Grandes deformaciones

Los materiales blandos con comportamiento hiperel´astico, bajo estudio, pue- den experimentar grandes desplazamientos y deformaciones, de tal modo que la hip´otesis inherente a la teor´ıa infinitesimal resulta invalidada y se debe recurrir a la teor´ıa general de deformaciones finitas.

Figura 1.5: Configuraci´on inicial y actual de un s´olido. Definici´on de las coordena- das materiales0_{x y espaciales} t_{x y del vector desplazamiento} t_{u. Transformaci´on}

del vector infinitesimal material d0_{x en el vector espacial infinitesimal d}t_x.

se puede escribir directamente la relaci´on entre los vectores de posici´on de las part´ıculas del cuerpo en la configuraci´on inicial y la final. Las coordenadas de una part´ıcula en la configuraci´on inicial, de referencia o no deformada, est´an definidas por el vector de posici´on material o lagrangiano 0_{x, mientras que las coordenadas}

de una part´ıcula en la configuraci´on final, actual o deformada, est´an definidas por el vector de posici´on espacial o euleriano t_{x. El vector desplazamiento} t_{u describe}

el desplazamiento experimentado por un punto del s´olido entre los instantes inicial y final, de tal forma que

t_x 0_x
= 0_{x +} t_u 0_x
(1.10)

En la ecuaci´on anterior, expresada en coordenadas materiales, se dice que t_{x (}0_x)

es el empuje de 0_{x desde la configuraci´on de referencia a la actual. An´alogamente}

se puede obtener la expresi´on inversa (espacial) donde0_{x (}t_{x) representar´ıa el tiro}

de t_{x desde la configuraci´on final a la inicial. Las propiedades del medio continuo}

pueden estar descritas por unas ecuaciones que indican c´omo dichas propiedades evolucionan con el transcurso del tiempo. Estas ecuaciones se pueden plantear en la configuraci´on de referencia (lagrangiana) o en la configuraci´on actual (euleria- na). En el desarrollo de este trabajo todas las formulaciones han sido planteadas completamente siguiendo una descripci´on lagrangiana.

La deformaci´on sufrida por el s´olido en el entorno de la part´ıcula 0_{x se puede}

describir mediante el gradiente de la transformaci´on cinem´atica de la Ec. (1.10). Como resultado se obtiene el siguiente gradiente material de coordenadas, de- nominado normalmente como gradiente de deformaci´on material o simplemente gradiente de deformaci´on

t 0X =

∂t_{x (}0_x)

∂0_x (1.11)

Consid´erense dos puntos infinitamente pr´oximos en la configuraci´on de referencia

0_{x y} 0_{z cuyos empujes son} t_{x y} t_{z, respectivamente, tal y como se muestra en}

la Figura 1.5. Aplicando el teorema de Taylor para el desarrollo en serie a las coordenadas espaciales t_{z en un entorno de la part´ıcula} 0_{x se obtiene}

t_z 0_z
= t_x 0_x
+ ∂tx (0x)

∂0_x ·

0_z− 0<sub>x
+ ... (1.12)</sub>

Si las part´ıculas 0_{x y} 0_{z est´an muy pr´oximas en la configuraci´on de referencia, los}

t´erminos de orden superior pueden despreciarse, resultando dtx = t₀X_{· d}0x

donde d0_{x =} 0_z− 0_{x es el vector infinitesimal que une las part´ıculas en la con-}

figuraci´on de referencia y dt_{x =} t_{z −} t_{x es dicho vector infinitesimal una vez}

deformado. t

0X es el tensor de segundo orden que describe la transformaci´on de

elementos infinitesimales de l´ınea entre ambas configuraciones. Por tanto, el gra- diente de deformaci´on es la medida fundamental de deformaci´on en la mec´anica de medios continuos para grandes deformaciones. Este tensor incluye informaci´on acerca de la deformaci´on (cambio de forma) y la rotaci´on del cuerpo r´ıgido, pero no incluye informaci´on acerca de las posibles traslaciones de cuerpo r´ıgido. N´otese que a diferencia de los desplazamientos, que son cantidades medibles, la deforma- ci´on est´a basada en conceptos que son introducidos por conveniencia a la hora del an´alisis. Por lo tanto, se han propuesto en la literatura numerosas definicio- nes y nombres de tensores de deformaci´on, por ello s´olo vamos a introducir a continuaci´on las medidas de deformaci´on que se han elegido para desarrollar las formulaciones de esta tesis.

Consid´erese ahora, por ejemplo, la elongaci´on uniforme de un elemento unidi- mensional cuya longitud inicial es 0_{l y su longitud final es} t_{l, donde se define el}

diferencial de deformaci´on seg´un el eje de la barra como dε = dL/0_{l, donde dL es}

el diferencial de longitud de la barra. Integrando esta expresi´on se obtiene ε = Z t_l 0_l 1 0_ldL = ln t_l 0_l  = ln(t₀λ) (1.13) donde t

0λ := tl/0l es el alargamiento unitario. Esta deformaci´on ε se denomina

incrementos sucesivos de desplazamientos es decir, primero de 0_{l a} τ_{l y posterior-}

mente deτ_{l a} t_{l, donde 0 < τ < t, la deformaci´on logar´ıtmica es aditiva} t 0ε = Z t_l 0_l 1 0_ldL = Z τ_l 0_l 1 0_ldL + Z t_l τ_l 1 τ_ldL = ln τ_l 0_l  + ln t_l τ_l  = τ₀ε + t_τε (1.14)

Partiendo de la definici´on de deformaci´on logar´ıtmica, Ec. 1.13, podemos definir el Tensor de Deformaci´on Logar´ıtmica o Tensor de deformaci´on de Hencky E como

E = ln(U ) and U =

3

X

i=1

ln(λi)Ni⊗ Ni (1.15)

donde U es un tensor sim´etrico conocido como el tensor derecho (o material ) de alargamiento y N i son las direcciones principales de deformaci´on. Otras carac- ter´ısticas destacables del tensor de deformaci´on logar´ıtmico son:

· La condici´on de incompresibilidad adquiere la sencilla forma de tr(ln(U)) ≡ 0. · Las partes volum´etrica e isoc´orica son aditivas. A veces a la hora de esta- blecer ciertas ecuaciones constitutivas puede resultar conveniente separar la parte volum´etrica de la parte isoc´orica (desviadora). Haciendo uso de la descomposici´on de Flory se puede obtene la descomposici´on det

0X en sus partes volum´etrica y des-

viadora, del siguiente modo t

0X = t0XV t0XD = t0XD t0XV, con t0XV = t0J1/3I

y t

0XD = t0J−1/3 t0X, donde J representa al determinante del gradiente de de-

formaci´on, t

0XD y t0XV son las partes desviadora y volum´etrica del mismo, res-

pectivamente e I identifica al tensor identidad de segundo orden. N´otese quet 0XD

es una transformaci´on donde se preserva el volumen, es decir una transformaci´on isoc´orica, det(t

0XD) = 1, y que por el contrario t0XV describe una transformaci´on

puramente volum´etrica, asociada s´olo con el cambio de volumen. Considerando ahora la descomposici´on polar del gradiente de deformaciones, se obtienen las par- tes desviadora y volum´etrica del tensor material de alargamiento U del siguiente modo t 0X = t0R t0U = t0Rt0UV    t 0UV = t0XV = t0J1/3I t 0XD = t0Rt0UD t 0UD = t0J−1/3 t0U (1.16) dondet

0R es el tensor de rotaci´on. Finalmente se comprueba la propiedad aditiva

de las partes volum´etrica y desviadora del tensor de deformaci´on logar´ıtmico

E = ln(U ) = ln(J−1/3U∗ J1/3_{I) = ln(J}−1/3_{U ) +}1

3ln tr(E) = E

donde ED y EV son la parte desviadora y volum´etrica del tensor de deformaci´on E, respectivamente.

Sin embargo, aunque las diversas medidas de deformaci´on tomen valores num´eri- cos distintos, es importante comprender que todas ellas representan el mismo esta- do de deformaci´on del s´olido, el cual realmente viene definido por la longitud final

t_{l, de modo que si se conoce una medida de deformaci´on en un instante concreto,}

el resto de medidas quedar´an determinadas autom´aticamente. A las expresiones que relacionan las distintas medidas de deformaci´on se conocen como relaciones de transformaci´on. Se˜nalar por ´ultimo que, en un contexto de peque˜nas deformacio- nes, todas las medidas de deformaci´on son equivalentes (cuando los t´erminos no lineales en t

0ε son despreciables) por lo que se define una ´unica medida de defor-

maci´on, es decir la deformaci´on ingenieril t

0ε, la cual se refiere indistintamente a

la configuraci´on inicial o a la final.

En Mec´anica de S´olidos se busca conocer el estado tensional en cada punto de un s´olido deformado. De forma similar a lo que ocurre con las medidas de deformaciones finitas, existen diversas medidas de tensi´on con las que evaluar el estado tensional de un cuerpo. De hecho, cada medida de deformaci´on tiene asociada su correspondiente medida de tensi´on, que es su conjugada de trabajo [30]. La potencia mec´anica interna por unidad de volumen deformado se obtiene a partir del producto de la tensi´on axial de Cauchy por el gradiente espacial de velocidades, esto es t_σ∂tv ∂t_x = t_σ ∂ ∂0_x  ∂t_x ∂t  ∂0_x ∂t_x = t_σ ∂ ∂t  ∂t_x ∂0_x  ∂0_x ∂t_x = t_σt0˙λ t 0λ (1.18) La transformaci´on entre los vol´umenes inicial y final viene dada por el jacobiano

t

0J = tV /0V . La potencia mec´anica interna resulta

t 0Jtσ t 0˙λ t 0λ = tτ t 0˙λ t 0λ (1.19) donde tτ := t0J tσ define a la tensi´on axial de Kirchhoff. Sabiendo que, por

ejemplo,t

0E = ln(t0λ), la potencia (1.19) se puede expresar como

t_τ t0˙λ t 0λ

= tT t₀E˙(0) (1.20)

Ya que ambas expresiones (1.19) y (1.20) proporcionan el mismo valor de potencia mec´anica, diremos que la medida de tensi´on t_{T =} t_{τ es conjugada de trabajo}

de t

0E. Como la deformaci´on logar´ıtmica t0E es una medida material, la tensi´on t_{T es tambi´en una medida material. Igual que ocurre con las diferentes medidas}

A B

a

d

c

e

Figura 1.6: Ensayo de tensi´on c´ıclico de una goma con refuerzo de carbono que exhibe efecto Mullins.

de deformaci´on, como el estado tensional es ´unico en cada instante, si se cono- ce, por ejemplo, el valor t_{T asociado a un estado de deformaci´on, directamen-}

te se puede obtener cualquier otra medida de tensi´on a trav´es de la relaci´on de transformaci´on correspondiente. Se puede comprobar f´acilmente que en el l´ımite de peque˜nas deformaciones, todas las medidas materiales y espaciales de tensi´on coinciden num´ericamente, por lo que se define la tensi´on ingenieril de Cauchy t_σ

como la ´unica medida de tensi´on.