5. Teoría de grafos y aplicaciones
5.5 Grafos planos
Definición 5.5.1 Un grafo es plano si puede ser dibujado en el planoR2sin que se corte ninguna arista. 2 Observación 5.5.2 Los grafos planos juegan un papel importante en muchas situaciones. Por ejemplo, el diseño de placas electrónicas en donde los vértices son los dispositivos electrónicos y las aristas los caminos impresos en la placa. El cruce de aristas representa un cortocircuito. 2
Elementos de Matemáticas y aplicaciones Grafos planos 191
Ejemplo 5.5.3
a) Un ejemplo sencillo de grafo no plano es el grafo completo K5de 5 vértices. En la Observación5.5.9
veremos que, efectivamente, no admite una representación plana; sin embargo, es muy sencillo compro- bar que K2, K3y K4sí son planos. Evidentemente Kn con n > 5 tampoco es plano, pues contiene a K5como subgrafo.
b) Otro ejemplo importante es el problema de las tres casas y los tres pozos (el grafo bipartito K3,3): tres
vecinos, Antonio, Bernardo y Carla se llevan muy mal entre ellos. Desgraciadamente conviven en una parcela con tres pozos tal y como se muestra en la Figura5.21. ¿Pueden construir cada uno de ellos 3 caminos uniendo su casa con cada uno de los pozos de tal manera que los caminos no se crucen? (así se evitan encuentros desagradables). Si tal configuración de caminos existiese, escogiendo el circuito
Figura 5.21: Problema de las tres casas y los tres pozos.
determinado por el siguiente orden de vértices
C1P1C2P2C3P3C1
(donde C1, C2, C3 representan las 3 casas y P1, P2, P3 los tres pozos) quedaría por trazar las aristas C1P2, C2P3y C3P1. Sin embargo, el circuito mencionado es una curva cerrada simple con una región
“dentro” y otra “fuera” (teorema de la Curva de Jordan). Así, C1P2se puede trazar por dentro y C2P3
por fuera (o al contrario), imposibilitando el trazado de C3P1. 2
Los dos ejemplos anteriormente vistos son esencialmente los grafos que caracterizan la no planaridad. En efecto:
Definición 5.5.4 Una subdivisión elemental en un grafo consiste en añadir un vértice w en una arista{u, v}; es decir, añadir un vértice nuevo w al conjunto de vértices y reemplazar una arista{u, v} por dos aristas
{u, w} y {w, v}. Dos grafos se dicen que son homeomorfos si ambos son resultado de la realización de
subdivisiones elementales del mismo grafo (véase la Figura5.22). 2
Teorema 5.5.5 Un grafo no es plano si, y sólo si, contiene un subgrafo homeomorfo a K5o K3,3.
DEMOSTRACIÓN. No se incluye la prueba. 2
Ejemplo 5.5.6 De los grafos representados en la Figura5.23, el grafo (a) no es plano puesto que contiene un subgrafo K3,3(basta eliminar la arista horizontal gruesa en azul; los tres vértices alineados en horizontal
serían uno de los dos conjuntos de vértices y los tres vértices restantes el otro). El grafo (b) es trivialmente plano (basta desplazar el vértice rojo dentro del ciclo formado por los cuatro vértices azules).
Figura 5.23: Grafo no plano y grafo plano.
5.5.1
Fórmula de Euler
Un grafo plano divide el plano en varias regiones disjuntas, incluida una región no acotada exterior. Si c denota el número de tales regiones, v el número de vértices y a el número de aristas, se tiene el siguiente resultado:
Teorema 5.5.7 (Euler) Si G es un grafo plano conexo, entonces c + v = a + 2.
DEMOSTRACIÓN. Se trata de una prueba similar a una demostración por inducción en el número de aris- tas. Partimos del subgrafo G1formado por una arista y sus dos vértices (o el mismo) de G y vamos a ir
añadiéndole aristas hasta terminar con el grafo G. a) Para G1se cumple la igualdad de Euler.
b) Ahora añadimos una arista a G1de forma que uno de los extremos sea un vértice de G1. Si el otro vértice
no es de G1, lo añadimos. Así construimos G2 y, de manera recurrente, los grafos G3, G4,. . . hasta
llegar al grafo G. Sean vn, an y cn el número de vértices, aristas y regiones de Gn. Ya hemos visto
que c1− a1+ v1 = 2. Si ahora suponemos que la fórmula de Euler es cierta para Gn−1, veamos que
también es cierta para Gn. Si la arista nueva tiene los dos vértices en Gn−1, entonces es fácil ver que cn = cn−1+ 1, an= an−1+ 1 y vn = vn−1, por lo que se sigue cumpliendo la fórmula de Euler. Si,
por el contrario, hay que añadir un vértice a la nueva arista, no se crea ninguna nueva región y, por tanto,
cn = cn−1, an = an−1+ 1, vn= vn−1+ 1 y se sigue cumpliendo la igualdad. 2
Corolario 5.5.8 En un grafo simple plano conexo con v≥ 3 se cumple que a ≤ 3v − 6.
DEMOSTRACIÓN. Para probar este resultado utilizaremos el concepto de grado de una región. En un grafo simple plano conexo, llamaremos grado de una región al número de aristas que se recorren al dibujar su frontera, de modo que una arista se cuenta dos veces si se pasa dos veces por ella (véase la Figura5.24).
Pues bien: hacemos notar que la suma de los grados de todas las regiones es 2a, ya que cada arista la estamos contando dos veces (bien porque es frontera de dos regiones distintas, bien porque la recorremos dos veces al dibujar la frontera de una región). Por otra parte, la hipótesis v ≥ 3 obliga a que el grado de cada región sea, al menos, tres, por lo que la suma de los grados de todas las regiones (es decir, 2a) es mayor o igual que 3c. Así pues, hemos obtenido que
c≤ 2
3a.
Elementos de Matemáticas y aplicaciones Coloración de grafos 193
Figura 5.24: Grado de una región.
Observación 5.5.9 K5no es plano pues, en él, se tiene que a = 10, v = 5 y 10 > 15− 6 = 9. 2
Observación 5.5.10 La fórmula de Euler también es válida para poliedros. De hecho, un poliedro se puede desarrollar en el plano sin roturas deformándolo de tal manera que se preserven aristas, caras y vértices. El resultado es un grafo plano. En ese caso a y v son las aristas y vértices del poliedro y el número de regiones
c corresponde con el número de caras (véase la Figura5.25). 2
Figura 5.25: Poliedros.