Geometría de la cámara de fotografía aérea

Cuando se trabaja con fotografía aérea, actualmente digital, el observable es una imagen cuyas características vienen dadas tanto por la óptica como por el sensor de la cámara fotográfica con la que ha sido tomada.

En la Figura 1.28 se muestra el esquema general de funcionamiento de una cámara en fotogrametría. En esta figura, cualquier rayo de luz que se refleja en el terreno sigue una trayectoria (en azul) que pasa por el objetivo de la cámara y llega al sensor, definido por sus dimensiones 𝑊_𝑚× 𝐻_𝑚 (normalmente en mm). El sensor está situado en el plano 𝐼_𝑖, denominado plano focal. La distancia entre el plano focal y el centro óptico del objetivo o centro de proyección 𝑂_𝑖 se denomina distancia focal

(𝑓_𝑖 en la figura) y se suele expresar en milímetros. La distancia comprendida entre el centro de proyección 𝑂_𝑖hasta el terreno se denomina altura de vuelo5 _{(ℎ en la figura).}

La óptica del objetivo de la cámara no es perfecta, por lo que cualquier rayo al pasar por él sufre una desviación, que se conoce como distorsión. Las desviaciones que sufren los rayos al pasar por el objetivo se pueden separar en dos componentes

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principales (una tangencial y otra radial). La dirección de incidencia que menor distorsión sufre en su trayectoria define sobre el sensor un punto denominado punto principal de simetría (PPS), que juega el papel de centro de simetría de la distorsión radial. La distorsión radial tiene importancia en la restitución fotogramétrica, ya que es necesario corregir la posición de los puntos para que ocupen su ubicación real en el fotograma sin desviación. Esta distorsión se hace mayor cuanto más nos alejamos del PPS (de ahí el nombre de radial) y se puede modelar por una función polinómica (Pérez, 2002) utilizando esta distancia como variable.

Figura 1.28. Geometría de los rayos en la cámara fotográfica. Todos los rayos de luz sufren una desviación al pasar por el objetivo de la cámara (el rayo ideal 𝑎𝑎′ _{se desvía y llega a 𝑎}′′_{), excepto el}

que pasa por el PPS o punto principal de simetría. En general el PPS no coincide con el centro del sensor o de la fotografía.

Siendo el sensor de 𝑊 × 𝐻píxeles, se define el GSD (Ground Sample Distance) como la resolución longitudinal de un píxel sobre el terreno (en metros por píxel). Esto es, cada píxel del sensor abarca sobre el terreno una longitud GSD (es habitual un valor único para ambas direcciones y para todo píxel). Mediante una sencilla regla de tres obtenida de la Figura 1.28, se llega a la expresión

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𝐺𝑆𝐷 =𝑟𝑝 ℎ

𝑓_𝑖 , [1.92]

donde 𝑟𝑝 es la resolución del píxel, que se obtiene como el cociente 𝑟𝑝 = 𝑊𝑚

𝑊,

representada en milímetros por píxel o en micras por píxel, aunque normalmente se habla simplemente de la resolución del píxel en micras. La resolución del píxel depende únicamente del tamaño y del número de píxeles que tenga el sensor, es decir, sólo depende de la construcción de la cámara. Aunque se puede definir una resolución del píxel por filas y otra por columnas, lo habitual es que ambas sean la misma. En tal caso,

𝑟_𝑝 = 𝑊𝑚 𝑊 =

𝐻_𝑚

𝐻 . [1.93]

En cambio el GSD depende además de las condiciones de la toma fotográfica (la distancia a la que se encuentra el objeto). Para una misma cámara y objetivo, el GSD será mayor cuanto más lejos se sitúe el objeto.

Para localizar un píxel en el sensor puede usarse su fila y su columna (sistema de coordenadas discreto, conocido como sistema píxel), que habitualmente se cuentan desde la esquina superior izquierda. Pero es de gran utilidad para el cálculo de magnitudes sobre la foto centrar el origen de coordenadas en el sensor de la cámara (plano 𝐼_𝑖), definiendo un nuevo sistema de coordenadas continuas (sistema imagen o fiducial), como se muestra en la Figura 1.29. Se pueden relacionar las coordenadas del punto 𝐴 del sensor en ambos sistemas como

𝑥_𝐴 = 𝐶𝑂𝐿_𝐴 𝑟_𝑝−𝑊𝑚 2 , 𝑦𝐴 = 𝐻_𝑚 2 − 𝐹𝐼𝐿𝐴 𝑟𝑝, [1.94]

donde (𝐶𝑂𝐿𝐴, 𝐹𝐼𝐿𝐴) son las coordenadas píxel del punto 𝐴, adimensionales (número

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Figura 1.29. Sistema de coordenadas fiducial con origen en el centro de la imagen (en color negro), en donde aparece el PPS. Cada imagen generada por el sensor es un fichero ráster compuesto por

píxeles divididos en filas y columnas (sistema píxel, en color naranja).

1.4.5. Fotogrametría

La “Society for Photogrammetry and Remote Sensing” (Paul et al., 1974) define la fotogrametría como la ciencia que nos permite determinar las propiedades geométricas de los objetos y las situaciones espaciales a partir de imágenes fotográficas.

La información que en primera instancia se obtiene de una fotografía es sobre la geometría bidimensional del objeto. Si trabajamos con dos fotografías de un mismo objeto obtenidas desde puntos de vista diferentes, en la zona en que ambas captan el objeto en común (zona de solapamiento o de recubrimiento) existe información estereoscópica o tridimensional, ya que se puede obtener la coordenada 𝑧 (ver Figura 1.30).

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En la Figura 1.30 se muestra una toma fotográfica estereoscópica de un punto 𝑃

sobre el terreno, de coordenadas (𝑋_𝑡, 𝑌_𝑡, 𝑍_𝑡) en un sistema de referencia 𝑅_𝑡 de centro

𝑂_𝑡. Si se realizan dos fotografías en el espacio desde diferentes puntos de vista, 𝑂_𝑖 y

𝑂𝑗 (centros de proyección de cada cámara), los sensores de las cámaras ocupan dos

planos en el espacio, 𝐼_𝑖 e 𝐼_𝑗, respectivamente (planos focales o de imagen). La luz reflejada en el punto 𝑃 (líneas de color naranja de la figura, 𝑅𝑦_𝑖 y 𝑅𝑦_𝑗) reproduce su imagen en el sensor de cada cámara, en los puntos 𝑃𝑖 y 𝑃𝑗, como intersecciones

respectivas de las rectas 𝑅𝑦_𝑖 y 𝑅𝑦_𝑗 con los planos 𝐼_𝑖 e 𝐼_𝑗. Las coordenadas de 𝑂_𝑖, 𝑂_𝑗,

𝑃_𝑖y 𝑃_𝑗, en el sistema de referencia terrestre 𝑅_𝑡, son, respectivamente, (𝑋_𝑡𝑂𝑖_{, 𝑌}

𝑡 𝑂𝑖_{, 𝑍}

𝑡 𝑂𝑖_),

(𝑋_𝑡𝑂𝑗, 𝑌_𝑡𝑂𝑗, 𝑍_𝑡𝑂𝑗), (𝑋_𝑡𝑖, 𝑌_𝑡𝑖, 𝑍_𝑡𝑖) y (𝑋_𝑡𝑗, 𝑌_𝑡𝑗, 𝑍_𝑡𝑗).

Figura 1.30. Esquema de una toma fotográfica estereoscópica. Detalle de las coordenadas de la imagen producida por el punto 𝑃 en las dos tomas fotográficas. El punto 𝑃 produce una imagen 𝑃_𝑖 en

el fotograma izquierdo y una imagen 𝑃𝑗 en el fotograma derecho. En este caso, los planos imagen se sitúan por delante de los centros de proyección porque el desarrollo se hace más intuitivo. El

resultado final es el mismo.

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Teorema 1 (condiciones de colinealidad): Los puntos 𝑃, 𝑃_𝑖 y 𝑂_𝑖 se encuentran en la recta 𝑅𝑦_𝑖; los puntos 𝑃, 𝑃_𝑗 y 𝑂_𝑗se encuentran en la recta 𝑅𝑦_𝑗.

Teorema 2: Los puntos 𝑂_𝑖, 𝑂_𝑗, 𝑃_𝑖, 𝑃_𝑗 y 𝑃 se encuentran todos en un mismo