4. Dinámica discreta
4.1 Sistemas dinámicos discretos Terminología
En esta sección vamos a introducir los conceptos básicos de la teoría de sistemas dinámicos discretos. Comenzamos con algunos ejemplos:
Ejemplo 4.1.1 Supongamos que el 1 de Enero de 2010 abrimos una cuenta en el banco con 1000e a interés compuesto del 10 % anual. De esta forma, el 1 de Enero de 2011 tendremos 1100e en nuestra cuenta (los 1000e originales más el 10 % de los 1000 e de interés). El 1 de Enero de 2012 no tendremos 1200 e sino que, para nuestra satisfacción, tendremos 1210e en nuestra cuenta (los 1100 e que teníamos más el 10 % de los 1100e de interés). Destacamos lo siguiente:
a) El conocimiento de lo que es cierto hoy (tenemos 1000e en el banco).
b) La repercusión que tienen los actos actuales en el futuro (podemos predecir cuánto dinero tendremos en nuestra cuenta en cualquier instante futuro1).
Traslademos la situación anterior al lenguaje de las matemáticas: el 1 de Enero de 2010 es el tiempo 0, el 1 de Enero de 2011 es el tiempo 1, el 1 de Enero de 2012 es el tiempo 2,. . . De esta forma, el 1 de Enero de 2028 es el tiempo 2028− 2010 = 18 (los demás días son irrelevantes, pues el dinero de nuestra cuenta permanece inalterable hasta el 1 de Enero del siguiente año). Denotemos por A(0) la cantidad (en euros)
que tenemos en nuestra cuenta en el tiempo 0, es decir, A(0) = 1000. De la misma forma, A(1) = 1100 y A(2) = 1210. Nuestro objetivo es predecir cuánto dinero tendremos en nuestra cuenta en el tiempo n, siendo n un año futuro. Por ejemplo, si n = 18 (año 2028), ¿cuánto es A(18)? Puesto que la cantidad en el tiempo 1 es la cantidad en el tiempo 0 más el interés de la cuenta en el tiempo 0 (10 % de A(0)), podemos escribir
A(1) = A(0) + 0′1 A(0) = 1′1 A(0). Análogamente,
A(2) = 1′1 A(1), A(3) = 1′1 A(2), . . . , A(18) = 1′1 A(17)
y, así, sucesivamente. Necesitamos una expresión más manejable para las expresiones anteriores. Textual- mente, las ecuaciones anteriores dicen que “la cantidad en nuestra cuenta el próximo año es la cantidad que tenemos en nuestra cuenta este año más el interés de la cuenta en este año”. Si éste es el año n, el año próximo es el año n + 1; si denotamos, respectivamente, la cantidad en el banco en cada uno de estos años por A(n) y A(n + 1), la sentencia anterior se expresa matemáticamente como
A(n + 1) = A(n) + 0′1 A(n) = 1′1 A(n), n = 0, 1, 2, . . . (4.1) Nótese que la ecuación (4.1) no resuelve nuestro problema, pero le redefine matemáticamente. Para resolver nuestro problema necesitamos algún método que permita determinar la cantidad de euros que tenemos en nuestra cuenta en cualquier instante de tiempo futuro.
• Un método para encontrar una solución es el cálculo directo: con vistas a calcular A(18), puesto que
A(0) = 1000, por sustitución directa obtenemos que
A(1) = 1′1 A(0) = 1100. Repitiendo este proceso, se obtiene que
A(2) = 1′1 A(1) = 1210, A(3) = 1′1 A(2) = 1331
y, así, sucesivamente. Por este procedimiento llegaríamos a calcular A(18) de una forma larga y tediosa.
• En lugar de esto, podemos utilizar un ordenador: escribiendo un programa sencillo (en casi cualquier lenguaje de programación), podríamos calcular A(100) o A(1000) rápidamente.
• No obstante, podemos obtener la mejor solución de (4.1) (en el sentido de ser la más cómoda para trabajar) haciendo las sustituciones
A(2) = 1′1 A(1) = (1′1)2A(0), A(3) = 1′1 A(2) = (1′1)3A(0)
y, en general,
A(n) = (1′1)nA(0), n = 0, 1, 2, . . . (4.2) La ecuación (4.2) es lo que nosotros entenderemos por “solución” de nuestro problema. Utilizaremos esta ecuación y un ordenador (o calculadora) para obtener, de una forma rápida y sencilla, los euros que tendremos en nuestra cuenta en cualquier instante de tiempo futuro. En particular, para el caso que nos ocupa, se tiene que
A(18) = (1′1)181000≈ 5560 e. 2
El ejemplo anterior es significativo del resto de este capítulo, en el sentido de que se utiliza la informa- ción en un determinado instante para deducir lo que ocurrirá en instantes posteriores. Este tipo de problemas aparece en crecimiento de poblaciones, genética o juegos de azar, por citar algunas situaciones.
Una vez analizado un problema, el siguiente paso es su generalización. La razón de esto es que las gene- ralizaciones son, frecuentemente, tan sencillas de estudiar como los casos particulares y tienen la ventaja de que se pueden aplicar en situaciones más generales. Con vistas a generalizar el Ejemplo4.1.1supongamos que el interés del banco no es el 10 % sino el I = 100i % (en el caso anterior, i = 0′1). La cantidad de
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dinero que tendremos el próximo año será la cantidad que tenemos este año más i veces de la cantidad que tenemos este año, es decir,
A(n + 1) = A(n) + iA(n) = (1 + i)A(n), n = 0, 1, 2, . . . (4.3)
Nótese que la ecuación (4.3) coincide con (4.1) cuando i = 0′1. Desde el punto de vista matemático es tan sencillo trabajar con la ecuación (4.3) como con la ecuación (4.1). Además, la ecuación (4.3) tiene la ventaja de que, si el banco cambia el tipo de interés, sabremos lo que ocurrirá con nuestro dinero sin tener que realizar trabajo adicional. De forma análoga a como se hizo en el Ejemplo4.1.1, la solución de la ecuación (4.3) es
A(n) = (1 + i)nA(0), n = 0, 1, 2, . . . (4.4)
Ejemplo 4.1.2 Consideremos un cultivo celular en el que las células se reproducen por mitosis de forma que, por cada célula aparecen dos nuevas células transcurrida una unidad de tiempo y, supongamos también, que en el tiempo considerado las células no se mueren. La manera más sencilla de modelizar este problema es considerar el cambio en el tamaño del cultivo en una unidad de tiempo. Sea A(0) = a0 el número de
células que hay en el instante t = 0 (el tiempo en el que comenzamos nuestras observaciones). De esta forma, la diferencia A(1)− A(0) representa el cambio en la cantidad de células tras la primera unidad de tiempo; pero este cambio es igual al número de nuevas células, es decir, el número de células que han aparecido en ese periodo de tiempo. Por tanto,
A(1)− A(0) = A(0).
Análogamente, el cambio desde el periodo 1 al periodo 2, A(2)− A(1), es igual al número de células nacidas en la población de tamaño A(1), es decir,
A(2)− A(1) = A(1).
Continuando esta argumentación, se obtiene que el cambio en el tamaño del cultivo en un determinado periodo de tiempo es igual al tamaño que tenía la población en el inicio del periodo, esto es,
A(n + 1)− A(n) = A(n)
o, equivalentemente,
A(n + 1) = 2A(n), n = 0, 1, . . .
Si suponemos que inicialmente en el cultivo hay A(0) = 100 células, para los sucesivos periodos de tiempo se van obteniendo los tamaños
A(1) = 200, A(2) = 400, A(3) = 800, A(4) = 1600, A(5) = 3200, A(6) = 6400, . . .
Estos valores crecen exponencialmente a infinito (no es difícil conjeturar que A(n) = 100× 2n); de hecho, por ejemplo, A(100) es del orden de 1030, por lo que este modelo no parece muy realista.
Para mejorar nuestro modelo, supongamos que el número de células que surgen en un periodo n es proporcional al tamaño de la población en ese periodo (es decir, el número de nacimientos en el periodo n es igual a bA(n), siendo b la tasa de natalidad) y que el número de muertes en el periodo n es proporcional al tamaño de la población en ese periodo (es decir, el número de muertes en el periodo n es igual a dA(n), siendo d la tasa de mortalidad). Puesto que el cambio en el tamaño del cultivo en un periodo es igual al balance entre nacimientos y muertes, se tiene que
A(n + 1)− A(n) = bA(n) − dA(n)
o, equivalentemente,
A(n + 1) = (1 + r)A(n), n = 0, 1, . . .
siendo
la tasa neta del crecimiento del cultivo. Si suponemos que inicialmente A(0) = 100 y consideramos un va- lor razonable de la tasa neta de crecimiento, por ejemplo, r = 0′2, se obtiene que A(10) = 619′174, A(20) = 3833′760, A(50) = 910043′815 y A(100) = 8281797452′201 (de hecho, A(n) va a infinito exponencial- mente). Esta es la teoría de Malthus, según la cual las poblaciones crecen exponencialmente; Malthus pre- dijo una catástrofe mundial que todavía no ha ocurrido. En la Sección4.4.2estudiaremos un modelo más adecuado para el crecimiento de una población. 2
Ejemplo 4.1.3 Leonardo de Pisa (más conocido por Fibonacci) planteó y resolvió el siguiente problema sobre el crecimiento de una población de conejos: “Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada mes engendra una pareja de conejos que, a su vez, tras ser fértiles en- gendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?”. En el instante inicial (el nacimiento de la pareja original) tenemos una pareja de conejos. Obvia- mente, al finalizar el primer mes seguirá habiendo en la población una única pareja de conejos. Trascurridos 2 meses habrá 2 parejas (la original y su descendencia). Al cabo de tres meses habrá 3 parejas: las dos que teníamos más la descendencia de la original. En general, en cada mes tendremos tantas parejas como había el mes anterior más las descendientes de las parejas que había hace dos meses. Se obtiene así la sucesión de Fibonacci, que se genera mediante
A(n + 2) = A(n + 1) + A(n), n = 0, 1, 2, . . . ,
con A(0) = 1 y A(1) = 1. Así pues, el número de parejas de conejos es, en los sucesivos meses,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .
Más adelante regresaremos sobre este ejemplo. 2
Las ecuaciones que describen una relación entre un instante de tiempo e instantes de tiempo anteriores (como las ecuaciones (4.1) y (4.3)) se denominan sistemas dinámicos discretos o ecuaciones en diferencias. Las expresiones explícitas (o en forma cerrada) (como las ecuaciones (4.2) y (4.4)) se denominan solucio-
nes del sistema dinámico correspondiente. De manera informal, un sistema dinámico es una sucesión de
números definida de forma recursiva, es decir, hay una regla que relaciona cada término de la sucesión con términos anteriores de la misma. Por ejemplo, para la sucesión de potencias de dos 1, 2, 4, 8, 16, . . . la regla que los determina es A(0) = 1 y
A(n + 1) = 2A(n), n = 1, 2, . . .
es decir, cada término de la sucesión es el doble que el anterior. Como acabamos de ver, la sucesión se obtiene a partir de la regla de formación y el primer término. Veamos otro ejemplo: a partir de
{
A(0) = 0′1
A(n + 1) = 2A(n)(1− A(n)), n ∈ N ∪ {0}
se obtiene la sucesión
A(1) = 2A(0)(1− A(0)) = 0′18, A(2) = 2A(1)(1− A(1)) = 0′2952,
A(3) = 2A(2)(1− A(2)) = 0′4161, A(4) = 2A(3)(1− A(3)) = 0′4859, . . .
Los sistemas dinámicos pueden venir dados en muchas formas distintas pero, como veremos, diferentes tipos de ecuaciones (aparentemente distintas) pueden ser tratadas de forma parecida. Por esto dividiremos estos sistemas en grandes clases y estudiaremos cada una de ellas por separado.
Definición 4.1.4 Un sistema dinámico discreto de primer orden es una sucesión de números{A(n)}∞n=0 de forma que cada elemento de la misma está relacionado con el anterior mediante una relación del tipo
A(n + 1) = f (A(n), n) (4.5)
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Observación 4.1.5
a) El sistema dinámico es de primer orden porque cada elemento de la sucesión depende sólo del elemento anterior.
b) En todo lo que sigue, con bastante frecuencia omitiremos el término discreto (hablaremos, simplemente, de sistemas dinámicos) e identificaremos el sistema dinámico con la regla que lo define. 2
Ejercicio 4.1.6 Encontrar los primeros seis valores{A(n)}6
n=1del sistema dinámico A(n + 1) = 1 + 2A(n), n = 0, 1, 2, . . .
si A(0) = 5.
SOLUCIÓN.
A(1) = 1 + 10 = 11, A(2) = 1 + 22 = 23, A(3) = 1 + 46 = 47, A(4) = 1 + 94 = 95, A(5) = 1 + 190 = 191 y A(6) = 1 + 382 = 383. 2
Definición 4.1.7 Consideremos un sistema dinámico de primer orden de la forma (4.5).
a) Llamaremos solución general del sistema dinámico (4.5) a la familia de todas las sucesiones{A(n)}∞n=0 que satisfacen el sistema dinámico cuando se sustituyen los valores A(n) y A(n + 1).
b) Llamaremos solución particular del sistema dinámico (4.5) con dato inicial A(0) = a0a una sucesión {A(n)}∞
n=0que satisface el sistema dinámico cuando se sustituyen los valores de A(n) y A(n + 1) y,
además, satisface la condición inicial A(0) = a0. 2
Observación 4.1.8 En la solución general de un sistema dinámico de primer orden suele aparecer una constante arbitraria que queda determinada cuando se fija un valor inicial A(0). 2
Definición 4.1.9 Un sistema dinámico discreto de primer orden se denomina lineal de coeficientes cons-
tantes si es de la forma
A(n + 1) = rA(n) + b, n = 0, 1, 2, . . .
con r, b∈ R. Diremos que el anterior sistema es: a) homogéneo si b = 0.
b) afín si b̸= 0. 2
Ejemplo 4.1.10 De los sistemas dinámicos de primer orden
A(n + 1) = 3A(n) y A(n + 1) = 2A(n) + 5
(las funciones que los definen son, respectivamente, f (x) = 3x y f (x) = 2x + 5), el primero es lineal homogéneo y el segundo es afín. 2
Ejemplo 4.1.11 La solución general del sistema dinámico lineal
A(n + 1) = 3A(n), n = 0, 1, 2, . . . (4.6)
es
A(n) = c3n, n = 0, 1, 2, . . . (4.7) con c∈ R. En efecto, basta observar que
A(n + 1) = c3n+1= 3c3n= 3A(n), n = 0, 1, 2, . . .
La solución particular del sistema dinámico (4.6) con dato inicial
A(0) = 2
es
A(n) = 2× 3n, n = 0, 1, 2, . . .
Definición 4.1.12 Un sistema dinámico discreto de orden 2 es una sucesión de números{A(n)}∞n=0 de forma que
A(n + 2) = f(A(n + 1), A(n), n) (4.8) para alguna función f. (Esta definición se extiende fácilmente a sistemas de orden m∈ N). 2
Ejemplo 4.1.13
a) A(n + 2) = A(n + 1) + A(n) es un sistema dinámico de segundo orden.
b) A(n + 3) = A(n + 1)− 5A(n) es un sistema dinámico de tercer orden. Aunque el término A(n + 2) no aparece, los términos importantes para determinar el orden son el primero y el último utilizados (en este caso, A(n) y A(n + 3)). 2
Consideremos el sistema dinámico de segundo orden
A(n + 2) = 2A(n + 1)− A(n), n = 0, 1, 2, . . . (4.9) que es equivalente a las ecuaciones
A(2) = 2A(1)− A(0),
A(3) = 2A(2)− A(1) = 2(2A(1)− A(0))− A(1) = 3A(1) − 2A(0),
A(4) = 2A(3)− A(2) = 2(3A(1)− 2A(0))−(2A(1)− A(0)) = 4A(1)− 3A(0), . . .
Como se observa, los términos A(0) y A(1) son necesarios para determinar cualquier término A(n) de la sucesión anterior. Por ejemplo, si A(0) = 2 y A(1) = 3, los primeros términos del sistema dinámico (4.9) son
A(0) = 2, A(1) = 3, A(2) = 4, A(3) = 5, A(4) = 6, . . .
(compruébese; de hecho, A(n) = n + 2). Los valores A(0) = 2 y A(1) = 3 se denominan valores iniciales del correspondiente sistema dinámico. Para encontrar los valores de A(n) para todo n se necesitan algunos valores iniciales para que el sistema pueda comenzar; esto es debido a que, en sistemas dinámicos de orden superior, la primera ecuación siempre tiene más de una incógnita, por lo que debemos determinar todas, salvo una, de esas incógnitas. En general, para un sistema dinámico de orden m ∈ N debemos dar m
valores iniciales.