CAPÍTULO 2. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES
2.5 NÚMEROS RACIONALES
2.5.1 Fracciones
La relación o razón entre dos enteros fue utilizada por los antiguos griegos en el siglo VI antes de nuestra era, sin ninguna restricción; sin embargo los babilonios, utilizaron fracciones con numerador 1.
La voz fracción deriva del latín fractio que se toma del árabe kasr que significa roto o quebrado. La escuela lo enseña así y está bien, los números fraccionarios son números quebrados; contrario a los números enteros. Un quebrado se compone de un numerador, un denominador y una raya horizontal que se llama vínculo. El denominador denomina (nombra) y el numerador numera (cuenta).
Por ejemplo, el quebrado 3
7 indica que se cuentan tres partes de las siete en que se ha fraccionado una unidad.
Tal unidad, por su parte, constituye un todo y, en consecuencia, puede estar formada por tres manzanas, un ciento de cuadernos o una gruesa de lápices.
Los enteros y las fracciones configuran un todo que se denomina el conjunto de los números racionales, representado como ℚ. Si bien en ℤ cada número es una multiplicidad de unidades que permite la enumeración, los racionales transforman esta noción y se convierten en un instrumento de medida; es decir, se pasa del concepto de número contable al número métrico; y según los pitagóricos, Siglo VI antes de nuestra era, tienen como función la de representar las medidas de las magnitudes geométricas, tales como: longitud, área, volumen, amplitud, curvatura, etc.
97 Para los pitagóricos, los números explican el mundo, los principios numéricos son los elementos de todos los seres y por la vía de la contemplación encontraron los números triangulares, los números cuadrados, los números rectangulares, los pentagonales, entre otros; y demostraron el que ahora se llama Teorema de Pitágoras, utilizado de manera proba por los babilonios un milenio antes y que hace que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos sea igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
El recíproco del teorema de Pitágoras también es cierto, es decir, que si se encuentran tres números 𝑥, 𝑦, 𝑧 tales que 𝑥2+ 𝑦2 = 𝑧2, las medidas 𝑥, 𝑦 y 𝑧 son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. En consecuencia, el teorema de Pitágoras establece una liga, un vínculo serio entre la geometría y la aritmética, entre los números y las magnitudes, entre las cifras y las formas.
El conjunto ℚ = {𝑎
𝑏: 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0} permite toda la operatoria aritmética sin restricción.
La multiplicación es fácil, basta con multiplicar numeradores y denominadores para configurar la nueva fracción que es su producto; esto es 𝑎
𝑏×𝑐
𝑑 = 𝑎×𝑐
𝑏×𝑑 y con ello se tiene un surtidor infinito de ejemplos: 7
5×2
3= 7×2
5×3=14
15, 8
5×3
2 =8×3
5×2= 24
10, ⋯ En el último ejemplo hay algo por hacer. Ya se dijo que el 1 en la multiplicación tiene un carácter especial, 𝑟 × 1 = 𝑟 cualquiera que sea el número 𝑟 y resulta que el “uno” se puede escribir de infinitas formas, 1 =2
2 =3
3= 4
4= 5
5= ⋯ y con ello, escogiendo un “uno” de esta forma, en cada caso se consigue lo que se denomina una amplificación de un quebrado.
En este sentido, por ejemplo: 12
5 =12×2
5×2 = 12×3
5×3 = ⋯ esto es: 12
5 =24
10=36
15= ⋯ y así por siempre, con todos y cada uno de los números racionales.
El convenio universal está en que, en todo proceso operatorio, su respuesta como fracción debe entregarse en la forma más simple y esto ocurre cuando, si la respuesta es la fracción 𝑎
𝑏, entonces 𝑀𝐶𝐷(𝑎, 𝑏) = 1.
El proceso de expresar una fracción en otra equivalente del que el numerador y el denominador sean primos relativos, se denomina simplificación.
En este proceso, lo recomendable es utilizar el Teorema Fundamental de la Aritmética, factorizando numerador y denominador en sus factores primos, para cancelar enseguida todos los factores 1 que puedan aparecer.
En el caso exhibido antes se tiene:
24
10= 2× 2 × 2 × 3
2× 5 = 2 × 2 × 3 5 =12
5 Y así, una multitud de ejemplos como:
98 360
1440=23× 32× 5
25× 32× 5= 23×32×5
23× 22×32×5= 1 4
El convenio universal de entregar toda respuesta de la manera más simple es de obligatorio cumplimiento y funciona no solo para las expresiones aritméticas sino también para las algebraicas.
Ejercicios:
Simplificar las siguientes fracciones:
810 270,1810
1270, 3465
21021,1443 999 ,168
352 .
La división es un procedimiento fácil, el numerador del cociente es el producto entre el numerados del dividendo y el denominador del divisor; y el denominador del cociente es el producto del denominador del dividendo y el numerador del divisor; esto es:
𝑎 𝑏÷𝑐
𝑑 =𝑎 × 𝑑 𝑏 × 𝑐.
También se puede decir que la división de 𝑎
𝑏 entre 𝑐
𝑑 corresponde a la multiplicación de 𝑎
𝑏 por el inverso multiplicativo de 𝑐
𝑑 es decir:
𝑎 𝑏÷𝑐
𝑑 =𝑎 𝑏× (𝑐
𝑑)
−1
= 𝑎 𝑏×𝑑
𝑐 = 𝑎 × 𝑑 𝑏 × 𝑐 . Ejemplo:
2 3÷5
4=2 × 4 3 × 5= 8
15 3
4÷5
8=3 × 8 4 × 5= 24
20= 6 5
Es costumbre escribir la división como lo muestra la siguiente figura, lo cual, coloquialmente, se denomina “ley de la oreja” o principio de la herradura.
Más adelante, en fracciones compuestas, se tendrá en cuenta que el vínculo principal se dispone de modo horizontal, tal como si fuera a pasar por en medio de las dos barras del igual.
La división permite responder a inquietudes, como el cálculo de la mitad de tres quintos, o los siete tercios de dos séptimos. Sacar la mitad, es dividir por dos y para ello es buena idea completar el 2 con un denominador 1; esto indica que la unidad se toma en su totalidad.
99 Ejemplos:
Determinar la mitad de tres quintos.
Solución:
La mitad de tres quintos, se calculan así:
3 5 2 =
3 5 2 1
= 3 × 1 5 × 2= 3
10
Determinar la séptima parte de tres octavos.
Solución:
3 8 7 =
3 8 7 1
= 3 56
La séptima parte de tres octavos se puede indicar como 1
7 de 3
8 que se puede escribir así:
1 7×3
8.
Simplificando se tiene:
1 7×3
8= 1 × 3 7 × 8= 3
56
Calcular las tres séptimas partes de dos quintos.
Solución:
Corresponde calcular el siguiente producto:3
7×2
5. Realizando el producto se tiene que:3
7×2
5= 6
35.