DINÁMICA DEL MECANISMO PROPUESTO.
DES 70 PLA M ENTO ANG
3.3. FUERZAS DINÁMICAS DE LAS RUEDAS DENTADAS
Por otro lado consideremos la dinámica del tren de engranajes, para hacer el análisis completo es necesario tener las masas de los engranajes, supondremos que k= 8 (k = factor de ancho de cara del diente) y con una densidad promedio de 7800 kg/m3. Con estos datos y con la tabla 2.2 se obtiene datos de la tabla 3.2.
El momento de inercia de masa se calcula de la siguiente expresión:
(
Iy = Iz = 1 m a +L
12 3
2 2
)
(3.29.). Tabla 3.2. Momento de inercia y mása de cada engranaje.Engrane Número de dientes Módulo (mm.) Diámetro (mm.) Ancho de cara (mm.) Ancho real (mm.) Área (mm.2) Volumen
(mm.3) Masa (kg.) de inercia Momento
(Kg. – m2) 1 20 4 80 32 38.1 5026.548 191511.49 1.493 0.0007 2 60 4 240 32 38.1 45238.93 1723603.4 13.44 0.0500 2' 30 4 120 32 38.1 11309.73 430900.85 3.361 0.0034 3 110 4 440 32 57.15 --- --- --- --- 4 20 8 160 64 50.8 20106.19 1021394.6 7.966 0.0144 5 50 8 400 64 50.8 125663.7 6383716.3 49.79 0.5088 brazo --- --- --- --- --- --- 1.5 0.0035
De la tabla 3.1. el momento máximo es 54.09683 N.-m. él cual deberá ser trasmitido por el engranaje 5 (ver figura 2.7.).
De los diagramas de cuerpo libre de la figura 3.4. se determinan las fuerzas que actúan en cada eslabón. Las fuerzas de inercia son cero para el engranaje planetario y el porta-engranaje (ó brazo), así como también para en engranaje externo de transmisión ya que la aceleración angular de los centros de masa de estos elementos es cero, los pares de inercia también son cero debido a que el tren opera a velocidad angular constante y aceleración angular igual a cero. Por lo que respecta a los satélites, las fuerzas de inercia centrifugas actúan debido a la aceleración centrípeta de los centros de los satélites. De donde se tiene:
T05 = r54 x F45. (3.39.). Si el torque es debido a la fuerza en “y” (ver figura 3.4.):
F45y = T r x 05 54 54 09683 0 2 = . . N.. O5 F45 F45y F45x F05 F45 = - F54 F04 = -FB4 “x” “y” T05 (a) 160 F2’B TO4 FB4 F2B + F2’B
Porta engranaje ó Brazo (b) Engranaje 5 Engranaje 4 (c) -F2’3 = F32’ Engranaje 3 “y” “x” TO3 FO3 “x” “y” T22’ FB2’ = -F2’B Engranaje 2’ F2’3 “y” F21 F01 To1 (d) “y” “x” T2’2 FB2 = -F2B F12 = -F21 Engranaje 2 Engranaje 1 “x” F2B T04
F45y = - 270.484 N. F45x = -98.448 N.
Si analizamos las fuerzas en el engranaje 5, tenemos las ecuaciones (3.40.), (3.41.) y (3.42.) tenemos:
F
∑
5x = F05x + F45x = m5acg5x (3.40.).F
∑
5y = F05y + F45y – m5g = m5acg5y (3.41.).T
∑
5cg = T05 + r54xF45y = Icgα
5 (3.42.). Siα
5 es igual a cero, la aceleración del centro de gravedad en el eje “y” es cero, de dónde tenemos que de la ecuación (3.40.) la fuerza en F05x es:F05x = (49.792)(7.121)2(-0.2) - 98.448 = -603.390 N. F05y = (49.792)(9.81) + 270.484 =758.953 N.
F05 = 969.098 N ∠ 51.514 º.
Analizando el engranaje 4 tenemos: F
∑
4x = FB4x - F54x = m4acg4x (3.43.).F
∑
4y = FB4y - F54y – m4g= m4acg4y (3.44.).T
∑
4cg = T04 - r45xF54y = Icgα
(3.45.). Sustituyendo valores en ecuaciones (3.43.), (3.44.) y (3.45.):FB4x =(7.966)(17.802)2(0.08) + 98.448 = 300.439 N FB4y = (7.966)(9.81) + (270.517) = 348.639 N.
FB4 = 460.231 N ∠ 49.246 º.
T04 = (0.2)(270.517) = 54.103 N-m.
Analizando el brazo del engranaje planetario. F
∑
brazo(x) = FB4x + (F2Bx + F2’Bx) = mBacg4x (3.46.).F
∑
brazo(y) = FB4y + (F2By + F2’By) – mBg= mBacg4y (3.47.).T
∑
brazo(cg) = T04 – r04B(F2By +F2’By) = I0α
(mB)(9.81)(r04Bcg) (3.48.). De la ecuación 3.48, despejamos (F2By + F2’By) y sustituimos valores obtenemos: F2By + F2’By = 330.789 N.Si por otro lado tenemos:
r r F F B x B x By By 2 2 2 2 ' ' = (3.49.).
Sustituyendo valores en la ecuación (3.49.): F2By = - 110.263 N.
F2’By = - 220.526 N.
Analizando el engranaje 2’ de la figura 3.3. tenemos: F
∑
2’x = -F2’Bx + F2’3x = m2’acg2x (3.50.).F
∑
2’y = -F2’By + F2’3y – m2g = m2’acg2’y (3.51.).T
∑
2’cg = T2’2 + (r2’3xF2’3 – r2’3yF2’3x) = Icgα
2’’ (3.52.). Sustituyendo valores en la ecuación (3.52.) tenemos que el torque es:T22’ = 13.231 N-m.
Sustituyendo valores en la ecuación (3.51.), obtenemos: F2’3y = (3.361)(9.81)-220.526 = -187.552 N.
Analizando el engranaje 3, tenemos: F
∑
3x = F03x - F2’3x = 0 (3.53.). F∑
3y = F03y - F2’3y = 0 (3.54.). T∑
3cg = T03 – r03xF2’3y = 0 (3.55.). Nótese que la FO3 y TO3 son respectivamente, la fuerza y el momento de torsión que ejerce el marco sobre el engranaje 3.Sustituyendo valores en ecuaciones (3.55.) y (3.54.) tenemos: T03 = 52.414 N-m.
F03y = 187.552 N.
Analizando el engranaje 2 tenemos: F
∑
2x = -F2Bx – F21x = m2acg2x (3.56.).F
∑
2y = -F2By – F21y – m2g = m2acg2y (3.57.).T
∑
2cg = T2’2 - (r12xF21y – r12yF21x) = Icgα
2 (3.58.). Si F2B es la fuerza del eje sobre el brazo planetario “B” que actúa contra el engranaje “2”, los engranajes 2 y 2’ están conectados entre si pero giran libremente sobre el eje del brazo planetario por consiguiente T2’2 es el momento de torsión ejercido por el engranaje 2’ sobre el engranaje 2. De donde sustituyendo valores en ecuación (3.57.) y (3.58.) tenemos:F21y = -21.624 N. T2’2 = 2.594 N-m.
Analizando al engranaje 1 tenemos: F
∑
1x = F01x + F21x = m1acg1x (3.59.).F
∑
1y = F01y + F21y = m1acg1y + m1g (3.60.).T
∑
1cg = T01 + (r12xF21y – r12yF21x) = Icgα1 (3.61.). Sustituyendo valores tenemos que :T01 = 0.864 N-m. F01y = 36.278 N.
Si tenemos que el ángulo de presión del engranaje es de 20 grados tenemos por tanto que:
F21x = F21x tan (20º) (3.62.). Sustituyendo valores en ecuación (3.62.) tenemos:
F21x = -7.870 N.
Con éste valor se sustituye en las diferentes incógnitas, de donde se obtiene la tabla 3.3.
Por otro lado para calcular la potencia del motor tenemos:
Potencia = torque x velocidad angular (3.63.). Sustituyendo el torque T01 y la velocidad angular del engranaje 1 tenemos:
Potencia = 0.165 Hp.
Con ésta potencia tenemos que el fabricante IFIMOTO-IBÉRICA , según sus tablas hay un motor de 0.25 Hp. con una eficiencia del 54 % a plena carga, de donde la potencia real seria del 0.15 hp. Por consiguiente no es el motor adecuado, el siguiente es de 0.33 HP. con una eficiencia del 54% a plena carga , de donde la potencia real seria de 0.1782 Hp., de donde se opta por éste motor para no forzarlo. Por consiguiente tenemos:
Potencia del motor = 0.33 Hp.
Según IFIMOTO–IBÉRICA ® se trata de un motor asíncrono monofásico de par medio de arranque (4 polos, 230 V. 50 Hz.) Tamaño IEC-71A con potencia nominal de 0.33 Hp. , velocidad angular de 142.418 (1360 r.p.m.) con una eficiencia del 54% a plena carga, y con una intensidad de corriente para 230 V. de 2.1 y con un peso aproximado de 7.6 Kg. Tabla 3.3. Fuerzas que actúan en el tren de engranajes.
Fuerza en “x”
(Newton). Fuerza en “y” (Newton). Fuerza total (Newton). (grados). Ángulo
F05 -603.390 758.953 969.098 51.514 F45 -270.484 -98.448 287.843 20 FB4 300.439 348.639 460.231 49.246 F2B 3627.977 -110.263 3629.65 1.737 F2’B 4012.349 -220.526 4018.40 3.145 F03 3557.868 187.552 3562.80 3.017 F21 7.870 -21.624 23.012 20 F01 142.531 36.278 134.890 43.373 F2’3 -3557.868 -187.552 3562.808 3.017
3.4. SUMARIO.
Del CAPITULO 2, se tomó la información obtenida del análisis y síntesis del mecanismo biela – manivela – corredera, así mimo la información cinemática del mecanismo de transmisión para poder evaluar las fuerzas que intervienen para obtener el movimiento deseado, es decir; en éste CAPITULO se analizaron las fuerzas dinámicas, conociendo la cinemática de los eslabones, este análisis se realizó en dos partes, en la
primera se analizó la dinámica del mecanismo biela – manivela – corredera, es donde se obtuvo una matriz en donde interviene el eslabón “leva”, ésta matriz se resolvió por medio de herramientas de cómputo, el método empleado es el llamado de “Gauss “, y por ultimo se analizaron las fuerzas que intervienen en las ruedas dentadas (engranajes), de manera que se puede decir que la dinámica es la base para realizar el análisis de los materiales y dimensiones faltantes del sistema. En el CAPÍTULO 4 se observarán dibujos de detalle, que es el resultado del análisis dinámico y mecánico.
REFERENCIAS
• Halmiton H. Mabie, Mecanismos y Dinámica de Maquinaria, 4ª. Edición, Compañía Editorial Continental, S. A. De C.V., México D.F., 1990
• Arthur G. Erdman, Diseño de Mecanismos, Análisis y Síntesis, 3ª. Edición, Prentice Hall, México D.F., 1998.
• Ferdinand P. Beer & E. Russell Johnston Jr., Mecánica Vectial para Ingenieros, Dinámica, 6ª. Edición, McGraw-Hill, México D.F.,1998.
• Joseph Edwar Shigler, Teoría de Máquinas y Mecanismos, 1ª. Edición, McGraw Hill, México D.F., 1988.