Generación de Esferoides Envolventes

La segunda posibilidad de modelar un objeto, a partir de las esferas de control envolventes de los conjuntos de puntos obtenidos por agrupación, es mediante esferoides. Este tipo de modelado va a resultar principalmente adecuado para brazos- robot articulados, por la forma “zigzagueante” que pueden adoptar. El número de esferas de control envolvente de los conjuntos generados en la fase de agrupamiento y el tipo de esferoide que se utiliza como envolvente del sistema robotizado vienen directamente relacionados según:

 Para modelar el robot mediante una esferoide cuadrática se necesitan tres esferas de control

 Para modelar el robot mediante una esferoide cúbica se necesitan cuatro esferas de control

 Para modelar el robot mediante una esferoide spline se necesitan cinco o más esferas de control

La esferoide obtenida dependerá de los grupos obtenidos en el proceso de agrupamiento, por lo que la elección de los puntos iniciales para realizar el agrupamiento va a ser decisiva. Para que el modelo sea adecuado, las esferas de control deben situarse en las proximidades de las articulaciones. Teniendo en cuenta que sobre los ejes de estas

articulaciones se colocan los sistemas de coordenadas locales de los elementos, los puntos orígenes de estos sistemas resultan adecuados para iniciar las agrupaciones. Además, durante los movimientos del robot, se conoce dónde se encuentran estos puntos.

Por tanto, para obtener una esferoide envolvente de un brazo-robot en una configuración dada, se realiza un agrupamiento partiendo de los puntos característicos situados en los orígenes de los sistemas de coordenadas locales de los elementos. Alrededor de estos puntos, el algoritmo de las nubes dinámicas generará grupos de puntos sobre los que posteriormente se generan las esferas de volumen mínimo que los envuelven. Las esferas generadas se encontrarán situadas siempre a lo largo del robot, siendo su situación simétrica cuando el robot lo sea. Con estas esferas se pueden obtener fácilmente las esferoides.

El coste de obtener una esferoide va a ser similar al de realizar un agrupamiento y calcular la esfera mínima de cada grupo, ya que obtener la esferoide a partir de estas esferas es un proceso cuyo tiempo de cálculo no es significativo frente al tiempo anterior (centésimas de milisegundo). Pero por la idiosincrasia del problema, los puntos característicos que definen un brazo-robot se encuentran semiagrupados inicialmente respecto a los ejes de articulación, por lo que los tiempos de cálculo son muy bajos. La Figura 3.10 muestra la evolución de estos tiempos según el número de puntos de entrada para las esferoides cuadráticas, cúbicas y splines de cinco y seis esferas de control.

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 Puntos T ie m p o ( s )

Esferoide Cuadrática Esferoide Cúbica Esferoide Spline (5) Esferoide Spline (6)

Figura 3.10. Tiempo de Ejecución del Cálculo de una Esferoide Envolvente. La

obtención de una esferoide envolvente mediante la utilización del algoritmo de las nubes dinámicas más el cálculo de la esfera mínima envolvente de cada grupo generado tiene un coste lineal al número de puntos de entrada. El tiempo medio necesario para generar una esferoide cuadrática, cúbica o spline de cinco o seis esferas de control envolvente de 2500 puntos es de 55, 63, 74 y 82 milisegundos respectivamente. La gráfica se ha obtenido tomando los valores medios de 500 pruebas de un programa C ejecutado en un ordenador Pentium a 160MHz con puntos de entrada semidistribuidos aleatoriamente alrededor de tantos centros aleatorios como esferas de control se deban conseguir.

La utilización de modelos esféricos envolventes tiene como aplicación el modelar un brazo-robot completo, de forma que el modelo se debe recalcular cuando se mueva el robot. Aunque los tiempos pueden considerarse como suficientemente rápidos (menos de una centésima de segundo cuando se dispone de hasta 250 puntos característicos) el proceso de generación se puede acelerar mediante alguna de las dos aproximaciones siguientes:

 Generar las esferas de control una vez para una configuración inicial y aplicar la cinemática directa sobre ellas cuando el robot se mueva, generando la nueva esferoide envolvente. Como los puntos característicos varían de posición al moverse el robot, para evitar que algunos puntos se salgan de las esferas de control, se puede aumentar el radio de las mismas. Este problema no aparece si las esferas de control se generan para el peor caso posible, aquel que produce radios de esferas mayores, pero produce que en los casos mejores las esferas estén sobredimensionadas.

 El movimiento del robot producirá cambios en la posición de los puntos característicos pero empíricamente se ha comprobado que estos cambios no altera el grupo al que pertenecen. Por tanto, si ante un movimiento del robot los grupo siguen manteniendo los mismos puntos característicos, bastaría con aplicar la cinemática directa sobre estos puntos y realizar únicamente el cálculo de la esfera mínima que envuelve a este grupo. El principal problema que plantean las esferoides es que no son objetos convexos, por lo que, pese a estar generados por esferas que envuelven a todos los puntos característicos de un robot, no se garantiza que envuelvan completamente al mismo. Empíricamente se ha comprobado que el caso peor se produce cuando dos elementos unidos por una articulación presentan un giro de 90º. Este problema se puede resolver de dos formas:

 Aumentando el radio de la esfera de control que se encuentra en este eje de articulación. El incremento del radio será mayor cuando la variable de articulación más se acerque a 90º. Sin embargo, el incremento puede llegar a ser grande (20% del radio). Es la solución a utilizar para mantener modelos del tipo esferoide cuadrática o cúbica.

 Introduciendo nuevas esferas de control en zonas intermedias de los elementos, de forma que se fuerza a que el modelo se aproxime más al robot. Eso lleva a que los modelos a utilizar sean esferoides splines con varias esferas de control. Adicionalmente se pueden aumentar los radios de las esferas por seguridad.

Las Figuras 3.11 a y b muestran como se han modelado dos brazos-robot industriales con esferoides cuadrática, cúbica y spline de cinco y seis esferas de control. Para los casos cuadrático y cúbico resultó necesario aplicar una corrección a los radios de las esferas de control. En ambos casos, la esferoide cúbica es la que peor modelo presenta, debido a la mala distribución que presentan las esferas de control a lo largo del robot (las dos últimas esferas de control se encuentran muy próximas). Los tiempos de cálculo de estos modelos son muy bajos, tardando 4ms para el modelo más completo. Para el modelado sólo se han considerado la parte articulada de los robots, es decir, sin considerar la plataforma, la base y el cuerpo, siguiendo la filosofía de modelado jerárquico que se presenta en la siguiente sección.

Figura 3.11a. Modelado con Esferoides de un Brazo-Robot Industrial. En esta

gráfica se muestran los modelos con esferoides cuadrática, cúbica y spline con cinco y seis esferas de control del robot IRB L6 de ABB. Sólo para los dos primeros casos se ha requerido aplicar un factor de corrección a los radios de las esferas de control (incremento del 5% y 20% del radio para la esfera de control situada en el codo en los casos cuadrático y cúbico respectivamente). En las gráficas, con las esferas de control solapadas a la esferoide generada, puede observarse que el caso cúbico es el que menos se ajusta a la forma de este robot. Los modelos se han obtenido a partir de 124 puntos característicos del robot con un programa C ejecutado en un ordenador Pentium a 160MHz dando unos tiempo de ejecución de 2.5ms, 3ms, 3.5ms y 4ms para los casos cuadrático, cúbico y spline de cinco y seis esferas de control respectivamente.

Figura 3.11b. Modelado con Esferoides de un Brazo-Robot Industrial. En esta

gráfica se muestran los modelos con esferoides cuadrática, cúbica y spline con cinco y seis esferas de control del robot IRB1500 de ABB. Sólo para los dos primeros casos se ha requerido aplicar un factor de corrección a los radios de las esferas de control (incremento del 5% del radio para la esfera de control situada en el codo en el caso cuadrático y del 20% del radio para la esfera de control situada en el codo y del 5% para la esfera de control situada en la muñeca para el caso cúbico). De las gráficas se puede deducir que el caso cúbico es de nuevo el que menos se ajusta a la forma de este robot. Los modelos se han obtenido a partir de 82 puntos característicos del robot con un programa C ejecutado en un ordenador Pentium a 160MHz dando unos tiempo de ejecución de 1.5ms, 2ms, 2.25ms y 2.5ms para los casos cuadrático, cúbico y spline de cinco y seis esferas de control respectivamente.