nea. Para ello se puede rodear la cubierta con un piolín, estirarlo y luego medirlo.
Actividad Nº14
Tome varios objetos de base circular como platos, latas de du- raznos, ollas, baldes, etc. Dibuje los contornos de las bases, es decir las circunferencias.
Analice qué sucede con la relación entre la longitud de la cir- cunferencia y la longitud de los diámetros de esas figuras. Complete los valores hallados en una tabla como la siguiente. Puede utilizar un piolín.
Longitud de circunferencia Diámetro
¿Cómo hallar los diámetros?
De diferentes maneras. Le proponemos algunas:
•apoyar los objetos circulares sobre un papel, bordearlos. Recortar los círculos obtenidos y doblarlos por la mitad, por lo menos dos veces. Así es posible obtener un diámetro.
Observe que cualquier doblez que divida en mitades siempre per- mite obtener un diámetro porque pasa por el centro.
• Con un piolín, apoyar en un punto del borde y tomar diferentes medidas hasta obtener la máxima. Esa corresponde a la del diáme- tro, por definición de diámetro.
Para que exista proporcionalidad directa entre el diámetro y la lon- gitud de la circunferencia debería haber una constante de propor- cionalidad.
Para hallar esa constante, si es que existe, divida cada longitud de circunferencia por su correspondiente diámetro.
Si usted tomó bien las medidas y efectuó bien los cálculos obten- drá valores muy cercanos a 3.
Recuerde proporcionalidad directa en el Libro 2, Mó- dulo 4y en el Libro 3.
37
Actividad Nº15
Dibuje un par de ejes. En el horizontal indique los diámetros y en el vertical las longitudes de las circunferencias. Marque los puntos correspondientes a los valores obtenidos en los diámetros y circunferencias de la actividad anterior.
El siguiente cuadro corresponde a los valores hallados en una acti- vidad similar a la que usted tenía que realizar en la que se utilizó un instrumento graduado en cm y mm. Diámetro 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 6 cm 7 cm 8 cm 9 cm Longitud de la circunferencia 3 cm 6,3 cm 9,4 cm 12,6 cm 15,7 cm 18,9 cm 22 cm 25,1 cm 28,2 cm l d Referencias l longitud de la circunferencia d diámetro
A continuación le presentamos el gráfico correspondiente a este cuadro:
Observará que los puntos quedan aproximadamente alineados. Además si una circunferencia tuviese diámetro cero, ¿qué longitud tendría?
Considerando los errores en los valores del cuadro, propios de la li- mitación del instrumento y los errores al medir, se podría decir que el gráfico corresponde a puntos que están sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas.
Por lo tanto si la relación que existe entre el diámetro de cada circun- ferencia y su longitud es una proporcionalidad directa cuya constan- te es (aproximadamente) tres, se puede afirmar que tiene la forma
y = k . x
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O seay = 3. x
En este caso la variable independiente x es el diámetro y la varia- ble independiente y es la longitud de la circunferencia, que será distinta para cada valor del diámetro. Queda entonces:
Longitud de la circunferencia = 3 . diámetro
Este valor 3 es el que usaban los súmero-babilonios para hallar longitudes de circunferencias, por ejemplo el largo de un hierro que al curvarlo diera una rueda de cierto ancho.
Pero los matemáticos, mediante otros métodos han calculado con mayor exactitud la constante de proporcionalidad, número al que llamaron π(pi) y que no puede expresarse con todas sus cifras de- cimales, pues siempre se puede calcular una nueva cifra. Tal como estudió en el libro 4 tanto por truncamiento como por redondeo se la puede indicar por aproximación
= 3,14
La fórmula para hallar la longitud de la circunferencia: Longitud de la circunferencia = . d
Como el diámetro tiene el doble de la longitud del radio se la pue- de expresar también como:
Longitud de la circunferencia = 2 . . r
Retomemos el problema de los neumáticos. Para resolverlo debe- mos medir el radio. Si al hacerlo registramos un radio de 50 cm, la longitud de cinta de caucho para el neumático será igual al doble de 50 cm (50.2) por π, que indica la cantidad de veces que “entra" el diámetro en la circunferencia. Así se tiene:
Longitud de cinta = 2 . . r
Longitud de la cinta = 2 . . 50 cm
a
b
No todos los problemas en los que participan formas circulares po- seen como incógnita la longitud de una circunferencia. Otros pue- den referirse a la superficie del círculo.
Lea en el Libro 2, Módulo 5
lo trabajado sobre superfi- cie de círculo.
Actividad Nº16
En una fábrica de posavasos se quiere averiguar la superficie del material sobrante por cada planchuela que deja una má- quina perforadora de planchuelas de corcho. Las dimensiones de las planchuelas son de 50 cm por 60 cm. La máquina rea- liza 35 agujeros circulares de 5 cm de radio.
Calcular cuánta cinta es necesaria para poner en el borde de los portavasos de cada planchuela, considerando que al total de la cinta necesaria se le agrega un 15% para poder trabajar. Se quiere atar un paquete cilíndrico del modo que indica el gráfi- co. Se sabe que la longitud de la circunferencia de las bases del paquete es de 15,7 cm, la altura del paquete es de 9 cm y se desea dejar 8 cm para el nudo. ¿Con qué longitud debe contar el piolín?
a
b
Actividad Nº17
Calcular en forma aproximada la superficie de una moneda de $ 0,25, de una de $ 0,50 y de una de $ 1.
Se quiere enchapar con fórmica la superficie de una mesa circular de 50 cm de diámetro. ¿Qué superficie de fórmica debe comprarse?
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M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n a
Superficies
El Tangram
E
l Tangram es un juego muy antiguo de origen chino. Consta de siete piezas geométricas. Con él es posible armar una muy variada cantidad de figuras. Algunas resultan figurativas, semejan anima- les o casas, otras son enteramente geométricas.Actividad Nº18
Para realizar esta actividad tendrá que recortar las figuras que están en el Anexo III. Le sugerimos que las pegue sobre car- tón o cartulina para trabajar mejor. Todas ellas conforman el rompecabezas conocido como Tangram.
Arme las siguientes figuras con las siete piezas del Tangram. (Las piezas se pueden colocar una al lado de otra pero no superponer.)
Arme con ellas un cuadrado.
¿Cómo son entre sí las superficies de las figuras de los items a y b?
b
c
Superponga los dos triángulos pequeños con:
• el cuadrado pequeño;
• el paralelogramo;
• el triángulo mediano.
Actividad Nº19
Arme la pieza triangular grande con:
• el paralelogramo y los dos triángulos pequeños;
• el triángulo mediano y los dos triángulos pequeños;
• el cuadrado y los dos triángulos pequeños.
Arme un triángulo, un paralelogramo y un rectángulo usando las siete piezas cada vez.
¿Cuántos triángulos pequeños son necesarios para formar el
a
b
c
Después de hacerlo observe que se puede decir que el cuadrado pe- queño mide (ocupa el lugar de) dos triángulos pequeños. Lo mismo sucede con el paralelogramo y con el triángulo mediano.
De este modo podemos afirmar que la pieza con forma de cuadra- do, la que tiene forma de paralelogramo y el triángulo mediano tienen superficies equivalentes. O lo que es lo mismo, que tienen la misma superficie.
También son figuras equivalentes en superficie las figuras y el cuadrado obtenido en la actividad anterior.
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M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n
Considere el triángulo pequeño. ¿Cuánto mide el cuadrado que se arma con las siete piezas?
Mide 16 triángulos pequeños.
Considere el triángulo mediano. ¿Cuánto mide el mismo cuadrado? Mide 8 triángulos medianos.
Considere el triángulo grande. ¿Cuánto mide el mismo cuadrado? Mide 4 triángulos grandes.
La medida de la superficiese llama área y varía dependiendo de qué patrón se usa para medir.
¿Varía de cualquier manera?
En los ejemplos del Tangram se puede observar lo siguiente: en ca- da medición se usó un patrón con el doble de superficie respecto del anterior, y se obtuvo una medida que resultó la mitad en cada uno de los respectivos ejemplos.
Patrón usado Medida obtenida
16
8
Puede deducirse que cuando el patrón (unidad) es el doble, la medi- da obtenida es la mitad; cuando es el cuádruple la medida obtenida es la cuarta parte. La relación entre el tamaño de la unidad y la me- dida obtenida es de proporcionalidad inversa, porque al variar una de ellas, la otra se modifica según su inverso multiplicativo.
Si lo considera necesario re- pase en el Libro 4el concep- to de inverso multiplicativo.
Actividad Nº20
Corte un trozo de hilo. Esta será una de sus unidades de lon- gitud. Corte otros dos hilos cuyo largo sea el doble y el triple del anterior. Analice qué sucede si mide la longitud del borde de una mesa utilizando sucesivamente estas tres longitudes como unidades.
Busque dos botellas tales que la capacidad de una de ellas sea el doble de la otra. Mida la capacidad de un balde o de una olla dos veces utilizando sucesivamente como unidad estas botellas. Analice sus respuestas a los items a y b y responda: ¿la relación de proporcionalidad inversa entre el tamaño de la unidad y la me- dida obtenida depende de la magnitud que se mida?
a
b
c
Si queremos forrar un cuaderno, pintar o empapelar una pared, embaldosar un piso, etc. debemos estimar las respectivas medidas de las superficies. Esto se puede hacer de dos formas:
• por una estrategia de “medición", es decir de comparación -directa o mental- con una unidad o patrón de esa magnitud;
• por el cálculo de la medida de la superficie, a partir de anali- zar la figura y conocer algunas longitudes.