FIG.4.26 APLICACIÓN DEL METODO DE CROSS.

Al soltar la sujeción B, la diferencia entre los momentos hace girar al nodo B como se indica en la figura 4.26(c) hasta que los momentos se equilibran a uno y otro lado; se observa pues que el momento no equilibrado se distribuye entre los dos lados al permitir el giro en B. La rotación en B producida por este momento genera momentos transmitidos en A y en C de la mitad de su valor y de signo contrario. Si consideramos que este momento se distribuye entre

los tramos de la viga AB y BC es evidente que tendría un factor de distribución diferente, el cuál

tendrá un valor de i i j j K FD K =

∑

Donde y es el factor de distribución y de rigidez del tramo i, respectivamente. Por

lo tanto, para un empotre FD = O, y para una articulación (en el extremo) FD = 1. El MEP se obtiene a partir de tablas como en el caso del método de superposición. Este procedimiento es

iterativo hasta que ∆MB (de la figura 4.26) sea nulo.

i

FD K_i

4.3.- Análisis clásico de placas.

El inicio del análisis de las placas se enfoca al desarrollo de la teoría membranal . En

realidad, la placa es un elemento cascarón cuya superficie media es un plano, y se clasifican de acuerdo a su configuración del borde exterior. El elemento placa curva se diferencia del elemento cascarón por su tamaño; mientras que una estructura puede construirse, sin discontinuidad del material, por un elemento cascarón, dicha estructura se puede construir también por un conjunto de placas , curvas (o rectas) unidas de tal forma que generen la geometría deseada (está unión de placas genera la discontinuidad del material).

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Supongamos un elemento cascarón simétrico de espesor h (ver figura 4.27). Designemos por m

ρ al radio de curvatura del arco del meridiano de la superficie media (figura 4.27a) y por ρt, al

segundo radio principal, es decir, el radio de curvatura de la sección normal perpendicular al arco del meridiano. Este radio es igual al segmento de la normal entre la superficie media y el eje de simetría. Estos radios, ρ_m y ρ_t, son en el caso general, funciones del ángulo θ entre la normal y el eje de simetría.

Con dos pares de secciones meridionales y normales cónicas (figura 4.27b) separamos un

elemento del cascarón de dimensiones y , como el indicado en la figura 4.27(c).

Consideramos que sobre las caras del elemento actúan los esfuerzos

1

ds ds₂

m

σ y σt; denominados

esfuerzo meridional y esfuerzo circunferencial, respectivamente. Si multiplicamos estos esfuerzos por las áreas correspondientes de las caras del elemento se obtienen las fuerzas

m

σ hds₂ y σ_th . A este elemento se le aplica la fuerza de la carga normal p .

Proyectando todas las fuerzas sobre la normal se obtiene,

1 ds ds₁ ds₂ pds₁ds₂-σ_mhds₂ dθ -σ_thds d₁ ϕ=0 pero como 1 m ds dθ ρ = y 2 t ds dϕ ρ

= , obtendremos finalmente la relación que se conoce como

ecuación de Laplace m t m t p h σ σ ρ + ρ = (4.82)

En el caso de la figura 4.27(C) se puede plantear también otra ecuación, proyectando todas las fuerzas sobre la dirección del eje del cascarón, pero es más conveniente plantearla, no para el elemento, sino para la parte del cascarón separada por la sección cónica normal (ver figura 4.27d).

4.3.1.-Placas circulares.

Después de haber analizado un cascarón, ahora vamos a relacionarlo con la flexión en placas. Debido a que la teoría de la flexión de placas es una parte muy compleja de la teoría de la elasticidad, en el presente trabajo sólo se presentaran los caso más generales.

Supongamos una placa circular bajo la acción de ciertas fuerzas exteriores, que actúan perpendicularmente al plano medio, por lo que la placa varía su curvatura (figura 4.29). Esta variación de la curvatura ocurre, como regla general, en dos planos simultáneamente y, como

resultado, se obtiene la así denominada superficie elástica de curvatura pequeña, cuya forma

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placas se considera que la deflexión w es mucho menor que el espesor h de la placa. Solamente haciendo esta suposición se puede estudiar la flexión de la placa independientemente de la tracción. Las placas que cumplen esta condición se les denomina

placas finas. Las placas cuyas deflexiones son comparables con el espesor se calculan

teniendo en cuenta el alargamiento de la superficie media.

La teoría de la deflexión de las placas y cascarones se basa sobre ciertas suposiciones

simplificativas . La primera de ellas consiste en que se considera invariable la normal; esta

suposición se conoce como Hipótesis de Kirchhoff y que consiste en que los puntos situados

antes de la deformación sobre cierta recta normal a la superficie media, siguen formando, después de la deformación, una recta normal a la superficie deformada. Esta suposición indica que se puede prescindir de las deformaciones angulares de los cascarones en comparación con los desplazamientos angulares. Esto es aceptable en la medida en que el espesor de la placa es pequeño en comparación con las otras dimensiones.

FIG.4.29.-PLACA CIRCULAR CON CARGAS PERPENDICULARES.

Consideremos en adelante, que los esfuerzos normales en las secciones paralelas al plano medio son considerablemente pequeños en comparación con los esfuerzos originados por la flexión, es decir, que no existe presión alguna entre las capas de la placa. Con esto pasamos a determinar los esfuerzos en las placas circulares.

Supongamos una placa de espesor constante h, solicitada por fuerzas situadas simétricamente con respecto al eje Z de la placa (ver figura 4.30a). Las deformaciones, desplazamientos y esfuerzos que aparecen en la placa serán también simétricos respecto al eje Z.

La deflexión de la placa se designa por w y el ángulo de giro de la normal, por ϑ (figura

4.30b). Estas magnitudes son funciones únicamente del radio r y están relacionadas entre sí por la relación

dw dr

ϑ= − (4.84)

El signo negativo se elige de acuerdo al esquema de la deflexión dado en la figura; por lo que no tiene especial importancia por depender solamente de la dirección en que se miden las

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(a) (b)