Matemática III (Matemática 5)

5

Matemática

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M O D A LI D A D S E M IP R E S E N C IA L

Material de distribución gratuita

Matemática

Tercer Ciclo de Educación

General Básica para Adultos

M O D A L I D A D S E M I P R E S E N C I A L

Ministro de Educación de la Nación

Lic. Andrés Delich

Subsecretario de Educación Básica

Lic. Gustavo Iaies

i n f o p a c e @ m e . g o v. a r

Material elaborado por los Equipos Técnicos del Programa de Acciones Compensatorias en Educación

Índice

Introducción

. . . .

Cuadriláteros

. . . .

Cuadriláteros convexos . . . .

Paralelogramos . . . .

Rectángulos . . . .

Romboides . . . .

Otros paralelogramos . . . .

Rombos . . . .

Cuadrados . . . .

Perímetros

. . . .

Superificies

. . . .

¿Cómo se miden las superficies? . . . .

¿Cómo se calculan las superficies? . . . .

Superficie del triángulo . . . .

Superficie del trapecio . . . .

Superficie del romboide . . . .

Volúmenes

. . . .

¿Cómo se mide el volumen? . . . .

¿Cómo se calcula el volumen de los cuerpos? . . . .

El lenguaje matemático

. . . .

Ecuaciones e inecuaciones

. . . .

¿Cómo se resuelven las ecuaciones? . . . .

¿Cómo se resuelven las inecuaciones? . . . .

Probabilidad

. . . .

La estadística y la probabilidad . . . .

Claves de Corrección

. . . .

Anexos

. . . .

5

Introducción

E

n el Libro 4 se trabajó con las operaciones en el conjunto de los números racionales, completando de este modo lo estudiado en el Libro 3 sobre las operaciones con números naturales y enteros. En este Libro se retoman algunos temas trabajados en los Libros 1 y 2 sobre cuadriláteros, particularmente, casos especiales de uso fre-cuente para la resolución de problemas cotidianos. Asimismo, se profundizará y ampliará lo estudiado sobre perímetros, superficies y volúmenes. Le sugerimos que disponga de los Libros anteriores para resolver las actividades que aquí se plantean. Siga las referen-cias que se incluyen en el margen de las hojas pues le ayudarán a repasar algunos conceptos que resultan necesarios para la com-prensión de otros nuevos.

Cuadriláteros

E

n el Libro 3 se trabajó sobre diferentes cuerpos geométricos: prismas, cubos, pirámides, octaedros, cilindros, cuerpos cóncavos y convexos. También se estudiaron los elementos que conforman esos cuerpos: caras, aristas y vértices.

Las caras de los cuerpos pueden tener distintas formas planas. Por ejemplo, el triángulo, que se desarrolló en el Libro 4, es la forma de las caras laterales de las pirámides y la base de los prismas rectos.

Si observamos el marco de una ventana, la forma de una puerta, las hojas de nuestros cuadernos, algunos barriletes, etc. notaremos que todas estas formas están constituidas por cuatro lados. Es por ello que se las denomina cuadriláteros.

pirámides

7

Considere la habitación en la que se encuentra. Es posible que sea

un prisma rectangular. ¿Qué forma tienen las paredes, el piso, el techo? La forma de las caras de este cuerpo es una figura muy co-mún, se encuentra en las puertas, ventanas, bancos, cuadernos, li-bros. Es el rectángulo. Por poseer cuatro lados pertenece a la fami-lia de los cuadriláteros. El cuadrado también es un cuadrilátero, que se encuentra, por ejemplo, en las caras de los dados cúbicos.

En el Anexo I encontrará varillas para recortar. Forme con cuatro de ellas, de iguales o diferentes longitudes, una poligonal cerrada. Observe que puede obtener diferentes cuadriláteros.

Repase en el Libro 3el con-cepto de poligonal cerrada.

Como sucede con los cuerpos poliedros, los polígonos en general, y los cuadriláteros en particular, pueden ser cóncavos o convexos.

Actividad N

º

1

Utilizando las varillas arme:

•cuadriláteros que tengan dos lados iguales de a pares; •cuadriláteros que no tengan los lados paralelos;

9

Cuadriláteros convexos

A

lgunos cuadriláteros convexos tienen características especiales, por ejemplo poseer dos pares de lados paralelos, poseer todos los lados iguales, poseer los ángulos interiores iguales, etc. Por tener los lados paralelos, o porque los lados son iguales, o porque los ángulos son iguales, o porque tienen varias de estas propiedades a la vez reci-ben un nombre que los diferencia del resto de los cuadriláteros.

Paralelogramos

Si observamos un perchero como el de la siguiente figura, podre-mos detectar a un cuadrilátero, el paralelogramo, que tiene los la-dos opuestos paralelos.

Como todo cuadrilátero los paralelogramos se nombran a partir de sus vértices: paralelogramo ABCD.

Comenzamos observando sus lados:

Note que el lado BC es igual al lado AD y que el lado AB es igual al lado CD.

__

__ __

__

Observando paralelogramos de diferentes medidas podemos obser-var que todos guardan la misma relación entre sus lados. Se puede demostrar que:

Los paralelogramos poseen sus lados opuestos

de igual medida.

11

Los ángulos A y C son iguales entre sí.

Si observa varios paralelogramos advertirá que:

Los ángulos opuestosde un paralelogramo son iguales entre sí.

^ ^

Actividad N

º

2

¿Qué propiedad cumplen los ángulos consecutivos de un pa-ralelogramo?

Recuerde que los ángulos de un polígono cualquiera son con-secutivos cuando tienen un lado en común.

a

b

Como notará las diagonales no son iguales, aunque podrían serlo. El paralelogramo es un cuadrilátero que no necesariamente tiene sus diagonales iguales. En este caso, el paralelogramo ABCD posee su diagonal AC más corta que la diagonal BD.

Observe que al trazar las diagonales de un paralelogramo, el punto común a ambas es su punto medio.

En el paralelogramo ABCD, el punto O es punto medio de la diago-nal BD y lo es también de la diagodiago-nal AC.

Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

Actividad N

º

3

El capot de un tractor posee la forma de un paralelogramo, uno de sus lados es de 80 cm y su perímetro -suma de los lados de una fi-gura- es de 4 metros. ¿Cuál es la medida de cada uno de los lados?

13

Rectángulos

Si observa el marco de las ventanas, las puertas, la tapa de un li-bro, el lomo de las guías de teléfono, las sendas peatonales en las esquinas de la calles, etc., notará que todos estos objetos son cua-driláteros que reciben el nombre de rectángulos.

Dibuje en una hoja un rectángulo cualquiera.

Nombre sus vértices como A, B, C y D; así el rectángulo se llama-rá: rectángulo ABCD.

Prolongue todo lo que pueda los lados BC y AD.

Prolongue todo lo que pueda los lados. Mida con una escuadra la distancia entre ambas rectas. Encontrará que es la misma.

Notará de este modo que el lado BC y el lado AD son paralelos entre sí.

Prolongue ahora los lados AB y CD . Notará que también son paralelos.

Si prueba con muchos rectángulos observará la misma relación. Podemos demostrar que:

Los rectángulos poseen

sus lados opuestos paralelosentre sí.

__

__ __

__

Actividad N

º

4

Complete:

Si un rectángulo es un cuadrilátero que posee lados opuestos paralelos

podemos afirmar que todo rectángulo es ...

15

Los rectángulos poseen lados opuestos iguales.

Analice ahora la medida de los ángulos interiores. Para ello recor-te los ángulos A, B, C y D del rectángulo previamenrecor-te dibujado. Cuide de cortar en forma irregular la región interior del modo que señala la figura (así evitará confundir los vértices del rectángulo).

Con el ángulo recto de una escuadra superpóngalos unos sobre otros. Verá que cada uno de ellos mide un recto. Observará que los cuatro ángulos son iguales. Por ello se dice que:

Todo rectángulo es equiángulo.

El prefijo equi significa igual, por lo tanto afirmar que el rectángu-lo es equiángurectángu-lo implica que sus cuatro ángurectángu-los interiores miden lo mismo.

También se puede demostrar que un rectángulo es un paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos interiores iguales (son todos rectos).

^ ^ ^ ^

Actividad N

º

5

Romboides

E

ntre los barriletes que los chicos remontan hay dos formas que con mucha frecuencia se ven en el cielo: los barriletes hexagonales y los romboidales.

¿Cuáles son las propiedades de un romboide?

Para armar un barrilete romboidal se suele utilizar dos cañas o va-rillas muy livianas. Éstas son las diagonales del romboide que, co-mo puede notar en la figura, son perpendiculares y una corta a la otra en su punto medio.

17

De este modo hay dos piolines cortos de igual longitud y dos

pio-lines largos de igual longitud.

Simbólicamente: AD = AB y DC = BC

Todo romboide tiene

dos pares de lados consecutivosiguales.

Observe ahora los ángulos B y D. Notará que son iguales.

Todo romboide tiene al menos

un par de ángulos interioresiguales entre sí.

__ __ __ __

Otros paralelogramos

Rombos

Si observa los logotipos que utilizan muchas empresas automotri-ces notará la importancia que les dan a las formas geométricas.

Una de estas empresas en sus publicidades se refiere a sus produc-tos como "Los auproduc-tos del Rombo".

Indudablemente es una de las formas más familiares que vemos a nuestro alrededor: observando sus lados resulta agradable la armo-nía de sus formas.

Mida los lados de varios rombos. Verá que todo rombo es equilátero.

Los cuadriláteros equiláteros se denominan rombos.

Dibuje un rombo ABCD de cualquier medida.

Como lo hizo con el rectángulo, prolongue los lados AB y CD. No-tará que los lados AB y CD son paralelos entre sí.

Prolongue luego los lados BC y AD. Notará que también son para-lelos entre sí.

Como todo rombo es paralelogramo es posible afirmar que:

__ __

__ __

19

Por tener lados opuestos iguales y paralelos, todo rombo es un

pa-ralelogramo. Se puede afirmar entonces que sus diagonales se cor-tan en su punto medio.

A = C B = D AO = OC BO = OD

Como el rombo es equilátero, podemos afirmar que AB = BC y CD = DA, es decir que todo rombo posee lados consecutivos iguales. Por lo tanto se puede afirmar que:

Todo rombo es romboide.

Si todo rombo es romboide debe tener diagonales perpendiculares.

Le proponemos que lo compruebe colocando el ángulo recto de su escuadra sobre las diagonales de cualquier rombo.

^ ^

^ ^

__ __

__ __

Actividad N

º

6

Se quiere alambrar una plazoleta con forma de rombo con tres vueltas de alambre. Para ello se necesitarán 600 m.

Cuadrado

El cuadrado es una forma que se encuentra en un sinnúmero de los objetos que nos rodean, las rejillas de nuestras casas, la zona de sa-que en una cancha de tenis, una hoja de papel glasé, los frentes de las cajas de disquetes de computación, las manzanas de las ciuda-des vistas ciuda-desde un avión, etc.

El cuadrado es un cuadrilátero regular porque posee:

• todos sus lados iguales,

21

M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n •sus lados opuestos son paralelos.

•sus diagonales son iguales y perpendiculares y se cortan en su punto medio.

Actividad N

º

7

Complete las siguientes afirmaciones.

• Por ser equilátero todo cuadrado es . . . .

• Por ser equiángulo todo cuadrado es . . . .

A modo de síntesis observe en el siguiente cuadro los diferentes ti-pos de cuadriláteros y las condiciones que cumplen cada uno.

No tiene lados paralelos.

Trapezoide

Romboide

Trapecio

Paralelogramo

Rombo

Rectángulo

Cuadrado

Es un trapezoide con dos pares de lados consecutivos iguales.

Tiene un sólo par de lados paralelos. Estos se denominan bases.

Tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos.

Paralelogramo con sus cuatro lados iguales.

Paralelogramo con sus cuatro ángulos rectos.

A continuación se analizará la formación de cuadriláteros a partir de triángulos y la descomposición de cuadriláteros en triángulos. En matemática es muy frecuente resolver problemas a partir de triangu-lar las figuras para determinar los posibles triángulos cuya suma constituya el polígono que se está analizando.

Si se los dibuja haciendo coincidir el lado que tienen igual se for-ma un cuadrilátero.

Actividad N

º

8

Construya otro triángulo para obtener en cada caso el cuadri-látero que se menciona. Le sugerimos usar papel de calcar pa-ra facilitar su tarea.

romboide paralelogramo

23

a

b

a

b

c

d

Actividad N

º

9

Observe la fotografía sobre el trabajo que realizan artesanos japoneses del bambú. ¿Qué polígonos encuentra?

Dibuje tres de ellos y descríbalos.

Actividad N

º

10

En una hoja cuadriculada dibuje por lo menos un cuadriláte-ro que tenga:

Sólo un par de lados paralelos y ningún par de lados iguales.

Los dos pares de lados iguales y ningún par de lados paralelos.

Sólo un par de lados paralelos y sólo un par de lados iguales.

Los dos pares de lados paralelos y ningún par de lados iguales.

Bruno Munari

El cuadrado en la historia del hombre

Bruno Munari

El cuadrado, más de 300 ejem-plos ilustrados sobre la forma

Curral das Letras. Las primeras apariciones del cuadrado en los signos rupestres de los pueblos primitivos del perío-do neolítico, en Curral das Letras, Tua-Braganza, Portugal. Estos signos aparecerán después también en las escritu-ras cretenses y en las prehistóricas americanas.

Situación 1976, pintura de Diana Baylon.

Bauhaus. Uno de los primeros experimentos de distintas agrupaciones de nueve cuadrados. Bauhaus, Weimar.

Bet. Signos extraídos de los je-roglíficos, valor fonético: bet.

25

Recorte varillas iguales y arme un cuadrilátero. Modifique sus

án-gulos interiores y observe que de pronto tiene un cuadrado, luego un rombo no cuadrado.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian estas figuras?

•Tienen los lados respectivamente iguales.

•Varían las medidas de los ángulos interiores respectivos.

Observe que el cuadrado tiene los cuatro ángulos iguales y rectos o sea que cada uno de ellos mide 90°, por lo tanto la suma de los cuatro es:

90° x 4 = 360°

En el rombo no cuadrado dos de los ángulos miden más de 90° y los otros dos menos de 90°. ¿Cuánto suman los cuatro?

Para ello recorte los cuadriláteros que figuran en el Anexo II. Luego recorte los ángulos de cada uno de ellos y péguelos en for-ma consecutiva.

De este modo usted acaba de verificar que la suma de los ángulos

interiores de todos los cuadriláteros que usted recortó es 360°.

Pero esto sólo muestra qué sucede en estos casos.

¿Sucederá en cualquier caso y con todos los cuadriláteros?

Para contestar a estas preguntas es preciso dar una explicación y justificación más general que efectivamente abarque a todos los cuadriláteros. En matemática esto se llama demostración.

En este caso se quiere demostrar que la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360°. Usted ya sabe que la suma de los án-gulos interiores de todo triángulo es 180°, por lo tanto se puede usar esta propiedad si se logra formar triángulos en el cuadrilátero.

Para poder considerar mejor el problema que se quiere resolver es útil apelar a una representación gráfica. Por ello se dibuja una figura de

Observe que el ángulo A del cuadrilátero es igual a la suma de 1 y 6, y C es igual a la suma de 3 y 4.

27

Dibuje un cuadrilátero cualquiera y márquele una diagonal. Por

ejemplo:

El cuadrilátero quedó dividido en dos triángulos. Cuando se hacen demostraciones es preciso recurrir a conocimientos previos sobre el tema en cuestión. En este caso usted ya conoce la propiedad de los ángulos interiores del triángulo.

En cada uno de los dos triángulos se cumple la propiedad: la suma de sus ángulos interiores es 180°. Para identificar a qué ángulo nos referimos les pondremos nombres. Para diferenciar los ángulos del triángulo de los del cuadrilátero nombraremos a cada ángulo del triángulo con un número:

1, 2, 3, 4, 5, 6^ ^ ^ ^ ^ ^

^

^ ^ ^

Como se observa en el gráfico

3 + 4 = C 1 + 6 = A

5 = D

2 = B

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

4 + 5 + 6 = 180°

3 + 2 + 1 = 180°

C + 5 + 2 + A = 180° + 180°

C +D + B + A = 360°

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

¿Qué sucedería si se hubiera dibujado otro cuadrilátero?

Con cualquier cuadrilátero podría hacerse el mismo razonamiento.

Estas deducciones podrían hacerse con cualquier cuadrilátero que se hubiese dibujado, entonces se dice que se demostró en forma general.

Para hacerlo se recurrió a:

• considerar qué conocimientos ya se tenían sobre suma de ángulos interiores (en este caso ya se conocía la suma de los ángulos inte-riores de los triángulos);

• dibujar una figura de análisis (un cuadrilátero cualquiera); • dividir la figura en triángulos para aplicar una propiedad ya

conocida;

• obtener mediante sumas el resultado deseado;

• considerar si lo demostrado responde a un caso particular o sirve para cualquier situación general (en este caso para cualquier cuadrilátero).

¿Qué se demostró en este caso?

Los ángulos interiores

de un cuadrilátero cualquiera suman 360°.

En lenguaje simbólico:

Siendo ABCD un cuadrilátero cualquiera se verifica que A + B + C + D = 360°^ ^ ^ ^

29

Actividad N

º

11

Si tres de los ángulos interiores de un cuadrilátero miden: 65º, 89º y 135º ¿cuánto mide el cuarto?

Un cuadrilátero tiene al menos un par de ángulos iguales; si uno de ellos mide 70º ¿cuánto miden los restantes?

Actividad N

º

12

Es usual que los pisos y las paredes de las habitaciones estén cubiertos con piezas de madera o cerámicas. Muchas veces estas piezas son cuadradas o rectangulares, pero también se utilizan otros polígonos.

¿Es posible cubrir el suelo utilizando baldosas repetidas de al-guna/s de las formas siguientes sin superponerlas y sin dejar espacios en blanco?

a

b

a

b

Para responder elija la (o las) figuras que considere pueden servir y recorte varias piezas iguales. Le sugerimos utilizar papel de calcar.

Es posible realizar hermosos diseños repitiendo polígonos. Aquí le mostramos algunos. Trate de hacer usted otros.

Antigua marca para identificar objetos cerámicos, sólo con triángulos

Diseño de nuestros aborígenes

Motivos de patchwork con rombos.

Irene Albuerne Vilma Díaz y Zárate Diseños indígenas argentinos, Emecé Editores, Bs. As., 1999.

Bruno Munari

31

Perímetros

E

n muchas situaciones cotidianas tenemos que estimar longitu-des para bordear diferentes objetos. Por ejemplo: la cantidad de hi-lo para hacer un paquete, de alambre para poner alrededor de un cantero, de cinta para hacer el borde de un vestido, etc. En estos casos lo que se está estimando es el perímetro.

Por ejemplo, el perímetro de una plaza se expresa generalmente en metros, la cantidad de hilo para atar un paquete pequeño puede in-dicarse en cm, el borde de la cabeza de un tornillo en mm o cm. El centímetro, el metro, el milímetro son unidades de longitud.

Para conocer la medida de cualquier perímetro bastaría bordear con un hilo su contorno y luego medir esa longitud.

En el Libro 1 Módulo 3 re-pasar perímetros y unida-des de longitud.

Cuando se quiere calcular el perímetro de un polígono resulta más sencillo, porque se puede tomar la medida con una regla, si esto es factible, y luego calcular la suma de los lados. Usted ya ha reali-zado en el Libro 3 ejercicios en los que aplicó estos conceptos.

Analice el siguiente problema.

En una fábrica de neumáticos se necesita calcular la longitud de cinta de caucho que se utilizará en la última capa de uno de sus productos. Para poder resolver esta situación debemos tener en cuenta la forma del objeto con el que estamos trabajando.

En Libro 2 Módulo 5

encontrará circunferencia y círculo.

La circunferencia es la línea que se forma con todos los puntos que están a igual distancia de otro llamado centro. Es decir, todos los puntos de la circunferencia son equidistantes del centro.

33

Actividad N

º

13

¿Qué nombre recibe el segmento que tiene por extremos el centro de la circunferencia y uno cualquiera de sus puntos?

a

b

c

d

¿Cuántos radios tiene una circunferencia?

Es posible determinar otros segmentos en la circunferencia, aquellos en que sus dos extremos son puntos de la circunferen-cia. ¿Cuál de los segmentos dibujados tiene mayor longitud?

¿Cuántos diámetros tiene la circunferencia?

Esta propiedad es la que le permitió al hombre inventar la rueda, facilitando enormemente el traslado de cosas pesadas.

Para que usted note con mayor claridad la importancia de esta for-ma tome dos cilindros de igual diámetro (dos lápices) y traslade una caja haciéndolos rodar.

Luego tome otros dos lápices pero con forma de prismas y trate de hacer lo mismo. ¿Qué sucede?

Por ser las diagonales de mayor longitud que los lados el "ancho", no es constante. Tiene un “ancho" máximo y un ancho mínimo. En las si-guientes figuras se observa esta situación considerando la posibilidad de que usted haya elegido un lápiz con base cuadrada o hexagonal.

Esto también lo advertirá si trata de pasar por un pasillo un cuerpo cuyas caras laterales sean estas figuras, depende de cómo ubique el cuadrado, pasa o no. Piense por ejemplo una caja de base cuadrada. Muchas veces al reubicar muebles tenemos en cuenta esta propiedad.

35

Hallar la longitud de la circunferencia es medir el largo de dicha

lí-nea. Para ello se puede rodear la cubierta con un piolín, estirarlo y luego medirlo.

Actividad N

º

14

Tome varios objetos de base circular como platos, latas de du-raznos, ollas, baldes, etc. Dibuje los contornos de las bases, es decir las circunferencias.

Analice qué sucede con la relación entre la longitud de la cir-cunferencia y la longitud de los diámetros de esas figuras. Complete los valores hallados en una tabla como la siguiente. Puede utilizar un piolín.

Longitud de circunferencia Diámetro

¿Cómo hallar los diámetros?

De diferentes maneras. Le proponemos algunas:

•apoyar los objetos circulares sobre un papel, bordearlos. Recortar los círculos obtenidos y doblarlos por la mitad, por lo menos dos veces.

Así es posible obtener un diámetro.

Observe que cualquier doblez que divida en mitades siempre per-mite obtener un diámetro porque pasa por el centro.

• Con un piolín, apoyar en un punto del borde y tomar diferentes medidas hasta obtener la máxima. Esa corresponde a la del diáme-tro, por definición de diámetro.

Para que exista proporcionalidad directa entre el diámetro y la lon-gitud de la circunferencia debería haber una constante de propor-cionalidad.

Para hallar esa constante, si es que existe, divida cada longitud de circunferencia por su correspondiente diámetro.

Si usted tomó bien las medidas y efectuó bien los cálculos obten-drá valores muy cercanos a 3.

37

Actividad N

º

15

Dibuje un par de ejes. En el horizontal indique los diámetros y en el vertical las longitudes de las circunferencias. Marque los puntos correspondientes a los valores obtenidos en los diámetros y circunferencias de la actividad anterior.

El siguiente cuadro corresponde a los valores hallados en una acti-vidad similar a la que usted tenía que realizar en la que se utilizó un instrumento graduado en cm y mm.

Diámetro 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 6 cm 7 cm 8 cm 9 cm

Longitud de la

circunferencia 3 cm 6,3 cm 9,4 cm 12,6 cm 15,7 cm 18,9 cm 22 cm 25,1 cm 28,2 cm

l

d

Referencias

l longitud de la circunferencia

A continuación le presentamos el gráfico correspondiente a este cuadro:

Observará que los puntos quedan aproximadamente alineados.

Además si una circunferencia tuviese diámetro cero, ¿qué longitud tendría?

Considerando los errores en los valores del cuadro, propios de la li-mitación del instrumento y los errores al medir, se podría decir que el gráfico corresponde a puntos que están sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Por lo tanto si la relación que existe entre el diámetro de cada circun-ferencia y su longitud es una proporcionalidad directa cuya constan-te es (aproximadamenconstan-te) tres, se puede afirmar que tiene la forma

y = k . x

39

O sea

y = 3. x

En este caso la variable independiente x es el diámetro y la varia-ble independiente y es la longitud de la circunferencia, que será distinta para cada valor del diámetro. Queda entonces:

Longitud de la circunferencia = 3 . diámetro

Este valor 3 es el que usaban los súmero-babilonios para hallar longitudes de circunferencias, por ejemplo el largo de un hierro que al curvarlo diera una rueda de cierto ancho.

Pero los matemáticos, mediante otros métodos han calculado con mayor exactitud la constante de proporcionalidad, número al que llamaron π(pi) y que no puede expresarse con todas sus cifras de-cimales, pues siempre se puede calcular una nueva cifra. Tal como estudió en el libro 4 tanto por truncamiento como por redondeo se la puede indicar por aproximación

= 3,14

La fórmula para hallar la longitud de la circunferencia:

Longitud de la circunferencia = . d

Como el diámetro tiene el doble de la longitud del radio se la pue-de expresar también como:

Longitud de la circunferencia = 2 . . r

Retomemos el problema de los neumáticos. Para resolverlo debe-mos medir el radio. Si al hacerlo registradebe-mos un radio de 50 cm, la longitud de cinta de caucho para el neumático será igual al doble de 50 cm (50.2) por π, que indica la cantidad de veces que “entra" el diámetro en la circunferencia. Así se tiene:

Longitud de cinta = 2 . . r

Longitud de la cinta = 2 . . 50 cm

a

b

No todos los problemas en los que participan formas circulares po-seen como incógnita la longitud de una circunferencia. Otros pue-den referirse a la superficie del círculo.

Lea en el Libro 2, Módulo 5

lo trabajado sobre superfi-cie de círculo.

Actividad N

º

16

En una fábrica de posavasos se quiere averiguar la superficie del material sobrante por cada planchuela que deja una má-quina perforadora de planchuelas de corcho. Las dimensiones de las planchuelas son de 50 cm por 60 cm. La máquina rea-liza 35 agujeros circulares de 5 cm de radio.

Calcular cuánta cinta es necesaria para poner en el borde de los portavasos de cada planchuela, considerando que al total de la cinta necesaria se le agrega un 15% para poder trabajar.

Se quiere atar un paquete cilíndrico del modo que indica el gráfi-co. Se sabe que la longitud de la circunferencia de las bases del paquete es de 15,7 cm, la altura del paquete es de 9 cm y se desea dejar 8 cm para el nudo. ¿Con qué longitud debe contar el piolín?

a

b

Actividad N

º

17

Calcular en forma aproximada la superficie de una moneda de $ 0,25, de una de $ 0,50 y de una de $ 1.

41

M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n a

Superficies

El Tangram

E

l Tangram es un juego muy antiguo de origen chino. Consta de siete piezas geométricas. Con él es posible armar una muy variada cantidad de figuras. Algunas resultan figurativas, semejan anima-les o casas, otras son enteramente geométricas.

Actividad N

º

18

Para realizar esta actividad tendrá que recortar las figuras que están en el Anexo III. Le sugerimos que las pegue sobre car-tón o cartulina para trabajar mejor. Todas ellas conforman el rompecabezas conocido como Tangram.

Arme con ellas un cuadrado.

¿Cómo son entre sí las superficies de las figuras de los items a y b?

b

c

Superponga los dos triángulos pequeños con:

• el cuadrado pequeño;

• el paralelogramo;

• el triángulo mediano.

Actividad N

º

19

Arme la pieza triangular grande con:

• el paralelogramo y los dos triángulos pequeños;

• el triángulo mediano y los dos triángulos pequeños;

• el cuadrado y los dos triángulos pequeños.

Arme un triángulo, un paralelogramo y un rectángulo usando las siete piezas cada vez.

¿Cuántos triángulos pequeños son necesarios para formar el

a

b

c

Después de hacerlo observe que se puede decir que el cuadrado pe-queño mide (ocupa el lugar de) dos triángulos pepe-queños. Lo mismo sucede con el paralelogramo y con el triángulo mediano.

De este modo podemos afirmar que la pieza con forma de cuadra-do, la que tiene forma de paralelogramo y el triángulo mediano tienen superficies equivalentes. O lo que es lo mismo, que tienen la misma superficie.

43

M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n

Considere el triángulo pequeño. ¿Cuánto mide el cuadrado que se arma con las siete piezas?

Mide 16 triángulos pequeños.

Considere el triángulo mediano. ¿Cuánto mide el mismo cuadrado?

Mide 8 triángulos medianos.

Considere el triángulo grande. ¿Cuánto mide el mismo cuadrado?

Mide 4 triángulos grandes.

La medida de la superficiese llama área y varía dependiendo de qué patrón se usa para medir.

¿Varía de cualquier manera?

En los ejemplos del Tangram se puede observar lo siguiente: en ca-da medición se usó un patrón con el doble de superficie respecto del anterior, y se obtuvo una medida que resultó la mitad en cada uno de los respectivos ejemplos.

Patrón usado Medida obtenida

16

8

Puede deducirse que cuando el patrón (unidad) es el doble, la medi-da obtenimedi-da es la mitad; cuando es el cuádruple la medimedi-da obtenimedi-da es la cuarta parte. La relación entre el tamaño de la unidad y la me-dida obtenida es de proporcionalidad inversa, porque al variar una de ellas, la otra se modifica según su inverso multiplicativo.

Si lo considera necesario re-pase en el Libro 4el concep-to de inverso multiplicativo.

Actividad N

º

20

Corte un trozo de hilo. Esta será una de sus unidades de lon-gitud. Corte otros dos hilos cuyo largo sea el doble y el triple del anterior. Analice qué sucede si mide la longitud del borde de una mesa utilizando sucesivamente estas tres longitudes como unidades.

Busque dos botellas tales que la capacidad de una de ellas sea el doble de la otra. Mida la capacidad de un balde o de una olla dos veces utilizando sucesivamente como unidad estas botellas.

Analice sus respuestas a los items a y b y responda: ¿la relación de proporcionalidad inversa entre el tamaño de la unidad y la me-dida obtenida depende de la magnitud que se mida?

a

b

c

Si queremos forrar un cuaderno, pintar o empapelar una pared, embaldosar un piso, etc. debemos estimar las respectivas medidas de las superficies. Esto se puede hacer de dos formas:

• por una estrategia de “medición", es decir de comparación -directa

o mental- con una unidad o patrón de esa magnitud;

• por el cálculo de la medida de la superficie, a partir de

45

¿Cómo se miden las superficies?

S

i antes de pintar una habitación, para proteger su piso lo cubri-mos con 50 hojas de papel de diario, podríacubri-mos afirmar que la su-perficie del piso es 50 papeles de diario. En este caso se comparó directamente la superficie a medir con la unidad (papel de diario).

Pero se sabe que no todas las publicaciones editan sobre un mismo tamaño de papel. Por tal razón no podríamos transmitir a otro la información si previamente no nos ponemos de acuerdo sobre qué diario usar y por lo tanto obtener la misma medida.

Para medir superficies la unidad es un metro cuadrado, o sea es la superficie de un cuadrado que tiene un metro de lado.

También se necesitan unidades de mayor y de menor superficie. Por ejemplo, la superficie de un país se mide en km2_{, la superficie}

de una hoja de cuaderno en cm2_.

Para medir campos también suele utilizarse la hectárea (ha) que es una superficie equivalente a 1hm2_{, es decir a un cuadrado de 1hm}

de lado. Por ejemplo en las ciudades las cuadras generalmente son de 100 m de largo, cada manzana es 1 hectárea.

Es importante recordar que las unidades patrón se eligen en fun-ción de las mediciones que se deben efectuar.

Consulte en el Libro 1, Mó-dulo Nº3las unidades de medida.

Actividad N

º

21

Indique cuál es la unidad adecuada para medir la superficie en cada caso:

La extensión de su provincia

El frente de un edificio

La superficie de su mesa de trabajo

La hoja de un árbol

La palma de su mano

La huella que deja su pie

Actividad N

º

22

Halle el área de la hoja de una planta usando diferentes uni-dades como por ejemplo, el centímetro cuadrado, el milímetro cuadrado.

Para realizar esta actividad puede “calcar" la hoja sobre papel cuadriculado de 1cm, de cm y sobre papel milimetrado (Anexos IV , V y VI).

Resulta interesante tomar hojas de una misma planta en dife-rentes estadios de crecimiento y observar qué relación guar-dan entre sí el largo, el ancho y el área.

1 2

_

a

b

¿Cómo se calculan las superficies?

N

o siempre resulta sencillo medir superficies, pero se puede ob-tener la medida a partir de conocer algunas longitudes.

En módulos anteriores usted ha estudiado cómo calcular la super-ficie del rectángulo, del cuadrado, del rombo, del triángulo y del círculo. Puede consultar los números 2, 3 y 4.

Actividad N

º

23

Se quiere embaldosar un patio rectangular de 4 m de largo por 3 m de ancho utilizando baldosas de 40 cm por 40 cm. ¿Cuántas baldosas serán necesarias?

Una lata de pintura en su etiqueta dice “Rendimiento 5 m2_/

li-tro" esto significa que con un litro es posible cubrir 5 m2_{). Se}

47

a b c a b b.1 b.2 b.3

Haga el dibujo de la habitación.

Determine las dimensiones del techo.

Calcule cuántos litros de pintura serán necesarios para pintar las paredes (descontando las puertas y la ventana).

Actividad N

º

24

Dibuje en el papel cuadriculado triángulos de cm2_{; 1 cm}2_;

1 cm2_{; 2 cm}2_{; 2 cm}2_{y 3 cm}2_{respectivamente.}

Para ello tenga en cuenta que las siguientes figuras miden 1 cm2_.

1 2 _ 1 2 _ 1 2 _ _1 2

superficie de A = 1 cm2 _1

2 superficie de B = 1 cm2

Actividad N

º

25

Dibuje un cuadrado y recórtelo. Divídalo en dos figuras de igual superficie. Intente varias soluciones.

Dibuje un rectángulo y recórtelo. Divídalo en dos figuras de igual superficie. Intente varias soluciones.

Dibuje un paralelogramo y recórtelo. Divídalo en dos figuras de igual superficie. Intente varias soluciones.

Actividad N

º

26

Dibuje un cuadrado cuya superficie mida 36 cm2_.

Actividad N

º

27

Dibuje un rectángulo cuya superficie mida 24 cm2_{. Dibuje un}

triángulo cuya superficie sea la mitad de la del rectángulo.

Dibuje un paralelogramo cuya superficie mida 24 cm2_{. Dibuje}

un triángulo cuya superficie sea la mitad de la del rectángulo.

Dibuje un rectángulo cuya superficie mida 21 cm2_{. Dibuje un}

triángulo cuya superficie mida la mitad de la del rectángulo.

Dibuje un paralelogramo cuya superficie mida 21 cm2_{. Dibuje}

un triángulo cuya superficie mida la mitad de la del paralelo-gramo. Dibuje otro triángulo cuya superficie sea la mitad de la del mismo paralelogramo.

a

b

c

d

¿Cómo calcular la superficie de otras figuras?

A continuación determinaremos cómo se calcula la medida de las superficies de triángulos, trapecios y romboides. Para ello se utiliza-rán las superficies de rectángulos y paralelogramos que ya conoce.

Superficie del triángulo

P

ara calcular la superficie del triángulo utilizaremos el rectángu-lo y el paralerectángu-logramo. Le sugerimos revisar sus respuestas a la Ac-tividad Nº 27.

Al trazar cualquiera de las diagonales de un rectángulo notará que la figura queda dividida en dos triángulos iguales. La superficie del trián-gulo deberá ser, entonces, la mitad de la superficie del rectántrián-gulo.

49

Como la superficie del rectángulo es base por altura, la superficie

del triángulo será la mitad, o sea, habrá que multiplicar a la base por la altura y dividirla por dos:

Sup. del triángulo = base x altura

2

¿Cuál será la superficie de un triángulo de 5 cm de base y 3 cm de altura? Consulte los Módulos Nº3 y Nº5 donde se trabajó sobre su-perficie del rectángulo.

____________

Primero cuente los cuadraditos completos.

Como podemos notar la fórmula interpreta el conteo de centíme-tros cuadrados realizado por nosocentíme-tros:

Superficie del triángulo=

Superficie del triángulo=

Superficie del triángulo=

Superficie del triángulo= 7,5 cm2

El triángulo sobre el que recién trabajamos es rectángulo. ¿Cómo se calcula la superficie del triángulo si es acutángulo u obtusángulo?

Considere el siguiente paralelogramo:

____________

____________

______

Como puede observar, al trazar cualquiera de las diagonales el pa-ralelogramo también queda dividido en dos triángulos iguales.

En este caso también hay que multiplicar la base por la altura pa-ra hallarla. Por lo tanto si la superficie de cada triángulo es la mi-tad de la del paralelogramo, habrá que dividir por 2 el resulmi-tado de la multiplicación. Es importante considerar que la altura del para-lelogramo coincide con la altura del lado del triángulo que se está considerando como base.

Como puede observar la fórmula sirve para calcular la superficie de cualquier triángulo, no importa que éste sea rectángulo, acután-gulo u obtusánacután-gulo.

Si es necesario revise el Li-bro 2, Módulo 5para repa-sar cómo se calcula la su-perficie del paralelogramo.

base x altura 2

5 cm . 3 cm 2

15 cm2

51

Actividad N

º

28

Con un hilo elástico (cerrado) fije dos puntos A y B y despla-ce el terdespla-cer punto C por una paralela al lado AB (ver figura).

a

b

c

d

e

f

¿Qué elementos de cada triángulo permanecen constantes y cuáles varían?

¿Qué clases de triángulos pudo obtener?

¿Cuántos triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos halló?

Identifique los triángulos isósceles encontrados.

¿Cuál es el triángulo de menor perímetro?

Superficie del trapecio

P

ara que usted pueda seguir la explicación más fácilmente es

conveniente que recorte los dos trapecios iguales que encontrará en el Anexo VII.

Coloque los nombres a los vértices, como indican las siguientes figuras.

Trabajaremos con el trapecio ABCD y con el A’B’C’D’, que son iguales entre sí.

Responda las preguntas que se formulan, si tiene dificultades mire la referencia en el pie de página.

Rote uno de los trapecios 180º y haga que el lado CD y el lado C’D’ coincidan.

Podrá observar que queda conformado un paralelogramo. Mencio-ne qué paralelogramo queda formado : . . . .1

¿Cómo es la superficie del paralelogramo respecto del trapecio?

. . . .2

53

Superficie del paralelogramo ABA’B’ = . . . .. x . . . .3

O sea la base del paralelogramo por la altura.

Pero además la base del paralelogramo es la suma de la base ma-yor y la base menor del trapecio.

Nos referiremos a ellas como Base (base mayor) y base (base menor).

Se tiene entonces que AB’ = . . . ... 4

La altura del paralelogramo es la misma que la del trapecio, la lla-maremos h.

Si reemplazamos la base del paralelogramo por la suma de las ba-ses de los trapecios queda:

Superficie del paralelogramo ABA’B’ = (. . . + . . . .) x . . . .5

Como usted sabe que la superficie de cada trapecio es igual a la mitad de la del paralelogramo sólo restará dividir por dos:

Superficie del trapecio = Base (mayor) + base (menor) x H

2

________________________

2_{La superficie del paralelogramo es el doble de la superficie del trapecio. Por lo tanto la superficie del trapecio es la mitad de la del paralelogramo.} 3_{Superficie del paralelogramo ABA’B’= AB’ . AB.}

4_{AB’= Base (mayor) + base (menor).}

Actividad N

º

29

Primero consulte en el Módulo 5 qué son los puntos medios. Luego realice la actividad.

Dibuje un rectángulo sobre el papel cuadriculado (Anexo IV o V).

¿Cuánto mide la superficie de su rectángulo?

• Trácele los puntos medios a los lados.

• Una los puntos medios de lados consecutivos.

¿Qué figura le quedó formada al unir los puntos medios?

¿Qué relación encuentra entre esta superficie y la del rectán-gulo del comienzo?

a

b

c

Superficie del romboide

P

ara facilitar la deducción de la fórmula del romboide recorte del Anexo VIII los dos romboides iguales. En uno de ellos recorte los triángulos que están determinados.

55

Llamaremos d a la diagonal menor y D a la diagonal mayor.

Complete el rectángulo con las piezas triangulares del otro romboi-de para conseguir formar un rectángulo. Como pueromboi-de observar, es-te rectángulo tiene el doble de superficie que cada romboide.

Como usted sabe hallar la superficie de un rectángulo, le bastará con hallar la superficie del rectángulo y luego dividirla por dos pa-ra obtener la del romboide.

Observe:

La diagonal mayor del romboide coincide ¿con qué segmento del rectángulo? . . . .. 6

Y además la diagonal menor coincide con . . . .. 7

El rectángulo está formado por ocho triángulos. Podríamos formar con ellos dos romboides iguales. Por lo tanto la superficie del rom-boide es igual a la mitad de la superficie del rectángulo.

Entonces:

Superficie del romboide = Sup (rectángulo)

2

Complete con los datos del rectángulo:

Superficie del romboide = . . . .. 8

6_{La base del rectángulo PL (o bien MN) coincide con D.} 7_{La altura del rectángulo (BE=MP).}

8_{PL x MP.}

2

Usted ya dedujo que esos datos están relacionados con los del rom-boide, reemplácelos:

Superficie del romboide = . . . .. 9

La superficie del romboide es:

Superficie del romboide = D x d

2

Actividad N

º

30

Su hijo quiere construir un barrilete que tiene forma de rom-boide. Para eso usted dispone de dos maderitas de 60 cm y de 80 cm. ¿Cuántos cm2_{de papel necesitará si quiere ponerle dos}

capas, una a cada lado del barrilete?

Un puente que se encuentra sobre un ferrocarril tiene un en-rejado fino que forman dos “paredes de hierro" laterales que sirven como seguro. La forma de cada una es la de un trape-cio isósceles cuya base mayor mide 15 m, su base menor mi-de 12 m y la altura es mi-de 8 m. ¿Cuál es la superficie mi-de cada una de esas paredes?

a

b

Actividad N

º

31

Calcule mentalmente.

¿Cuál es el área de un rectángulo cuya base mide 7 cm y su altura mide 8 cm?

Una carpeta cuadrada tiene 25 m2 _{de superficie, ¿cuál es la}

medida de cada uno de sus lados?

Un paralelogramo posee 80 m2_{de superficie. Si su base mide}

10 cm, ¿cuál es su altura?

Un triángulo mide 36 cm2_{de superficie si la altura es de 9 cm,}

¿cuánto mide su base?

a

b

c

57

A continuación y a modo de síntesis, le presentamos un cuadro

con las fórmulas de superficie que usted podrá consultar cada vez que lo necesite.

Triángulo

Figura Fórmula de la

superficie

Cuadrado

Rectángulo

Paralelogramo

Rombo

Romboide

Trapecio

Círculo

b . h 2

D . d 2

D . d 2

(B + b) . h 2 l2

b . h

b . h

Volúmenes

S

i queremos levantar una construcción de hormigón, llenar un

camión con la carga, llenar una pileta o un tanque, guardar la va-jilla en un armario o la mercadería que compramos (latas de toma-tes, paquetes de galletitas, etc.), guardar libros en una caja o en un estante, rellenar un pozo con tierra o con material asfáltico debe-mos estimar los respectivos volúmenes.

Para realizar la próxima actividad trabajará con un rompecabezas llamado Soma.

El Soma es un rompecabezas espacial creado por el matemático danés Piet Hein. Consta de siete piezas que están formadas por cu-bos. Con él es posible armar una muy variada cantidad de sólidos. Algunos resultan figurativos y otros son enteramente geométricas como por ejemplo el cubo del dibujo.

En el Libro 2, Módulo Nº5

encontrará información más detallada sobre el te-ma volumen.

Actividad N

º

32

59

Arme los siguientes cuerpos con piezas del Soma.

Observe que las piezas se arman con diferente número de cu-bos. Así como para medir superficies se utiliza una superficie tomada como unidad patrón, para medir volúmenes se consi-dera un volumen como unidad. En este caso un cubo peque-ño será la unidad. Analice en cada una de las construcciones cuál es el volumen respecto de esa unidad.

¿Cómo se mide el volumen?

P

ara medir el volumen de un cuerpo es necesario acordar -tal co-mo se hizo con las mediciones de longitudes y de superficies- y adoptar una unidad de medida común.

Si cargamos el baúl de un auto con cajones de gaseosa, y vemos que entran cinco, podríamos afirmar que el volumen interior del baúl es 5 cajones de gaseosa. Pero otra persona podría discutir por un baúl semejante porque él guarda sesenta cajas de gaseosas, en-tonces podría decir mide sesenta.

Un volumen se mide viendo cuántas unidades cúbicas contiene el sólido en cuestión.

El metro cúbico (m3_{) es el volumen que tiene un cubo de 1 m de arista.}

El centímetro cúbico (cm3_{) es el volumen que tiene un cubo de 1 cm}

de arista.

Si se quiere medir el volumen de agua que puede contener un balde es conveniente medirlo con centímetros cúbicos (cm3_{) . También se}

usa esta unidad para indicar la capacidad total de los cilindros de los motores de los coches y las motos. Es común escuchar hablar de la ci-lindrada de los motores, a mayor cici-lindrada mayor potencia.

En cambio si se quiere medir el volumen de aire que contiene una habitación es mejor hacerlo en metros cúbicos (m3_).

Muchas veces, la capacidad de los frascos de medicamentos viene in-dicada en centímetros cúbicos (cm3_{) o en milímetros cúbicos (mm}3_).

Si considera el siguiente dibujo a escala de 1 dm3_{y la cantidad de}

cubitos de 1 cm de arista (1cm3_{) necesarios para llenarlo podrá}

re-cordar que en las unidades de volumen del SIMELA la relación en-tre las diferentes unidades es de potencias de 1.000.

En el Libro 2del Móludo 4

puede encontrar desarro-llado lo relativo a las unida-des de volumen que se consideran en el Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA).

61

Si lo cree necesario arme un m3_{. Recorte y pegue papeles de diario}

para armar las caras laterales que tendrán 1m2_{. Arme el cubo de}

1m de arista, en un rincón de una habitación, así podrá utilizar el piso y las paredes como ayuda. Complete con su imaginación el “techo" de este metro cúbico. Si además construye cubos de 1 dm de arista (dm3_{) verá como efectivamente se necesitarán 1.000 de}

esos cubos de 1dm3_{para completar el m}3_.

También puede armar cubos de 1cm de arista y tratar de completar un cubo de 1dm3_{de volumen.}

1 cm3 1 dm

Estas equivalencias entres unidades son las que deberá recordar, por ejemplo, si le preguntan ¿a cuantos dm3_{equivalen 5m}3_{? Podrá}

contes-tar pensando en el cubo que armó de 1m3 _{que equivalen a 5 000 dm}3_.

¿Cómo se calculan los

volúmenes de los cuerpos?

A

sí como no siempre resulta sencillo medir superficies tampoco lo es medir los volúmenes. La medida se puede obtener calculándo-la a partir de conocer algunas longitudes.

Por ejemplo, la fórmula del prisma es:

Volumen del prisma = superficie de la base x altura.

Analice este ejemplo.

Se quiere medir el prisma de la siguiente figura. Se utilizan cubos de un cm3_.

Se observa que caben 6 cubos a lo largo, luego 5 cubos a lo ancho. Con lo que se tienen en la base 30 cubos. Luego se observa que en el alto caben 3 cubos. Finalmente se cuentan todos los cubos y se obtiene que hay 30 x 3 = 90 cubos.

Por lo tanto el volumen de este prisma se puede obtener directa-mente multiplicando los valores del largo por el ancho por el alto o lo que es lo mismo, superficie de la base por la altura.

Datos:

Longitud del largo = 6 cm Longitud del ancho = 5 cm Longitud del alto = 3 cm

Volumen del prisma = ?

65

Actividad N

º

33

Las aristas de una caja de cartón con forma de prisma miden respectivamente 16,5 dm, 18 dm y 30 dm.

¿Con cuántos cubos de 1 dm de arista se puede rellenar?

¿Con cuántos cubos de 1 cm de arista se puede rellenar?

Use la fórmula para hallar el volumen en decímetros cúbicos.

Use la fórmula para hallar el volumen en centímetros cúbicos.

¿Encontró alguna diferencia con los resultados anteriores?

a

b

a

b

Actividad N

º

34

Las aristas de un envase de leche miden 2 dm, 1,25 dm y 1 dm. ¿Cuántos decímetros cúbicos caben en él?

Actividad N

º

35

El decímetro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de un decímetro de arista, pero no es correcto decir que un decíme-tro cúbico es un cubo de un decímedecíme-tro de arista. Resuelva el siguiente problema y responda por qué no es correcto.

El lenguaje matemático

P

ara poder organizar nuestro pensamiento, comunicar nuestras

ideas, interpretar las ideas de otros, necesitamos usar una repre-sentación que sea común a todos. Esta reprerepre-sentación es el lengua-je. Este lenguaje ya sea el gestual, con gráficos, con palabras ha ido cambiando a través de la historia del hombre.

¿Qué habrán querido transmitir aquellos hombres que pintaron las paredes de la cueva de Altamira en España o aquellos que lo hicie-ron en la cueva de las manos en nuestra Patagonia?

Es fundamental que todos entendamos lo mismo con cada símbolo que usemos. Por ejemplo el semáforo debe ser interpretado de cier-ta manera: luz roja, parar; luz verde, avanzar. Si alguien entendie-ra lo contentendie-rario resultaría muy peligroso. La elección del color es

convencional y arbitraria.

Convencional quiere decir que las personas que la utilizan se

pusie-ron de acuerdo, y arbitraria que es así por elección pero podría ha-ber sido de otra manera.

signi-67

La matemática usa varios lenguajes: el lenguaje gráfico, el

lengua-je aritmético, el lengualengua-je geométrico, el lengualengua-je coloquial (habi-tual), el lenguaje algebraico.

María tiene quince años.

Es una expresión del lenguaje habitual (en castellano)

María tiene 15 años.

Ya introduce el lenguaje aritmético. Utiliza un símbolo numérico que forma parte del lenguaje aritmético.

Observe que en la Antiguedad un romano lo hubiese escrito:

María tiene XV años.

Los lenguajes evolucionan de acuerdo con los diferentes momentos históricos con las diferentes civilizaciones.

“Quince" se dice diferente en otros países, por ejemplo en inglés “fifteen". Pero, tanto en Inglaterrra como en muchísimos países más, se escribe 15 al usar el lenguaje aritmético, porque el lengua-je aritmético es casi universal.

¿Para qué sirve el lenguaje simbólico de la matemática? Para acor-tar expresiones. En la Edad Media se escribía “la raíz cuadrada de treinta y seis más sesenta y cuatro es igual a diez". Ahora se indica así:

36 + 64 = 10

Los signos más y menos tal como hoy los usamos ("+" y "-") fueron empleados por primera vez por el alemán Ricardo Widmann en 1489.

El signo "=" lo creó el inglés Robert Recorde en 1557.

La notación " " para designar a la raíz cuadrada fue introducida por Christoph Rudolff en 1525.

Recién en el siglo XV se generalizó a toda Europa el uso del siste-ma de numeración indoarábigo, que usamos hoy.

Thomas Harriot creó los signos de desigualdad “>" y “<" en 1631. En-tonces hoy pensamos y decimos que “siete es mayor que tres" tanto cuando vemos escrito “7 > 3" como cuando encontramos “3 < 7".

También es posible escribir “79" con lo que se indica que “siete es menor o igual que nueve".

Pero también es común encontrar en los textos matemáticos “a < 9" con lo que se quiere expresar “cualquier número menor que nue-ve". En este caso estamos usando el lenguaje algebraico.

En el lenguaje algebraico se utilizan letras en lugar de números. Estas letras pueden estar representando uno, varios o infinitos números.

Veamos algunos ejemplos:

• Cuando se dice “un número que sumado a tres de siete" simbóli-camente se puede expresar “n + 3 = 7". Con “n" se indica un solo número desconocido al momento de expresarlo pero que es facti-ble hallar. Se dice que ese número es cuatro y se expresa “n = 4".

• Cuando se dice en lenguaje coloquial “dos números naturales que sumados den siete" (que es lo mismo que decir “cualquier par de números naturales tales que al sumarlos se obtenga siete") se ex-presa de este único modo algebraicamente: “a + b = 7" (En reali-dad se podrían haber usado otras letras pero estaríamos indicando lo mismo). Y “a" y “b" estarían representando varios pares de nú-meros: 1 y 7, 1 y 6, 2 y 5, 3 y 4.

• Cuando se escribe “a > 10" se quiere expresar cualquier número que sea mayor que diez. En este caso “a" está representando de modo general a infinitos números.

En los Libros 3 y 4 usted ya trabajó con expresiones algebraicas para hacer generalizaciones. Por ejemplo: a tiene por opuesto a –a. En estos casos se utiliza el lenguaje simbólico para representar todos los números, para cualquiera de ellos (por lo tanto son infinitos).

69

y se aclaró que quería decir que “y es igual al producto de una

constante k por la variable x". En estos casos existen infinitos pa-res de valopa-res posibles para x y para y.

Otro ejemplo visto en el Libro 3 fue:

En símbolos: “y = k . x + b" donde b y k son valores dados en ca-da caso.

Y se tradujo como: “Las funciones en las que la variable indepen-diente se multiplica por algún valor y luego se le suma (o resta) otro tienen como gráficas rectas que no pasan por el origen de coordenadas".

Un ejemplo de este tipo de función en lenguaje algebraico sería:

y = 3 . x + 2

Esa función en lenguaje gráfico sería:

Actividad N

º

36

Traduzca las siguientes expresiones utilizando símbolos ma-temáticos:

• Siete es menor que quince.

• Veintitrés no es mayor que cuarenta.

• Nueve es menor que quince y mayor que tres (lo que es

equivalente a decir que nueve está entre tres y quince).

• Veinticinco es menor o igual que veintisiete.

• El consecutivo de un número es tres. (Es lo mismo que decir

“El siguiente de un número...").

• El doble de un número cualquiera.

• Un número cualquiera disminuido en tres.

Actividad N

º

37

El perímetro de este paralelogramo puede hallarse por cual-quiera de estas dos fórmulas:

P = 2 . a + 2 . b P = 2 . (a + b)

Escriba usando sus propias palabras el significado de ambas fórmulas.

71

Actividad N

º

38

Los cuadernos azules cuestan 3 pesos cada uno y los rojos 2,80 pesos cada uno. Si compró algunos cuadernos rojos y otros azules gastó 14,60 pesos.

• Escriba una letra que simbolice los cuadernos azules. • Escriba otra letra que simbolice los cuadernos rojos. • Escriba una expresión que simbolice el gasto de 14,60 pesos

en cuadernos.

• Escriba una expresión que simbolice un gasto cualquiera en

cuadernos.

Es importante tener en cuenta que cuando se hace referencia a un mismo número siempre se utiliza una misma letra. En cambio, cuando se quiere indicar números diferentes (aunque en algún ca-so particular puedan ser iguales) se deben utilizar letras diferentes.

La aritmética es la parte de la matemática que utiliza los números. El álgebra comienza cuando los matemáticos empiezan a intere-sarse por simbolizar operaciones que se pueden hacer con cual-quier número.

Ecuaciones e inecuaciones

U

sted ha escuchado expresiones como las siguientes:

1. Pablo tiene 39 años, ¿en cuánto tiempo tendrá 53 años?

2. ¿Cuánto mide el lado de un terreno cuadrado cuya superficie es de 36 m2_?

3. Este campo tiene más de 35 hectáreas.

4. Este chico mide menos de 1,5 m.

Todas estas expresiones se pueden escribir matemáticamente de al-guna manera.

1. Si Pablo tiene 39 años, ¿en cuántos años tendrá 53 años?

En los primeros Libros se expresaba este problema indicando con un casillero vacío el lugar del número que se desconocía. En este caso, la cantidad de años que deben pasar para que Pablo cumpla 53 años.

39 + = 53

Hoy lo puede expresar simbólicamente como: 39 + x = 53

¿Qué representa la “x" en esta expresión? Representa el tiempo que

deberá transcurrir para que Pablo cumpla 53 años.

2. ¿Cuánto mide el lado de un terreno cuadrado cuya superficie es de 36 cm2_?

Se expresa así: x2 _{= 36 cm}2

¿Qué representa la “x" en esta expresión? La longitud del lado del

cuadrado cuya superficie conocemos.

73

¿Qué significa la “x" en esta expresión? Significa que el campo

puede tener como superficie cualquier número mayor que 35.

4. Este chico mide menos de 1,5 m.

Se expresa así: x < 1,5

¿Qué significa la “x " en esta expresión? Que el niño en cuestión

tiene una altura que es menor que un metro y medio.

Los dos primeros ejemplos:

39 + x = 53 x2 _{= 36 cm}2

Se denominan ecuaciones.

Los dos siguientes:

x > 35 x < 1,5

Se llaman inecuaciones.

¿Cuál es la diferencia?

1. La ecuación es una igualdad en la que aparecen una o más in-cógnitas.

Ejemplos:

1. ¿Cuánto me falta para pagar $ 112 si tengo $ 55?

x + 55 = 112

En esta ecuación la x representa los pesos que me faltan para tener 112 pesos.

2. El doble de un número menos 35 es igual a 3.

2 . x - 35 = 3

En esta ecuación la expresión 2 . x representa el doble del número x.

Mentalmente se puede seguir pensando: ¿a qué número le resto 35 y obtengo 3? A 38.

Luego ¿el doble de qué número es 38? De 19.

Entonces 19 es el número al cual le hallo el doble, luego le resto 35 y finalmente me da 3.

19 es la solución de la ecuación.

2. La inecuación es una desigualdad en la que aparecen una o más incógnitas.

Vea estos ejemplos:

1. ¿A partir de qué número natural, sumado a 55, el resultado supera a 112?

x + 55 > 112

En esta inecuación la x representa el número a partir del cual sumándole 55, la suma da por resultado un número mayor que 112.

Para hallar la solución podemos pensar 55 más qué número da 112. O lo que es lo mismo 112 menos 55.

112 menos 55 es 57.

Veamos 57 + 55 = 112

75

58 + 55 = 113 y 113 > 112, luego 58 + 55 > 112

59 + 55 = 114 y 114 > 112, luego 59 + 55 > 112

60 + 55 = 115 y 115 > 112, luego 60 + 55 > 112

Y vemos que así se verifica para todos los números naturales mayores o iguales que 58. Lo cual se puede indicar x ≥58.

2. ¿Qué cantidad de pesos debo poseer si el doble de esa suma me-nos 35 da por resultado un número menor que 3?

2 . x - 35 < 3

Aquí la expresión 2 . x representa el doble de la cantidad de pesos que estamos buscando.

¿A qué número le resto 35 y obtengo 3? A 38.

Luego, ¿el doble de qué número es 38? De 19.

Entonces 19 es el número al cual le hallo el doble, luego le resto 35 y finalmente me da 3.

Pero en este caso el resultado no debe ser 3 sino menor que 3.

Entonces ¿qué número natural verifica la desigualdad?

2 . 18 - 35 = 36 – 35 = 1 y 1 < 3, luego 2 . 18 - 35 < 3

2 . 17 - 35 = 34 - 35. No tiene solución en los números naturales.

3. Si salgo a pasear puedo gastar entre 15 y 20 pesos.

15 < x < 20

¿Qué cantidad de pesos puedo gastar? 16, 17, 18 ó 19. Por eso decimos que la solución de esta inecuación es en realidad un grupo de números y no un número solo. También se podrían considerar los valores intermedios considerando los centavos.

¿Qué significa resolver una ecuación o una inecuación?

Resolver una ecuación significa hallar el valor o los valores numé-ricos con los que al reemplazar la incógnita se verifica la igualdad (o la desigualdad en el caso de la inecuación).

¿Cómo se resuelven las ecuaciones?

E

l hijo de Juan, de 12 años pregunta:

- Papá: ¿cuántos años tenés?

Y el padre, como le gustan los acertijos, contesta:

- La mitad de mi edad menos 6 años es igual a tu edad. ¿Cuántos años tengo?

¿Cómo se puede hacer para averiguar la edad del padre?

En primer lugar es conveniente escribir en forma matemática, es decir mediante una ecuación, la respuesta del padre.

Llamamos “x" a la edad del padre, porque no la conocemos, es la incógnita.

“La mitad de mi edad" significa que la edad debe dividirse por 2

“La mitad de mi edad menos 6", al resultado anterior hay que

res-tarle 6. x 2