasar por encima de ella a otra nave espacial viajando a una velocidad de 500 metros por segundo, a la cual el tripulante de la nave inferior le dice “yo estoy parado flotando en el espacio, eres tú el que se está moviendo”. En el segundo caso, el tripulante de la nave que pasa por arriba, le contesta: “eso no es cierto, yo soy el que está detenido flotando en el espacio, eres tú el que se está moviendo a una velocidad de 500 metros por segundo. Y en el tercer caso, con respecto a un tercer observador externo a ambas naves, las dos se están moviendo en sentidos opuestos cada una con una velocidad de 250 metros por segundo. ¿Quién tiene la razón? Todos, y a la vez ninguno. Todos tienen la razón porque al no poder detectarse el movimiento absoluto los tres anteriores supuestos son igualmente válidos. Y todos están equivocados si insisten en afirmar cada uno que su punto de vista es el correcto y los demás están en el error.

Por lo pronto, y regresando a nuestro vagón blindado de ferrocarril en la tierra, tenemos que aceptar querámoslo o no que no existe experimento alguno de índole mecánica que nos permita saber si nos estamos moviendo. Esto era algo que ya se sabía desde los tiempos de Galileo y que fue formalizado tiempo después por Newton con sus leyes con las cuales dio inicio a la mecánica clásica tal y como la conocemos hoy en día.

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“No existe ningún experimento de índole mecánica que nos pueda indicar que estamos en movimiento.”

Lo que acabamos de enunciar tiene alcances y repercusiones mucho más profundas que lo muchos pudieran suponer. Regresemos al viajero que está en un vagón del ferrocarril en movimiento. Un observador estacionario situado a un lado de las vías del ferrocarril que tenga sus pies plantados firmemente sobre la Tierra podría sentirse tentado a decirle en voz alta al viajero: “Indudablemente que tú eres el que se está moviendo. No puedes argumentar que el ferrocarril está parado y que son las vías del ferrocarril las que se están moviendo en sentido contrario junto con todo lo que tú estás viendo moverse a través de tu ventana de observación, incluyendo los árboles, las casas, los edificios, las montañas, las praderas, todo incluyéndome a mí. Yo soy el que está parado, y tú indudablemente eres el que se está moviendo”.

El argumento anterior podría parecer razonable a primera vista. Sin embargo, es una falacia.

Supongamos que hemos construido un ferrocarril cuyas vías han sido colocadas siguiendo la ruta del ecuador de la Tierra. Supongamos ahora que el ferrocarril se pone en movimiento en sentido contrario al sentido de rotación de la Tierra. La Tierra, en virtud de su movimiento de rotación alrededor de su eje, movimiento que da origen a los días y las noches, da un giro completo en 24 horas. Usando radianes como medida de desplazamiento angular, la velocidad angular 𝜔 de rotación de la Tierra será entonces:

𝜔 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠/24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

𝜔 = 72.722 × 10−6_{𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜}

Por otro lado, la velocidad tangencial 𝑣_𝑡 en la superficie de un cuerpo en rotación que está girando a una velocidad angular 𝜔 a una distancia 𝑟 del eje de rotación de dicho cuerpo está dada por:

𝜔 =𝑣𝑡 𝑟

Suponiendo para la Tierra un radio medio en su ecuador de 𝑟 = 6.37 × 106_{𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, la velocidad tangencial 𝑣}

𝑡 en la superficie del ecuador de la Tierra con

respecto a su eje de rotación será entonces: 𝑣_𝑡 = 𝜔𝑟

𝑣𝑡 = (72.722 × 10−6 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)(6.37 × 106 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠)

𝑣_𝑡 = 463.24 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 / 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜

Si el ferrocarril se pone en marcha en sentido contrario al movimiento de rotación de la Tierra a una velocidad de 463.24 metros por segundo, y si empieza el viaje al

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mediodía con el Sol directamente encima, entonces el Sol parecerá estacionario sin moverse un solo milímetro. Para alguien flotando en el espacio encima del ferrocarril, la bóveda celeste parecerá estacionaria, y todo lo demás fuera del ferrocarril parecerá estarse moviendo, incluyendo las vías sobre las cuales está montado el ferrocarril, los árboles, las casas, los edificios, las montañas, las praderas, los lagos, incluyendo desde luego al observador estacionario en la Tierra que le decía al viajero que era él quien estaba en reposo absoluto. Fuera del ferrocarril, para todos, amanecerá y anochecerá, los días transcurrirán como siempre, mientras que para el viajero dentro del ferrocarril el Sol seguirá puesto encima de él sin moverse para nada. De repente, el viajero en el ferrocarril parece haberse convertido en el observador privilegiado que se siente tentado a decir que él sí está en estado de reposo absoluto.

Siguiendo un impulso egocentrista, podríamos sentirnos tentados a afirmar que la Tierra es el centro del cosmos, dándole a la Tierra una condición de reposo absoluto y negando el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol. Esta fue precisamente la cuestión por la cual el físico italiano Galileo Galilei fue acosado por la Santa Inquisición, en tiempos en los que por motivos religiosos se consideraba al hombre como el centro de la Creación, el centro del cosmos, con la bóveda celeste girando en torno suyo certificando su posición privilegiada como criatura predilecta de Dios. Lo único que pudo hacer Galileo después de ser obligado a negar el movimiento de rotación de la Tierra fue exclamar en voz baja:

“Y sin embargo se mueve” – (Galileo Galilei).

Sin embargo, ni aún compensando por el movimiento de rotación de la Tierra con un ferrocarril construido siguiendo la ruta del ecuador le sería posible a un el viajero dentro del ferrocarril considerarse a sí mismo como un observador privilegiado en reposo absoluto, en virtud de que la Tierra no sólo tiene un movimiento de rotación en torno a su eje sino que además tiene un movimiento de traslación alrededor del Sol, precisamente el movimiento que da origen a las estaciones del año.

Fracasando en nuestros intentos por encontrar en la Tierra un punto de referencia absoluto con respecto al cual el movimiento absoluto se pueda medir, podríamos sentirnos tentados a asignarle al Sol un papel privilegiado, considerándolo como el centro del Universo. De esto es de lo que trata la creencia en la teoría heliocéntrica (el Sol es el centro del cosmos) sostenida inclusive por los astrónomos Copérnico y Kepler que se encargaron de darle la puntilla a la teoría geocéntrica (la Tierra es el centro del cosmos). Pero esto a la postre resulta ser también una ilusión, por el hecho de que el Sol no es más que una estrella más dentro de nuestra galaxia, la Vía Láctea, habiendo muchas otras estrellas albergando otros sistemas solares, los cuales resultan estar también en movimiento dentro de la Vía Láctea.

El anterior fracaso podría llevar a algunos a intentar proclamar a la Vía Láctea, nuestra propia galaxia, como el centro del Universo. Pero nuestra galaxia no es la única galaxia del Universo. En nuestra mira de observación con la ayuda de

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nuestros instrumentos actuales hay billones y billones de otras galaxias, a ninguna de las cuales puede asignársele una posición privilegiada por el hecho de que todas las galaxias se están separando la una de la otra debido a la expansión continua del Universo. Y esta es una expansión que tampoco tiene un “centro de origen”, un centro de la explosión inicial que hoy conocemos como el “Big Bang”.

Parece que hemos agotado todas las posibilidades de poder detectar el movimiento absoluto recurriendo a referencias astronómicas además de tratar de recurrir a experimentos de índole mecánica. Sin embargo, a principios del siglo XX, había una esperanza basada en un descubrimiento sobre otro tipo de fenómenos físicos, un descubrimiento que llevó a físicos de primera línea a postular la existencia de una substancia universal conocida como el éter, con respecto al cual debería ser posible en principio determinar el movimiento absoluto no por medios mecánicos, sino por medios ópticos, usando rayos de luz.

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Un descubrimiento

sorprendente

Descartada totalmente la posibilidad de poder determinar por medio de algún experimento propio de la mecánica si algo está en estado de movimiento con respecto a algún punto de referencia que pudiera considerarse absoluto, en cierto momento renació la esperanza de que tal cosa pudiera lograrse no por medios mecánicos sino por medios ópticos llevados a cabo dentro de un vagón de ferrocarril perfectamente blindado. Es aquí cuando entra en el panorama el físico matemático James Clerk Maxwell, el cual asentó firmemente sobre bases matemáticas los principios básicos del electromagnetismo, enunciados desde los tiempos de Faraday, enunciando las cuatro ecuaciones básicas del electromagnetismo con las cuales ganó para sí mismo la inmortalidad en la comunidad científica:

∇ · 𝐷⃗⃗ = 𝜌 ∇ · 𝐵⃗ = 0 ∇ · 𝐸⃗ = −𝜕𝐵⃗ 𝜕𝑡 ∇ · 𝐻⃗⃗ = 𝐽 +𝜕𝐷⃗⃗ 𝜕𝑡

Estas cuatro fórmulas están elaboradas en notación vectorial (las cantidades D, B, E, H y J son vectores, o mejor dicho campos vectoriales en analogía con las líneas de fuerza que representan un campo gravitacional, y como tales son cantidades que tienen dirección y sentido de forma similar al viento que sopla en las praderas), lo cual simplifica enormemente el pronunciamiento de las mismas debido a que el enunciado es independiente del tipo de coordenadas (Cartesianas, polares, cilíndricas, esféricas, etc.) que se utilicen en el estudio de algún fenómeno electromagnético particular. La primera ecuación nos dice esencialmente que el flujo neto (divergencia) de las líneas de fuerza eléctrica que salen (o entran) de cualquier recipiente cerrado depende de la densidad de la carga eléctrica ρ que encierra dicho recipiente (para un recipiente dentro del cual no hay carga eléctrica alguna almacenada en su interior, el flujo neto de las líneas de fuerza eléctrica sobre toda la superficie del recipiente es cero); la segunda ecuación nos dice que todas las

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Fundamentos de Relatividad General Un descubrimiento sorprendente

líneas de fuerza de un campo magnético (como las de un imán) forman siempre un bucle cerrado (no existen monopolos magnéticos, esto es, una partícula de la cual salgan líneas de fuerza de un campo magnético correspondientes al polo Norte de un imán, y otra partícula de la cual salgan líneas de fuerza de un campo magnético correspondientes al polo Sur del imán) y por lo tanto la divergencia de las líneas del campo magnético es siempre cero (el flujo neto de las líneas de fuerza del campo magnético que entren a cualquier recipiente cerrado restado del flujo de las líneas de fuerza del campo magnético que salgan del mismo recipiente será exactamente igual a cero en todos los casos); mientras que la tercera y la cuarta ecuación nos dicen que todo campo eléctrico que varíe con el tiempo producirá campos magnéticos rotacionales del mismo modo que todo campo magnético que varíe con el tiempo producirá a su vez campos eléctricos rotacionales.

Se puede demostrar a partir de las ecuaciones del campo electromagnético de Maxwell, como el mismo Maxwell lo descubrió por vez primera, que la velocidad de una onda electromagnética en el vacío que consta de un campo eléctrico 𝐸⃗ y un campo magnético 𝐵⃗ perpendiculares el uno al otro y alternantes sinusoidalmente en el tiempo:

Ilustración 4

Depende única y exclusivamente de la permisividad eléctrica del vacío 𝜀₀ y de la permeabilidad magnética del vacío 𝜇0, y la velocidad para dicha onda

electromagnética debe ser:

𝑣 = 1 √𝜇0𝜀0

Los valores experimentales para estos parámetros ya eran conocidos en los tiempos de Maxwell, de modo tal que no fue para él ningún problema llevar a cabo una substitución de dichos valores para poder saber cuál era la velocidad de una onda electromagnética propagándose en el vacío.

PROBLEMA: En el sistema de unidades SI (MKS) se aceptan generalmente como válidos los

siguientes valores experimentales para la permisividad eléctrica y para la permeabilidad magnética del vacío:

𝜀₀ = 8.854 × 10−12_{𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑/𝑚}

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Determínese, a partir de estos valores experimentales, la velocidad de una onda electromagnética propagándose en el vacío.

Puesto que las unidades SI del farad y el henry son algo crípticas para quienes no están familiarizados con estas unidades, las pondremos en una forma más convencional acorde con las unidades que se utilizan en la Mecánica.

Empezaremos con la unidad del farad. De la teoría básica del campo eléctrico, la capacitancia 𝐶 de un condensador es igual a la carga eléctrica 𝑄 almacenada por el condensador dividida entre el voltaje 𝑉 que hay entre las terminales del condensador, según la fórmula 𝐶 = 𝑄/𝑉. Esto significa que, dimensionalmente, un farad es igual a un coulomb de carga eléctrica dividido entre un volt:

1 (𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑) = 1 (𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑣𝑜𝑙𝑡 ) Entonces la unidad de la permisividad eléctrica es:

1 (𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑

𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜) = 1 (

𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏

𝑣𝑜𝑙𝑡 ) · 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

Pero el voltaje 𝑉 se define como el trabajo 𝑊 hecho sobre una unidad de carga 𝑄 para moverla de un punto con un potencial 𝑉₁ a otro punto con un potencial 𝑉₂, dividido entre el valor de la carga, o sea 𝑉 = 𝑊/𝑄. Y el trabajo mecánico se define como el producto de la fuerza aplicada (medida en newtons) por la distancia recorrida (medida en metros). Entonces, dimensionalmente hablando, una unidad de voltaje es igual a:

1 (𝑣𝑜𝑙𝑡) = 1 (𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 · 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏)

Entonces podemos escribir la unidad dimensional de la permisividad eléctrica del modo siguiente: 1(𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏) (1 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 ·_{𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏) · 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜}𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 O sea: 1 (𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜) = 1 ( 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏2 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 · 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜2) De este modo: 𝜀0 = 8.854 × 10−12 ( 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏2 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 · 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜2)

Ahora trabajaremos con la unidad del henry. El henry es la unidad utilizada para medir la inductancia eléctrica 𝐿 de una bobina, de acuerdo con la fórmula: