1.5 Estructura de la tesis
2.1.1 Funci ´on diel ´ectrica de los metales nobles
El origen de la funci ´on diel ´ectrica en los metales nobles puede entenderse al analizar el comportamiento de los electrones que lo conforman, para ello no solo se consideran los electrones de conducci ´on cuasi-libres asociados a las bandas sp, tambi ´en se debe incluir la influencia de los electrones ligados de las llamadas bandasd. Esto implica que la funci ´on diel ´ectricadebe escribirse como la suma de dos contribuciones, una debida a las transiciones electr ´onicas dentro de las bandas de conducci ´on (transiciones intrabanda) y las que se originan de las transiciones de las bandasd a las de conducci ´on (transiciones interbanda), por lo tanto se puede escribir la funci ´on diel ´ectrica como:
=l+ib. (16)
Las contribuciones l y ib corresponden a los electrones libres y electrones ligados
respectivamente. Para describir f´ısicamente cada una de estas contribuciones se emplean el modelo de Drude o de electrones libres que describe a l y el modelo de Lorentz que
describe aibpara electrones ligados. A continuaci ´on se presenta una descripci ´on b ´asica
de cada modelo.
2.1.1.1. Modelo de Lorentz
La descripci ´on para la contribuci ´on a la funci ´on diel ´ectrica debida a los electrones li- gados en el metal y correspondientes por lo tanto a las transiciones interbanda ib, se analiza empleando el modelo de Lorentz. Este modelo considera un ´atomo formado por un n ´ucleo y un electr ´on, el n ´ucleo es m ´as masivo que el electr ´on por lo que se puede considerar que se tiene un sistema electr ´on-resorte que esta conectado a una masa in- finita la cual no se mueve. La figura 9 muestra el sistema considerado. Las fuerzas que est ´an presentes en este sistema son: fuerza aplicada, fuerza del resorte y una fuerza de amortiguamiento. La fuerza que se aplica a este sistema es debida al campo el ´ectrico que var´ıa en el tiempo E(t), la fuerza del resorte es la descrita por la ley de Hooke y la fuerza de amortiguamiento m ´as simple es proporcional a la velocidad de la masa, esta fuerza proviene del campo que genera el propio electr ´on al ser desplazado por el campo
E(t), el cual afecta su propio movimiento. electrón masa infinita resorte E(t) Fuerza resorte Fuerza de amortiguamiento
Figura 9: Modelo de Lorentz. Configuraci ´on masa–resorte considerada en este modelo.
Se puede escribir la ecuaci ´on de movimiento para este oscilador forzado y amortigua- do como:
¨
x+γx˙ +ω20x=− e
mE(t), (17)
donde γ es la constante de amortiguamiento debida al campo generado por el electr ´on al ser desplazado y ω0 es la frecuencia natural de vibraci ´on. Una soluci ´on particular a la
ecuaci ´on diferencial (17), cuando se tiene un campo el ´ectrico externo arm ´onico depen- diente del tiempo de la forma E(t) = E0e−iωt, es considerar que la posici ´on del electr ´on
var´ıa de la misma manera es decir,x(t) = x0e−iωt. La soluci ´on es entonces:
x(t) = e
m((ω2−ω2
0) +iγω)
E(t). (18)
La polarizaci ´on macrosc ´opica se puede calcular a partir de los momentos dipolares
ex(t)inducidos medianteP =−nex, conn la densidad de n ´umero de dipolos, al sustituir el valor dexen esta ´ultima expresi ´on se tiene:
P=− ne
2
m((ω2−ω2
0) +iγω)
E. (19)
Al emplear la definici ´on dada para el vector de desplazamiento el ´ectricoDen la ecua- ci ´on (13) y sustituir el valor dePencontrado en la ecuaci ´on (19) se obtiene lo siguiente:
D=0 1 + ω 2 p (ω2 0 −ω2)−iγω E, (20) dondeω2
p ≡ ne2/m0, se conoce como la frecuencia del plasma. De la ecuaci ´on (20) se
obtiene por lo tanto la funci ´on diel ´ectrica buscada:
ib(ω) = 1 +
ω2
p
(ω20−ω2)−iγω. (21)
De la ´ultima ecuaci ´on (21), es evidente que la funci ´on diel ´ectrica es compleja por lo que puede dividirse en parte real y parte imaginaria escribi ´endose por lo tanto como:
ib(ω) = ib1(ω) + iib2(ω). Esto permite conocer como responde el material cuando se
cambia la frecuencia del campo electromagn ´etico incidente, siendo el resultado principal del modelo de Lorentz.
Una extensi ´on del modelo se da si se considera que no todos los electrones dentro del material tienen la misma frecuencia de resonancia, es decir hay diferentes frecuencias de resonancia (Fowles, 1975). En este caso se puede extender el modelo de Lorentz de la siguiente manera: = n X j=1 fjω2p ωj2−ω2 −iωγj, (22)
dondefj es conocida como fuerza de oscilador (“oscillator strength”) y1/γj es el tiempo
de relajaci ´on de la componente a frecuenciaωj.
2.1.1.2. Modelo de Drude
El modelo de Drude, describe la contribuci ´on de los electrones libres l a la funci ´on
diel ´ectrica y considera las siguientes suposiciones:
La estructura cristalina se compone de un n ´umero n de n ´ucleos con carga positiva id ´entica y n electrones, los cuales pueden moverse libremente dentro de la estruc- tura sin estar ligados a ninguno de los n ´ucleos.
Se ignora la estructura cristalina, su presencia solo se manifiesta en las colisiones que pueden tener los electrones con ella.
Los electrones se pueden considerar como un plasma de electrones libres.
Teniendo en cuenta las suposiciones anteriores, es posible escribir la ecuaci ´on de movimiento para un electr ´on que est ´a sujeto a un campo el ´ectrico externoE(t), como:
mx¨+mγx˙ =−eE. (23)
donde el t ´ermino de amortiguamiento mγx˙ sigue estando presente, aunque ahora se considera debido a las colisiones de los electrones con la red cristalina. Estas ocurren a una tasaγ = 1/τ, siendoτ el tiempo libre medio entre colisiones.
Se puede considerar que el modelo de Drude es un caso particular del modelo de Lorentz. Sin embargo, hist ´oricamente Drude desarroll ´o primero su modelo y fue Lorentz quien lo extendi ´o. Debido a esto, las consideraciones realizadas para obtener la contri- buci ´on de los electrones libres a la funci ´on diel ´ectrica son iguales a las empleadas en el modelo de Lorentz. La diferencia con el modelo de Lorentz es la carencia del t ´ermino de la contribuci ´on de la fuerza de restituci ´on de los electrones, similar a un resorte.
La soluci ´on a la ecuaci ´on diferencial (23) est ´a dada por:
x(t) = e
m(ω2+iγω)E(t). (24)
La polarizaci ´on macrosc ´opica debida a los momentos dipolares inducidos en el mate- rial se escribe como:
P=− ne
2
m(ω2+iγω)E. (25)
D=0 1− ω 2 p ω2+iγω E. (26)
Se encuentra entonces que la funci ´on diel ´ectrica, considerando que se tienen electro- nes libres, es:
l(ω) = 1− ωp2
ω2+iγω. (27)
Al igual que el resultado obtenido para el modelo de Lorentz la funci ´on diel ´ectrica resulta ser compleja, por lo que esta puede escribirse como:l(ω) = l1(ω) +il2(ω).