Poli-Esferas

Frente a los dos modelos comentados anteriormente, en esta sección se presenta un nuevo modelado esférico, las poli-esferas. Este tipo de modelado esférico se puede entender como continuo, ya que para cualquier nivel de aproximación deseado, el modelo está compuesto de infinitas esferas, frente a los modelos esféricos discretos anteriores que utilizan un número finito de esferas para cada nivel. El concepto de poli-esferas se basa en una aproximación para el modelado geométrico denominada inicialmente los politopos esféricos o s-topos, que se presentó en [THK90] y [THK91]. Con esta aproximación, los objetos (y en particular los elementos de un sistema robotizado) se aproximan por un número infinito de esferas, produciendo volúmenes de forma esférica. Estos trabajos previos adolecían de una falta de formalización y generalización, trabajando y aplicando relaciones lineales de forma independiente a los centros y radios de las esferas. En esta sección se introduce una normalización general para este tipo de modelos, que facilita su utilización en los siguientes capítulos.

2.3.1. Espacio Vectorial Esférico

Es bien conocido que la esfera se define mediante cuatro parámetros, por lo que se puede representar como un punto en 4 mediante una 4-tupla, representada por s=(x,y,z,r)4 cuyo centro se denota por s.c=(s.x,s.y,s.z)3 y su radio por s.r y que se define como el conjunto de puntos cuya distancia al centro de la esfera es menor o igual al radio de la esfera:





s p 3: ps c. s r.

siendo  la norma Euclídea en 3.

Esta representación de las esferas constrasta con otras representaciones utilizadas recientemente por otros autores como [Ped88], [DMT92], [BC+91], [BC+92] y [D&G94], que han representado una esfera como un punto en 4 (o un círculo como un punto en 3) mediante la 4-tupla (x,y,z,R) donde el radio de la esfera es r=x2+y2+z2-R. Si bien este tipo de representación tiene sus ventajas en la geometría computacional, no es así para el modelado que se presenta en este capítulo.

El conjunto de todas las esferas posibles en el espacio 3D se denomina Espacio Esférico, denotado por , cuya esfera origen s es la esfera nula formada por cuatro componentes nulas.

Dada una esfera, si, se define su vector esférico desde el origen, si, como una 4-tupla con

geométrico la unión de su esfera definitoria con un cono tangente a esta esfera cuyo vértice es el origen. Se denomina circunferencia tangente del vector esférico a la circunferencia de tangencia entre el cono tangente y la esfera definitoria. Se denomina eje del vector esférico si al vector tridimensional vi que va desde el origen al centro de la

esfera si y eje unitario a este vector dividido por su norma, vi vi / vi . Se denomina

grado de convergencia del vector esférico si al valor i s ri. / vi y ángulo de

convergencia a i=sin-1 i. Para valores del grado de convergencia igual o mayor que uno

( i1) el vector esférico es degenerado, no existiendo ni cono ni circunferencia tangente.

Se denomina n_i a cualquier vector unitario normal al cono tangente (apuntando hacia el exterior) del vector esférico si por lo que cumple que nivi   i . Se define el vector

esférico nulo, s_, a aquél con sus cuatro componentes nulas. La Figura 2.3 muestra éstos y otros parámetros de los vectores esféricos.

Dadas dos esferas si, sj, se define el vector esférico sij de la esfera si a la esfera sj, como el

vector esférico desde el origen a la esfera resultado de restar a cada componente de la esfera sj la correspondiente componente de si, por lo que siempre existe una esfera sk tal

que sk=sij. En este caso, el eje del vector esférico sij es el vector tridimensional vij que une

los centros de las esferas (siendo su vector unitario el eje unitario), el grado de convergencia es _ij 



s r_j. s r_i.



/ v_ij y el ángulo de convergencia ij=sin-1 ij. Nótese

que un vector generado así puede tener radio negativo en su esfera definitoria.

Sobre el conjunto de vectores esféricos se definen las siguientes operaciones internas:

 La suma (resta) de vectores esféricos es el vector esférico resultante de realizar la suma (resta) de sus componentes:

s s s s s s s s s s s s s s s i j k k i j k i j k i j k i j x x x y y y z z z r r r   : . _ . _ . , . _ . _ . , . . . , . . .

 El producto de un vector esférico por un real se define mediante el producto de cada componente por el escalar:

si sk s_s s_s s_s s_s k i k i k i k i x x y y z z r r  : ._. _ . ,_{. ,} ._. _ . ,_.

Estas operaciones cumplen las siguientes propiedades:

 Conmutativa: si sj=sj si

 Asociativa: (si sj) sk=si (sj sk)

 Distributiva: (si sj)= si sj

Además se define la suma (resta) de una esfera y un vector esférico como la esfera resultado de sumar (restar) sus componentes:

s s s x s x x s y s y y s z s z z s r s r r i j k k i j k i j k i j k i j  s _{ }s _ _s s s : . . . , . . . , . . . , . . .

Figura 2.3. Sentido Geométrico y Parámetros de un Vector Esférico. Un vector

esférico si viene definido por una esfera si y su cono tangente con vértice en el origen.

El eje del vector esférico es el vector tridimensional vi que va desde el origen al centro

de la esfera. El ángulo de convergencia i es el semiángulo del cono y el grado de

convergencia i es el seno de este ángulo. El vector ni es perpendicular al cono

tangente del vector esférico. La norma esférica euclídea ||si||s es la distancia del origen

a un punto del círculo formado por la intersección de la esfera definitoria con un plano que pasa por el centro de la esfera y tiene como vector normal el eje del vector esférico; la norma esférica tangente ||si||t es la distancia del origen a la circunferencia

de tangencia entre el cono y la esfera (ambos valores son diferentes al módulo del eje ||vi||), mientras que las normas esféricas mínima ||si||m y máxima ||si||M son las distancias

del origen al punto de la esfera más cercano y lejano respectivamente.

Se define la norma esférica euclídea de un vector esférico sij, representada por sij

s, como

la norma euclídea de la 4-tupla representativa del vector esférico, es decir:

       

s_ij s s s s

s  ij.x  ij.y  ij.z  ij.r

2 2 2 2

Para ciertos casos, esta norma no es muy significativa como medida de distancia, por lo que se pueden definir también las siguientes tres pseudo-normas:

 Pseudo-norma esférica tangente de un vector esférico sij t según:

       

s_ij s s s s t  ij.x  ij.y  ij.z  ij.r 2 2 2 2

 Pseudo-norma esférica mínima de un vector esférico s_ij

m según:

s_ij v s

m  ij  ij.r

 Pseudo-norma esférica máxima de un vector esférico s_ij

M según:

sij v s

M ij  ij. r

La norma esférica euclídea representa la distancia euclídea del origen a un punto del círculo formado por la intersección de la esfera definitoria con un plano que pasa por el centro de la esfera y tiene como vector normal el eje del vector esférico. La pseudo-norma esférica tangente representa la distancia euclídea del origen a un punto de la circunferencia tangente del vector esférico (longitud exterior del cono tangente). La pseudo-norma esférica mínima (máxima) se corresponde con la mínima (máxima) distancia del origen a la esfera definitoria (el significado de estas normas se puede ver en la Figura 2.3).

Un vector esférico es unitario respecto a una norma esférica cuando su norma esférica es uno. Por tanto existen cuatro formas de normalizar los vectores esféricos, cada una de ellas con un significado diferente. La Figura 2.4 muestra comparativamente diferentes vectores esféricos unitarios respecto a cada una de estas normas.

Es de resaltar que las tres últimas normas definidas son pseudo-normas por que no cumplen una de las tres propiedades de las normas, en concreto la que expresa que la norma de la suma de vectores es menor o igual a la suma de normas. La utilidad de estas diferentes normas esféricas se verá al analizar el cálculo de distancias entre objetos modelados con poli-esferas.

Dados n vectores esféricos respecto a una misma esfera s0, {s01,...,s0n}, se dice que son

linealmente independientes si cualquier combinación lineal no trivial es no nula, es decir,

i i i n i solo si i n s0 1 0 0 1    



, ,,

Figura 2.4. Vectores Esféricos Unitarios Respecto a Diferentes Normas Esféricas.

Los vectores esféricos de la figura superior izquierda son unitarios respecto a la norma esférica euclídea, cumpliendo todos ellos que la frontera de su intersección con la esfera unitaria (esfera centrada en el origen y de radio unidad) es una circunferencia con el mismo radio que la esfera definitoria del vector esférico. Los vectores esféricos de la figura superior derecha son unitarios respecto a la norma esférica tangente, cumpliendo todos ellos que la frontera de su intersección con la esfera unitaria es la circunferencia tangente del vector esférico. Los vectores esféricos de la figura inferior izquierda son unitarios respecto a la norma esférica mínima, cumpliendo todos ellos que sus esferas definitorias son tangentes exteriormente a la esfera unitaria. Los vectores esféricos de la figura inferior derecha son unitarios respecto a la norma esférica máxima, cumpliendo todos ellos que sus esferas definitorias son tangentes interiormente a la esfera unitaria.

En cualquier otro caso son linealmente dependientes, y por lo menos uno de los vectores esféricos es una combinación lineal de los demás, es decir

       



j j i i i i j n i i j i n i j 0 0 0 1 1 :s s , , ,..., ,

Se define el producto escalar esférico entre dos vectores esféricos no nulos, si y sj de la

siguiente forma:

s s_{i j} s_{i s} s_j

s ij

siendo ij el mínimo ángulo que forma el eje del vector esférico si con el cono tangente del

vector esférico sj y cuyo coseno se define como:





cos ij cos ij j cos ijcos jsin ijsin j

siendo ij el ángulo que forman los ejes vi y vj de los vectores esféricos si y sj, cuyo coseno

es cos _ij i j

i j

 v v

v v y j el ángulo de convergencia del vector esférico sj. Nótese que este

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