4. Hiperelasticidad WYPIWYG
4.3. Modelo WYPIWYG ort´otropo de Latorre y Mont´ans
Como se ha comentado en el Cap´ıtulo 1, los refuerzos (fibras y part´ıculas de car- bono, s´ılice, etc.) que se a˜naden a los materiales polim´ericos y las fibras de col´ageno en los tejidos y otros tipos de materiales biol´ogicos transfieren a dichos materiales cierto grado de anisotrop´ıa. Se puede encontrar en la literatura varios modelos que asumen la forma de la funci´on de energ´ıa, para materiales transversalmente is´otro- pos v´eanse, por ejemplo, Referencias [77], [114] y para materiales ort´otropos [79], [80], [81], entre otros. Pero estos modelos no son tan ´optimos como los existen- tes para isotrop´ıa, por ello la contribuci´on de los modelos WYPIWYG para estos dos tipos de materiales es importante ya que los datos tensi´on-deformaci´on de los experimentos son reproducidos “exactamente”. Si bien, la extensi´on del modelo
Figura 4.1: Interpolaci´on mediante splines de la funci´on ω0(E) a partir de datos
experimentales obtenidos de un ensayo uniaxial de tracci´on-compresi´on. (a) Distri- buci´on discreta de los datos experimentales ˜σ1( ˜E1). (b) Funci´on cont´ınua σ1(E1)
obtenida mediante interpolaci´on de los datos experimentales. (c) Puntos ¯ω0( ¯E 1)
uniformemente distribuidos que son soluci´on de la Ec. (4.5). (d) Funci´on ω0(E 1)
basado en splines de Sussman y Bathe a isotrop´ıa transversal y ortotrop´ıa no es en absoluto evidente. El n´umero de curvas experimentales que se necesitan prescribir es de tres para el modelo transversalmente is´otropo y de seis para el ort´otropo. Por otro lado, la f´ormula de inversi´on de Kearsley y Zapas [70] resulta invalidada debido a la falta de isotrop´ıa en el material por lo que debe ser reformulada de una forma m´as general [73]. Tambi´en se debe plantear otra hip´otesis de descomposici´on para la funci´on de energ´ıa almacenada del tipo de la de Valanis-Landel. En este apartado se presenta la extensi´on a ortotrop´ıa incompresible del modelo is´otropo llevada a cabo por Latorre y Mont´ans [76], adem´as se invita al lector a consultar la extensi´on a isotrop´ıa transversal llevada a cabo por los mismos autores en [73]. La naturaleza ort´otropa de un material est´a caracterizada por la existencia de tres planos de simetr´ıa ortogonales con respecto a los cuales el comportamiento mec´anico del material conserva la simetr´ıa. Los vectores unitarios normales a estos planos constituyen un triedro a derechas Xpr = {ei, ej, ek} = {a0, b0, c0} que
define las direcciones preferentes de ortotrop´ıa del material en la configuraci´on ini- cial. Obviamente, se debe incluir esta dependencia con la direcci´on en la funci´on de energ´ıa para ser capaces de reproducir las simetr´ıas correspondientes y cum- plir con los principios de invariancia requeridos, tal que W(E,a0,b0), donde E es
el tensor de deformaciones logar´ıtmicas (Hencky) para la deformaci´on desviadora considerada.W(E, a0, b0) se puede enunciar en funci´on de siete invariantes inde-
pendientes expresados en funci´on de las componentes de E representadas en las direcciones principales de ortotrop´ıa Xpr ([71]), es decir
W = W(E11, E22, E33, E122 , E232 , E312 , E12E23E31) (4.7)
donde Eij = ei · E · ej con i, j = {1, 2, 3}. Debido a la restricci´on de incompre-
sibilidad de la Ec.(4.2) el n´umero de invariantes independientes se reduce a seis. La funci´on de energ´ıa se desacopla entonces en t´erminos de seis de estos siete invariantes independientes del siguiente modo
W = ω11+ ω22+ ω33+ 2ω12(E12) + 2ω23(E23) + 2ω31(E31) (4.8)
donde los t´erminos ωij para i6= j se requiere que sean funciones sim´etricas respecto
al origen y la dependencia con el invariante E12E23E31 no se incluye, no obstante
en el art´ıculo [76] se puede comprobar que este modelo predice satisfactoriamente el comportamiento mec´anico de materiales blandos. La incorporaci´on de t´erminos adicionales de acoplamiento no aportar´ıa una mejora considerable y sin embargo dificultar´ıa el procedimiento de determinaci´on de la funci´on de energ´ıa a partir de los datos experimentales.
Las seis funciones diferentes involucradas en la Ec.(4.8) pueden ser determi- nadas a partir de un conjunto adecuado de seis curvas experimentales, para una descripci´on detallada del procedimiento se remite al lector a la Referencia [76],
donde se explican dos formas distintas de obtener ω0
11(E11), ω022(E22) y ω330 (E33) y
las funciones ω120 (E12), ω230 (E23) y ω310 (E31) se determinan a partir de los respecti-
vos ensayos de cortante puro. N´otese que el n´umero de funciones independientes coincide con el n´umero de par´ametros del material independientes que definen el comportamiento totalmente desacoplado de los materiales ort´otropos dentro del marco de peque˜nas deformaciones. Adem´as, en la Referencia [82] se demuestra que las deformaciones logar´ıtmicas representan la extensi´on natural de las deformacio- nes infinitesimales al campo de las deformaciones finitas. Para poder determinar las funciones ω0 por equilibrio para el caso de anisotrop´ıa, como se ha comentado
arriba, se tiene que generalizar la f´ormula de inversi´on original de Sussman y Bathe de la Ec.(4.6), como se muestra a continuaci´on —v´ease [76].
Como se ha visto, la f´ormula de Kearsley-Zapas resuelve la ecuaci´on de equili- brio de un ensayo uniaxial tracci´on-compresi´on para el caso de materiales is´otropos hiperel´asticos e incompresibles, donde la ecuaci´on de gobierno es —la tensi´on en la direcci´on del ensayo uniaxial se denota por σu ≡ σ1
σu(E1) = ω0(E1)− ω0(y(E1)) (4.9)
donde el ´ultimo sumando se debe a la presi´on hidrost´atica inicialmente descono- cida, que se determina planteando las ecuaciones de equilibrio en las direcciones transversales, en concreto σ2 = σ3 = 0. Para resolver la Ec.(4.9) para el caso
general de un material anis´otropo se deben considerar las siguientes expresiones recursivas σu(E1) = ω0(E1)− ω0(y (E1)) (4.10) σu(y (E1)) = ω0(y (E1))− ω0 y(2)(E1) (4.11) ... σu y(k)(E1) = ω0 y(k)(E1) − ω0 y(k+1)(E 1) (4.12) ... donde se define y(k)(E1) := y (y (...(y (E1))) | {z } k times (4.13) con y(0)(E1) := E1 (4.14)
Sumando todas las ecuaciones se obtiene la f´ormula de inversi´on generalizada para el ensayo uniaxial
ω0(E1) = ∞ X k=0 σu y(k)(E1) (4.15)
donde se ha usado el hecho de que y(k)(E 1)
< |E1| y ω0(0) = 0. Como σu(0) = 0,
esta soluci´on converge a la precisi´on requerida en un n´umero finito de t´erminos. Advi´ertase que y(E1) puede ser una composici´on de funciones no lineales.